高数下期末总复习大全(同济六版)
高数下期末总复习大全（同济六版）
第八章向量与解析几何
c a b
=+c a b
=－
a≠，则
a a
e
a
=
第十章 重积分
2()(cos ,sin )(cos ,sin )D
f d d d f d β
?θρθρθρρθ
θρθρθρρ
=????
02θπ≤≤ 0θπ≤≤ 2πθπ≤≤ （3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性
当D 关于y 轴对称时，（关于x 轴对称时，有类似结论）0(,)f x y x ?
对于是奇函数，
第十一章曲线积分与曲面积分
所有类型的积分：
○1定义：四步法——分割、代替、求和、取极限；
○2性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；
○3对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。
第十二章级数
同济大学高等数学1期末试题(含答案)
1. 若82lim =?? ? ??--∞→x x a x a x ，则_______.2ln 3- 2. =+++→)1ln()cos 1(1 cos sin 3lim 20x x x x x x ____.2 3 3.设函数)(x y y =由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线)(x y y =在)1,1(处的切线方程为________.y x = 4. =-++∞→))1(sin 2sin (sin 1lim n n n n n n πππ Λ______.π2 5. x e y y -=-'的通解是____.x x e e y --=21C 二、选择题（每题4分） 1.设函数)(x f 在),(b a 内连续且可导，并有)()(b f a f =，则（D ） A ．一定存在),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . B. 一定不存在),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . C. 存在唯一),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . D.A 、B 、C 均不对. 2.设函数)(x f y =二阶可导，且 ,)(),()(,0)(,0)(x x f dy x f x x f y x f x f ?'=-?+=?<''<'， 当,0>?x 时，有（A ） A. ,0<>?dy y C. ,0?>y dy 3. =+?-dx e x x x ||2 2)|(|(C) A. ,0B. ,2C. ,222+e D. 26e 4. )3)(1()(--=x x x x f 与x 轴所围图形的面积是（B ） A. dx x f ?3 0)( B. dx x f dx x f ??-3110)()( C. dx x f ?-30)( D. dx x f dx x f ??+-3110)()( 5.函数Cx x y +=361 ，（其中C 为任意常数）是微分方程x y =''的（C ） A ． 通解B.特解C.是解但非通解也非特解D.不是解
同济大学2009高数B期末考试题
同济大学2009-2010学年第一学期高等数学B(上)期终试卷 一. 填空题(4'416'?=) 1. 设函数()f x 具有二阶导数, 且1'0, 'dx y dy y ≠=, 则223 " 'd x y dy y =- . 2. 设函数()f u 为可导函数, 且'(0)0f ≠, 由参数方程3(sin 2)(1) t x f t y f e π =-?? =-?所确定的函数的 导数 32 t dy dx ==. 3. 极限111lim( )ln 2 12 n n n n n →∞ +++ =+++. 4. 微分方程22"5'6sin x y y y xe x -++=+的特解形式为(不需确定系数) 2()cos2sin 2x x Ax B e C x D x E -++++. 二． 选择题(4'416'?=) 5. 设函数sin ()bx x f x a e = +在(,)-∞+∞内连续, 且lim ()0x f x →-∞=, 则常数,a b 满足: [D ]. ()0,0A a b <>; ()0,0B a b ><; ()0,0C a b ≤>; ()0,0D a b ≥< 6. 曲线1 ln(1)x y e x -= ++, [D ] ()A 没有水平渐近线但有铅直渐近线; ()B 没有铅直渐近线但有水平渐近线; ()C 没有水平和铅直渐近线; ()D 有水平和铅直渐近线 7. 将0x + →时的无穷小量2 sin ,,(1)x x t tdt tdt e dt αβγ= ==-? ?排列起来, 使 得后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列顺序是: [C ] (),,A αβγ; (),,B αγβ; (),,C βαγ; (),,D γβα 8. 设函数()f x 在点0x =的某个邻域内有定义, 且20 () (0)0,lim 2x f x f x →==-, 则在该点处 ()f x : [C ] ()A 不可导; ()B 可导且'(0)0f ≠; ()C 取得极大值; ()D 取得极小值.
