极化恒等式在向量问题中的应用专题
极化恒等式在向量问题中的应用专题
阅读以下材料：
.
两倍等于两条邻边平方和的平方和
平行四边形的对角线的你能用向量方法证明：何模型。
示向量加法和减法的几引例：平行四边形是表,,b AD a AB ==证明：不妨设
则A -=+=
(
)222A ?+=+== （1）
(
)222b a b a DB +?-=-== （2）
（1）（2
??
?+=???=+22 结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.
思考1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢？ ?＝()()
??????--+2241b a b a ————极化恒等式 对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。那么基于上面的引例，你觉得极化恒等式的几何意义是什么？
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的4
1. 即：[]2241DB AC -=?（平行四边形模式）
思考：在图1的三角形ABD 中（M 为BD 的中点），此恒等式如何表示呢？ 因为AM AC 2=，所以224
1DB AM -=?（三角形模式） 例 1.(2012年浙江文15)在ABC ?中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则
A B A C ?= ____ .
解：因为M 是BC 的中点，由极化恒等式得： 2241BC AM -=?=9-1004
1?= -16 【小结】在运用极化恒等式的三角形模式时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式。
M
图1 A B C
M
目标检测
.______1)132012(边上的动点，则是点，
的边长为已知正方形改编北京文AB E ABCD ?
.
________O O 2.2的取值范围是则上的一个动点，是圆，点的圆内接于半径为（自编）已知正三角形例PB PA P ABC ?解：取AB 的中点D ，连结CD ,因为三角形ABC 为
正三角形，所以O 为三角形ABC 的重心，O 在CD 上，
且22==OD OC ，所以3=CD ，32=AB
（也可用正弦定理求AB ）
又由极化恒等式得：
34
1222-=-=?PD AB PD 因为P 在圆O 上，所以当P 在点C 处时，3||max =PD
当P 在CO 的延长线与圆O 的交点处时，1||min =PD 所以]6,2[-∈?PB PA
【小结】涉及数量积的范围或最值时，可以利用极化恒等式将多变量转变为单变量，再用数形结合等方法求出单变量的范围、最值即可。
目标检测
8
.6.3.2.)
(13
4)112010(2
2D C B A P y x F O 则为椭圆上的任意一点，的中心和左焦点，点分别为椭圆和点若点福建文?=+
例3.（2013浙江理7）在ABC ?中,0P 是边AB 上一定点，满足014
P B AB =，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ?≥? 。则( )
A . 90ABC ∠=
B . 90BA
C ∠=
C . AB AC =
D . AC BC =
目标检测
2
2.
2.2.1.)
(,0)()(2,)92008(D C B A c b c a c b a 满足
，若向量个互相垂直的单位向量是平面内已知浙江理=-?-
课后检测
1.在ABC ?中，60BAC ∠=
若2AB =，BC =，D 在线段AC 上运动，DA DB ?的最小值
为
2.已知AB 是圆O 的直径,AB 长为2,C 是圆O 上异于,A B 的一点,P 是圆O 所在平面上任意一点,则()
PA PB PC +? 的最小值为（ ） A. 14- B. 13- C. 12
- D. 1- 3．在ABC ?中，3AB =，4AC =，60BAC ∠= ，若P 是ABC ?所在平面内一点，且
2AP =，则PB PC ? 的最大值为
4． 若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线2
221(0)x y a a
-=>的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上任意一点则OP FP ? 的取值范围是 .
5．在Rt ABC ?，2AC BC ==，已知点P 是ABC ?内一点，则(PB +?的最小 值是 .
6.已知B A 、是单位圆上的两点，O 为圆心，且MN AOB o ,120=∠是圆O 的一条直径，点C 在圆内，且满足)10()1(<<-+=λλλ，则?的取值范围是（ ）
A ．??????-1,21
B ．[)1,1-
C ．??
????-0,43 D ．[)0,1- 7. 正ABC ?边长等于3，点P 在其外接圆上运动，则?的取值范围是（ ） A. ??????-
23,23 B. ??????-21,23 C. ??????-23,21 D. ??
