导数、微分、不定积分公式

导数、微分、不定积分公式
导数、微分、不定积分公式

一、导数的概念及其计算

1.导数的概念

函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?,那么函数y 相应地有增量y ?=f (x 0+x ?)-f (x 0),比值x

y

??叫做函数y=f (x )在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率,即

x y ??=x

x f x x f ?-?+)()(00。 如果当0→?x 时,

x

y

??有极限,我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导,并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数,记作f’(x 0)或y’|0x x =。 即f (x 0)=0

lim

→?x x y

??=0lim →?x x

x f x x f ?-?+)()(00。 说明:

(1)函数f (x )在点x 0处可导,是指0→?x 时,x y ??有极限。如果x

y

??不存在极限,就说函数在点x 0处不可导,或说无导数

(2)x ?是自变量x 在x 0处的改变量,0≠?x 时,而y ?是函数值的改变量,可以是零。 由导数的定义可知,求函数y=f (x )在点x 0处的导数的步骤: (1)求函数的增量y ?=f (x 0+x ?)-f (x 0); (2)求平均变化率

x y ??=x

x f x x f ?-?+)

()(00; (3)取极限,得导数f’(x 0)=x

y

x ??→?0lim 。

2.导数的几何意义

函数y=f (x )在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f (x )在点p (x 0,f (x 0)) 处的切线的斜率。也就是说,曲线y=f (x )在点p (x 0,f (x 0))处的切线的斜率是f’(x 0)。相应地,切线方程为y -y 0=f /(x 0)(x -x 0)。

3.常见函数的导出公式.

(1)0)(='C (C 为常数) (2)1

)(-?='n n

x

n x

(3)x x cos )(sin =' (4)x x sin )(cos -=' 4.两个函数的和、差、积的求导法则

法则1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),

即: (.)'''v u v u ±=±

法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数,即:.)('''uv v u uv +=

若C 为常数,则'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数:

.)(''Cu Cu =

法则3两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方:

??

? ??v u ‘=2

''v uv v u -(v ≠0)。 二、定积分的概念及其计算(牛顿—莱布尼茨公式)

1.定积分

(1)概念

设函数f (x )在区间[a ,b ]上连续,用分点a =x 0

∑n

i f 1

=(ξ

i )△x (其中△x 为小区间长度),把n →∞即△x →0

时,和式I n 的极限叫做函数f (x )在区间[a ,b ]上的定积分,记作:

?

b

a

dx x f )(,即?b

a

dx x f )(=∑=∞

→n

i n f 1

lim (ξi )△x 。

这里,a 与b 分别叫做积分下限与积分上限,区间[a ,b ]叫做积分区间,函数f (x )叫做被积函数,x 叫做积分变

量,f (x )dx 叫做被积式

定理 若函数)(x f 在],[b a 上连续,且存在原函数)(x F ,则)(x f 在],[b a 上可积,且

?

-=b

a

a F

b F dx x f )()()(

这即为牛顿—莱布尼茨公式,也常记为?-==b

a

b

a a F

b F x F dx x f )()()()(。

基本的积分公式:?dx 0=C ;?

dx x m

11

1++m x m +C (m ∈Q , m ≠-1);?x 1dx =ln x +C ;?dx e x =x

e +

C ;?dx a x

=a

a x

ln +C ;?xdx cos =sin x +C ;?xdx sin =-cos x +C (表中C 均为常数)

(2)定积分的性质 ①??=b

a b

a

dx x f k dx x kf )()((k 为常数)

; ②?

??±=±b

a b a

b

a

dx x g dx x f dx x g x f )()()()(;

?

??+=b

a

c a

b

c

dx x f dx x f dx x f )()()((其中a <c <b )。

(3)定积分求曲边梯形面积

由三条直线x =a ,x =b (a

积?

