河北省唐山一中2017届高考仿真试题一(数学理)(含答案)word版
2017届高考模拟试题(理科试卷1)
一、本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目
要求的一项。
(1)若a ,b ∈R ,i 是虚数单位,且(2)i 1i b a +-=+,则a b +的值为
(A )1 (B )2 (C )3 (D )4
(2)若集合},0{2m A =,}2,1{=B ,则“1=m ”是“}2,1,0{=B A ”的 (A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件 (C )充分必要条件 (D )既不充分也不必要条件
(3)若实数x ,y 满足不等式组1,2,0,y x y x y +≤??
-≤??≥?
则y x z 2-=的最小值为
(A )2
7-
(B ) 2- (C )1 (D
(4)右图给出的是计算
100
1
(8161412)
1++++
+的值的一个程序框图, 其中判断框内应填入的条件是 (A ) 50>i (B ) 25>i
(C )50
(5)己知某几何体的三视图如右图所示, 则其体积为 (A)8
(B) 4
(C)
4
3
(D)∴库GkStK]
源:学*科*
主视图
左视图
俯视图
(6)某小区有排成一排的7个车位,现有3辆不同型号的车需要停放,如果要求剩余的4个
车位连在一起, 那么不同的停放方法的种数为
(A )16
(B )18
(C )24
(D )32
(7)在ABC ?中,已知4
A π
∠=
,3
B π
∠=
,1AB =,则BC 为
(A 1 (B 1
(C
(D (8)已知x ,y ,z ∈R ,若1-,x ,y ,z ,3-成等比数列,则xyz 的值为 C
(A )3-
(B )3±
(C )-(D )±
(9)在直角梯形ABCD 中,已知BC ∥AD ,AB AD ⊥,4AB =,2BC =,4AD =,
若P 为CD 的中点,则PA PB ?
的值为
(A )5- (B )4- (C )4 (D )5
(10)已知点P 在抛物线2
4y x =上,则点P 到直线1:4360l x y -+=的距离和到直线
2:1l x =- 的距离之和的最小值为
(A )
3716
(B )
115
(C )2
(D )3
(11)正四棱柱1111ABCD A BC D -的底面边长为12AA =,点M 是BC 的中点,P 是平面11A BCD 内的一个动点,且满足2PM ≤,P 到11A D 和AD 的距离相等,则点P 的轨迹的长度为
(A)π
(B)
2
3
π
(C)
(D)2
(12)已知函数21,0,
()(1),0.
x x f x f x x -?-≤=?->?若方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数
根,则实数a 的取值范围是
(A )(),1-∞ (B )(],1-∞ (C )()0,1 (D )[)0,+∞
8 4 4 6 4 7
m 9 3
5 4 5 5 10 7 9
乙
甲
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。
(13)曲线3y x =与直线1x =及x 轴所围成的图形的面积为 .
(14)在如图所示的茎叶图中,乙组数据的中位数 是 ;若从甲、乙两组数据中分别去掉一个最大 数和一个最小数后,两组数据的平均数中较大的 一组是 组.
(15)抛物线2y x =的准线方程为 ;此抛物线的焦点是F ,则经过F 和点 (1,1)M ,且与准线相切的圆共有 个.
(16)如图,在边长为3的正方形ABCD 中,点M AD 正方形ABCD 以AD 为轴逆时针旋转θ角(0≤θ到11AB C D 的位置 ,同时点M 沿着AD 从点A 运
动点D ,11MN DC =
,点Q 在1MN 上,点Q 始终满足QM
1
cos =
θ
,记点Q 在 面ABCD 上的射影为0Q ,则在运动过程中向量0BQ 与BM
夹角α的正切值tan α的最大值
为 .
三、解答题:本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (17) 已知函数2
2
()(sin2cos2)2sin 2f x x x x =+-. (Ⅰ)求()f x 的最小正周期;
(Ⅱ)若函数()y g x =的图象是由()y f x =的图象向右平移
8
π
个单位长度,再向上平移1个单位长度得到的,当x ∈[0,4
π
]时,求()y g x =的最大值和最小值.
(18)某工厂生产甲、乙两种产品,甲产品的一等品率为80%,二等品率为20%;乙产品的一等品率为90%,二等品率为10%.生产1件甲产品,若是一等品,则获利4万元,若是二等品,则亏损1万元;生产1件乙产品,若是一等品,则获利6万元,若是二等品,则亏损2万元.两种产品生产的质量相互独立.
(Ⅰ)设生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润为X (单位:万元),求X 的分布列; (Ⅱ)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率.