????-21,21 8．在锐角ABC ?中，已知3B π=，2AB AC -= ，则A B A C ? 的取值范围是 ．
极化恒等式优化向量题解法
课题：极化恒等式在向量问题中的应用 学 习 目 标 目标1：通过自主学习掌握极化恒等式两种模式，理解其几何意义； 目标2-1：通过对例1的自主学习掌握用极化恒等式求数量积的值； 目标2-2：通过对例2的自主学习掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围； 目标2-3：通过小组合作学习掌握极化恒等式解决与数量积有关的综合问题。 重点 掌握极化恒等式，利用它解决一类与数量积有关的向量问题 难点 根据具体的问题情境，灵活运用极化恒等式 目标达成途径 学习自我评价 阅读以下材料： . 两倍等于两条邻边平方和的平方和 平行四边形的对角线的你能用向量方法证明：何模型。 示向量加法和减法的几引例：平行四边形是表,,b AD a AB ==证明：不妨设 ，，则b a DB b a A -=+=C ()222222C C b b a a b a A A +?+=+== （1） ()222222b b a a b a DB DB +?-=-== （2） （1）（2）两式相加得：?? ? ??+=??? ??+=+22222222C AD AB b a DB A 结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍. 思考1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢？ b a ?＝()() ??????--+2241b a b a ————极化恒等式 对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。那么基于上面的引例，你觉得 极化恒等式的几何意义是什么？ 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对 角线”与“差对角线”平方差的4 1. 目标1：阅读材料，了解极化恒等式的由来过程，掌握极化恒等式 的两种模式，并理解其几何意义 M 图1
极化恒等式【原卷】
极化恒等式 例1：（2014年高考全国新课标II 卷文（理）科第4（3）题）设向量,a b 满足 a b a b +=-=，则a b ?等于 （ ） A.1 B. 2 C. 3 D. 5 例2：.设点P 是边长为2的△ABC 三边上的一动点，则()PA PB PC ?+u u u r u u u r u u u r 的取值范围是 例3：正方形1111ABCD A B C D -的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦（把球面上任意两点之间的 线段称为球的弦），P 为正方形表面上的动点，当弦MN 最长时，PM PN ?u u u u r u u u r 的最大值为
例4：△ABC 中，∠C=90?，AC=4，BC=3，D 是AB 的中点，E,F 分别是边BC ，AC 上的动点，且 EF=1，则DE DF ?u u u r u u u r 的最小值等 一、求数量积的值 1. （2016年高考江苏卷第13题）如图，在ABC ?中，D 是BC 的中点，,E F 是AD 的两个三等分 点，4,1BA CA BF CF ?=?=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则BE CE ?=u u u r u u u r . 2. （2012年高考浙江卷理科第15题）在ABC ?中，M 是BC 的中点，3,10,AM BC ==则 AB AC ?=u u u r u u u r . 3. （2011年高考上海卷理科第11题）在正ABC ?中，D 是BC 上的点，3,1,AB BD ==则 AB AD ?=u u u r u u u r 4. （2015年全国高中数学联赛四川赛区预赛第11题）在矩形ABCD 中，3,4,AB AD ==P 为矩形 ABCD 所在平面上一点，满足2,PA PC ==则PB PD ?=u u u r u u u r .
极化恒等式在向量问题中的应用
极化恒等式在向量问题中的应用 目标1:阅读材料，了解极化恒等式的由来过程，掌握极化恒等式的两种模式，并理解其几何意义 目标2-1 :掌握用极化恒等式求数量积的值 ujur umr 例1. （ 2012年浙江文15 ）在ABC 中，M 是BC 的中点，AM 3, BC 10，贝卩AB AC 【小结】运用极化恒等式的三角形模式， 关键在于取第三边的中点， 找到三角形的中线， 目标检测 （2012北京文13改编）已知正方形 ABCD 的边长为1, 点E 是AB 边上的动点，贝U DE DA 的值为 _____________ . 目标2-2：掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围 例2.（自编）已知正三角形 ABC 内接于半径为2的圆O ,点P 是圆O 上的一个动点， 则PA PB 的取值范围是 _____________ . 解：取AB 的中点D ，连结CD,因为三角形ABC 为正三角形，所以 O 为三角形ABC 解：因为M 是BC 的中点，由极化恒等式得: AB AC AM 1| BC 2 =9-丄 100 = -16 4 阅读以下材料： 引例：平行四边形是表 示向量加法和减法的几 何模型。 你能用向量方法证明: 平行四边形的对角线的平方和 证明：不妨设 AB a,AD b,贝U AC b,DB a b, 1- — * 2 -.2 J , -2 | 2 AC AC a b | a 2a lb 2 lb (1) DB 2 2 DB .2 a b H 2 2a b 2 ⑵ 2 a ?2 （1） 得： 结论：定理：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍 到什么结论呢？ 2 AB AD 思考1:如果将上面（1）（ 2）两式相减，能得 极化恒等式 几何意义:向量的数量积表示为以这组向量为邻边的平行四边形的 , ” 1 '和对角线”与“差对角线”平方差的1 ? 4 即：a b 汹2 冋| 2 （平行四边形 思考：在图 1的三角形ABD 中 （M 为BD 的中点），此恒等式如何表示呢 ？ 因为AC 2AM ，所以a b AM 丄DB （三角形模式） BMC 再写出极化恒等式。 等于两条邻边平方和的 （2）两式相 2
极化恒等式在向量问题中的应用
极化恒等式在向量问题中的应用
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极化恒等式在向量问题中的应用 学习目标 1. 掌握极化恒等式两种模式，理解其几何意义； 2. 掌握用极化恒等式求数量积的值、最值、范围； 3. 分析题目形式，理解使用极化恒等式的缘由. ? 典型考题 （2014年高考全国II 卷文（理）科第4（3）题）设向量a ，b 满足 10a b +=，6a b -=，则a b ?等 于 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 ? 背景展现 普通高中课程标准实验教科书《数学·必修4·A 版》（人民教育出版社，2007年2月第2版）第108页习题2.4中的A 组第3题： 已知2a =，5b =，a b ?=-3，求a b +，a b -.
