2015-2016学年高中数学 2.3反证法和放缩法练习 新人教A版选修4-5
2．3 反证法与放缩法
1．了解用反证法证明不等式．
2．了解用放缩法证明不等式．
3．提高综合应用知识解决问题的能力．
1．反证法．
(1)先________________，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)________的结论，以说明________不正确，从而证明原命题成立，我们称这种证明问题的方法为反证法．
答案：假设要证的命题不成立矛盾假设
(2)利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：
第一步，分清欲证不等式所涉及的条件和结论．
第二步，做出与所证不等式________的假定．
第三步，从____________出发，应用正确的推理方法，推出________结果．
第四步，断定产生矛盾结果的原因在于开始所做的假定________，于是原证不等式________．
答案:相反条件和假定矛盾不正确成立
反证法经常用于证明否定性命题(结论中出现“不存在”“不可能”等字眼)、唯一性命题、结论中出现“至多”“至少”的命题、结论中出现“都是”“都不是”的命题、证明方法上直接证明较困难或在证明方向上从结论的反面着手较容易的命题．
(3)用反证法证明不等式必须把握以下几点：
①必须否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种情况，缺少任何一种可能的情况，反证法都是不完整的；
②反证法必须从否定的结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理论证．否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；
③推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知的事实相违背等．推导出的矛盾必须是明显的；
④在使用反证法时，“否定结论”在推理论证中往往作为已知使用，可视为已知条件．
(4)反证法中的数学语言．
反证法适宜证明存在性问题、唯一性问题、带有“至少有一个”“至多有一个”等字样
的问题，或者说“正难则反”，直接证明有困难时，常采用反证法，下面我们列举一些常见
思考1 已知a ＞b ＞0，求证：n a ＞n
b (n ∈N 且n ＞1)．用反证法证明此题时第一步是：________．
答案：假设n a ≤n
b
2．放缩法．
(1)所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地________(或________)，使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法．
答案：放大 缩小
(2)放缩法的主要理论依据． ①不等式的传递性；
②等量加不等量为不等量；
③同分子(分母)、异分母(分子)的两个分式大小的比较； ④基本不等式与绝对值不等式的基本性质； ⑤三角函数的有界性等． (3)使用放缩法的主要方法．
放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往从要证明的结论考虑．常用的放缩法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等．比如：
舍去或加上一些项：? ????a ＋122＋34＞? ??
??a ＋122
； 将分子或分母放大(或缩小)：1
k
2＜
1k （k －1），1k 2＞1k （k ＋1），1k ＜2k ＋k －1，1
k
＞
2
k ＋k ＋1
( k ∈R，k ＞1)等．
(4)对不等式而言，放缩的本质是“不等式的加强”，常见的放缩有下面四种类型：
①直接放缩； ②裂项放缩；
③利用数列或函数的单调性放缩； ④利用基本不等式放缩．
思考2 对于任何实数x ，求证：x 2
－x ＋1≥34
.
证明： 因为x 2
－x ＋1＝? ????x －122
＋34≥34
，所以x 2
－x ＋1≥34.
一层练习
1．用反证法证明“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个偶数”时，下列假设中正确的是( )
A．假设a，b，c都是偶数
B．假设a，b，c都不是偶数
C．假设a，b，c至多有一个偶数
D．假设a，b，c至多有两个偶数
答案：B
2．在求证“数列2，3，5不可能为等比数列”时最好采用( )
A．分析法 B．综合法
C．反证法 D．直接法
答案：C
3．设M＝1
210＋
1
210＋1
＋
1
210＋2
＋…＋
1
211－1
，则( )
A．M＝1 B．M<1
C．M>1 D．M与1大小关系不定答案：B
4．A＝1＋1
2
＋
1
3
＋…＋
1
n
与n(n∈N*)的大小关系为________．
解析：n∈N*，当n＝1时，A＝n＝1；
当n>1时，A＝1＋1
2
＋
1
3
＋…＋
1
n
>1＋
1
2＋1
＋
1
3＋2
＋…＋
1
n＋n－1
＝1＋(2
－1)＋(3－2)＋…＋(n－n－1)＝n.
综上可知，A≥n.
答案：A≥n
二层练习
5．(2014.山东高考理科·T4)用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2＋ax ＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根．
B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根．
C ．方程x 2
＋ax ＋b ＝0至多有两个实根
D ．方程x 2
＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根．
解析：本题考查了反证法，从问题的反面出发进行假设．一元二次方程根的个数为0，1，2.因此至少有一个实根包含1根或两根，它的反面为0根．选A.
