【解析】山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中四校2014届高三第四次联考数学理试题 Word版含解析

山西省忻州一中 长治二中 临汾一中 康杰中学2013-2014学

年高三第四次四校联考数学试题（理科）A 卷

命题： 康杰中学 临汾一中 长治二中 忻州一中

【满分150分，考试时间120分】

【试卷综析】本试题是一份质优量大的高三测试的好题，涉及范围广，包括集合、复数、圆、

数列、命题、频率分布直方图、概率、程序框图、分段函数、三角函数变换、三视图、解三角形、双曲线、离心率、导数极值、二项式定理、平面向量、直线与圆、线性规划、球、几何证明、不等式选讲、参数方程与极坐标等高考核心考点，又涉及了概率统计、数列、立体几何、解析几何、导数应用等必考解答题型。本题难易程度涉及合理，梯度分明；既有考查基础知识的经典题目，又有考查能力的创新题目；从12,14,15,16等题能看到命题者在创新方面的努力，从17,18，19三题看出考基础，考规范；从20题可以看出考融合，考传统；从16,21两题可以看出，考拓展，考创新。 一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)

1．集合{

}{

}

2

20,2,0x

A x x x

B y y x =->==>，R 是实数集，则

()R

B A

C ?等于（ ）

A ．R

B ．(-∞,0)∪1,+∞)

C ．(]0,1

D ．(](),12,-∞?+∞ 【知识点】不等式的解集，函数值域，补集，交集 【答案解析】D

()()()(],02,,1,,,1R A B B C =-∞?+∞=+∞=-∞，则

()(]()()(](),1,02,,12,R

B A

C ?=-∞?-∞?+∞=-∞?+∞

【思路点拨】把每一个集合解对就好说了

2. 已知z 是复数z 的共轭复数, 0g z z z z ++=，则复数z 在复平面内对应的点的轨迹是( )

A ．圆

B ．椭圆

C ．双曲线

D ．抛物线 【知识点】复数与共轭复数，复数轨迹 【答案解析】A

设(,)z x yi x y R =+∈则222,g z z x z z x y +==+

所以0g z z z z ++=变为()2

222

2011x y x x y ++=?++=故选A

【思路点拨】设复数是关键，再化简。

3．设公比 错误！未找到引用源。的等比数列{}n a 的前错误！未找到引用源。项和为错误！未

试题类型：A

找到引用源。，则错误！未找到引用源。 （ ）

A ．错误！未找到引用源。

B ．错误！未找到引用源。

C ．错误！未找到引用源。

D ．错误！未找到引用源。 【知识点】等比数列通项及前n 项和 【答案解析】A

123114111115

16,14812

a a a q a S a ?

?- ?

??====-，所以43152S a =

【思路点拨】熟悉公式是基础，认真计算是关键 4.命题:,sin cos 2p x R x x ?∈-<

命题:q “1a =”是“直线1l ：210ax y +-=与直线2l ：()140x a y +++=平行”的充分条件.则下列命题中，真命题是

A ．(?q)∨p

B ．p ∧q

C ．(?p)∧(?q)

D ．(?p)∨ (?q) 【知识点】全称命题，充分条件

【答案解析】D 由题易知命题p 错误；命题q 正确，因此p ?正确，q ?错误，故()q p ?∨错，p q ∧错，()()p q ?∧?错，()()q q ?∨?对。 【思路点拨】分解的能力，组合的对错判定 5．某一个班全体学生参加物理测试，成绩的频率分布直方图如图，则该班的平均分估计是 A ．70 B ．75 C ．68 D ．66

【知识点】频率分布直方图，均值 【答案解析】C

平均分就是频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和。即：

0.00520300.0120500.0220700.015209068

??+??+??+??=【思路点拨】记住公式

11

2

2

n n x p x p

x p x -

=++???+

6．在长为8的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于AC 、BC 的长，则该矩形面积大于15的概率 ( ) A ．16 B ．14 C ．23 D ．45

【知识点】概率

【答案解析】B 设,AC x =则8BC x =-

20 100

80 60 40 0.02 0.005

0.015 0.01 成绩/分

频率

组距

所以()288S AC BC x x x x ==-=-+由2

2

815815035x x x x x -+>?-+

故531

84

p -=

= 【思路点拨】几何概型，与长度比有关。

7．右图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值．若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【知识点】程序框图，方程的解 【答案解析】D

实际上函数是()()

3ln 5

(5)

1252x x y x x x

x +>???

