灵活多样,全面考查--2014年湖北高考试题第9题的拓展探究

高中版

2014年9

教学参谋

解法探究一、试题再现

题目

已知F 1、F 2是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是

它们的一个公共点,且∠F 1PF 2=π

3,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(

).A.43

3

B.23摇

3

C.3

D.2

此题是2014年湖北卷理科第9题,难度不大,却是命题专家们的精心打造,将椭圆和双曲线两种圆锥曲线相结合,以离心率和最值设问,常规中有创新.题目叙述简洁清晰,解法灵活多样,既考查了学生的基础知识,又考查了学生的多种能力.下面赏析此道高考试题解法,以飨读者.

二、解法探究

如图1,不妨设点P 在第一象限,设椭圆的长轴长为2a ,双曲线的实轴长为2a 1,F 1、F 2分别为左、右焦点,设PF 1=m ,PF 2=n ,由圆锥曲线的定义可知

m+n=2a ,

m-n=2a 1姨

.

因为∠F 1PF 2=π

3,由

余弦定理得4c 2=m 2+n 2-2mn cos π

3

=m 2+n 2-mn ,离心率的倒数之和为1e +1e 1=a c +a

1c

.

解法一:(判别式法)由

m+n=2a ,m-n=2a 1姨

可得m=a+a 1,所以

a c +a 1c =a+a 1c =m c

.又由4c 2

=m 2

+n 2

-mn 得n 2c 2-m c ·n c +m 2

c

2-4=0,可视为以

n 2

c 2

为变量的一元二次方程,则有判别式Δ≥0,即

m c ≥≥

2

-4m 2c 2-≥≥

4≥0,解得m c ≤43摇

姨3,取等号时n c =a-a 1c

=23摇

姨3,e=3

姨3,e 1=3摇姨,这时它们的离心率互为倒数.答案选A .

评注:对于含多变量问题,可以设某个变量为主元,其他变量看成系数,构造一元二次方程,由根的存在性,运用判别式可以求最值.

解法二:(配方法)由解法一知

a c +a 1c ≥≥

2

=4m 24c

2=4m 2

m 2+n 2-mn

=

4

n m ≥≥2

-n

m

+1=

4n m -12≥≥

2+

34

≤16

3.

当m=2n 时取等号,所以a c +a 1c ≤43

姨3.答案选A .

评注:将要求的目标转化成二次函数,利用配方法求最值是常见方法.

解法三:(数形结合法)由

m+n=2a ,m-n=2a 1姨

可得m=a+a 1,n=

a-a 1,代入4c 2=m 2+n 2-mn 得4c 2=(a+a 1)2+(a-a 1)2-(a 2-a 21),结合要求的目标可整理为a 2

c 2+

3a 21

c 2=4.令a 2c 2=x 2,a 2

1c

2=y 2

,则化为x 2

+3y 2

=4.令t=x+y ,x>0,y>0.可以

看成直线t=x+y 与椭圆x 2+3y 2=4

有公共点时,直线在y 轴上截距有最大值.如图2,此时直线与椭圆相切.由

y=-x+t ,

x 2

+3y 2=4姨

消去y 并整理得4x 2-6tx+3t 2-4=0,由Δ=0,t>0,得t=43

姨3

.答案选A .

灵活多样,全面考查

———2014年湖北高考试题第9题的拓展探究

筅江苏省如东县掘港高级中学

徐爱丽

x

P y

F 2

F 1

O m n 图1

y

y=-x+t

x

F 1F 2O

图2

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高中版

2014年9月教学参谋

解法探究

评注:数形之间的转化是解决数学问题的重要思想方法,如果所求问题的式子有明显的几何意义,我们就可以画出图形利用几何意义解题.