答案：A
6．设a ，b ，c ∈R ＋
，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a
( )
A ．都大于2
B ．都小于2
C ．至少有一个不大于2
D ．至少有一个不小于2 答案：D
7．A ＝1＋122＋132＋…＋1
n
2与2的大小关系是________．
解析：A ＝1＋122＋132＋…＋1n 2<1＋11×2＋12×3＋…＋1（n －1）n ＝1＋? ????1－12＋? ????12－13＋…＋?
??
??1n －1－1n ＝2－1n <2. 答案：A ＜2
8．已知x ，y >0，且x ＋y >2.
证明：1＋x y ，1＋y x
中至少有一个小于2.
证明：(反证法)设1＋x y ≥2，1＋y x
≥2，则
?
????1＋x ≥2y ， ①1＋y ≥2x . ② 由①②式可得2＋x ＋y ≥2(x ＋y )， 即x ＋y ≤2与题设矛盾． ∴1＋x y ，1＋y
x
中至少有一个小于2.
9．若数列{x n }的通项公式为x n ＝
n
n ＋1
，求证：x 1·x 3·x 5·…·x 2n －1<1－x n
1＋x n
. 证明：∵
1－x n
1＋x n
＝1－
n
n ＋1
1＋n n ＋1
＝1
2n ＋1
， x 1·x 3·x 5·…·x 2n －1＝12
×34
×…×
2n －1
2n
<13×35×…×2n －12n ＋1
＝1
2n ＋1
. ∴x 1·x 3·x 5·…·x 2n －1<
1－x n
1＋x n
.
10．(2014·佛山一模·节选)数列{a n }的通项公式a n ＝4n (n ＋1)． (1)记1c n ＝1a n ＋1a n ＋1，求证：对一切正整数n ，有1c 1＋1c 2＋1c 3＋…＋1c n <38；
(2)求证：对一切正整数n ，有1a 1－1＋1a 2－1＋1a 3－1＋…＋1a n －1<2
7
. (1)证明：证法一
1
a n ＝14n 2＋4n ＝14(1n －1
n ＋1
)， 所以1c n ＝1a n ＋1a n ＋1＝14? ????1
n －1n ＋2.于是
1
c 1＋1c 2＋1c 3＋…＋1c n ＝14[? ????1－13＋(12－1
4)＋…＋ ? ????1n －1－1n ＋1＋? ??
??1n －1n ＋2]＝14
(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)<38. 证法二
1
c n ＝1a n ＋1
a n ＋1
＝
14n （n ＋1）＋14（n ＋1）（n ＋2）＝12n （n ＋2）＝14? ??
??1
n －1n ＋2.
于是1c 1＋1c 2＋1c 3＋…＋1c n
＝14[? ????1－13＋(12－14)＋…＋? ????1n －1－1n ＋1＋(1n －1n ＋2)] ＝14(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)<38. (2)证明：所证明的不等式为 17＋123＋147＋…＋14n 2＋4n －1<27
. 证法一 首先证明14n 2＋4n －1<27(1n －1n ＋1)(n ≥2)．
∵
14n 2
＋4n －1<27? ????1n －1n ＋1?14n 2＋4n －1<27n 2＋7n
?7n 2＋7n <8n 2＋8n －2?n 2
＋n －2>0?(n －1)·(n ＋2)>0.
∴当n ≥2时，
17＋123＋…＋14n 2＋4n －1<17＋27[? ????12－13＋…＋? ????1
n －1n ＋1]<17＋27×12＝27. 当n ＝1时，17<27
.
综上所述，对一切正整数n ，有 1a 1－1＋1a 2－1＋1a 3－1＋…＋1a n －1<27. 方法二
14n 2
＋4n －1<14n 2＋4n －3＝1（2n －1）（2n ＋3）＝14? ??
??1
2n －1－12n ＋3.
当n ≥3时，17＋123＋…＋14n 2＋4n －1<17＋123＋14·[? ????15－19＋? ??
??17－111＋…＋
? ????12n －3－12n ＋1＋? ????12n －1－12n ＋3]<17＋123＋14? ??
??15＋17<17＋114＋114＝27
.当n ＝1时，17<27； 当n ＝2时，17＋123<17＋17＝2
7.
综上所述，对一切正整数n ，有 1a 1－1＋1a 2－1＋1a 3－1＋…＋1a n －1<27.
三层练习
11．若数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，n ∈N *
，求证：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋
1a n
<74
. 证明：①当n ＝1时，1a 1＝1<7
4，∴原不等式成立．
②当n ＝2时，
1
a 1＋1a 2＝1＋14<7
4，∴原不等式成立． ③当n ≥3时，
∵n 2
>(n －1)·(n ＋1)，∴1n 2<1
（n －1）·（n ＋1）
.
