浅谈幂级数展开式的应用

摘要 (1)

关键词 (1)

Abstract (1)

Keywords﹒ (1)

引言 (2)

一．基本知识 (2)

1.1．幂级数的性质 (2)

1.2. 幂级数的收敛区间 (2)

二．幂级数的和函数 (3)

三．幂级数的展开 (4)

四．幂级数的展开及其应用 (6)

4.1. 幂级数在近似计算的应用 (6)

4.2. 幂级数在计算积分得应用 (6)

4.3. 幂级数在求极限中的应用 (7)

4.4. 幂级数在数项级数求和中的应用 (7)

4.5. 幂级数用于推导欧拉公式 (8)

4.6. 幂级数在求导中的应用 (9)

4.7. 幂级数在不等式的中的应用 (9)

4.8. 幂级数在组合中的应用 (10)

参考文献 (11)

致谢 (11)

幂级数展开式的应用

摘要

在数学中，幂级数是一类形式简单而应用广泛的函数级数。幂级数在微积分中也是个重要的题材，许多重要的函数可表成幂级数，而幂级数全体也代表了相当广泛的函数类别。在本文中简介了幂级数的简单知识，注重探讨了幂级数展开式各方面的应用。

关键词

幂级数；展开式；应用

Power series expansion of the type of application

Abstract

In mathematics, a power series is in a class of simple and widely used function series. Power series is also an important theme in the calculus, many important functions can be expressed as a power series, power series of all on behalf of a wide range of function categories. In this article introduces the simple knowledge of the power series, focus on exploring the application of all aspects of the power series expansion

Keyword

Power series; expansion; applicati

引言：

幂级数的展开式应用广泛，但是由于不同研究者用的方法不同以及研究结果没有集中起来，现在用我粗浅的知识略把幂级数展开式的应用搜集了一下，以便大家更方便的应用﹑更好的学习。

由

幂

级数列

(){}

n

a x x -所产生

的函数项

级数

(){}()()()()2

00102000

n

n

n

n n n a x x a x x a a x x a x x a x x ∞

=--=+-+-+-+∑

，称为幂级数，它是一类最简单的函数项级数。从某种意义上说，可以看作是多项式的延伸。幂级数在理论和实际上有很多的应用，尤其是在表示函数方面。特别地当00x =，即

20120

n n n n n a x a a x a x a x ∞

==++++∑

是一种重要的情况。 一．

基本知识

1.幂级数的性质 （1）. 幂级数20120n

n n n n a x

a a x a x a x ∞

==+++++∑ ()*的和函数是(),-??内的

连续函数。 （2）. 幂级数

20120n

n n n n a x

a a x a x a x ∞

==+++++∑ 在收敛区间左

（右）端点上收敛，则其和函数也在这一端上左（右）连续。 (3). 设幂级数

20120

n

n n n n a x

a a x a x a x ∞

==+++++∑ 在收敛区间(),-??上的和函

数为()f x ，若x 为(),-??内任意一点，则 ⅰ）、()f x 在x 可导，且()1

1

n n

n f x na x

∞

-='=

∑

ⅱ）、()f x 在0与x 这个区间上可积，且()1

1

x

n n n a f t dtt x n ∞

+==+∑

?

2.收敛区间

设幂级数

n

n n a x

∞

=∑在(),-??的和函数()s x ，则

（1）. ()s x 在(),-??内连续，若幂级数在x =?()x =-?也收敛，则()s x 在x =?处左连续（或在x =-?处右连续）。

（2）.()s x 在(),-??内每一点都是可导的，且有可导公式：

()'100

1n

n n n n n n n n n s x a x a x na x ∞

∞

∞-===????=== ? ?????∑∑∑

与原幂级数有相同的收敛半径。

（3）. ()s x 在(),-??内可以积分，且有逐项积分公式：

()10

00

0001n

x

x n n

n n n n n n n a s t dt a t dt a t dt x n ∞∞∞+===??=== ?+??

∑∑∑?

??，其中x 是(),-??内任一点，积

分后的幂级数与原级数有相同的收敛半径。

二．幂级数的和函数

幂级数的和函数在幂级数的计算中有着重要的作用，在计算过程中也有一定的难度，不

过计算过程也要注意计算方法的使用。

例1：求幂级数 ()21

121n n

n x n +∞

=-+∑的和函数

解： 易知级数的收敛域为[]1,1-

令()21

()121n n

n x s x n +∞

==-+∑

有幂级数的逐项可导性得()222

1

()1()(1)1n

n

n n n s x x

x x x ∞

∞

=='=-=-=

<+∑∑ 对上式两端积分得：

2

0()(0)arctan 1x

dt

s x s tx t ==+?

(1,1)x ∈-

例2： 求级数

()

()2

0112n

n

n n

n ∞

=-+-∑的和

解：因为

()

()2

112

n

n

n n

n ∞

=-+-∑

=()2

011122n

n

n n n n ∞

∞

==????

--+- ? ?????∑∑

=()22

2

1112222n n

n n n -∞

=??

??

??

---+- ?

? ???

????

∑∑

其中011212312

n

n ∞

=??

-== ??

?+∑

下面求()2

2

122n n n n -∞

=??

-- ?

