兰炼总校2013届高三建标考试数学(理科)答案
兰炼总校2013届高三建标考试数学（理科）试题答案
一、选择题
CCBAA DCADC AC
二、填空题
13. 1587.0 14. 5π- 15.
27 16. 13-n n 三、解答题
17．（Ⅰ）由正弦定理得2sin ,a R A =2sin ,b R B =2sin ,c R C = 所以cos A-2cosC 2c-a =cos B b =2sin sin sin C A B -, 即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A B C C B A B -=-,
即有sin()2sin()A B B C +=+,
即sin 2sin C A =, 所以sin sin C A
=2. （Ⅱ）由（Ⅰ）知: sin sin c C a A =
=2,即c=2a,又因为2b =,所以由余弦定理得： 2222cos b c a ac B =+-， 即222124224a a a a =+-??
, 解得1a =,所以c=2,
又因为cosB=14
，所以
故ABC ?的面积为11sin 1222
ac B =??
?4
=4 18. 解：（Ⅰ）记“取出的3张卡片上的数字互不相同”为事件A ，
则()31115222310C C C C 2==C 3P A ,即取出的3张卡片上的数字互不相同的概率为23
． （Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值为2，3， 4，5， 相应的概率为：34310C 1(2)C 30
P X ===， 12212424331010C C C C 2(3)C C 15
P X ==+=， 12212626331010C C C C 3(4)C C 10
P X ==+=， 12212828331010C C C C 8(5)C C 15
P X ==+=， ∴随机变量X 的分布列为：
123813()2345301510153
E X =?+?+?+?=. （Ⅲ）从盒子里任取3张卡片，按卡片上最大数字的9倍计分，所以要计分超过30分，随机变量X 的取值应为4或5， 故所求概率为385(4)(5)10156P P X P X ==+==
+=.
19 证明：由条件知四边形ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥，而平面⊥11CC AA 平面ABCD ，平面11AACC 平面ABCD AC =，
所以BD ⊥平面11AA CC ，又1AA ?平面11AA CC ，因此1AA BD ⊥. (3分)
⑵因为60ABC ∠= ，ABCD 是菱形，所以1AC AB AA ==，而160A AC ∠= ，所以1A AC ?是正三角形. 令BD AC O = ，连结1AO ，则1,,BD AC OA 两两互相垂直.
如图所示，分别以1,,BD AC OA 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则
(D ，
(0,1,0)A -
，1A
，1,0)DA =-
，1DA = ， 平面11AA CC 的法向量为(1,0,0)n = . 设(,,)m x y z = 是平面1DAA 的法向量，则
100000m DA y y x z m DA ???=-==??????+=?=?=??? . 令1x =
，则 1.y z ==-
即1)m =- .
设二面角C AA D --1的平面角为θ，
则θ是锐角，并且
cos cos ,m n m n m n θ?====? 因此二面角C AA D --1
. ⑶设这样的点P 存在，且1CP CC λ=
，而1(0,1,0),(0,C C
，所以(0,1)P λ+
，又0,0)B
，所以()BP λ=+
，1DC = 设(,,)k x y z = 是平面11DAC 的法向量，则
110200000k DC y y x z k DA ??=+==??????+=?==??? . 令1z =，则1x =-，即(1,0,1)k =- .要使BP ∥平面11C DA
当且仅当0(1)(0(1)10k BP λ?=?-?+?++= ，所以1λ=-.这
说明题目要求的点P 存在，实际上，延长1C C 到点P ，使得CP =1C C 即得到所求的点P . 20解（Ⅰ）BC 斜率不为0，所以可设BC 方程为1+=x my ，
与椭圆联立得：032)3(22=--+my y m ，
设),(),,(2211y x C y x B ，所以3
3,32221221+-=+=
+m y y m m y y ． 所以 =?01323)1(31)()1(),2(),2(22
2221212
2211=+++++-=++++=+?+m m m m y y m y y m y x y x ， 即AB AC ⊥
（Ⅱ）
ABC ?面积
2222221)3(334394||2
1+-+=++=-=m m m m y y S ， 设]31,0(3
12∈+=m t ，所以234t t S -=，当31=t 时，S 最大 即0=m 时S 最大为1
21．解：（Ⅰ）x a x a x a x a x ax x a x a ax x a a ax x f ))(1())(1()1()1()('2
22--=--=++-=++-= （1）当0 （2）当1>a 时，0)(' (a a ，0)('>x f 解集为),()1,0(+∞a a ， ()f x 在),1(a a 递减，在),(),1,0(+∞a a 上递增； （3）当10<x f 解集为),1(),0(+∞a a ， ()f x 在)1,(a a 递减，在),1(),,0(+∞a a 上递增； （4）当1=a 时，0)('>x f 解集为)1,0( ),1(+∞， ()f x 在)1,0(递增，在),1(+∞上递增，且()f x 在1=x 不间断，所以()f x 在),0(+∞递增； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得1>a 时，()f x 极大值为)1 (a f ，极小值为)(a f ． 所以所有极值之和为a a a a f a f 2122)()1(3---=+， 设=)(a g a a a 21223---，则2242143)('a a a a g +--==222(3a 1)(a 1)2a --+ 当1>a 时0)('a 时递减， 所以3)1()(-= 22.（1）因为FG 与圆O 相切于点G ， 22EF FA FG FD FA,EF FG,EF FD FA FD EF =?=∴=?∴= EFD AFE,EFD ~AFE ∠=∠∴?? （2）由（1）知，FED FAE,∠=∠又因为 FAE BCD,FED BCD EF //BC ∠=∠∴∠=∠∴ 23. （Ⅰ）1222 =+y x （Ⅱ）950 2 24． （Ⅰ）2=a （Ⅱ）5≤m