解法四:(三角换元法)由解法三知a 2c 2+3a 21

c 2=4,令

a c =2cos θ,a 1c =23摇姨sin θ,θ∈0,π2∈∈

,则a c +a

1c =2cos θ+

23

姨sin θ=

4+43摇

sin (θ+φ)≤43

姨3

.答案选A .评注:根据所求式子的结构特点,如果能进行三角换元,再利用正、余弦函数的有界性求最值,也是一种常见的方法.

解法五:(导数法)因为椭圆与双曲线共焦点,所以

a 21-

b 21=a 22+b 22.又b 1=3摇

姨b 2,故a 21=a 22+4b 2

2,从而

1e 1+1e 2=a 1

c

+a 2c =a 22+4b 2

2摇姨+a 2a 22+b 22

摇姨=1+1+4b 22

a 22摇

姨1+b 22a 2

2

摇姨

.令f (t )=1+1+4t 2

姨1+t

2摇

姨,t ∈(0,+∞),求导得f ′(t )=

4t 1+4t 2

姨1+t 2摇

姨-(1+1+4t 2摇

姨)t 1+t 2

姨1+t 2

.

令f ′(t )=0,解得t=2摇

姨或t=-2摇姨(舍去).

当t ∈(0,2摇

姨)时,f ′(t )>0;当t ∈(2摇

姨,+∞)时,f ′(t )<0,故t=2摇姨为f (t )唯一的极大值点,也是最大值点.

所以f (t )max =f (2摇

姨)=43摇

姨3,即

1e 1

+1e 2≤∈max

=

43

姨3

.答案选A .评注:利用导数是求最值的通法,关键是要构造出相应的函数,并注意自变量的范围.

不易直接运用基本不等式增加了这道题的难度,该题本质可以看作是转化成一个求多元函数的最值问题.以上几种解法是解决这类问题的常用方法.从以上的解法可知该题结论只是由∠F 1PF 2的大小确定,于是想到以下的推广.

三、推广拓展

已知F 1、F 2是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且∠F 1PF 2=θ,θ∈0,

π2

≤∈,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值是21-cos 2θ

姨1-cos 2θ,并且取

最大值时椭圆和双曲线的离心率互为倒数.

证明:由前面的分析得4c 2=m 2+n 2-2mn cos θ=(a+a 1)2+

(a-a 1)2-2(a 2-a 21)cos θ,所以1-cos θe 2+1+cos θ

e 21

=2,由柯西不等式

11-cos θ+11+cos θ≤∈1-cos θe 2

+1+cos θe 2

1

≤∈≥1e +1

e

1

≤∈2

,可得1e +1e 1的最大值为21-cos 2θ摇

姨1-cos 2

θ,当且仅当11-cos θ×e 21-cos θ=11+cos θ×e 21

1+cos θ

时,即离心率分别为e =

1-cos θ

1+cos θ

,e 1=

1+cos θ1-cos θ摇

时取等号.当θ=π

3

时即为该考

题,当θ≥

π

2

时没有最大值.四、题源探寻

事实上,在2014年全国高中数学联赛湖北省预赛高

二年级试题中出现类似的题:共焦点的椭圆和双曲线的离心率分别为e 1,e 2,若椭圆的短轴长为双曲线的虚轴长的2倍,则

1e 1+1

e 2

的最大值为_____.通过分析,不难发现,这两题的数学本质是完全相同的,有异曲同工之妙,即椭圆与双曲线共焦点且基本量b 1=λb 2(λ>1),所求问题相同.

研而生疑,疑而生思,思而后得.掌握通性通法又不拘泥于套题型、套方法,才能明确解题方向;一题多解、多题归一、变式引伸并不是为解而解,重在归纳总结提炼出灵活巧妙的解法.

剖析高考试题背后的本质或背景,是跳出题海最“给力”的武器,高考试题的本质正是在思维的层层深入中揭开了神秘的面纱,使其“原形毕露”,使得我们能够一眼就可以把它“看穿”.在平时的教学过程中,我们应加强回顾与反思,让学生也能一眼看出问题的本质,以达到“一题可破万题山,万题可由一题生”的境界.FH

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