同济六版高等数学(下)知识点整理
第八章 1、向量在轴上的投影： 性质：?cos )(a a u =（即Prj u ?cos a a =），其中?为向量a 与u 轴的夹角； u u u b a b a )()()( +=+（即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ）； u u a a )()( λλ=（即Prj u λλ=)(a Prj u a ）. 2、两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x ++=，k b j b i b b z y x ++=，则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1) 1(+- x x b a y y b a k =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注：a b b a ?-=? 3、二次曲面 （1） 椭圆锥面：222 22z b y a x =+； （2） 椭圆抛物面：z b y a x =+22 22； （旋转抛物面：z a y x =+2 22（把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转）） （3） 椭球面：1222222=++c z b y a x ； （旋转椭球面：122 2 22=++c z a y x （把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转）） （4） 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ； （旋转单叶双曲面：122 222=-+c z a y x （把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转））
同济大学大一 高等数学期末试题 (精确答案)
学年第二学期期末考试试卷 课程名称：《高等数学》 试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 适用层次： 适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不 得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。 课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷） 一、单选题 （共15分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( ) A ．(,)f x y 在P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D ． 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ）． 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4． 4．若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）． A ． 条件收敛 B ． 绝对收敛 C ． 发散 D ． 敛散性不能确定 5．曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1） 二、填空题（共15分，每小题3分） 系(院)：——————专业：——————年级及班级：—————姓名：——————学号：————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线--------------------------------
同济版高等数学下册练习题附答案
第 八 章 测 验 题 一、选择题： 1、若a →，b →为共线的单位向量，则它们的数量积 a b →→ ?= ( ). (A) 1； (B)-1； (C) 0； (D)cos(,)a b →→ . 向量a b →→?与二向量a → 及b → 的位置关系是( ). 共面； (B)共线； (C) 垂直； (D)斜交 . 3、设向量Q → 与三轴正向夹角依次为,,αβγ，当 cos 0β=时，有( ) 5、2 () αβ→ → ±=( ) (A)2 2 αβ→→±； (B)2 2 2ααββ →→→ →±+； (C)2 2 αα ββ →→→ →±+； (D)2 2 2αα ββ →→→ →±+. 6、设平面方程为0Bx Cz D ++=，且,,0B C D ≠， 则 平面( ). (A) 平行于轴； x ；(B) y 平行于轴； (C) y 经过轴；(D) 经过轴y . 7、设直线方程为111122 00A x B y C z D B y D +++=??+=?且 111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线( ). (A) 过原点； (B)x 平行于轴； (C)y 平行于 轴； (D)x 平行于轴. 8、曲面2 50z xy yz x +--=与直线 5 13 x y -=- 10 7 z -= 的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,1,4)--；(B)(1,2,3)； (C)(2,3,4)； (D)(2,1,4).-- 9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周 22160 x y z ?+=?=?，则此球面的方程是( ). (A)222 6160x y z z ++++=； (B)2 2 2 160x y z z ++-=； (C)2 2 2 6160x y z z ++-+=； (D)2 2 2 6160x y z z +++-=. 10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是( ). (A)2221x y z ++=； (B)22 4x y z +=； (C)22 2 14y x z -+=； (D)2221916 x y z +-=-. 二、已知向量,a b r r 的夹角等于3 π ，且2,5a b →→==，求 (2)(3)a b a b →→→→ -?+ . 三、求向量{4,3,4}a → =-在向量{2,2,1}b → =上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量 {1,3,1};{2,1,3}a b → → =-=-{}2,1,3b =-，求其面积 . 五、已知,,a b →→ 为两非零不共线向量，求证： ()()a b a b →→→→-?+2()a b →→ =?. 六、一动点与点(1,0,0)M 的距离是它到平面4x =的距 的一半，试求该动点轨迹曲面与 yoz 面的交线方程 .
