灵活多样,全面考查--2014年湖北高考试题第9题的拓展探究
高中版
2014年9
月
教学参谋
解法探究一、试题再现
题目
已知F 1、F 2是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是
它们的一个公共点,且∠F 1PF 2=π
3,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(
).A.43
摇
姨
3
B.23摇
姨
3
C.3
D.2
此题是2014年湖北卷理科第9题,难度不大,却是命题专家们的精心打造,将椭圆和双曲线两种圆锥曲线相结合,以离心率和最值设问,常规中有创新.题目叙述简洁清晰,解法灵活多样,既考查了学生的基础知识,又考查了学生的多种能力.下面赏析此道高考试题解法,以飨读者.
二、解法探究
如图1,不妨设点P 在第一象限,设椭圆的长轴长为2a ,双曲线的实轴长为2a 1,F 1、F 2分别为左、右焦点,设PF 1=m ,PF 2=n ,由圆锥曲线的定义可知
m+n=2a ,
m-n=2a 1姨
.
因为∠F 1PF 2=π
3,由
余弦定理得4c 2=m 2+n 2-2mn cos π
3
=m 2+n 2-mn ,离心率的倒数之和为1e +1e 1=a c +a
1c
.
解法一:(判别式法)由
m+n=2a ,m-n=2a 1姨
,
可得m=a+a 1,所以
a c +a 1c =a+a 1c =m c
.又由4c 2
=m 2
+n 2
-mn 得n 2c 2-m c ·n c +m 2
c
2-4=0,可视为以
n 2
c 2
为变量的一元二次方程,则有判别式Δ≥0,即
m c ≥≥
2
-4m 2c 2-≥≥
4≥0,解得m c ≤43摇
姨3,取等号时n c =a-a 1c
=23摇
姨3,e=3
摇
姨3,e 1=3摇姨,这时它们的离心率互为倒数.答案选A .
评注:对于含多变量问题,可以设某个变量为主元,其他变量看成系数,构造一元二次方程,由根的存在性,运用判别式可以求最值.
解法二:(配方法)由解法一知
a c +a 1c ≥≥
2
=4m 24c
2=4m 2
m 2+n 2-mn
=
4
n m ≥≥2
-n
m
+1=
4n m -12≥≥
2+
34
≤16
3.
当m=2n 时取等号,所以a c +a 1c ≤43
摇
姨3.答案选A .
评注:将要求的目标转化成二次函数,利用配方法求最值是常见方法.
解法三:(数形结合法)由
m+n=2a ,m-n=2a 1姨
,
可得m=a+a 1,n=
a-a 1,代入4c 2=m 2+n 2-mn 得4c 2=(a+a 1)2+(a-a 1)2-(a 2-a 21),结合要求的目标可整理为a 2
c 2+
3a 21
c 2=4.令a 2c 2=x 2,a 2
1c
2=y 2
,则化为x 2
+3y 2
=4.令t=x+y ,x>0,y>0.可以
看成直线t=x+y 与椭圆x 2+3y 2=4
有公共点时,直线在y 轴上截距有最大值.如图2,此时直线与椭圆相切.由
y=-x+t ,
x 2
+3y 2=4姨
,
消去y 并整理得4x 2-6tx+3t 2-4=0,由Δ=0,t>0,得t=43
摇
姨3
.答案选A .
灵活多样,全面考查
———2014年湖北高考试题第9题的拓展探究
筅江苏省如东县掘港高级中学
徐爱丽
x
P y
F 2
F 1
O m n 图1
y
y=-x+t
x
F 1F 2O
图2
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高中版
2014年9月教学参谋
解法探究
评注:数形之间的转化是解决数学问题的重要思想方法,如果所求问题的式子有明显的几何意义,我们就可以画出图形利用几何意义解题.