=<≤?

?≤?? 由y x =画出图像，可知有四个交点。

【思路点拨】弄清程序框图实质，会画出图像，寻找交

点。 8．把函数()2

2

sin 2sin cos 3cos f x x x x x =-+的图

像

沿错误！未找到引用源。轴向左平移m (m >0)个单位，所得函数()g x 的图像关于直线8

x π

=

对称，则m 的最小值为 （ ）

Ａ．错误！未找到引用源。 Ｂ．错误！未找到引用源。 Ｃ．错误！未找到引用源。 Ｄ．错误！未找到引用源。

【知识点】三角函数，三角函数式的化简，图像变换，对称问题 【答案解析】Ａ

第一步：化简()2

2

2

sin 2sin cos 3cos 12sin cos 2cos f x x x x x x x x =-+=-+

3sin 2cos 222sin(2)4

x x x π=-++=+

第二步：平移()332sin 2()2sin 2244g x x m x m ππ???

?

=

++=++

??????

?

第三步：验证图像对称问题 把8

x π

=

代入上式中的3224x m π++

2m π=+2k ππ=+24

k m ππ?=- 则m 的最小正值为

4

π

【思路点拨】分清步骤，思路清晰，解答谨慎。

结束

y=x 3

输出y

y=1

x

y=lnx+5

否

x>2?

是

开始

x>5? 输入x

否 是

9．已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（ ）

A ．23

3 B ．236 C ．113

D ．103

【知识点】三视图，体积 【答案解析】D

该几何体实际是一个直三棱柱截去一个下方的直三棱锥后得到的物体。

111111102222212323

ABC A B C M ABC

V V V --=-=???-????=

【思路点拨】三视图识别是关键，当今有关三视图的 考查越来越难，我想还是掌握关键，不必引入太难的 题，毕竟高考时还是好做的。

10．已知四边形ABCD ，∠BAD=120o，∠BCD=60o，AB ＝AD ＝２，则AC 的最大值为（ ） A ．４33 B ．４ C ．８33 D ．８

【知识点】四边形，对称性 【答案解析】B

如图，画一圆心为O ，半径为2的圆，A,B,D 位置如图 所示，显然，AC 为直径时达到最长。

【思路点拨】图像的直观性与对称性是考查数学素养的最好 素材。

11．已知双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>，右焦点F 到渐近线的距离小于等于a ，则该双曲

线离心率的取值范围为( )

A ．错误！未找到引用源。

B ．错误！未找到引用源。

C ．

D ．错误！

未找到引用源。

【知识点】双曲线，离心率的取值范围

(1,2]

1

1 2

2 2

2 2 正视

侧视

俯视

【答案解析】C (,0)F c 渐近线0b

y x bx ay a

=

?-= 2

22

112bc bc b b a a b a e c a a a b -??≤?≤?≤?≤?=+≤ ???+故选C

【思路点拨】直译法来解就行。如果记住焦点到渐近线距离为常数b 更好更快。 12．若()f x 满足()()23'2x x f x xf x x e -=，()222f e =-.则0x >时，()f x ( ) Ａ．有极大值，无极小值

Ｂ．有极小值，无极大值 Ｃ．既有极大值，又有极小值 Ｄ．既无极大值，也无极小值 【知识点】导数及其应用

【答案解析】B 构造函数()()2f x g x x =显然题设条件是()()24

'2x

x f x xf x e x x -= 即()'0x

e g x x

=> ()g x ∴在()0,+∞是增函数。 ()()2f x x g x = 由()()()2221

2242222

f e

g e g e =-?=-?=-

()()()()()21'2'222x x f x xg x x g x xg x xe x g x e ?