同济大学高等数学2
同济大学高等数学（下）期中考试试卷2 一.简答题（每小题8分） 1.求曲线?????+=+=-=t z t y t t x 3cos 12sin 3cos 在点??? ??1,3,2 π处的切线方程. 2.方程1ln =+-xz e y z xy 在点)1,1,0(的某邻域内可否确定导数连续的隐函数),(y x z z =或),(x z y y =或),(z y x x =？为什么？ 3.不需要具体求解，指出解决下列问题的两条不同的解题思路： 设椭球面1222222 =++c z b y a x 与平面0=+++D Cz By Ax 没有交点，求椭球面与平面 之间的最小距离. 4.设函数),(y x f z =具有二阶连续的偏导数，3x y =是f 的一条等高线，若 1)1,1(-=y f ，求)1,1(x f . 二.（8分）设函数f 具有二阶连续的偏导数，),(y x xy f u +=求y x u ???2 . 三.（8分）设变量z y x ,,满足方程),(y x f z =及0),,(=z y x g ，其中f 与g 均具有连续的偏导数，求dx dy . 四.（8分）求曲线 ???=--=01, 02y x xyz 在点)110(，，处的切线与法平面的方程. 五.（8分）计算积分） ??D y dxdy e 2，其中D 是顶点分别为)0,0(.)1,1(.)1,0(的 三角形区域. 六.（8分）求函数22y x z +=在圆9)2()2(22≤- +-y x 上的最大值和最小值. 七.（14分）设一座山的方程为2221000y x z --=，),(y x M 是山脚0=z 即等量线 1000222=+y x 上的点. （1）问：z 在点),(y x M 处沿什么方向的增长率最大，并求出此增长率； （2）攀岩活动要山脚处找一最陡的位置作为攀岩的起点，即在该等量线上找一点M 使得上述增长率最大，请写出该点的坐标. 八.（14分） 设曲面∑是双曲线2422=-y z （0>z 的一支）绕z 轴旋转而成，曲面上一点M 处的切平面∏与平面0=++z y x 平行. （1）写出曲面∑的方程并求出点M 的坐标； （2）若Ω是∑.∏和柱面122=+y x 围成的立体，求Ω的体积.
高等数学同济第七版7版下册习题 全解
数，故 /, =Jj( x2 + y1)3d(j =2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数，故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1)： 从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0； D 如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则 =0. D ?3.利用二重积分定义证明： (1)jj da=(其中(7为的面积)； IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)； o n (3 )JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr +jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2，， A 为两个 I) b\ lh 尤公共内点的WK域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n"
jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A 同济大学版高等数学期 末考试试卷 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）. 第十章重积分9 5 y 2 D2 -1 O i T -2 图 10 - 1 数，故 /, = Jj( x 2 + y 1 ) 3 d(j = 2jj ( x2 + y 1 )3 dcr. fh i)i 又由于 D 3关于 ; t 轴对称，被积函数 ( / + r2) 3关于 y 是偶函数，故jj( x2 + j2 ) 3dcr = 2j( x2+ y2) 3 da =2/ 2 . Dy 1)： 从而得 /, = 4/ 2 . ( 2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于 ^ 轴对称，而被积函数 / ( x, y) 关于 y 是奇函数，即 fix, -y) = -f(x,y) , PJ jf/ ( x, y)da = 0； D 如果积分区域 D 关于： K 轴对称，而被积函数 / ( x， y) 关于： c 是奇函数，即 / ( ~x, y) = - / ( 太， y) ，则 = 0. D ? 3. 利用二重积分定义证明： ( 1 ) jj da = ( 其 中 ( 7 为的面积 ) ； IJ (2) JJ/c/( X , y) drr = Aj | y’ ( A: ， y) do■ ( 其 中 A ：为常数 ) ； o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr ,其中/) = /)! U /) 2，， A 为两个 I) b \ lh 尤公共内点的 WK 域 . 证 ( 丨 ) 由于被 枳函数. / U, y) = 1 , 故山 二 t 积分定义得n " 9 6 一、 《高等数学》 (第七版 )下册习题全解 jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A 本资料仅供参考复习练手之用，无论是重修只求及格，还是为了拿优保研，复习课本上的基础知识点和例题、课后习题才是重中之重，作为一个重修过高数的学长，望大家不要舍本求末，记住这样一句话，只有当你付出了，你才可能有收获。 