高中竞赛常用的不等式

高中竞赛常用的不等式

1．柯西不等式))(()(2n 22212n 22212n 2211b b b a a a b a b a b a n ++++++≤+++ ，其中等号成立条件为n

n b a b a b a ==2211。 附：

给出大家可能没见过的证明:

对于一元二次方程

0)()(2)(2n 2221n 221122n 2221=+++++++-+++b b b x b a b a b a x a a a n 等价于0)()()(2

222211=-++-+-n n b x a b x a b x a ，

该方程最多只有一个解，判别式小于等于0，即

0))((4)(42n 22212n 22212n 2211≤++++++-+++b b b a a a b a b a b a n ， 得证，且等号成立条件，n

n b a b a b a ==2211。

2．四个平均的关系： 平方平均n

a a a Q n 2n 2221+++= ，算术平均n a a a A n n +++= 21，几何平均n n n a a a G 21=，调和平均n

n a a a H 111121+++= 。 满足关系：n n n n H G A Q ≥≥≥，其中等号成立条件为n a a a === 21。调和平均不常用。

3．排序不等式（排序原理）：

设有两个有序数组：n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21，则有 112121221121b a b a b a b a b a b a b a b a b a n n n j n j j n n n +++≥+++≥+++- （同序和） （乱序和） （逆序和） 。

其中n j j j ,,,21 是1,2,…,n 的一个排列。

4．切比雪夫不等式：若n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21，则有 n

b b b n a a a n b a b a b a n n n n +++?+++≥+++ 21212211。 附：切比雪夫不等式其实是排序不等式的应用。

5．关于凸函数的琴生不等式：

)(x f 的二阶导数0)(''≥x f ，则)(x f 为下凸函数；)(x f 的二阶导数0)(''≤x f ，则)(x f 为上凸函数。凸函数有琴生不等式性质：

若)(x f 在区间I 为下凸函数，则对I x x x n ∈,,,21 ， 总有n

x f x f x f n x x x f n n )()()()(2121+++≤+++ ； 若)(x f 在区间I 为上凸函数，则对I x x x n ∈,,,21 ， 总有n

x f x f x f n x x x f n n )()()()(2121+++≥+++ 。 附：应用21)(x x f =

，此时是下凸函数，可得倒数平方和的不等式 2213

22221)

(111n n a a a n a a a +++≥+++ ，等号成立条件n a a a === 21。 而与此对应的另一个倒数和再平方的不等式，是利用调和平均和平方平均的关系，得到的

222212

221)111(n

n a a a n a a a +++≥+++ ，等号成立条件n a a a === 21。