解法四:(三角换元法)由解法三知a 2c 2+3a 21
c 2=4,令
a c =2cos θ,a 1c =23摇姨sin θ,θ∈0,π2∈∈
,则a c +a
1c =2cos θ+
23
摇
姨sin θ=
4+43摇
姨
sin (θ+φ)≤43
摇
姨3
.答案选A .评注:根据所求式子的结构特点,如果能进行三角换元,再利用正、余弦函数的有界性求最值,也是一种常见的方法.
解法五:(导数法)因为椭圆与双曲线共焦点,所以
a 21-
b 21=a 22+b 22.又b 1=3摇
姨b 2,故a 21=a 22+4b 2
2,从而
1e 1+1e 2=a 1
c
+a 2c =a 22+4b 2
2摇姨+a 2a 22+b 22
摇姨=1+1+4b 22
a 22摇
姨1+b 22a 2
2
摇姨
.令f (t )=1+1+4t 2
摇
姨1+t
2摇
姨,t ∈(0,+∞),求导得f ′(t )=
4t 1+4t 2
摇
姨1+t 2摇
姨-(1+1+4t 2摇
姨)t 1+t 2
摇
姨1+t 2
.
令f ′(t )=0,解得t=2摇
姨或t=-2摇姨(舍去).
当t ∈(0,2摇
姨)时,f ′(t )>0;当t ∈(2摇
姨,+∞)时,f ′(t )<0,故t=2摇姨为f (t )唯一的极大值点,也是最大值点.
所以f (t )max =f (2摇
姨)=43摇
姨3,即
1e 1
+1e 2≤∈max
=
43
摇
姨3
.答案选A .评注:利用导数是求最值的通法,关键是要构造出相应的函数,并注意自变量的范围.
不易直接运用基本不等式增加了这道题的难度,该题本质可以看作是转化成一个求多元函数的最值问题.以上几种解法是解决这类问题的常用方法.从以上的解法可知该题结论只是由∠F 1PF 2的大小确定,于是想到以下的推广.
三、推广拓展
已知F 1、F 2是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且∠F 1PF 2=θ,θ∈0,
π2
≤∈,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值是21-cos 2θ
摇
姨1-cos 2θ,并且取
最大值时椭圆和双曲线的离心率互为倒数.
证明:由前面的分析得4c 2=m 2+n 2-2mn cos θ=(a+a 1)2+
(a-a 1)2-2(a 2-a 21)cos θ,所以1-cos θe 2+1+cos θ
e 21
=2,由柯西不等式
11-cos θ+11+cos θ≤∈1-cos θe 2
+1+cos θe 2
1
≤∈≥1e +1
e
1
≤∈2
,可得1e +1e 1的最大值为21-cos 2θ摇
姨1-cos 2
θ,当且仅当11-cos θ×e 21-cos θ=11+cos θ×e 21
1+cos θ
时,即离心率分别为e =
1-cos θ
1+cos θ
摇
姨
,e 1=
1+cos θ1-cos θ摇
姨
时取等号.当θ=π
3
时即为该考
题,当θ≥
π
2
时没有最大值.四、题源探寻
事实上,在2014年全国高中数学联赛湖北省预赛高
二年级试题中出现类似的题:共焦点的椭圆和双曲线的离心率分别为e 1,e 2,若椭圆的短轴长为双曲线的虚轴长的2倍,则
1e 1+1
e 2
的最大值为_____.通过分析,不难发现,这两题的数学本质是完全相同的,有异曲同工之妙,即椭圆与双曲线共焦点且基本量b 1=λb 2(λ>1),所求问题相同.
研而生疑,疑而生思,思而后得.掌握通性通法又不拘泥于套题型、套方法,才能明确解题方向;一题多解、多题归一、变式引伸并不是为解而解,重在归纳总结提炼出灵活巧妙的解法.
剖析高考试题背后的本质或背景,是跳出题海最“给力”的武器,高考试题的本质正是在思维的层层深入中揭开了神秘的面纱,使其“原形毕露”,使得我们能够一眼就可以把它“看穿”.在平时的教学过程中,我们应加强回顾与反思,让学生也能一眼看出问题的本质,以达到“一题可破万题山,万题可由一题生”的境界.FH
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