??∑

设()()2

2

1n n s x n n x

∞

-==

-∑．显然收敛域为()1,1-

逐项积分得：

()()2

20

2

2

1x

x n n n n s x dt n n t

dt nx ∞

∞

--===-=∑∑?

?

在次积分得：

()2

10

0022

1x

x x n n n n x s x dt nt dt x x ∞∞-==??===????-∑∑?

?? 1x <

故()()

23

2

11n

x s x x x ??== ?--?? 1x < ()2

3

2

112122112n n n n s -∞

=??

??

--=-= ? ???????

- ???

∑ = 1627 1x < 故原式=14﹒1627+23=22

27

有很多这样的例题，上面的题中主要的方法是逐项求导与逐项求积。逐项可导与逐项可积是幂级数和函数在其收敛区间上的两个主要分析性质。在很多方面都有重要的应用。在具体应用时，应根据具体的问题具体分析，再决定用逐项求导或者逐项可积。

三. 幂级数的展开

函数的幂级数展开式有两种形式，一种形如

()

n

n

n a x x ∞

=-∑称为一般（或叫做函数

在0x 的幂级数），另一种形如

n

n n a x

∞

=∑称为标准式，即函数在0处得幂级数。若函数()

f x 在U ()0,x r 内可以展成()0x x -的幂级数，那么这个幂级数一定是泰勒级数。当00x =时

n

n n a x

∞

=∑又称为麦克劳林级数。具体展开式如下：

()f x 在0x x =处的泰勒展开（幂级数的展开式）

：

()()()()()()()()()200000002!!

n n

n f x f x f x f x f x x x x x x x x n '''=+-+-++-+?

()()()()()11

01!

n n n f x x x n ξ++?=-+ （ξ在x 与0x 之间）

()()()()()()()()200000002!!

n n

f x f x f x f x f x x x x x x x n '''=+-+-++-+ 令

00x =即为麦克劳林级数。

幂级数的展开式中，()()

1f x x α

=+()0α≠是一种应用广泛的展开。

⑴．求出()01f =，()0f α'=，()()201f αα=-()()()011n f n ααα=--+ ⑵．形式上作用幂级数

()()()()()()20

00000!2!!

n

n n n

n f f f x f f x x x n n ∞

='''=+++++∑

=()

()()

211112!

!

n n x x x n αααααα---+++

++

+

当n α=时，即为牛顿二项式定理。下面讨论z α+

?的情形。求出收敛半径 1

1

lim

lim

1n n n n a n a n

α→∞

→∞

++?===-

⑶．分析在收敛区间()1,1-内，柯西余项

()()()

1!

n n x n ααα--?=

，01θ≤≤的极限。 因级数

()()

10

1!n n n x n ααα∞

+=--∑

当x 〈1时收敛（由比试判别法可得），故

()()

10

10!

n n n x n ααα∞

+=--=∑

由于x 〉-1时，有11x θθ+≥-，且1011x θθ-≤≤+，111n

x θθ-??

≤??+??

。又由于x 〈1

时，0<1x θ+<1x + 故0<()

1

1x αθ-+<()

1

1x

α-+<1

2

α-，故()

1

1x αθ-+有界

综上所述，当x <1，()lim 0n n x →∞

?=。所以

()f x =()1x α

+=()

()()

211112!

!

n n x x x n αααααα---+++

++

+ x 〈1 (*)

级数(*)称为二项式函数的幂级数展开式，又称为二项式级数。

⑷．检查1x =±时，级数(*)是否收敛，()()1f x α

α=-是否单侧连续，从而确定收敛域。有超越几何级数的敛散性可知，二项式级数在1x =±处的敛散性与α的取值有关，当1x =时，α>0绝对收敛，-1<α<0条件收敛， α≤-1时发散。

以-x 代替x 可得，当1x =-时α>0绝对收敛，α<0发散.

综上可得:

α≤-1时,收敛域为()1,1-；

当-1<α<0时，](

1,1-； 当α>0时，收敛域为[]1,1-。

四．幂级数的展开及其应用

1.幂级数在近似计算的应用

我们通过π的近似计算来研究，利用幂级数进行近似计算的方法。π可以用arcsin θ的幂级数展开式取x

arcsin θ=257

113135232452467

x x x x ???+?+?+?+??? []1,1x ∈-，取1x =得 11131135112232452467

π

???=+?+?+?+??? 上式两边同乘以2得：

1113113512()232452467

x ???=+?+?+?+???

它的部分和()()13521111311351

122()232452467246221

n s n n ??-???=+?+

?+?++??????+

易计算?<

135611

2466263

????? <0.001.就是说用s 表示π的近似值，其误差小于0.001.

经计算π≈3.14159利用此方法还可以计算其它数的近似值。 2.幂级数在计算积分得应用

当()f x 的原函数不能用初等函数的有限形式表示出来，计算()f x 的定积分就遇到了困难。现在，我们可以利用幂级数展开式取有限项的办法近似计算这些定积分的值。具体计算时，要求被积函数能够展成收敛的幂级数。且积分区间必须在幂级数的收敛域之内，然后利用幂级数的逐项积分性质来计算所求定积分的值。 例： 证明

()224

1cos 122!44!22!

n

n x

x t x x dt t n n -?=-+-+

????