D A B C E F 【课堂练习·高考再现】 一、求数量积的值 1.（2016年高考江苏卷第13题）如图1，在ABC ?中，D 是BC 的中点，,E F 是 AD 的两个三等分点，BA CA ?=4， BF CF ?=-1，则BE CE ?= . 2.（2012年高考浙江卷理科第15题）在ABC ?中，M 是BC 的中点，AM =3，BC =10，则AB AC ?= . 3.（2011年高考上海卷理科第11题）在正ABC ?中，D 是BC 上的点，AB =3，BD =1，则AB AD ?= . 4.（2015年全国高中数学联赛四川赛区预赛第11题）在矩形ABCD 中，AB =3，AD =4，P 为矩形ABCD 所在 平面上一点，满足PA =2，PC =21，则PB PD ?= . 二、界定数量积的取值范围 5.（2015年郑州市高三第一次质量检测理科第11题）在Rt ABC ?中，3CA CB ==,M N ，是斜边AB 上的两个 动点，且2MN =,则CM CN ?的取值范围为 （ ） A.52,2 ?????? B.[]2,4 C.[]3,6 D.[]4,6
极化恒等式在向量问题中的应用专题
极化恒等式在向量问题中的应用专题 阅读以下材料： . 两倍等于两条邻边平方和的平方和 平行四边形的对角线的你能用向量方法证明：何模型。 示向量加法和减法的几引例：平行四边形是表,,b AD a AB ==证明：不妨设 ，，则b a DB b a A -=+=C ()222222C C b b a a b a A A +?+=+== （1） ()222222b b a a b a DB DB +?-=-== （2） （1）（2）两式相加得：?? ? ??+=??? ??+=+22222222C AD AB b a DB A 结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍. 思考1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢？ b a ?＝()() ??????--+2241b a b a ————极化恒等式 对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。那么基于上面的引例，你觉得极化恒等式的几何意义是什么？ 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的4 1. 即：[] 2241DB AC b a -=?（平行四边形模式） 思考：在图1的三角形ABD 中（M 为BD 的中点），此恒等式如何表示呢？ 因为AM AC 2=，所以224 1DB AM b a -=?（三角形模式） 例 1.(2012年浙江文15)在ABC ?中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则 AB AC ?=u u u r u u u r ____ . 解：因为M 是BC 的中点，由极化恒等式得： 2241BC AM AC AB -=?=9-1004 1?= -16 【小结】在运用极化恒等式的三角形模式时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式。 M 图1 A B C M
向量的极化恒等式与等和线的应用学生版
极化恒等式 ()2 22 2 2 2C C b b a a b a A A +?+=+== （1） () 2 22 2 2 2b b a a b a DB DB +?-=-== （2） （1）（2）两式相加得：?? ? ??+=??? ??+=+22222 2 22C AD AB b a DB A 结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍. 思考1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢 b a ?＝()() ???? ??--+2241b a b a ————极化恒等式 对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。那么基于上面的引例，你觉得极化恒等式 的几何意义是什么 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的 4 1. 即：[] 2 24 1DB AC b a -= ?（平行四边形模式） 思考：在图1的三角形ABD 中（M 为BD 的中点），此恒等式如何表示呢 因为AM AC 2=，所以2 2 4 1DB AM b a - =?（三角形模式） 例1.(2012年浙江文15)在ABC ?中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则AB AC ?= ____ . 目标检测 目标检测 例3.（2013浙江理7）在ABC ?中,0P 是边AB 上一定点，满足014 P B AB =，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ?≥?。则( ) A . 90ABC ∠= B . 90BA C ∠= C . AB AC = D . AC BC = 例4. (2017全国2理科12)已知ABC ?是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ?+的最小是（ ） A.2- B.32- C. 4 3 - D.1- 课后检测 1.在ABC ?中，60BAC ∠=若2AB =，3BC = ，D 在线段AC 上运动，DA DB ?的 A B C M
向量极化恒等式
向量极化恒等式 极化恒等式：a ·b ＝????a ＋b 22－????a －b 22. 变式：a ·b ＝(a ＋b )24－(a －b )24，a ·b ＝|a ＋b |24－|a －b |24 . 如图，在△ABC 中，设M 为BC 的中点，则AB →·AC →＝AM →2－MB → 2. 例 (1)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点． BA →·CA →＝4， BF →·CF →＝－1，则BE →·CE → 的值为________． 答案 78 解析 设BD ＝DC ＝m ，AE ＝EF ＝FD ＝n ，则AD ＝3n . 根据向量的极化恒等式，有AB →·AC →＝AD →2－DB →2＝9n 2－m 2＝4， FB →·FC →＝FD →2－DB →2＝n 2－m 2＝－1. 联立解得n 2＝58，m 2＝138 . 因此EB →·EC →＝ED →2－DB →2＝4n 2－m 2＝78 . 即BE →·CE →＝78 . (2)如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P 为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时， PM →·PN → 的取值范围是________．