?∴=+=+=+???

?

注意到()2

1202

g e +

=，()'20f ∴=且02x <<时，()'0f x <；2x >时，()'0f x > 所以在()0,+∞上，()f x 在2x =处有极小值，无极大值。

【思路点拨】本题思路极其复杂，可对比2013年高考辽宁卷一题产生思路：

（2013辽宁卷）若()f x 满足()()2

3'2x

x f x xf x x e -=，()2

22f e =-.则0x >时，()f x

( )

Ａ．有极大值，无极小值 Ｂ．有极小值，无极大值 Ｃ．既有极大值，又有极小值 Ｄ．既无极大值，也无极小值

解答：()()

23

2'x e x f x f x x -=

设()()2

2x

h x e x f x =-则()()()2

2'22'21x x

x

x e h x e xf x x f x e e x x ????=-+=-=- ?????

易得：当02x <<时，()'0h x <，当2x >时，()'0h x >，当2x =时，()'0h x =

所以()h x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，()2h 为()h x 的极小值点。

()()222222220h e f e e =-=-= ()0h x ∴≥

()()

23

2'0x e x f x f x x

-∴=≥ ()f x ∴在()0,+∞上单调递增

即()f x 在()0,+∞上时无极大值也无极小值。

二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上)

6113.2x x ?

?+ ??

?展开式中的常数项为

【知识点】二项式定理，通项 【答案解析】60

()

3

662166122r

r n r

r

r r r T C x C x x ---+??== ???

要求常数项，须3042r r =?=6- 故常数项为644

416241560T C -+==?=

【思路点拨】主要在通项上做文章。

14．?ABC 中，|CB →|cos ∠ACB=|BA →|cos ∠CAB=3，且AB →·BC →=0，则AB 长为 _ 【知识点】解三角形，正弦定理，垂直判断 【答案解析】6 由|CB →|cos ∠ACB=|BA

→|cos ∠CAB cos cos sin cos cos sin sin()0a C c A A C A C A C ?=?-=-=A C ?= 由AB →·BC →=0090B ?∠=；所以该三角形为等腰直角三角形。045A C ==

由|BA →

|cos ∠CAB=32

362

AB AB ??

=?= 【思路点拨】用好用透已知条件，恰当转换，相机应用。 15．已知直线()20,02x y a b b R a ++-=∈≤≤与圆

222x y +=有交点，则a b +的最大值为

【知识点】直线与圆的位置关系，线性规划，最大值 【答案解析】8 由直线与圆有交点，推得22222

a b a b -≤?-≤

及02a ≤≤ 画出如右图的可行域 设目标函数为z a b =+

如图易知当直线b a z =-+过点（2,6）时，max 8z =

【思路点拨】由解析几何问题转化为线性规划问题是突破口；画图时关键。 16．四棱锥P ABCD -底面是一个棱长为2的菱形，且DAB=60o，各侧面和底面所成角均

为60o，则此棱锥内切球体积为

【知识点】画图很关键，重要是想清内切圆的圆心的位置。 【答案解析】π

6 如图设AC BD M ?=

PM ABCD ∴⊥

设棱锥内切球球心为O ，半径为 R.

由已知如图：0

60PNM ∠=

32MN =

；0

33tan 60322

PM MN ==

?= 由,OM R =则3

2

PR PM R R =-=

-，同时OE R = 011

sin 30322

2

OE R R PR R ===?=- 故此棱锥内切球体积为3

4413386

R πππ=?=

【思路点拨】心中有图，并且注意到对称性，想想处球心位置并算出球的半径。

三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)

17．在等差数列{}n a 错误！未找到引用源。中，13a =，其前n 项和为n S 错误！未找到引

用源。，等比数列{}n b 错误！未找到引用源。的各项均为正数，11b = 错误！未找到引用源。，公比为q ，且2212b S += 错误！未找到引用源。， 2

2

S q b = 错误！未找到引用源。． （1）求n a 错误！未找到引用源。与 n b ； （2）求

12111

n

S S S ++???+ 错误！未找到引用源。的取值范围． 【知识点】等差数列，等比数列，求和 【答案解析】解：（1）设{}n a 的公差为d ， ∵b 2+S 2=12错误！未找到引用源。， q=S 2

b 2

∴?