同济大学2015-2016学年第一学期高等数学B(上)期终试卷 一. 填空选择题(3'824'?=) 1. 极限1 2 02lim( )23h h h e h -→-=+. 2. 积分(12sin ) cos '(12sin )2 f x x f x dx C --?-=+? . 3. 函数2 20 ()sin(1)x F x t dt = +? 的导函数4'()2sin(1)F x x x =+. 4. 曲线3 22 (1)1(12)3 y x x =++-≤≤的弧长14 3 s = . 5. 极限0 lim ()x x f x -→=+∞的定义是 【D 】 () 0,0A εδ?>?>, 当00x x δ<-<时, 有()f x A ε-<; () 0,0B εδ?>?>, 当x δ>时, 有()f x ε>; () 0,0C M X ?>?>, 当x X >时, 有()f x M >; () 0,0D M δ?>?>, 当00x x x δ-≤<时, 有()f x M >. 6. 若123(),(),()y x y x y x 是二阶微分方程"()'()()y a x y b x y c x =++的三个线性无关的解, 则该方程的通解为 【D 】 112233()()()( )A C y x C y x C y x ++, 其中123,,C C C 是任意常数; 11223 ()()()()B C y x C y x y x ++, 其中12,C C 是任意常数; 11223 ()()[()()]C C y x C y x y x ++, 其中12,C C 是任意常数; 112233()()()( )D C y x C y x C y x ++ , 其中任意常数1231C C C ++=. 第八章 测 验 题 一、选择题： 1、若a → ，b → 为共线的单位向量，则它们的数量积 a b →→ ?= ( ). (A) 1； (B)-1； (C) 0； (D)cos(,)a b →→ . 向量a b → → ?与二向量a → 及b → 的位置关系是( ). 共面； (B)共线； (C) 垂直； (D)斜交 . 3、设向量Q → 与三轴正向夹角依次为,,αβγ，当 cos 0β=时，有( ) 5、2()αβ→→ ±=( ) (A)2 2 αβ→→±； (B)2 2 2ααββ→→→ →±+； (C)2 2 ααββ→→→ →±+； (D)2 2 2ααββ→→→ →±+. 6、设平面方程为0Bx Cz D ++=，且,,0B C D ≠， 则 平面( ). (A) 平行于轴；x ；(B) y 平行于轴； (C) y 经过轴；(D) 经过轴y . 7、设直线方程为1111220 A x B y C z D B y D +++=?? +=?且 111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线( ). (A) 过原点； (B)x 平行于轴； (C)y 平行于轴； (D)x 平行于轴. 8、曲面250z xy yz x +--=与直线 5 13 x y -= - 10 7 z -=的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,1,4)--；(B)(1,2,3)； (C)(2,3,4)； (D)(2,1,4).-- 9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周 2216 0x y z ?+=?=? ，则此球面的方程是( ). (A)2226160x y z z ++++=； (B)222160x y z z ++-=； (C)2226160x y z z ++-+=； (D)2226160x y z z +++-=. 10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是 ( ). (A)2221x y z ++=； (B)224x y z +=； (C)22 2 14y x z -+=； (D) 2221916 x y z +-=-. 二、已知向量,a b r r 的夹角等于3 π，且2,5a b →→==， 求(2)(3)a b a b →→→→ -?+ . 三、求向量{4,3,4}a → =-在向量{2,2,1}b → =上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量 {1,3,1};{2,1,3}a b → → =-=-{}2,1,3b =-，求其面积 . 五、已知,,a b →→ 为两非零不共线向量，求证： 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题 分，共 ?分） ．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ） （?）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （ ）()||f x x = 和 ( )g x = （ ）()f x x = 和 ( )2 g x = （ ）()|| x f x x = 和 ()g x = ．函数( )() 20ln 10 x f x x a x ≠=+?? =? 在0x =处连续，则a = （ ） （?） （ ） 1 4 （ ） （ ） ．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ） （?）1y x =- （ ）(1)y x =-+ （ ）()()ln 11y x x =-- （ ） y x = ．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ） （?）