答案 [0,2] 解析 由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为2 3.当弦MN 的长度最大时，MN 为球的直径．设内切球的球心为O ，则PM →·PN →＝PO →2－ON →2＝PO →2－1.由于P 为正方体表面上的动点，故OP ∈[1，3]，所以PM →·PN → ∈[0,2]． 利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题． 1．已知在△ABC 中，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14 AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则( ) A ．∠ABC ＝90° B ．∠BA C ＝90° C ．AB ＝AC D ．AC ＝BC 答案 D 解析 如图所示，取AB 的中点E ，因为P 0B ＝14 AB ，所以P 0为EB 的中点，取BC 的中点D ，则DP 0为△CEB 的中位线，DP 0∥CE . 根据向量的极化恒等式， 有PB →·PC →＝PD →2－DB →2，P 0B →·P 0C →＝P 0D →2－DB →2. 又PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则| PD →|≥|P 0D →|恒成立， 必有DP 0⊥AB .因此CE ⊥AB ，又E 为AB 的中点，所以AC ＝BC . 2.如图所示，正方形ABCD 的边长为1，A ，D 分别在x 轴，y 轴的正半轴(含原点)上滑动，则OC →·OB → 的最大值是________． 答案 2 解析 如图，取BC 的中点M ，AD 的中点N ，连接MN ，ON ，
专题34 极化恒等式(原卷版)
专题34 极化恒等式 专题知识梳理 1.公式推导 ()( ) ()( ) 2 2222 2222142a b a ab b ab a b a b a b a a b b ? +=++????=+--??????-=-+? r r r r r r r r r r r r r r r r r r 在△ABC 中，D 是边BC 的中点，则22 AB AC AD DB =-u u u r u u u u r u u u r u u u r g . D C B A 如图，由 ()() 22222 2111222AB AC AB AC AB AC AD CB AD DB ?????? =+--=-=- ??????????? u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g 得证. 类比初中的“完全平方和”与“完全平方差公式”。 2.几何意义 向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的 14 。 考点探究 【例1】如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF → ＝－1则BE →·CE →的值是____．
【例2】如图，在同一平面内，点A 位于两平行直线m ，n 的同侧，且A 到m ，n 的距离分别为1，3，点B ，C 分别在m ，n 上，|AB →＋AC →|＝5，则AB →·AC → 的最大值是___．
题组训练 1.如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA ＝3，OC ＝5，若AB →·AD →＝－7，则BC →·DC → 的值是____． 2.在△ABC 中，M 是边BC 的中点AM ＝3，BC ＝10，AB →·AC →＝__ __． 3.在△ABC 中，点E ，F 分别是线段AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，若△ABC 的面积为2，则PB →·PC →＋BC → 2的最小值是____． 4.在△ABC 中，已知AB ＝1，AC ＝2，∠A ＝60°，若点P 满足AP →＝AB →＋λAC →，且BP →·CP → ＝1，则实数λ的值为__ _ 5.在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝60°，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP →的最小值是____． 6.已知AB 为圆O 的直径，M 为圆O 的弦CD 上一动点，8AB =， 6CD =，则MA MB ?u u u r u u u r 的取值范围是 ▲ ．
向量的极化恒等式与等和线的应用学生版
向量的极化恒等式与等和线的应用学生版 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】
极化恒等式 ()2 22 2 2 2C C b b a a b a A A +?+=+== （1） () 2 22 2 2 2b b a a b a DB DB +?-=-== （2） （1）（2）两式相加得：?? ? ??+=??? ??+=+22222 2 22C AD AB b a DB A 结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍. 思考1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢 b a ?＝()() ???? ?? --+2241b a b a ————极化恒等式 对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。那么基于上面的引例，你觉得极化恒等式的几何意义是什么 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的4 1. 即：[] 2 24 1DB AC b a -= ?（平行四边形模式） 思考：在图1的三角形ABD 中（M 为BD 的中点），此恒等式如何表示呢 因为AM AC 2=，所以2 2 4 1DB AM b a - =?（三角形模式） 例1.(2012年浙江文15)在ABC ?中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则 AB AC ?=____ . 目标检测 目标检测 例3.（2013浙江理7）在ABC ?中,0P 是边AB 上一定点，满足01 4 P B AB =，且对于边AB 上任一点P ，恒有00 PB PC P B PC ?≥?。则( ) A . 90ABC ∠= B . 90BAC ∠= C . AB AC = D . AC BC = A B C M