??q+6+d=12

q 2=6+d ，解得q=3或q=-4(舍)，d=3. 故3n a n =, 13n n b -= ……………4分 （2）S n =n(3+3n)2=3n(n+1)2,∴1S n =23n(n+1)=23(1n -1

n+1

)

∴1S 1+1S 2+…+1S n =23(1-12+12-13+…+1n -1n+1)=23(1-1

n+1) ……………8分

∵n≥1,∴0<1n+1≤12, 12≤1-1n+1<1

∴13≤23(1-1n+1)<23

,

即13≤1S 1+1S 2+…+1S n <2

3

……………12分 【思路点拨】第一问是常规的计算题；第二问走到裂项求和法上，求范围是注意n 的取值就行了。

18．为了普及环保知识增强环保意识，某校从理工类专业甲班抽取60人，从文史类乙班抽取50人参加环保知识测试。 ⑴ 根据题目条件完成下面2×2列联表，并据此判断你是否有99%的把握认为环保知识与专业有关

优秀 非优秀 总计 甲班 乙班 30 总计

60

⑵为参加上级举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，预选赛答卷满分100分，优秀的同学得60分以上通过预选，非优秀的同学得80分以上通过预选，若每位同学得60分以上的概率为12，得80分以上的概率为1

3

，现已知甲班有3人参加预选赛，其中1人为优秀学生，若随机

变量X 表示甲班通过预选的人数，求X 的分布列及期望E （X ）. 附: k 2

=n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

, n=a+b+c+d

P(K 2>k 0) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 k 0

2.706

3.841 5.024

6.635

7.879

【知识点】2×2列联表，概率，分布列及期望 【答案解析】解（1）2×2列联表如下

优秀 非优秀 总计 甲班 40 20 60 乙班 20 30 50 总计

60

50

110

由错误！未找到引用源。算得，

错误！未找到引用源。，所以有99%的把握认为环保知识与专业有关 （4分）

（2）不妨设3名同学为小王，小张，小李且小王为优秀，记事件M,N,R 分别表示小王，小张，小李通过预选，则P （M ）=12， P （N ）=P （R ）= 1

3 （5分）

∴随机变量X 的取值为0，1，2，3 （6分）

所以P(x=0)=P(M ˉN ˉR ˉ)=12×23×23 = 29, P(x=1)=P(MN ˉR ˉ+M ˉNR ˉ+M ˉN ˉR)= 12×23×23+12×23×13+12×2

3×

13= 49, P(x=2)=P(MNR ˉ+M ˉNR+MN ˉR)= 12×23×13+12×23×13+12×13×13 = 518, P(x=3)=P(MNR)= 1

2×13×13 = 1

18 （10分） 所以随机变量X 的分布列为：

X 0 1 2 3 P

2

9

49

518

118

E(X) =0×29+1×49+2×518+3×118 = 7

6

（12分）

【思路点拨】一要弄清列联表中各位置该填的数据；二要知道卡方公式的判断意义；三要弄清随机变量的取值情况并算出相应的概率；最后代入计算公式。 19．（本题满分１２分）

如图，四棱锥P-ABCD 的底面是矩形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，在 PAD 中PA →+PD →=2PE →

，且AD=2PE

(1)求证：平面PAB ⊥平面PCD ；

(2)如果AB=BC,PAD=60o，求DC 与平面PBE 的正弦值

B

P A

C

D

E

【知识点】面面垂直，线面角

【答案解析】解：（1）∵四棱锥P-ABCD 的底面是矩形 所以CD ⊥AD ， 又∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，且侧面PAD∩底面ABCD=AD ， 所以CD ⊥PA ， 因为在?PAD 中，PA →+PD →=2PE →

