福建省南安2016-2017学年高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案

福建省南安2016-2017学年高二上学期期末考试

数学（理）试题

考试时间：120分钟 满分：150分

一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分） 1．命题“000(0,), lnx 1x x ?∈∞=- ”的否定是（ ）

A ．000(0,),lnx 1x x ?∈∞≠-

B ．000(0,),lnx 1x x ??∞=-

C ．(0,),lnx x 1x ?∈∞≠-

D ．(0,),lnx x 1x ??∞=- 2. 由11a =，3d =确定的等差数列{}n a ，当298n a =时，则n 等于 （ ） A ．99

B ．100

C ． 96

D ．101

3. 命题“?a 、b ∈R ，若a ＝b ，则a 2

＝ab ”的否命题是（ ）

A ．?a 、b ∈R ，若a 2

＝ab ，则a ＝b B ．?a 、b ∈R ，若a 2

＝ab ，则a ≠b C ．?a 、b ∈R ，若a 2

≠ab ，则a ≠b D ．?a 、b ∈R ，若a ≠b ，则a 2

≠ab

4. “m>0”是“方程23x +2

y m

=1表示椭圆”的 ( )条件

A. 必要不充分

B. 充要

C. 充分不必要

D. 既不充分又不必要

5. 满足线性约束条件23,23,0,0,x y x y x y +≤??

+≤??≥≥?

的目标函数z x y =+的最大值是 （ ）

A 1.

B 1.5.

C 2.

D 3.

6. 在ABC ?中,c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，若,cos cos A b B a = 则ABC ?的形状 一定是（ ）

A. 等腰直角三角形

B.等腰三角形

C. 直角三角形

D. 等边三角形 7. 若等比数列}{n a 前n 项和为S n ，且S 1=18，S 2=24，则S 4=（ ） A ．

376 B ．379 C ．380 D ．3

82 8. 若一个矩形的对角线长为常数a ，则其面积的最大值为（ ）

A. 2a

B.

212a C. a D. 1

2

a

9. 已知点F 1、F 2分别是椭圆22x k +＋2

1

y k +＝1(k ＞－1)的左、右焦点，弦AB 过点F 1，若

△ABF 2的周长为8，则椭圆的离心率为 （ ）

A.

12 B ．14 C ．4

D ．34 10. 两个等差数列}{n a 和}{n b ,其前n 项和分别为n n T S ,,且

,3

2

7++=n n T S n n 则

15

720

2b b a a ++等于( )

A.

4

9 B. 837 C. 1479 D. 24149

11．设a ＞0为常数，若对任意正实数x ，y 不等式

1()()9a

x y x y

++≥恒成立，则a 的最 小值为( )

A. 4

B. 2

C.81

D.

16

81 12. 已知数列}{n a 的前n 项和为)34()1(2117139511

--++-+-+-=+n S n n ,则

312215S S S -+的值是( )

A. 13

B. 76

C. 46

D. --76 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．双曲线x 2－y 2

3＝1的的焦点到它的渐近线的距离是 .

14.已知p ：(x －m ＋1)(x －m －1)＜0；q ：12＜x ＜2

3，若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________________．

15. 如图，在四边形ABCD 中，已知:AD ⊥CD, AD=10, AB=14, ∠BDA=60?, ∠BCD=135?, 则BC= .

16. 已知ABC ?三顶点均在双曲线22

124

x y -=上，三边AB 、BC 、AC 所在的直线的斜率均存在且均不为0，

其和为—1；又AB 、BC 、AC 的中点分别为M 、N 、P ，O 为坐标原点，直线OM 、ON 、OP 的斜率分别为1k ，

2k ，3k 且均不为0，则

123

111

k k k ++=______. 三、解答题(本大题共6小题，共70分．写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.（10分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 且a ＝2，cos B ＝3

5.

(Ⅰ)若b ＝4，求sin A 的值；

(Ⅱ)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值．

18．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n n S a =-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2log n n b a =， n c ＝

1

1

n n b b +，记数列{}n c 的前n 项和为n T ，求 n T ; （Ⅲ）设n n na d =，记数列}{n d 的前n 项和为n G ，求n G .