极化恒等式在向量问题中的应用
极化恒等式在向量问题中的应用 目标1：阅读材料，了解极化恒等式的由来过程，掌握极化恒等式的两种模式，并理解其几何意义 阅读以下材料： . 两倍等于两条邻边平方和的平方和平行四边形的对角线的你能用向量方法证明：何模型。 示向量加法和减法的几引例：平行四边形是表 ,,==证明：不妨设则A -=+= ( )222C b a b a A ?+=+== （1） ( ) 222+?-=-== （2） （1）（2 ?? ?=???=22 结论：定理：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍. 思考1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢？ ?＝()() ??????--+2241————极化恒等式 几何意义：向量的数量积表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的41. 即：[]2241DB AC -=?（平行四边形模式） 思考：在图1的三角形ABD 中（M 为BD 的中点），此恒等式如何表示呢？ 因为AM AC 2=，所以2241DB AM b a -=?（三角形模式） 目标2-1：掌握用极化恒等式求数量积的值 例1.(2012年浙江文15)在ABC ?中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则AB AC ?= ____ . 解：因为M 是BC 的中点，由极化恒等式得：2241BC AM -=?=9-1004 1?= -16 【小结】运用极化恒等式的三角形模式，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式。 目标检测 .______1)132012(的值为边上的动点，则是点， 的边长为已知正方形改编北京文DA DE AB E ABCD ? 目标2-2：掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围 . ________O O 2.2则上的一个动点，是圆，点的圆内接于半径为（自编）已知正三角形例P ABC ? 解：取AB 的中点D ，连结CD ,因为三角形ABC 为正三角形，所以O 为三角形ABC 的重心，O 在CD 上，且22==OD OC ，所以3=CD ，32=AB 又由极化恒等式得：34 1222-=- =?PD AB PD PB PA 因为P 在圆O 上，所以当P 在点C 处时，3||max =PD 当P 在CO 的延长线与圆O 的交点处时，1||min =PD 所以]6,2[-∈? 【小结】涉及数量积的范围或最值时，可以利用极化恒等式将多变量转变为单变量，再用数形结合等方法求出单变量的范围、最值即可。 M 图1 A B C M
专题二 第5讲 向量极化恒等式
第5讲 向量极化恒等式 极化恒等式：a ·b ＝? ????a ＋b 22－? ?? ??a －b 22 . 变式：a ·b ＝(a ＋b )24－(a －b )24，a ·b ＝|a ＋b |24－|a －b |2 4 . 如图，在△ABC 中，设M 为BC 的中点，则AB →·AC →＝AM →2－MB → 2. 例 (1)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点． BA →·CA → ＝4， BF →·CF →＝－1，则BE →·CE → 的值为________． 答案 7 8 解析 设BD ＝DC ＝m ，AE ＝EF ＝FD ＝n ，则AD ＝3n . 根据向量的极化恒等式，有AB →·AC →＝AD →2－DB →2＝9n 2－m 2＝4， FB →·FC →＝FD →2－DB → 2＝n 2－m 2＝－1. 联立解得n 2＝58，m 2＝138 . 因此EB →·EC →＝ED →2－DB →2 ＝4n 2－m 2＝78. 即BE →·CE →＝78 . (2)如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P 为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时， PM →·PN → 的取值范围是________．
答案 [0,2] 解析 由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为2 3.当弦MN 的长度最大时，MN 为球的直径．设内切球的球心为O ，则PM →·PN →＝PO →2－ON →2＝PO → 2－1.由于P 为正方体表面上的动点，故OP ∈[1，3]，所以PM →·PN → ∈[0,2]． 利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题． 1．已知在△ABC 中，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝1 4 AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒 有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则( ) A ．∠ABC ＝90° B ．∠BA C ＝90° C ．AB ＝AC D ．AC ＝BC 答案 D 解析 如图所示，取AB 的中点E ，因为P 0B ＝1 4AB ，所以P 0为EB 的中点，取BC 的中点D ， 则DP 0为△CEB 的中位线，DP 0∥CE . 根据向量的极化恒等式， 有PB →·PC →＝PD →2－DB →2，P 0B →·P 0C →＝P 0D →2－DB → 2. 又PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则| PD →|≥|P 0D →|恒成立， 必有DP 0⊥AB .因此CE ⊥AB ，又E 为AB 的中点，所以AC ＝BC . 2.如图所示，正方形ABCD 的边长为1，A ，D 分别在x 轴，y 轴的正半轴(含原点)上滑动，则OC →·OB → 的最大值是________．