，且AD=2PE 所以PD ⊥PA 而CD ∩PD=D 所以PA ⊥平面PCD ， ∵PA 平面PAB

所以平面PAB ⊥平面PCD …………………4分 （2）如图，以AB 为x 轴，AD 为y 轴建立空间直角坐标系A-XYZ ， 设AB=4,

则A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,4,0),D(0,4,0)E(0,2,0) 在Rt ?APD 中AD=4, ∠PAD=60o, ∴P(0,1,3) ……………6分 ∴BP →=(-4,1,3),BE →

=(-4,2,0)

设平面PBE 的一个法向量为n →

=(x,y,z)

由???n →·BP →=0

n →·BE →=0，得???-4x+y+3z=0-4x+2y=0. 令y=2得

x=1,z=233,∴ n →=(1,2, 233)…………10分

而DC →

=(4,0,0),

∴cos

>= DC →·n →|DC →|·|n →

| = 5719

∴DC 与平面PBE 的正弦值为

57

19

……………12分 【思路点拨】第一问通常是常规解法来证面面垂直；第二问要建立合适的空间直角坐标系，再套用公式求解。

20．已知点P 在圆x 2

+y 2

=1上运动，DP ⊥y 轴，垂足为D,点M 在线段DP 上，且|DM||DP|=2

2 （Ⅰ）求点M 的轨迹方程；

（Ⅱ）直线l 与y 轴交于点Q(0，m)(m≠0)，与点M 的轨迹交于相异的两点A,B ，且AQ →=λQB →

,若OA →+λOB →=4OQ →

.求m 的取值范围.

z

x

y

B P A

C

D

E

【知识点】圆，轨迹方程，椭圆，参数范围 【答案解析】解：（Ⅰ）设M(x,y )，P(x 0,y 0)，

则?

????x x 0

= 2

2y=y 0 得???x 0=2x y 0=y

又P(x 0,y 0)在圆x 2+y 2=1上 ∴y 2+2x 2=1

∴点M 的轨迹方程为y 2+2x 2=1 ………4分

（Ⅱ）设直线l 与点M 的轨迹交于相异的两点A(x 1,y 1,B(x 2,y 2).把y=kx+m 代入y 2+2x 2=1得(k 2+2)x 2+2kmx+m 2-1=0,∴?=4(k 2-2m 2+2)>0 ………6分 x 1+x 2 = -2km k 2+2, x 1?x 2=m 2-1

k 2+2

∵AQ →=λQB →,∴OA →+λOB →=(1+λ)OQ →

, 又OA →+λOB →=4OQ →.∴λ=3,即AQ →=3QB →，

∴x 1=-3x 2, ………8分 由

?

????x 1+x 2 =

-2km k 2+2

x 1?x 2= m 2-1k 2

+2x 1= -3x 2

得 4k 2m 2+2m 2-k 2-2=0 ………10分 当m 2= 14时，4k 2m 2+2m 2-k 2-2= - 3

2

<0，不合题意

当m 2

≠ 14时，k 2= 2-2m 24m 2-1,由①得k 2>2m 2-2，∴2-2m 24m 2-1>2m 2

-2，解得m ∈(-1,-12)∪(12

,1) ∴m 的取值范围为(-1,-1

2)∪(12

,1) ………12分

【思路点拨】本题是一个考查直线与圆锥曲线关系得好题，第一问求轨迹方程，第二问利用已经求出的方程探求直线与椭圆的关系，有一定技巧和难度。

21.已知函数错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。为自然对数的底），错误！未找

到引用源。（错误！未找到引用源。为常数），错误！未找到引用源。是实数集错误！未找到引用源。上的奇函数.

⑴ 求证：错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。；

⑵ 讨论关于错误！未找到引用源。的方程：错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。的根的个数；

【知识点】导数，方程，不等式

【答案解析】⑴ 证明：设错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。，

∵当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，当错误！未找到引用源。时，

错误！未找到引用源。，∴F(x)min =F(0)=0

∴F(x)≥0,即错误！未找到引用源。； ………6分

⑵ 解：∵错误！未找到引用源。是实数集错误！未找到引用源。上的奇函数，∴错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，

∴方程为错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。.

