2018年5月浙江省镇海中学高考模拟考数学模拟卷

2017学年第二学期镇海中学5月校模拟考

高三年级 数学学科

注意事项：

1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生必须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名；

2．本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。满分150分, 考试时间120分钟。 参考公式：

如果事件A , B 互斥, 那么 柱体的体积公式 P (A +B )=P (A )+P (B )

V =Sh

如果事件A , B 相互独立, 那么 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 P (A ·B )=P (A )·P (B )

锥体的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p , 那么n V =

13

Sh

次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 P n (k )=C k

n p k (1－p )n -k (k = 0,1,2,…, n ) 球的表面积公式 台体的体积公式

S = 4πR 2 1

()123

V h S S =

+

球的体积公式 其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积,

V =4

3

πR 3

h 表示台体的高 其中R 表示球的半径

第Ⅰ卷（选择题，共40分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集=R U ,集合{}0|>=x x A ，{}10|<<=x x B ，则()=B A C U ( ▲ ) A ．{}1|

“m α⊥”的( ▲ )

A ． 充分而不必要条件

B ． 必要而不充分条件

C ． 充要条件

D ． 既不充分也不必要条件 4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( ▲ ) A ． 3π B ．

83π C ． 103π D ． 113

π

5．记()()()7

7

017211x a a x a x -=+++

++，则0126a a a a +++

的值为( ▲ )

A ． 1

B ． 2

C ． 129

D ． 2188

6．已知不等式组210,2,10,x y x x y -+≥??

≤??+-≥?

表示的平面区域为D ，若函数|1|y x m =-+的图象上存

在区域D 上的点，则实数m 的取值范围是( ▲ )

A ． [2,1]-

B ． 1[2,]2-

C ． 1[0,]2

D ． 3[1,]2

-

7．甲、乙、丙、丁四个人到A ，B ，C 三个景点旅游，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到A 景点的方案有( ▲ ) A ． 18种 B ． 12种 C ． 36种 D ． 24种

8．设椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>> 的右焦点为F ,椭圆C 上的两点,A B 关于原点对称，

且满足0,||||2||FA FB FB FA FB ?=≤≤，则椭圆C 的离心率的取值范围是( ▲ )

.[

.[

.[

1]1,1)23

3

2

A B C D

9．已知函数()()1ln 1,1

{

21,1

x x x f x x -->=+≤，则方程()()()3204f f x f x ?

?-+=????的实根个数

为( ▲ )

A ． 3

B ． 4

C ． 5

D ． 6

10．已知直三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱1AA , 1BB , 1CC 分别交于三点M , N , Q ,若MNQ ?为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为( ▲ )

A ． 2

B ． 4

C ．

D ．

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共7小题, 多空题每小题6分，单空题每小题4分, 共36分．

11．双曲线:C 22

14x y -=的渐近线方程为___▲__，设双曲线过点(4,1),且与C 具有相同渐近线,则C 的方程为 ▲ ． 12． 设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n ++

+-=．{}n a 的通项n a = ▲ ，数列的

B

C

21n a n ????+??

前n 项和是 ▲ ． 13．随机变量X 的分布列如下：

其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝ ▲ ，方差的最大值是 ▲ ．

14． 函数()()sin f x A x ω?=+ (0,0,π0)A ω?>>-<<的部分图像如图所示，则?= ▲ ，为了得到()cos g x A x ω=的图像，需将函数()y f x =的图象最少向左平移 ▲ 个单位．

15．若实数,x y 满足114422x y x y +++=+，则22x y S =+的取值范围是 ▲ ． 16．已知24y x =抛物线，焦点记为F ，过点F 作直线l 交抛物线于,A B 两点，则

2

AF BF

-

的最小值为 ▲ ． 17．如图，在四边形ABCD 中， 1AB CD ==，点,M N 分别是边,AD BC 的中点，延长BA 和CD 交NM 的延长线于不同

．．

的两点,P Q ，则()

·PQ AB DC -的值为 ▲ ．

三、解答题：本大题共5小题, 共74分。解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤．

18.（本题满分14分） 已知锐角ABC ?的内角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ，

且a =

sin sin sin B A b c

C a b

--=+．

（1）求角A 的大小；

（2）求b c +的取值范围．

19．（本题满分15分）在三棱锥A BCD -中，2AB AD BD ===，BC DC ==2AC =．

（1）求证：BD AC ⊥；

（2）若点P 为AC 上一点，且3AP PC = ，求直线BP 与平面ACD 所形成的角的正弦值．

20．（本题满分15分）已知函数2()(2)x x f x ae a e x =+--． （1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．

21．已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>

，P ? ??