=

b

a

dx x f S )(。

如果图形由曲线y 1=f 1(x ),y 2=f 2(x )(不妨设f 1(x )≥f 2(x )≥0),及直线x =a ,x =b

(a

DMNC

?

?-b

a

b

a

dx x f dx x f )()(21。

一、基本导数公式:

()()()()()()()()()()()()(

)(

)()'

'1

'

'

'

'

'

'

'2

'

2

'

'

''

'

2

1.2.3.ln 4.1

5.log ln 1

6.ln

7.sin cos

8.cos sin

9.tan sec 10.cot csc 11.sec sec tan 12.csc csc cot 1

13.arcsin 114.arccos 115.arctan 11n n x x

x x

a kx k

x

nx a a a e e

x x a x x

x x x x x x

x

x x x x x x x x x x -=====

=

==-==-==-=

=-

=

+()'

2

16.a cot 1rc x =-

+

二、基本微分公式:

()()()()()()()()()()()()(

)()12

21.2.3.ln 4.1

5.ln 1

6.log ln

7.sin cos

8.cos sin

9.tan sec 10.cot csc 11.sec sec tan 12.csc csc cot 1

13.arcsin 14.arccos n n x x x x a d kx k

d x nx dx d a a adx d

e e dx d x dx

x d x dx

x a

d x xdx d x xdx d x xdx

d x xdx d x x xdx d x x xdx d x dx

d x -========-==-==-=

()()2

2

1

1

15.arctan 11

16.cot 1dx

d x dx x

d arc x dx x

=-=+=-+

三、不定积分基本公式:

11.2.1

3.1

4.ln 1

5.ln ||

6.sin cos

7.cos sin

8.tan ln |cos |

9.cot ln |sin |10.csc ln |csc cot |11.sec ln |sec tan |n n x x x

x

kdx kx c

x

x dx c

n e dx e c a dx a c

a

dx x c x

xdx x c xdx x c xdx x c xdx x c

xdx x x c

xdx x x c

+=+=++=+=+=+=-+=+=-+=+=-+=++??????

?????

2

2

32121311xdx x c

x dx x c

dx c

x x =+=+=-+???

222

22

22

22

1

12.c cot sin 1

13.sec tan cos

114.arctan 11

15.arcsin

16.sec tan

sec 17.csc cot csc 118.arctan 119.ln ||220.dx cs xdx x c

x dx xdx x c x

dx x c x dx x c

x xdx x c x xdx x c

dx x c x a a a dx x a c x a a x a

==-+==+=++=+=+=-+=++-=+-+??????????arcsin 21.ln ||22.ln ||x

c

a dx

x c

dx x c =+=++=++???

(

)2

21ln 112x dx x c x =+++? 21

arctan 1dx x c x =++?

高等数学公式导数基本公式

高等数学公式 导数公式: 基本积分表: 三角函数的有理式积分: 2 222122an 11cos 12sin u du dx x t u u u x u u x +==+-=+=, , ,  a x x a a a ctgx x x tgx x x x x x x a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(cot sec )(tan 22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )cot (11 )(arctan 11 )(arccos 11 )(arcsin x x arc x x x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x xdx x C x dx x x C x xdx x dx C x xdx x dx x x )ln(ln csc cot csc sec tan sec cot csc sin tan sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x a x a dx C x x xdx C x x xdx C x xdx C x xdx t +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 21arctan 1cot csc ln csc tan sec ln sec sin ln cot cos ln an 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