设错误！未找到引用源。，则由错误！未找到引用源。得，x=e ， ………8分

又∵当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，

∴错误！未找到引用源。，

设错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。，………10分 ∴① 当错误！未找到引用源。时，原方程无解；

② 当错误！未找到引用源。时，方程有且只有一根错误！未找到引用源。； ③ 当错误！未找到引用源。时，方程有两根； ………12分 【思路点拨】本题是一个多方面考查导数的好题目，第一问通过构造函数证明了不等式；第二问把方程问题转化为函数问题，通过两厢研究，图形结合，得到结果。分布列及期望

请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑． 22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲

如图，已知PA 与圆O 相切于点A ，经过点O 的割线PBC 交圆O 于点B 、C ，∠APC 的平分线分别交AB 、AC 于点D 、E ，

（Ⅰ）证明：∠ADE=∠AED ； （Ⅱ）若AC=AP ，求PC

PA 的值。

【知识点】平面几何

【答案解析】解：(1)∵PA 是切线，AB 是弦，∴∠BAP=∠C 又∵∠APD=∠CPE,∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE. ∵∠ADE=∠BAP+∠APD, ∠AED=∠C+∠CPE.

∴∠ADE=∠AED ……………5分 (2)由(1)知∠BAP=∠C,又∠APC=∠BPA,∴?APC ∽?BPA,PC PA =AC

AB ,

∵AC=AP , ∠BAP=∠C=∠APC,

由三角形的内角和定理知：∠C+∠APC+∠PAC=180o,

∵BC 是圆O 的直径,∴∠BAC=90o,∴∠C+∠APC+∠BAP=90o,∴∠C=∠APC=∠BAP=30o, 在Rt ?ABC 中, AC AB =3,∴PC

PA = 3 ……………10分

【思路点拨】常规题型

D

E

B

A O C

P

23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

已知直线l 的参数方程是???x=22t

y=2

2t+4

2

(t 是参数)，圆C 的极坐标方程为ρ=2cos(θ+π

4

)．

（1）求圆心C 的直角坐标；

（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 【知识点】极坐标与参数方程

【答案解析】解：(1)∵ρ=2cos(θ+π

4

)

∴ρ=2 cos θ-2sin θ,∴ρ2

=2ρcos θ-2ρsin θ …………(2分) ∴圆C 的直角坐标方程为x 2

+y 2-2x+2y=0 …………(3分) ∴圆心C 的直角坐标为(

22,- 2

2

) …………(5分) (2)法一： 由直线l 上的点向圆C 引切线长为

(

22t-22)2+(22t+ 22

+42)2-1=t 2+8t+40=(t+4)2

+24≥26, ∴直线l 上的点向圆C 引切线长的最小值为26 …………（10分） 法二：直线l 的普通方程为x-y+42=0, …………(6分)

圆心C 到l 直线距离是

52

|2422

22|

=++， …………(8分)

∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是621522=- …………（10分） 【思路点拨】极坐标与直角方程的互化，参数方程与直角方程的互化，点到直线距离都要熟练掌握。

24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知a 2+b 2=1, c 2+d 2=1. （1）求证ab+cd≤1

（2）求a+3b 的取值范围． 【知识点】不等式选讲

【答案解析】解：（1）∵a 2+b 2≥2ab, c 2+d 2≥2cd ∴a 2+b 2+c 2+d 2≥2(ab+cd), 当且仅当a=b=c=d=

2

2

时取“=” …………（2分） 又∵a 2+b 2=1, c 2+d 2=1

∴2(ab+cd)≤2 …………（4分）

∴ab+cd ≤1 …………（5分） （2）设m →=(a,b),n →

=(1,3),

∵|m →?n →|≤|m →|?|n →

|, …………（8分） ∴|a+3b|≤2a 2+b 2=2 ∴-2≤a+3b ≤2

∴a+3b 的取值范围为-2，2 …………（10分） 【思路点拨】熟悉不等式链；第二问也可以由圆的参数方程设出。