在椭圆上，离心率e =，左、右焦点分别为12F F 、． （1）求椭圆C 的方程；

（2）直线y kx =（0k >）与椭圆C 交于A ，B ，连接1AF ，1BF 并延长交椭圆C 于D ，

E ，连接DE ，求DE k 与k 之间的函数关系式．

22．我们称满足： ()

()

211k

n n

n a k a

a +-=--（*n N ∈）的数列{}n a 为“k 级梦数列”．

（1）若{}n a 是“1级梦数列”且12a =．求：

231111a a ---和4311

11

a a -

--的值； （2）若{}n a 是“1级梦数列”且满足1312a <<， 12

2017

11

12a a a +++=，求201814a a -的

最小值；

（3）若{}n a 是“0级梦数列”且112

a =

，设数列{}2

n a 的前n 项和为n S ．证明： ()()

112221n S n n n ≤≤++（*n N ∈）．

2017学年第二学期镇海中学5月校模拟考

高三年级 数学答案

A,C,B,C,C A,D,A,B,D

8.作出椭圆的左焦点，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形，

又，即

，故平行四边形为矩形，所以

，

设

，则在直角

中，

，得

，

整理得，令，得，

又由，得，所以，

所以离心率的取值范围是，故选A.

11.2x y =± 221123x y -= 12.222121

n

n n -+ 13.

2233

14.63ππ- 15.(2,4] 16. 222 17.0

18.（本题满分14分） 已知锐角ABC ?的内角A ，

B ，

C 所对的边分别为a ， b ， c ，且

3a =， sin sin sin B A b c C

a b

--=+．

（1）求角A 的大小；

（2）求b c +的取值范围．

【解析】：（1）由sin sin sin B A b c C a b --=+及正弦定理得()()()b a b a b c c -+=-，

所以2

22a b c bc =+-

1cos 2A ?=

， 3

A π

=.

（2

()2sin sin b c B C +=+

ABC ?为锐角三角形， B 的范围为

19．（本题满分15分）在三棱锥A BCD -中，2AB AD BD ===，BC DC ==2AC =．

（1）求证：BD AC ⊥；

（2）若点P 为AC 上一点，且3AP PC = ，求直线BP 与平面ACD 所形成的角的正弦值． 【解析】（1）取BD 中点E ，连接AE ，CE ，

∵2AB AD BD ===，又E 为BD 中点， ∴AE BD ⊥， 同理可得：CE BD ⊥， 又AE

CE E =，∴BD ⊥平面ACE ，

又AC ?平面ACE ，∴BD AC ⊥．·

（2）∵2AB AD BD ===，BC DC ==

∴BCD △为直角三角形，且AE =1CE =，

∴222AE EC AC +=，2

AEC π

∠=

，即AE EC ⊥， 又AE BD ⊥，所以AE ⊥平面BCD ，·

∴以E 为坐标原点，EC 为x 轴，ED 为y 轴，EA 为z 轴建立如图直角坐标系．

∴()010B -,,，()010D ,,，()100C ,,，(00A ,

，

设()000,P x y z ,，()01AP AC λλ=≤≤，(10AC =，，(000AP x y z =,,，

∴((()

000,,1

00x y z λλ==-，，，，，

∴0000x y z λ?=?=??-=?

，即0000x y z λ?=?=??=?

，∴()0P λ,，

()

=BP λ，

(0DA =-，，()110

DC =-,,， 设()111,,x y z =

n 是平面ACD 的法向量，

∴11110000DA y x y DC ???=-=??

