2-2-21特殊值型、图象分析型、构造型、综合型
高考专题训练二十一
特殊值型、图象分析型、构造型、综合型班级_______姓名_______时间：90分钟分值：110分总得分_______
1．已知函数f(x)＝x3＋x－6，若不等式f(x)≤m2－2m＋3对于所有x∈[－2,2]恒成立，则实数m的取值范围是________．解析：∵f′(x)＝3x2＋1>0，
∴f(x)在x∈[－2,2]内是增函数，
∴f(x)在[－2,2]上的最大值是f(2)＝4，
∴m2－2m＋3≥4，
解得m≤1－2或m≥1＋ 2.
答案：(－∞，1－2]∪[1＋2，＋∞)
2．对于不重合的两个平面α、β，给定下列条件：
①存在直线l，使l⊥α，l⊥β；
②存在平面γ，使α⊥γ，β⊥γ；
③α内有不共线三点到β的距离相等；
④存在异面直线l、m，使l∥α，l∥β，m∥α，m∥β.
其中可以判定α∥β的有________个．
解析：对于①，由“垂直于同一直线的两个平面互相平行”可知，可以判定α∥β；
对于②，垂直于同一平面的两个平面也可能相交，例如，一个长方体共顶点的三个面，故不能判定α∥β；
对于③也不能确定α∥β，例如，当α⊥β时，设α∩β＝l，在平面α内过l上的点A、B分别作直线l的垂线l1、l2，显然l1⊥β，l2⊥β，在直线l1上取点C、D，在直线l2上取点E，使AC＝AD＝BE，
此时点C 、D 、E 是平面α内不共线的三点，且它们到平面β的距离相等，但此时α∩β＝l ；
对于④，由l ∥α、m ∥α知，存在直线l 1?α、m 1?α， 使得l ∥l 1、m ∥m 1，且m 1与l 1相交．
同理存在直线l 2?β、m 2?β，使得l ∥l 2、m ∥m 2，且m 2与l 2相交，因此l 1∥l 2，m 1∥m 2.由此不难得知α∥β.
综上所述，所以判定α∥β的共有2个． 答案：2
3．已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．
在上面的结论中，正确结论的编号是________(写出所有正确的编号)．
解析：用正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1实例说明A 1D 与BC 1在平面ABCD 上的射影互相平行，AB 1与BC 1在平面ABCD 上的射影互相垂直，BC 1与DD 1在平面ABCD 上的射影是一条直线及其外一点．
答案：①②④
4．已知数列{a n }中，a n >0，S n 是{a n }的前n 项和，且a n ＋1
a n
＝2S n ，
则a n ＝________.
解析：解法一：当n ＝1时，a 1＋1
a 1＝2S 1，S 1＝a 1>0，解得a 1＝1；
当n ＝2时，a 2＋1
a 2＝2S 2＝2(a 1＋a 2)，a 2>0，
解得a 2＝2－1； 同理可得a 3＝3－2； 归纳可得a n ＝n －n －1.
解法二：将a n ＋1
a n ＝2S n 变形为a 2n ＋1＝2S n a n ， 再将a n ＝S n －S n －1(n ≥2)代入并化简，
得S 2n －S 2n －1＝1，S 1＝a 1＝1，
∴{S 2n }是等差数列，公差为1，首项为1， ∴S 2n ＝1＋(n －1)· 1＝n ，∵a n >0，∴S n >0， 从而S n ＝n ，∴a n ＝n －n －1. 答案：n －n －1
5．若函数f (x )＝a |x －b |＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a 、b 的取值范围是________．
解析：由已知可画出下图，符合题设，故a >0且b ≤0.
答案：a >0且b ≤0
6．在坐标平面上，不等式组?????
y ≥x －1
y ≤－3|x |＋1
所表示的平面区域的
面积为________．
解析：原不等式可化为
????? y ≥x －1，y ≤－3x ＋1(x ≥0)，或?????
y ≥x －1，
y ≤3x ＋1(x <0).