微积分公式大全

导数公式: 基本积分表: 三角函数的有理式积分: 2222 212sin cos 1121u u x du x x u tg dx u u u -==== +++, , ,  22(tan )sec (cot )csc (sec )sec tan (csc )csc cot ()ln ()(ln 1)1(log )ln x x x x a x x x x x x x x x x a a a x x x x x a '='=-'=?'=-?'='=+' = 2 2 2 (arcsin )(arccos )1 (arctan )11 (arc cot )11 ()x x x x x x thx ch '= '='= +'=- +' = 2 22 2sec tan cos csc cot sin sec tan sec csc cot csc ln ln(x x dx xdx x C x dx xdx x C x x xdx x C x xdx x C a a dx C a shxdx chx C chxdx shx C x C ==+==-+?=+?=-+=+=+=+=+????????? 222222tan ln cos cot ln sin sec ln sec tan csc ln csc cot 1arctan 1ln 21ln 2arcsin xdx x C xdx x C xdx x x C xdx x x C dx x C a x a a dx x a C x a a x a dx a x C a x a a x x C a =-+=+=++=-+=++-=+-++=+--=+???????? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

常用求导与定积分公式(完美)

一.基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2 csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = ', (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =,)(x v v =都可导,则 (1) v u v u '±'='±)( (2) u C Cu '=')((C 是常数) (3) v u v u uv '+'=')( (4) 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?,则它的反函数 )(x f y =在对应区间 x I 内也可导,且

)(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则 设)(u f y =,而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导,则复合函数)]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx =g 或()()y f u x ?'''=g 二、基本积分表 (1)kdx kx C =+? (k 是常数) (2)1 ,1 x x dx C μμ μ+= ++? (1)u ≠- (3)1 ln ||dx x C x =+? (4)2 tan 1dx arl x C x =++? (5) arcsin x C =+? (6)cos sin xdx x C =+? (7)sin cos xdx x C =-+?

最新导数微积分公式

导数微积分公式

导数、微分、积分公式总结 【导数】 (1)(u ± v)′=u′±v′ (2)(u v)′=u′v+ u v′(记忆方法:u v + u v ,分别在“u”上、“v”上加′)(3)(c u)′= c u′(把常数提前) ╭u╮′u′v- u v′ (4)│——│=———————( v ≠ 0 ) ╰v╯v2 【关于微分】 左边:d打头 右边:dx置后 再去掉导数符号′即可 【微分】 设函数u=u(x),v=v(x)皆可微,则有: (1)d(u ± v)= du ± dv (2)d(u v)= du·v + u·dv ╭u╮du·v - u·dv (3)d│——│=———————( v ≠ 0 ) ╰v╯v2 (5)复合函数(由外至里的“链式法则”) dy ——=f′(u)·φ′(x)

dx 其中y = f(u),u =φ′(x) (6)反函数的导数: 1 [ fˉ1(y)]′=————— f′(x) 其中,f′(x)≠ 0 【导数】 注:【】里面是次方的意思 (1)常数的导数: (c)′= 0 (2)x的α次幂: ╭【α】╮′【α - 1】 │x│=αx ╰╯ (3)指数类: ╭【x】╮′【x】 │a│=a lna(其中a > 0 ,a ≠ 1) ╰╯ ╭【x】╮′【x】 │e│=e ╰╯ (4)对数类:

╭╮′ 1 1 │logx│=——log e=———(其中a > 0 ,a ≠ 1) ╰a╯ x a xlna 1 (lnx)′=—— x (5)正弦余弦类: (sinx)′= cosx (cosx)′=-sinx 【微分】 注:【】里面是次方的意思 (1)常数的微分: dC = 0 (2)x的α次幂: 【α】【α - 1】 dx=αxdx (3)指数类: 【x】【x】 da=a lnadx(其中a > 0 ,a ≠ 1) 【x】【x】 de=e dx

常用的求导和定积分公式(完美)

创作编号: GB8878185555334563BT9125XW 创作者: 凤呜大王* 一.基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = ', (13) 211 )(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21 (arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =, )(x v v =都可导,则

(1) v u v u '±'='±)( (2) u C Cu '=')((C 是常数) (3) v u v u uv '+'=')( (4) 2v v u v u v u '-'='??? ?? 反函数求导法则 若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?,则它的 反函数)(x f y =在对应区间x I 内也可导,且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则 设)(u f y =,而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导,则复合函数 )]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx = 或()()y f u x ?'''= 二、基本积分表 (1)kdx kx C =+? (k 是常数)