???-=?=????n n ，令11x =，得11y =

，1z =，

∴11

?

= ?

?

n ， ∴

sin cos 7,BP BP BP

θ=<>=

=

=

?

?n n

n ，·

由01λ≤≤，可知27

2

3228

λλ-+≤≤，

∴

sin 77θ≤，∴sin θ． 3AP PC =，即3

4λ=

时，sin θ

20．（本题满分15分）已知函数2()(2)x

x f x ae a e x =+--．

（1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围． 【解析】：（1）'()(21)(1)x x f x e a e =+?-

若0a ≤时，'()(21)(1)0x

x

f x e a e =+?-<，所以()f x 在R 上为减函数

若0a >时，'()(21)(1)=0x x

f x e a e =+?-，则1ln()x a

=

则：()f x 在1

(,ln ]a

-∞上为减函数，1

[ln

,)a

+∞上为增函数 （2）1(ln )0f a <即可 2111111

(ln )()(2)ln 1ln 0f a a a a a a a a

=+--=--<

令1

t a

=

，令()1ln g t t t =--在(0,)+∞上为减函数 又因为：(1)0g =，所以1t >，所以1

1a

>， 所以：a 的取值范围为01a <<．

21．已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>

，1,2P ?? ? ???

在椭圆上，离心率e =，左、右焦点分别为12F F 、． （1）求椭圆C 的方程；

（2）直线y kx =（0k >）与椭圆C 交于A ，B ，连接1AF ，1BF 并延长交椭圆C 于D ，

E ，连接DE ，求DE k 与k 之间的函数关系式．

【解析】（1

）由2P ?

?

?

在椭圆上，可得221112a b +=，

·a =， 又2

22a

b c =+

，可得a =，1b =，1c =，

所以椭圆C 的方程为2

22

1x y +=． （2）设()00,A x y ，则()00,B x y --，直线00

1

:1x MD x y y +=

-，

代入22:12x C y +=，得()()2222

0000012210x y y x y y y ??++-+-=??，

因为220012

x y +=，代入化简得()()22

000021320x y x y y y -+-=+， 设()11,D x y ，()22,E x y ，则2001023

y y y x -+=，所以01023y y x -=+，01101

1x x y y +=-，·

直线001:1x NE x y y -=

-，同理可得02023

y y x =-+，022011x x y y -=-，

所以()121212000012

12

12121200000012

1

111DE y y y y y y k x x x x y y y y x x y y y y y y y y y y y y ---=

===

+-++---++?-

0000

001

33416y k x x x y y =

=?=??+?-

???

，

22．我们称满足： ()

()

2

11k

n n

n a k a

a +-=--（*n N ∈）的数列{}n a 为“k 级梦数列”．

（1）若{}n a 是“1级梦数列”且12a =．求：

231111a a ---和4311

11

a a -

--的值； （2）若{}n a 是“1级梦数列”且满足1312a <<， 12

2017

1112a a a +++

=，求201814a a -的

最小值；

（3）若{}n a 是“0级梦数列”且112

a =

，设数列{}2n a 的前n 项和为n S ．证明： ()()

11

2221n S n n n ≤≤

++（*n N ∈）． 【解析】：（1）{}n a 是“1级梦数列”,所以()

211n n n a a a +-=--，当n=2,3,4,时，代入可求得

2343111111

,113117

a a a a -=-=----； （2）由条件可得：

1111

11n n n a a a +=-

--， ∴

12

2017

1201811111

211

a a a a a +++

=

-=-- 解得1201811

2111

322232a a a a -=

=+?

-- ∴()2018111111174232626223222

a a a a -=+?+--≥+-=-- 当且仅当15

4

a =

时取等号. （3）根据21n n n a a a +=-，可得11n n s a a +=-① 又由21n n n a a a +=-得

[]11

11

1,2n n n n a a a a ++-=∈ 累加得： 11

11

2n n n a a +≤

-≤，

所以

()111

212

n a n n +≤≤

++② 由①②得

()()

()

*11

2221n S n N n n n ≤≤∈++