19.（12分）设动点(,)(0)P x y y ≥到定点F (0,1)的距离比它到x 轴的距离大1，记点P 的轨迹为曲线C . （Ⅰ）求点P 的轨迹方程；

（Ⅱ）设圆M 过A (0,2)，且圆心M 在曲线C 上，EG 是圆M 在x 轴上截得的弦，试探究当M 运动时，

弦长EG 是否为定值？并说明理由.

20.（12分）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y （千辆/小时）与汽车的平均速度x （千米/小时）之间的函数关系为：)0(1600

39202>++=

x x x x

y ．

（1） 在该时段内，当汽车的平均速度x 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？ （保留分数形式,不需要化成小数）

（2） 若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度x 应在什么范围内？

21.（12分）在直角梯形ABCD 中，AD //BC ，22BC AD AB ===90ABC ∠= , 如图（1）．把ABD ?沿BD 翻折，使得平面BCD ABD 平面⊥.如图（2） （Ⅰ）求证：CD AB ⊥；

（Ⅱ）若点M 为线段BC 中点，求点M 到平面ACD 的距离；

（Ⅲ）在线段BC 上是否存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60 ？若存在，求出

BC

BN

的值；若不存在，说明理由．

22.（12分）已知）（0,2-1F ,）（0

,22F ,点P 满足221=-PF PF ，记点P 的轨迹为E . （1）求轨迹E 的方程；

（2）若直线l 过点2F 且与轨迹E 交于P 、Q 两点.

（i ）无论直线l 绕点2F 怎样转动，在x 轴上总存在定点)0,(m M ，使MQ MP ⊥恒成立，求实数m 的值. （ii ）在（i ）的条件下，求MPQ ?面积的最小值.

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数学（理）试题答案

CBDAC BCBAD AD 3, ??????

－13，32 , 28, 2

1- 17.解：(1)∵cos B ＝35>0，且0

B ＝4

5 ……………2分

由正弦定理得a sin A ＝b

sin B ， …………………3分 ∴sin A ＝a sin B b ＝2×4

54＝2

5. …………………5分

(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4，∴12×2×c ×4

5＝4，∴c ＝5. ………7分 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， …………………8分

∴b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝

22

＋52

－2×2×5×3

5＝17. …………………10分

18.解：（1）当1=n 时，21=a ， ………………………1分 当2≥n 时，)22(2211---=-=--n n n n n a a S S a ………………………2分 即：21

=-n n

a a ， ………………………3分 ∴数列{}n a 为以2为公比的等比数列 n n a 2=∴ ………………………4分

（2）由b n ＝log 2a n 得b n ＝log 22n ＝n ， ………………………5分

则c n ＝11n n b b +＝()11n n +＝1n －1

1

n +， ………………………6分

T n ＝1－

12＋12－13＋…＋1n －11n +＝1－11n +＝1

n n +. …………………8分 （3）n

n n n na d 2?==, n

n n G 2 (2322213)

2

?++?+?+?=,.........①

143222)1(...2322212+?+?-++?+?+?=n n n n n G ........②………………9分

①-②，错位相减得，1

3

2

2

2...222+?-++++=-n n

n n G ………………10分

y

2=4y

22)1(22

1)21(211--=?---=++n n n n n …………11分

从而，22)1(1

+-=+n n n G …………………………………12分

19.解：（1）依题意知，动点P 到定点F (0,1)的距离等于P 到直线1y =-的距离，曲线C 是以原点为顶点，F (0,1)为焦点的抛物线………………………………2分

∵

12

p

= ∴2p = ∴ 曲线C 方程是24x y =………4分

（2）方法1：设圆的圆心为00(,)M x y ，半径为r ，则2

004x y =，.......6分

∵圆M 过A (0,2)，∴ 222222

000000(2)444r x y x y y y =+-=+-+=+ ………8分

又圆心M 到x 轴的距离0

||d y =

………9分

由圆的弦长公式，得4EG ===------11分 ∴当M 运动时，弦长EG 为定值4…………………………………………………12分 方法2：设圆与x 轴的两交点分别为1(,0)x ，2(,0)x ,圆心为(,)M a b ，∵圆M 过A (0,2)， ∴圆的方程为 2222()()(2)x a y b a b -+-=+- ……………………………7分 令0y =得：22440x ax b -+-=，∴ 122x x a +=，1244x x b ?=- ∴