连续且可导 （ ）连续且可微 （ ）连续不可导 （ ）不连续不可微 ．点0x =是函数4 y x =的（ ） （?）驻点但非极值点 （ ）拐点 （ ）驻点且是拐点 （ ）驻点且是极值点 ．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ） （?）只有水平渐近线 （ ）只有垂直渐近线 （ ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （ ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 ． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ） （?）1f C x ?? -+ ??? （ ）1f C x ?? --+ ??? （ ）1f C x ?? + ??? （ ）1f C x ?? -+ ??? ． x x dx e e -+?的结果是（ ） （?）arctan x e C + （ ）arctan x e C -+ （ ）x x e e C --+ （ ） ln()x x e e C -++ ．下列定积分为零的是（ ） （?）424arctan 1x dx x π π-+? （ ）44 arcsin x x dx ππ-? （ ）112x x e e dx --+? （ ）()1 2 1 sin x x x dx -+? ?．设()f x 为连续函数，则 ()1 2f x dx '?等于（ ） （?）()()20f f - （ ）()()11102f f -????（ ）()()1 202f f -????（ ）()()10f f - 二．填空题（每题 分，共 ?分） ．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = ．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '= ．21 x y x =-的垂直渐近线有条 ． ()21ln dx x x = +? 《高数》试卷7（上） 一、选择题（每小题3分） 1、函数 2)1ln(++-=x x y 的定义域是（ ）. A []1,2- B [)1,2- C (]1,2- D ()1,2- 2、极限x x e ∞→lim 的值是（ ）. A 、 ∞+ B 、 0 C 、∞- D 、 不存在 3、=--→211) 1sin(lim x x x （ ）. A 、1 B 、 0 C 、 21- D 、21 4、曲线 23-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是（ ） A 、 )1(2-=x y B 、)1(4-=x y C 、14-=x y D 、)1(3-=x y 5、下列各微分式正确的是（ ）. A 、)(2x d xdx = B 、)2(sin 2cos x d xdx = C 、)5(x d dx --= D 、22)()(dx x d = 6、设 ?+=C x dx x f 2cos 2)( ，则 =)(x f （ ）. A 、2sin x B 、 2sin x - C 、 C x +2sin D 、2sin 2x - 7、?=+dx x x ln 2（ ）. A 、C x x ++-22ln 212 B 、 C x ++2 )ln 2(21 C 、 C x ++ln 2ln D 、 C x x ++-2ln 1 8、曲线2x y = ，1=x ，0=y 所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体体积=V （ ）. A 、?104dx x π B 、?1 0ydy π C 、?-1 0)1(dy y π D 、?-104)1(dx x π 9、?=+1 01dx e e x x （ ）. A 、21ln e + B 、2 2ln e + C 、31ln e + D 、221ln e + 10、微分方程 x e y y y 22=+'+'' 的一个特解为（ ）. A 、x e y 273=* B 、x e y 73=* C 、x xe y 272=* D 、x e y 27 2=* 二、填空题（每小题4分） 1、设函数x xe y =，则 =''y ； 2、如果322sin 3lim 0=→x mx x , 则 =m . 3、=?-1 13cos xdx x ； 4、微分方程 044=+'+''y y y 的通解是 . 5、函数x x x f 2)(+= 在区间 []4,0 上的最大值是 ，最小值是 ； 三、计算题（每小题5分） 1、求极限 x x x x --+→11lim 0 ； 2、求x x y sin ln cot 2 12+= 的导数； 3、求函数 1133+-=x x y 的微分； 4、求不定积分?++1 1x dx ； 5、求定积分 ?e e dx x 1 ln ； 6、解方程 2 1x y x dx dy -= ； 四、应用题（每小题10分） 1、 求抛物线2x y = 与 2 2x y -=所围成的平面图形的面积. 2、 利用导数作出函数323x x y -= 的图象. 《高数》试卷1 (上) (A) y =x —1 (B ) y=_(x 1) (C ) y = I n X -1 x -1 ( D ) y = x 4?设函数f x =|x|，则函数在点x=0处( ) 5 .点x = 0是函数y = x 4的( ) 1 6. 曲线y 的渐近线情况是( ). |x| (A )只有水平渐近线 (B )只有垂直渐近线 (C )既有水平渐近线又有垂直渐近线 (D )既无水平渐近线又无垂直渐近线 7. f — _2dx 的结果是( ). l x /X f 1 L f 1 L CL f 1 L (A ) f 一丄 C (B ) —f -丄 C (C ) f 1 C (D ) 一 f - C I X 丿 I X 丿 l x 丿 J x 丿 dx & 匚出的结果是( ). e e (A ) arctane x C (B ) arctane" C (C ) e x C ( D ) ln(e x e^) C 9.