(19)如图1,在边长为3的正三角形ABC 中,E ,F ,P 分别为AB ,AC ,BC 上的点,且满足1AE FC CP ===.将△AEF 沿EF 折起到△1A EF 的位置,使二面角1A EF B --成直二面角,连结1A B ,1A P .(如图2) (Ⅰ)求证:E A 1⊥平面BEP ;
(Ⅱ)求直线E A 1与平面BP A 1所成角的大小.
(20)已知函数2
21()2e 3e ln 2
f x x x x b =
+--在0(,0)x 处的切线斜率为零. (Ⅰ)求0x 和b 的值;
(Ⅱ)求证:在定义域内()0f x ≥恒成立; (Ⅲ) 若函数()()a
F x f x x
'=+有最小值m ,且2e m >,求实数a 的取值范围.
D
(21)已知椭圆C :()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右顶点分别为1A ,2A ,
B 为短轴的端点,△12
A BA 的面积为1
2
. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)若点P 是椭圆C 上异于1A ,2A 的任意一点,
直线1A P ,2A P 与直线4x =分别交于M ,N 两点,证明:以MN 为直径的圆与直线2PF 相切于点2F (2F 为椭圆C 的右焦点).
请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.选修4-1:几何证明选讲
在ABC ?中,AB=AC ,过点A 交于点P ,交BC 延长线于点D 。 (1)求证:
BD
PD
AC PC =; (2)若AC=3,求AD AP ?的值。 23.选修4—4;坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中,已知曲线221:1C x y +=,以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线
:(2sin )6l cos ρθθ-
=.
(1)将曲线1C 2倍后得到曲线2C 试写出直线l 的直角坐标方程和曲线2C 的参数方程;
(2)在曲线2C 上求一点P ,使点P 到直线l 的距离最大,并求出此最大值. 24.选修4—5;不等式选讲 已知a 和b 是任意非零实数. (1)求|
||2||2|a b a b a -++的最小值。
(2)若不等式|)2||2(||||2||2|x x a b a b a -++≥-++恒成立,求实数x 的取值范围
2017届高考模拟试题(理科试卷1)答案
一、选择题 DAABB CAADC DA 二、填空题(13)
14(14)84 乙(15)
14x =- 2 (16)12
三、解答题(17)(共12分)
解:(Ⅰ)22()(sin 2
cos2)2sin 2f x x x x =+-)4
x π
=+ ,
所以函数()f x 的最小正周期为
2
π
. (Ⅱ)依题意,()y g x ==[4()
8x π-4
π+]1+)14x π
=-+
因为04x π≤≤,所以34444x πππ
-≤-≤.
当442x ππ-=
,即316x π
=时,()g x 1;
当444
x ππ
-=-,即0x =时, ()g x 取最小值0.
(18)解:(Ⅰ)由题设知,X 的可能取值为10,5,2,3-. 由此得X 的分布列为:
(Ⅱ)设生产的4件甲产品中一等品有n 件,则二等品有4n -件.由题设知4(4)10n n --≥,
解得145
n ≥
,又n *
∈N 且4n ≤,得3n =,或4n =.……10分 所求概率为3
3440.80.20.80.8192P C =??+=.(或写成
512625
答:生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概0.8192. …………13分
(19)(Ⅰ)证明:取BE 中点D ,连结DF .
因为1AE CF ==,1DE =,
所以2AF AD ==,而60A ∠=
,即△ADF 是正三角形.
又
因为1AE ED ==, 所以EF AD ⊥.所以在图2中有1A E EF ⊥,BE EF ⊥. 所以1A EB ∠为二面角1A EF B --的平面角. 图1 又二面角1A EF B --为直二面角, 所以1A E BE ⊥.
又因为BE EF E = , 所以1A E ⊥平面BEF ,即1A E ⊥平面BEP .
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知1A E ⊥平面BEP ,BE EF ⊥,如图,以E 为原点,建立空间直角
坐标系E xyz -,
则(0,0,0)E ,1(0,0,1)A ,(2,0,0)B ,F 在图1中,连结DP .
因为
1
2CF CP FA PB ==, 所以PF ∥BE ,且1
2
PF BE DE =
=.所以EFPD 为平行四边形.
所以EF ∥DP ,且EF DP =. 故点P 的坐标为(10).图2
所以1(2,0,1)A B =- , (1BP =-
,1(0,0,1)EA = .
不妨设平面1A BP 的法向量(,,)
x y z =n ,则10,
0.