所表示的平面区域如图．
A (－1，－2)，
B ? ????12，－12，∴所求平面区域面积S ＝3
2
. 答案：3
2
7．在(0,2π)内，0 解析：设y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ? ?? ??x ＋π4. ∴由图象可判断当0 x ∈? ????π2，3π4∪? ????7π4，2π. 答案：? ????π2，3π4∪? ????7π4 ，2π 8．如果不等式4x －x 2>(a －1)x 的解集为A ，且A ?{x | 0 解析：根据不等式解集的几何意义，作函数y ＝4x －x 2和函数y ＝(a －1)x 的图象(如图)，从图上容易得出实数a 的取值范围是a ∈[2，＋∞)． 答案：[2，＋∞) 9．已知实数x 、y 满足(x －3)2 ＋y 2 ＝3，则y x －1 的最大值是 ________． 解析：y x －1可看作是过点P (x ，y )与M (1,0)的直线的斜率，其中 点P 在圆(x －3)2＋y 2＝3上，如图，当直线处于图中切线位置时，斜 率y x －1 最大，最大值为tan θ＝3(θ为直线PM 的倾斜角)． 答案： 3 10．已知关于x 的不等式x >ax ＋3 2的解集是区间(4，m )，则a ＝________，m ＝________. 解析：画出y ＝x 和y ＝ax ＋3 2的图象，由题设知P (4,2)是它们的 一个交点，即x ＝ax ＋32的一个根是x ＝4，将x ＝4代入，得a ＝1 8， 依题意m 是方程x ＝18x ＋32的另一个根，即m ＝18m ＋3 2，解得m ＝ 36. 答案：1 8 36 11．在直角坐标平面上，A (－1,0)，B (3,0)，点C 在直线y ＝2x －2上，若∠ACB >90°，则点C 的纵坐标的取值范围是________． 解析： 如图，M 、N 在直线y ＝2x －2上，且∠AMB ＝∠ANB ＝90°，要使∠ACB >90°，点C 应位于M 、N 之间，故点C 的纵坐标应属于区间(y M ，y N )，∵M 、N 在以AB 为直径的圆(x －1)2＋y 2＝4上，由y ＝2x －2与(x －1)2＋y 2＝4联立解得y N ＝ 455，y M ＝－45 5 ，∴y C ∈? ?? ??－455，455. 答案：? ?? ?? －455， 455 12．不论k 为何实数，直线y ＝kx ＋1与曲线x 2＋y 2－2ax ＋a 2－2a －4＝0恒有交点，则实数a 的取值范围是________． 解析：题设条件等价于点(0,1)在圆内或圆上，∴－1≤a ≤3. 答案：－1≤a ≤3 13．函数y ＝4x －1＋23－x 的单调递减区间为________． 解析：易知x ∈???? ?? 14，3，y >0.∵y 与y 2有相同的单调区间，而y 2 ＝11＋4－4x 2＋13x －3 ＝11＋4 －4? ????x － 1382＋12116 ，∴可得结果为??????138，3. 答案：???? ?? 138，3 14．函数y ＝sin x cos x ＋sin x ＋cos x (x ∈R)的值域为________． 解析：由三角公式可转化为代数函数， 令t ＝sin x ＋cos x ，则－2≤t ≤2， sin x cos x ＝t 2－12 ， ∴y ＝sin x cos x ＋sin x ＋cos x ＝12t 2－1 2＋t ＝1 2 (t ＋1)2－1(－2≤t ≤2)． 当t ＝－1时，y min ＝－1， 当t ＝2时，y max ＝2＋1 2 ， 即值域为?????? －1，2＋12. 答案：???? ?? －1，2＋12 15．设a ，b ∈R ，a 2＋2b 2＝6，则a ＋b 的最小值是________． 解析：设a ＝6sin α，b ＝3cos α，则a ＋b ＝3sin(α＋φ)，其中φ＝arctan 2 2 ，∴a ＋b 的最小值为－3. 答案：－3 16．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R)的部分对应值如下表，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是________. ＋c 可转化为y ＝a (x ＋2)(x －3)． ∵f (0)＝－6a ＝－6<0，∴a ＝1>0， 则a (x ＋2)(x －3)>0的解集为{x |x >3或x <－2}． 答案：{x |x >3或x <－2} 17．已知函数f (x )＝x 21＋x 2 ，那么f (1)＋f (2)＋f ? ????12＋f (3)＋f ? ???? 13＋f (4)＋f ? ?? ?? 14＝________. 解析：本题特征是：f (x )＋f ? ????1x ＝1且f (1)＝12 ，故原式＝3＋f (1)＝3＋12＝7 2 . 答案：72 18．在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别为(0,1)、(4,2)、(2,6)，如果P (x ，y )是△ABC 围成的区域(含边界)上的点，那么当ω＝xy 取到最大值时，点P 的坐标是________． 解析：过P 作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为N 、M ，则ω表示矩形ONPM 的面积，要使ω最大．要求P 在线段BC 上，由题可知线段BC 的方程为y ＝－2x ＋10，x ∈[2,4]， ∴ω＝xy ＝x (－2x ＋10)，故当x ＝5 2 y ＝5时，ω最大． 答案：? ?? ??52，5 19．已知f (x )＝? ???? (3－a )x －4 (x <1)log a x (x ≥1)是(－∞，＋∞)上的增函数， 那么a 的取值范围是________． 解析：从结构特征上看，当x <1时，要使一次函数f (x )＝(3－a )x －4a 是(－∞，＋∞)上的增函数，则必有3－a >0，即a <3；当x ≥1时，要使对数函数f (x )＝log a x 为增函数，则有a >1，又∵f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，∴(3－a )×1－4a ≤0，即a ≥3 5