巧用极化恒等式秒杀高考向量题
巧用极化恒等式秒杀高考向量题 冷世平整理 说明：由于前几天，大家经常提到极化恒等式，本人便收集整理了一些相关资料，相对较系统，且加入了群里大家讨论的部分题目，由于相当一部分内容非原创，所以只和大家分享一下自己整理的好东西而已，故不作投稿使用。 高中数学中存在着大量等量关系，如立方差(和)公式、二项展开式、两角和与差公式等.在高中数学中常能见到这些等量关系的身影，这也是高中教学重点关注的对象.但有些等量关系看似冷门，甚至课本上都不出现，但它在问题解决过程中却能起到立竿见影的效果，实现对问题的快速“秒杀”，极化恒等式就是可以“秒杀”高考向量题的一个有力工具。 1.极化恒等式 极化恒等式最初出现于高等数学中的泛函分析，它表示数量积可以由它诱导出的范数来表示，把这 个极化恒等式降维至二维平面即得：21()()4 a b a b a b 2 ???=+--?? ，有时也可将其写成。 22 4()(a b a b a b ?=+-- )注：21()()4a b a b a b ??=+--? 2??表明向量的内积运算可以由向量线性运算的模导出(也是向量内积的另一种定义)，是沟通向量内积运算和线性运算的重要公式.若是实数，则恒等式,a b 21()()4 a b a b a b ??=+--?2??也叫“广义平方差”公式； 极化恒等式的几何意义是:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角 线”与“差对角线”平方差的14，即2222 14a b AD BC AM BM ???= -=-? ? （如图） 在三角形中，也可以用三角形的中线来表示，22214 a b AM BM AM BC ?=-=-2 ，它揭示了三角 形的中线与边长的关系。 此恒等式的精妙之处在于建立起了向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现了向量与几何、代数的巧妙结合。 2．极化恒等式的应用 自向量引入高中数学以后，由于它独特的性质(代数与几何的桥梁)，在近几年全国各地的高考中迅速成为创新题命制的出发点，向量试题有着越来越综合，越来越灵活的趋势，在浙江省数学高考中尤为突出，也出现了一些非常精美的向量题。 例1在ABC ?中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则______AB AC ?= （年浙江省数学高考理科试题第15题） 2012【分析】该问题就是利用极化恒等式解决的极好范例，因为21925162 AB AC AM BC ?=-=-=- 。 下面我们再来看年浙江省数学高考选择题第题: 20137例2设是边0,ABC P ?AB 上一定点，满足01 4 P B AB =，且对于边AB 上任一点，恒有 P
极化恒等式(教师)
极化恒等式（教师版） . 两倍等于两条邻边平方和的平方和平行四边形的对角线的你能用向量方法证明：何模型。 示向量加法和减法的几引例：平行四边形是表 ,,==证明：不妨设 ，，则b a DB b a A -=+=C ( )222A +?+=+== （1） ( )222?-=-== （2） （1）（2 ?? ?=???=+22 结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍. 思考1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢？ b a ?＝()() ??????--+2241————极化恒等式 对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。那么基于上面的引例，你觉得极化恒等式的几何意义是什么？ 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的 41. 即：[]2241DB AC b a -= ?（平行四边形模式） 思考：在图1的三角形ABD 中（M 为BD 的中点），此恒等式如何表示呢？ 因为AM AC 2=，所以224 1DB AM -=?（三角形模式） M 图1
例 1.(2012年浙江文15)在ABC ?中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则 AB AC ?=____ . 解：因为M 是BC 的中点，由极化恒等式得： 22 41BC AM AC AB -=?=9-1004 1?= -16 【小结】在运用极化恒等式的三角形模式时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式。 目标检测 .______1)132012(的值为边上的动点，则是点， 的边长为已知正方形改编北京文DA DE AB E ABCD ? . ________O O 2.2的取值范围是则上的一个动点，是圆，点的圆内接于半径为（自编）已知正三角形例PB PA P ABC ? 解：取AB 的中点D ，连结CD ,因为三角形ABC 为 正三角形，所以O 为三角形ABC 的重心，O 在CD 上， 且22==OD OC ，所以3=CD ，32=AB （也可用正弦定理求AB ） 又由极化恒等式得：34 1222 -=-=?PD AB PD 因为P 在圆O 上，所以当P 在点C 处时，3||max =PD 当P 在CO 的延长线与圆O 的交点处时，1||min =PD 1.掌握用极化恒等式求数量积的值 A B C M 2：掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围
极化恒等式优化向量题解法