1
a 1
＋
1
a 2
＋…＋
1
a n
＝
112＋122＋…＋1n 2<1＋11×3＋12×4＋…＋1（n －2）n
＋1（n －1）·（n ＋1）＝1＋12? ????1－13＋12? ????12－14＋12? ????13－15＋…＋12? ????1
n －2－1n ＋12? ????1n －1－1n ＋1＝1＋12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －2－1n ＋1n －1－1n ＋1)＝1＋12? ????1＋12－1
n －1n ＋1＝74＋12(－
1
n －
1n ＋1)<7
4.
∴当n ≥3时，∴原不等式成立．
综上，对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <7
4.
12．已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为A n ，第n 项之
后各项a n ＋1，a n ＋2…的最小值记为B n ，d n ＝A n －B n
证明：若a 1＝2，d n ＝1(n ＝1，2，3…)，则{a n }的项只能是1或2，且有无穷多项为1 解析：①首先{a n }中的项不能是0，否则 d 1＝a 1－0＝2，与已知矛盾．
②{a n }中的项不能超过2，用反证法证明如下：
若{a n }中有超过2的项，设a k 是第一个大于2的项， {a n }中一定存在项为1，否则与d n ＝1矛盾．
当n ≥k 时，a n ≥2，否则与d k ＝1矛盾．
因此存在最大的i 在2到k －1之间，使得a 1＝1， 此时d i ＝A i －B i ＝2－B i ≤2－2＝0，矛盾． 综上{a n }中没有超过2的项．
综合①②，{a n }中的项只能是1或2.
下面证明1有无数个，用反证法证明如下：
若a k 为最后一个1，则d k ＝A k －B k ＝2－2＝0，矛盾． 因此1有无数个．
13．(2014·广东高考文科)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足S 2
n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *.
(1)求a 1的值；
(2)求数列{a n }的通项公式；
(3)证明：对一切正整数n ，有
1a 1（a 1＋1）＋1a 2（a 2＋1）＋…＋1a n （a n ＋1）＜1
3
.
解析：(1)令n ＝1，则S 1＝a 1，S 2
1－(12
＋1－3)S 1－3(12
＋1)＝0，即a 2
1＋a 1－6＝0，解得
a 1＝2或a 1＝ －3(舍去)．
(2)S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2
＋n )＝0
可以整理为(S n ＋3)[S n －(n 2
＋n )]＝0， 因为数列{a n }中a n ＞0，
所以S n ≠－3，只有S n ＝n 2
＋n .
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2
－(n －1)＝2n ，
而a 1＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ∈N *
)．
(3)因为
1a n （a n ＋1）＝12n （2n ＋1）＝14·1n ? ????n ＋12＜14·1? ????n －14? ????n ＋1－14，
1
? ????n －14? ??
??n ＋1－1
4＝
1
n －14－1
n ＋1－14， 所以
1a 1（a 1＋1）＋1a 2（a 2＋1）＋…＋1a n （a n ＋1）＜1
4
????? ?????11－14
－12－14＋? ???
??12－14－13－14＋…＋
????? ?????1n －14
－1n ＋1－14＝14????????11－14－1n ＋1－14＝1
3－14n ＋3＜13
.
故对一切正整数n ，有
1a 1（a 1＋1）＋1a 2（a 2＋1）＋…＋1a n （a n ＋1）＜1
3
.
14．设a n 是函数f (x )＝x 3＋n 2x －1(n ∈N *
)的零点，且0 n ＋1 ＋a n <32 . 证明：先证明左边的不等式： 因为a 3n ＋n 2 a n －1＝0. 由0 1 n 2 ＋1 .所以 a 1＋a 2＋…＋a n > 112 ＋1＋122＋1＋…＋1n 2＋1 . 以下证明112＋1＋122＋1＋…＋1n 2＋1≥n n ＋1.① 因为a n > 1n 2 ＋1≥1n （n ＋1）＝1n －1 n ＋1 ， 所以a 1＋a 2＋…＋a n >? ????1－12＋? ????12－13＋? ????13－14＋…＋? ????1 n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 不等式①对应任何n ∈N * 都成立．所以 a 1＋a 2＋…＋a n >n n ＋1 . 再证明右边的不等式： 当n ＝1时，f (x )＝x 3 ＋x －1. 由于f ? ????12＝? ????123 ＋1 2－1＝－38<0， f ? ????34＝? ????343 ＋3 4－1＝1164>0， 所以12 4 .