圆中阴影部分面积的计算

圆中阴影部分面积的计算

圆中阴影部分不是一个规则图形，不能用公式直接求解。所以考虑将它分割为可求图形的面积求解，下面谈谈求解阴影部分面积的方法。

例1 如图1，A 是半径为2的⊙O 外一点，OA ＝4，AB 是⊙O 的切线，点B 是切点，

弦BC ∥OA ，连结AC ，求图中阴影部分的面积。

分析：图中阴影部分可看作弓形BC 面积与三角形ABC 面积的

和，而△ABC 不是Rt △，所以考虑借助OA ∥BC 将△ABC 移形，

连接OC 、OB ，则S △OCB ＝S △ACB 。

则阴影部分面积为扇形AOB 面积。

解 连接OB 、OC ，如图2因为BC ∥OA

所以△ABC 与△OBC 在BC 上的高相等

所以OBC ABC S S ??= ， 所以扇形阴S S =

又∵AB 是⊙O 的切线

所以OB ⊥AB ，而OB ＝2，OA ＝4

所以∠AOB ＝60°，

由BC ∥OA 得∠OBC ＝60°

所以△OBC 为等边三角形，∠BOC ＝60°

S BOC 扇形×=2=60360232ππ

例2 如图3，扇形AOB 的圆心角为直角，若OA ＝4，以AB 为直径作半圆，求阴影部分的面积。

分析 图3中阴影部分面积为：

以AB 为直径的半圆面积减去弓形AmB 面积；

而弓形面积等于扇形AOB 面积减去△AOB 面积。

解 ∵OA ＝4cm ，∠O ＝90°，OB ＝4cm

∴ππ4360

490S 2AOB =?=扇形（cm 2） 又)cm (24AB =

所以)cm (4222S 22ππ=?=）（半圆

而22AOB cm )84(S ),cm (8S -==?π弓形所以

故28cm 8)4(4S S S =--=-=ππ弓形半圆阴

例3 如图4，⊙A 、⊙B 、⊙C 、⊙D 、⊙E 相外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE ，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是多少？

分析 五个扇形的圆心角分别为

n n n n n 12345°，°，°，°，°

而n n n n n 12345540++++=°

解 设这个五个扇形的圆心角的度数分别为

54321n ,n ,n ,n ,n 。

∵五边形ABCDE 内和角等于540° 则n n n n n 12345540++++=

五个扇形面积之和等于

S S S S S 扇形扇形扇形扇形扇形12345++++

=++++n r n r n r n r n r 1222324252

360360360360360πππππ =

++++πr n n n n n 212345360

()

=32π 例4 如图5，在两个半圆中，大圆的弦MN 与小圆相切于点D ，MN ∥AB ，MN ＝8cm ，ON 、CD 分别是两圆的半径，求阴影部分的面积。

分析 S S S O C 阴半圆⊙半圆⊙=-

所以关键是求⊙O 半径OB 或OM 或ON

⊙C 半径AC 或CO 或CD

而MN 为⊙C 切线，CD ⊥MN 且CD 为⊙C 半径

解 如图6过O 作OE ⊥MN 于E ，则OE 平分MN

ME EN MN cm ===1

24

∵MN ∥AB 可得四边形EOCD 为矩形

所以OE ＝CD ，连接ON

在Rt △EON 中

ON OE EN 22216-==

ON ＝4

S ON OE 阴×=(-==121216822πππ)

求组合图形的面积一般要构造出易解决问题的基本图形，然后求出各图形的面积，最后通过面积的加、减得出结论.