课题：极化恒等式在向量问题中的应用 学 习 目 标 目标1：通过自主学习掌握极化恒等式两种模式，理解其几何意义； 目标2-1：通过对例1的自主学习掌握用极化恒等式求数量积的值； 目标2-2：通过对例2的自主学习掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围； 目标2-3：通过小组合作学习掌握极化恒等式解决与数量积有关的综合问题。 重点 掌握极化恒等式，利用它解决一类与数量积有关的向量问题 难点 根据具体的问题情境，灵活运用极化恒等式 目标达成途径 学习自我评价 阅读以下材料： . 两倍等于两条邻边平方和的平方和平行四边形的对角线的你能用向量方法证明：何模型。示向量加法和减法的几引例：平行四边形是表,,b AD a AB ==证明：不妨设 ，，则b a DB b a A -=+=C () 2 22 2 2 2C C b b a a b a A A +?+=+== （1） () 2 22 2 2 2b b a a b a DB DB +?-=-== （2） （1）（2）两式相加得：?? ? ??+=??? ??+=+22222 2 22C AD AB b a DB A 结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍. 思考1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢？ b a ?＝ ()() ???? ?? --+2241b a b a ————极化恒等式 对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。那么基于上面的引例，你觉得 极化恒等式的几何意义是什么？ 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角 目标1：阅读材料，了解极化恒等式的由来过程，掌握极化恒等式 的两种模式，并理解其几何意义 M 图1
极化恒等式优化向量题解法
课题：极化恒等式在向量问题中的应用 目标1:通过自主学习掌握极化恒等式两种模式，理解其几何意义； 目标2-1：通过对例1的自主学习掌握用极化恒等式求数量积的值； 目标2-2：通过对例2的自主学习掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围; 目标2.3：通过小组合作学习掌握极化恒等式解决与数量积有关的综合问题。 重点 掌握极化恒等式，利用它解决一类与数量积有关的向量问题 难点 根据具体的问题情境，灵活运用极化恒等式 目标达成途径 目标1:阅读材料，了解极化恒等式的由来过程，掌握极化恒等式 的两种模式， 并理解其几何意义 阅读以下材料： 引例：平行四边形是密?向量加法和减法的川可模型。 你能用向量方法证明：平行四边形的对角线待F 方和 结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍. 思考1：如果将上面（1） （2）两式相减，能得到什么结论呢？ a 3 = !［（"+祥一"一片）］ --------------- 极化恒等式 对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。那么基于上面的引例，你觉得 极化恒等式的几何意义是什么？ 几何意义：向最的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对 角线”与“差对角线”平方差的!? 即：= jAqJ 庞「］ （平行四边形模式） 等于两条邻边平方和的厢倍. 证明：不妨设AZ 5=E, D_____________ C 卞上 贝 lj AC = a + R D B = a - R 1 -- 1 2 --- 2 -\2 -2 一- -2 AC = AC =(“ + /?/ = " +2a -b + b 图1 (1) 1—<|2 _2 - 2 -一 -2 \DB\ =DB =\ci-b] = a —2a ?b+b (2) （1）（2）两式相加 得: 学 习 目 标 学习自我评价
极化恒等式
极化恒等式 . 两倍等于两条邻边平方和的平方和平行四边形的对角线的你能用向量方法证明：何模型。 示向量加法和减法的几引例：平行四边形是表 ,,b AD a AB == 证明：不妨设 则A -=+= ()222A +?+=+== （1） ()222b a b a DB ?-=-== （2） （1）（2?? ?+=???=+22 结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍. 思考1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢？ ?＝()() ??????--+2241b a b a ————极化恒等式 对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。那么基于上面的引例，你觉得极化恒等式的几何意义是什么？ 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的41. 即：[]2241DB AC -=?（平行四边形模式） 思考：在图1的三角形ABD 中（M 为BD 的中点），此恒等式如何表示呢？ 因为AM AC 2=，所以224 1DB AM b a -=?（三角形模式） 例1.(2012年浙江文15)在ABC ?中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则AB AC ?=____ . 目标检测 .______1)132012(边上的动点，则是点， 的边长为已知正方形改编北京文AB E ABCD ? . ________O O 2.2的取值范围是则上的一个动点， 是圆，点的圆内接于半径为（自编）已知正三角形例PB PA P ABC ? A B C M
目标检测 8 .6.3.2.) (13 4)112010(2 2D C B A FP OP P y x F O 的最大值为则为椭圆上的任意一点，的中心和左焦点，点分别为椭圆和点若点福建文?=+ 例3.（2013浙江理7）在ABC ?中,0P 是边AB 上一定点，满足014 P B AB =，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ?≥?。则( ) A . 90ABC ∠= B . 90BA C ∠= C . AB AC = D . AC BC = 例4. (2017全国2理科12)已知是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则的最小是（ ） A. B. C. D. 课后检测 1.在ABC ?中，60BAC ∠=若2AB = ，BC ，D 在线段AC 上运动，?的最小值为 2.已知AB 是圆O 的直径,AB 长为2,C 是圆O 上异于,A B 的一点,P 是圆O 所在平面上任意一点,则()PA PB PC +?的最小值为____________ 3．在ABC ?中，3AB =，4AC =，60BAC ∠=，若P 是ABC ?所在平面内一点，且2AP =，则PB PC ?的最大值为 ABC ?()PA PB PC ?+2-32- 43-1-
向量极化恒等式研究