A
B BP ??=???=??
n
n
即20,
0.
x z x -=???=??令y =(3,6)=n . 所以111cos ,||||EA EA EA ?<>===
n n n 故直线1A E 与平面1A BP 所成角的大小为
3
π. (20)(Ⅰ)解:2
3e ()2e f x x x
'=+-.
由题意有0()0f x '=即2
00
3e 2e 0x x +-=,解得0e x =或03e x =-(舍去)
. 得(e)0f =即
2221e 2e 3e ln e 02b +--=,解得21
e 2
b =-. (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知222
1e ()2e 3e ln (0)22
f x x x x x =+-+>,
()f x '23e (e)(3e)
2e (0)x x x x x x
-+=+-=>.在区间(0,e)上,有()0f x '<;在区间(e,)+∞上,有()0f x '>. 故()f x 在(0,e)单调递减,在(e,)+∞单调递增, 于是函数()f x 在(0,)+∞上的最小值是(e)0f =. 故当0x >时,有()0f x ≥恒成立.
(Ⅲ)解: 2
3e ()()2e a a F x f x x x x
-'=+=++(0)x >.
当2
3e a >时,
则2
3e ()2e 2e a F x x x
-=++≥,
当且仅当x 时等号成立,故()F x
的最小值2e m =2e >,符合题意;
当23e a =时,函数()2e F x x =+在区间(0,)+∞上是增函数,不存在最小值,不合题意;
当2
3e a <时,函数2
3e ()2e a F x x x
-=++在区间(0,)+∞上是增函数,不存在最小值,不合题意.综上,实数a 的取值范围2(3e ,)+∞. (21)
(Ⅰ)解:由已知1.2
ab c a ?=?
?=?
?
解得2a =
,b = …………4分故所求椭圆方程为22
143
x y +=. (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知()12,0A -,()22,0A ,
设椭圆右焦点()21,0F .设()()000
,2P x y x
≠±,
则22
003412x y +=. 于是直线1A P 方程为 ()0022y y x x =
++,令4x =,得0062
M y
y x =+; 所以(M 4,
0062y x +),同理(N 4,0
022
y x -). 所以2F M = (3,
0062y x +),2F N = (3,0
022
y x -). 所以 22F M F N ?= (3,0062y x +)?(3,0022y x -)00
0062922
y y x x =+?+- ()2200
22
003123129944x y x x -=+=+--()20209499904
x x -=-=-=-. 所以 22F M F N ⊥,点2F 在以MN 为直径的圆上. 设MN 的中点为E ,则(4,
E 002
04(1)
4
y x x --).
又2F E = (3,002
04(1)4
y x x --),()2001,,F P x y =- 所以22F E F P ?= (3,00204(1)4y x x --)()()()2000002
0411,314
y x x y x x -?-=-+-
()
()()
()()20
0020123131313104
x x x x x x --=-+
=---=-.
所以 22F E F P ⊥.…………12分因为2F E 是以MN 为直径的圆的半径,E 为圆心,
22F E F P ⊥,故以MN 为直径的圆与直线2PF 相切于右焦点.
22.解:(1)D D ABC CPD ∠=∠∠=∠, , DPC ?∴~DBA ?,BD
PD
AB PC =∴
又BD
PD
AC PC AC AB =∴
=,
(2),,CAP CAP APC ACD ∠=∠∠=∠ APC ?∴~ACD ?AD
AC
AC AP =∴,
92=?=∴AD AP AC
23.解(Ⅰ) 由题意知,直线l 的直角坐标方程为:2x-y-6=0, ∵曲线2C
的直角坐标方程为:22()12y
+=,
∴曲线2C
的参数方程为:()2sin x y θ
θθ
?=??
=??为参数 (Ⅱ) 设点P
的坐标,2sin )θθ,则点P 到直线l 的距离为:
d ==
, ∴当sin(600
-θ)=-1时,点P(-)1,23,此时max d =
=24.解:(I )||4|22||2||2|a b a b a b a b a =-++≥-++ 对于任意非零实数a 和b 恒成立,
当且仅当0)2)(2(≥-+b a b a 时取等号,
|
||2||2|a b a b a -++∴
的最小值等于4。
(II ) |
||
2||2||2||2|a b a b a x x -++≤-++ 恒成立,
故|2||2|x x -++不大于|||2||2|a b a b a -++的最小值
由(I )可知|
||2||2|a b a b a -++的最小值等于4。
实数x 的取值范围即为不等式4|2||2|≤-++x x 的解。 解不等式得.22≤≤-x