下列定积分为零的是( ). 1.下列各组函数中 ，是相同的函数的是 ( ). (A ) f (x ) = lnx 2 和 g (x ) = 2ln X (B ) f ( x ) =| x|和 g (x )=J? (C ) f (X )=X 和 g (x ) = (T X ) (D ) f (X )= |x| 和 X g (x )“ Jsinx+4 -2 x 式0 2.函数 f (X )= * In (1 +x ) 在X = 0处连续，则 a =( ) a x = 0 (A ) 0 ( B 1 - (C ) 1 (D ) 2 4 3?曲线y = xln x 的平行于直线x - y T = 0的切线方程为( ) (A )连续且可导 (B )连续且可微 (C )连续不可导 (D )不连续不可微 (A )驻点但非极值点 (B )拐点 (C )驻点且是拐点 (D )驻点且是极值点 「?选择题(将答案代号填入括号内，每题 3分，共30分) 同济大学2009-2010学年第二学期高等数学C(下)期终试卷 一、选择题.（本题共有5小题，每小题3分，满分15分，每题只有一个正确答案） 1、下列微分方程为一阶线性方程的是： 【 D 】 :A '1yy =； :B 'e 1y y +=； :C 2 'y y y +=； :D 2 'y y x =+。 2、若向量()()()2,1,0,1,1,2,0,1,2a b c k =-=--=，且() 0a b c ??=，则k = 【 B 】 :1A ； :2B ； :3C ； :4D 。 3、若向量()1,2,a k =-在向量()2,1,2b =-上的投影为2-，则k = 【 C 】 :1A ； :2B ； :3C ； :4D 。 4、设e cos x x z x y y =+ -，则z y ?=? 【 A 】 :A 2e sin x x y y - +； :B 21e sin x x y y -+； :C 21e sin x y y -+； :D 2e sin x x y y -。 5、交换二次积分的次序：()2 220d ,d y y y f x y x =?? 【 A 】 ()4 2 : d ,d x A x f x y y ? ?； ()4 :d ,d x B x f x y y ?； ()2220 :d ,d x x C x f x y y ??； ()2 :d ,d x D x f x y y ?。 二、填空题（本题共4小题，每小题4分，满分16分，只需将答案填入空格） 6、微分方程"2'20y y y -+=的通解为y =() 12e cos sin x c x c x +. 7、设向量()()2,3,2,2,3,0a b =-=-，若,x a x b ⊥⊥，且7x =。则向量x =()3,2,6±。 8、空间直线240 329x y z x y z -+=?? --=?在xoy 面上的投影直线方程为： 7990x y z -=?? =? 。 9、设函数()2z f x y =-，其中函数f 具有二阶导数，则 2z x y ?=??() 2"2f x y --。 高等数学复习提纲同济 大学下册 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 高等数学复习提纲 一、考试题型 1．填空题6题 2．计算题8题 二、知识点 1．平面及其方程。 例题：一平面过点(101)且平行于向量a (211)和b (110)试求这平面方程 解所求平面的法线向量可取为 k j i k j i b a n 30 11112-+=-=?=? 所求平面的方程为 (x 1)(y 0)3(z 1)0即xy 3z 40 2．空间直线及其方程。 例题：求过点(203)且与直线???=+-+=-+-0 12530742z y x z y x 垂直的平面方程 解所求平面的法线向量n 可取为已知直线的方向向量即 k j i k j i n 1114162 53421)2 ,5 ,3()4 ,2 ,1(++-=--=-?-=? 所平面的方程为 16(x 2)14(y 0)11(z 3)0 即16x 14y 11z 650 例题：求过点(312)且通过直线1 2354z y x =+=-的平面方程 解所求平面的法线向量与直线1 2354z y x =+=-的方向向量s 1(521)垂直因为点(312)和(430)都在所求的平面上所以所求平面的法线向量与向量s 2(430)(312)(142)也是垂直的因此所求平面的法线向量可取为 k j i k j i s s n 22982 4112521--=-=?=? 所求平面的方程为 8(x 3)9(y 1)22(z 2)0 即8x 9y 22z 590 3．旋转曲面。 例题：将zOx 坐标面上的抛物线z 25x 绕x 轴旋转一周求所生成的旋转曲面的方程 解将方程中的z 换成22z y +±得旋转曲面的方程y 2z 25x 例题：将zOx 坐标面上的圆x 2z 29绕z 轴旋转一周求所生成的旋转曲面的方程 解将方程中的x 换成22y x +±得旋转曲面的方程x 2y 2z 29 4.多元复合函数求导，隐函数求导。 例题：求函数x y e z =的全微分 解xdy e x dx e x y dy y z dx x z dz y x y 12+-=??+??= 例题：设zu 2ln v 而y x u =v 3x 2y 求x z ??y z ?? 解x v v z x u u z x z ?????+?????=??同济大学版高等数学期末考试试卷
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