向量的不合常理性质的研究 向量以其既能体现“形”的直观的位置特征，又具有“数”的良好的运算性质，为广大师生所喜欢。但向量又不同于数量，也不同于线段，它是多方的综合体。 对于初学者来讲，向量的难度就在于它存在着多条与我们已经接受和应用了十几年的数量的运算及几何变换格格不入的法则，存在着一些不合学生以往逻辑的性质；对于使用向量时出现的各种错误也往往出现在这几条与我们固有的、想当然的不相一致的性质、定理上，不妨把这些性质、定理称为“不合常理的性质”。 不合常理1 向量不是有向线段，却用有向线段表示 根据向量的定义，向量是既有大小又有方向的量，它可以用有向线段来表示，但有向线段又不等同于向量，有向线段有起点、大小、方向三要素，而向量只有大小和方向，与起点无关。 一个向量可用多条有向线段表示，自由向量的可移动性决定了多条不同起点的有向线段表示的可能是同一个向量，从而有向线段与向量就如同“形”与“神”的关系，不管“形” 的位置如何变动，但“神”始终不变，使得利用向量在解题过程中可以有众多的选择机会。 在利用某个向量进行证明及运算时，可使用它的多个不同“外壳”，以达到解题目的，当然就更需要学生有较强的转化思想和化归能力。 向量与有向线段的区别还体现在平行（共线）的关系上，有向线段有平行和共线之分，这符合学生的平面几何中对直线的理解。
不合常理2 向量有大小，却不可比较大小 不合常理3 零向量方向任意，却可平行不可垂直 不合常理4 向量运算满足交换律，分配律却不满足结合律、消去律
不合常理5 向量有坐标，但坐标却与向量无关
如上文常见错误2就是对向量与坐标的关系认识不清，而所谓自由向量的可移 动性，这使得向量要过原点有点可遇而不可求，这就增添了已知条件作图的难度，当然我们可以不顾一切把向量的起点都放在原点。 不合常理6 不合常理7 书上写a、b、c，我却不可写a、b、c
极化恒等式源于冷世平老师PDF
极化恒等式（源于冷世平老师PDF ） 1极化恒等式：()() 2214a b a b a b ???=+--???? 极化恒等式的几何意义是：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14，即222214a b AD BC AM BM ???=-=-? ? 2极化恒等式的应用 例1ABC M BC AM=3BC=10AB AC=??在中，是的中点，，，则 解析：22 1925162AB AC AM BC ?=-=-=- 00001ABC P AB P B=AB AB P 4PB PC P B P C ??≥?例2：设，是边上一定点，满足，且对于边上任意一点，恒有，则 0.90A ABC ∠= 0.90B BAC ∠= .C AB AC = .D A C B C = 22022000000BC D PD P D PBC PB PC=PD BD P BC P B P C=P D ,PD P D P D AB AC=BC BD ?? - ??-≥⊥解析：取中点，连接，，在内使用极化恒等式得在内使用极化恒等式得由条件知， 即，故
3ABCD P AB APB PC PD f ?例：设正方形的边长为4,动点在以为直径的圆弧上，则 第三题图 第四题图 解析：[]24,225016.PC PD PE PE PC PD ???=-∈?∈?由图知，，，故， 2 min ABC 4ABC E F AB AC P EF S =2PC PB+BC =??例：在中，点，分别是线段，的中点，点在直线上， 若，则 222222221322,,,4443+BC 2PD BC .4BC PBC PC PB PD BC PC PB BC PD BC h PD BC BC PC PB BC ?=-?+=+=≥?+≥≥⊥解析：因此， 051AOB AOB=60C AB OC P OP BP ∠?例：如图，在半径为的扇形中，，为弧上的动点，与交于点，则的最小值为 解析：如上图所示，213311,PD ,4162OP BP PD OP BP ?????=-∈?∈-???????? 易知，，则
极化恒等式在向量问题中的应用
结论：定理：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍 思考1:如果将上面（1）（ 2）两式相减，能得到什么结论呢？ ? 1 — - 2 - - 2 b = a b a b 4 目标2-1：掌握用极化恒等式求数量积的值 【小结】运用极化恒等式的三角形模式， 关键在于取第三边的中点， 找到三角形的中线， 再写出极化恒等式。 目标检测 （2012北京文13改编）已知正方形ABCD 的边长为1, 点E 是AB 边上的动点，则 DE DA 的值为 ________. 目标2-2：掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围 例2.（自编）已知正三角形ABC 内接于半径为2的圆O ,点P 是圆O 上的一个动点， 则PA PB 的取值范围是 _________ . 解：取AB 的中点D ，连结CD,因为三角形ABC 为正三角形，所以 O 为三角形ABC 的重心，O 在CD 上，且OC 2OD 2，所以CD 3, AB 2.. 3 又由极化恒等式得： PA PB PD 2丄|AB |2 |PD 2 3 4 因为P 在圆O 上，所以当P 在点C 处时，|PD|max 3 当P 在CO 的延长线与圆O 的交点处时，I PD |min 1 极化恒等式在向量问题中的应用 目标1：阅读材料，了解极化恒等式的由来过程，掌握极化恒等式的两种模式，并理解其几何意义 阅读以下材料： 引例：平行四边形是表 你能用向量方法证明： 等于两条邻边平方和的 证明：不妨设 示向量加法和减法的几 何模型。 平行四边形的对角线的平方和 两倍? AB a,AD b,则 AC 2 1-—* 2 -.2 -J, -2 | AC AC a b | a DB 2 2 DB a .2 b H 2 2a 2a J 2 .2 —? AC DB 2 a （1） （2）两式相加 得: 2 b,DB lb 2 lb b 2 a b , (1) (2) 2 AB AD D 图1 极化恒等式 几何意义: 向量的数量积表示为以这组向量为邻边的平行四边形的 “和对角线” 1 与“差对角线”平方差的1 ? 4 即：a b 汹2 冋| 2 （平行四边形模 思考：在图 1的三角形ABD 中 （M 为BD 的中点），此恒等式如何表示呢? 因为AC 2AM ，所以a b AM 丄DB （三角形模式） 4 例1. （2012年浙江文15）在 ABC 中，M 是BC 的中点，AM 3, BC 1|| 4 解：因为M 是BC 的中点，由极化恒等式得： AB AC AM 10， ujur umr 则 AB AC BC 2 =9-丄 100 = -16