22121212()()4x x x x x x -=+-?22(2)4(44)41616a b a b =--=-+....10分

又∵点(,)M a b 在抛物线24x y =上，∴24a b =， ∴ 2

12()16x x -= 124x x -=

∴当M 运动时，弦长EG 为定值4.......12分

20.解：（Ⅰ）依题意，

,

83920

160023920)

1600(3920=+≤++=

x

x y ……………3 分 )./(83

920

,,40,1600max 小时千辆所以上式等号成立时即当且仅当===y x x x ….6 分

（Ⅱ）由条件得

,101600

39202

>++x x x

整理得x 2－89x +1600<0,………………………………………………8分

即（x －25）（x －64）<0,

解得25

答：当x=40千米/小时，车流量最大，最大车流量约为920/83千辆/小时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应大于25千米/小时且小于64千米/小时．………………………12 分

21.解：（Ⅰ）由已知条件可得2,2,BD CD ==BD CD ⊥．………………………………1分 ∵平面BCD ABD 平面⊥，BD BCD ABD =?平面平面．∴BD A CD 平面⊥……2分

又∵ABD AB 平面?，∴CD AB ⊥．…………………3分 （Ⅱ）以点D 为原点，BD 所在的直线为x 轴，DC 所在的直线

为y 轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得

(1,0,1),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,0),A B C D (1,1,0)M ．

∴(0,2,0),(1,0,1)CD AD =-=--

．……………4分

设平面ACD 的法向量为),,(z y x =，则⊥⊥,∴0,0,y x z =??+=?

令1x =，

得平面ACD 的一个法向量为)1,0,1(-=，……………………………6分 ∴点M 到平面ACD 的距离2

2

=

=

d ．…………………………………7分 （Ⅲ）假设在线段BC 上存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60 ．

设,01BN BC λλ=<< ，则(22,2,0)N λλ-，∴(12,2,1)AN λλ=--

………8分 又∵平面ACD 的法向量)1,0,1(-=且直线AN 与平面ACD 所成角为60 ，

∴0

sin 60AN n AN n

?==

，……………………………………………10分

可得01282=-+λλ，∴2

1

41-==

λλ或（舍去）． 综上，在线段BC 上存在点N ，使AN 与平面ACD 所成角为60 ，此时

4

1

=BC BN …12分 22.解：（1）由||2||||2121F F PF PF <=-知，点P 的轨迹E 是以F 1、F 2为焦点的双曲线右支，由

3,22,22

=∴==b a c ，故轨迹E 的方程为).1(13

22

≥=-x y x ——3分

（2）当直线l 的斜率存在时，设直线方程为),(),,(),2(2211y x Q y x P x k y -=，与双曲线方程联立消y 得

0344)3(2222=++--k x k x k ，

03

3

4,034,0,03222122212

>-+=?>-=+>?≠-∴k k x x k k x x k 且解得k 2 >3 ....5分

（i ）2121))((y y m x m x MQ MP +--=?

分7.3

)54(343)2(43)34)(1(4))(2()1()2)(2())((22

22222

22222

221221221221 m k k m k

m k m k k k k k k m x x m k x x k x x k m x m x +-+-=++-+--++=++++-+=--+--= 0,=?∴⊥MQ MP ，

故得0)54()1(3222=--+-m m k m 对任意的32>k 恒成立，

.1,0

540

12

2

-=?????=--=-∴m m m m 解得 ∴当m =－1时，MP ⊥MQ . 当直线l 的斜率不存在时，由)0,1()3,2(),3,2(--M Q P 及知结论也成立， 综上，当m =－1时，MP ⊥MQ . ——8分 （ii ）由（i ）知，(1,0)M -，当直线l 的斜率存在时，

2

122

163k PQ x k +=-=-， M 点到直线PQ 的距离为d

，则d =

∴12MPQ

S PQ d ?====——9分 令23(0)k t t -=>

，则MPQ S ?=10t >

所以9MPQ S ?=> ——10分 当直线l 的斜率不存在时，1

3692

MPQ S ?=

??= ——11分 综上可知9MPQ S ?≥，故MPQ S ?的最小值为9. ——12分