凑微分法解不定积分(个人用讲义)

凑微分法 一,凑微分法原理 回忆一下,我们导函数的几种表示方法:f′(x) dy/dx df(x)/dx 等等,那么我们对于同一个函数是否就有如下等式:f′(x)= df(x)/dx 再加以变形可得f′(x) dx=df(x)我们把这个式子称之为凑微分法的原理公式。(我自己定义的,别和别人说哦,教科书上没定义) 为了说明这个式子,我们来看几个例子: 例题一:d(2x+1)= dx 解析:由凑微分法原理公式可知,所填处为2x+1的导函数,既2,所以d(2x+1)= 2 d(x) 例题二:d(e^x)= dx 解析:由凑微分法原理公式可知,所填处为e^x的到函数,既e^x,所以d(e^x)= e^x dx 因为做题目的时候,往往是告诉你们e^x dx要你们求d(e^x)。 我再举一个凑微分法的事例: 例题三:1 2dx x = - ? 解析:我们会求解的,其实都是最原始的积分公式有的,如果这题是要我们求1/x我想你们都会吧,但是这里是x-2所以就很麻烦了,那你们就牢记一点,谁可恨,我们就把谁弄到d 后面去。所以我就想到用d(x-2),根据凑微分法原理公式可知d(x-2)=1*d(x),所以我们可以将这题变为d(x-2),如果你们还看不出来,那你们用t来代替x-2,是不是就是你们会解的题目了,最后再把t还原为x-2就好了。 具体的实例就不举了,多操作。 下面我要重点说说,讨厌,这个问题 二,什么函数可以凑微分,什么函数讨厌 什么函数最讨厌,什么函数一看就是要凑微分

我们知道,凑微分其实是把被积函数的一个部分与dx看作一个整体,运用凑积分法原理公式进行替换。所以被积函数可以表示为两个有求导关系的函数时,一般采用凑微分法。 根据已知的不定积分公式我们可以知道: 1三角函数求导仍为三角函数2反三角函数求导为有理函数3幂函数求导认为幂函数 4对数函数求导为指数幂为-1的幂函数5幂函数求导仍为幂函数所以,当我们发现一个大的函数是由上述关系中的一种构成的,那么我们就会把求导为的那个函数拿去d一下,然后与原来的式子进行比较,缺什么,补什么,有的时候,甚至要进行多次的凑微分,但是不要怕,一步步往下做一定可以。 最后给你们一个提醒:最容易被扔到d后面的函数有e为底的指数函数,1/根号x。而最不能扔的,就是把对数函数,反三角函数想方法扔到d后面去,因为你们想想,什么函数求导会等于对数函数和反三角函数啊对吧。

大一微积分公式

有关高等数学计算过程中所涉及到的数学公式(集锦) 一、0 101101lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞?=??+++? =??? (系数不为0的情况) 二、重要公式(1)0sin lim 1x x x →= (2)()1 0lim 1x x x e →+= (3 ))1n a o >= (4 )1n = (5)lim arctan 2x x π→∞= (6)lim tan 2 x arc x π →-∞=- (7)lim arc cot 0x x →∞ = (8)lim arc cot x x π→-∞ = (9)lim 0x x e →-∞ = (10)lim x x e →+∞ =∞ (11)0 lim 1x x x + →= 三、下列常用等价无穷小关系(0x →) sin x x tan x x a r c s i n x x arctan x x 2 11c o s 2 x x - ()ln 1x x + 1x e x - 1l n x a x a - ()11x x ? +-? 四、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-??= ??? 五、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1 x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2 tan sec x x '= ⑹()2 cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1 ln x x '=

常用基本初等函数求导公式积分公式.doc

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) , (13) (14) (15) (16) 函数的和、差、积、商的求导法则 设,都可导,则 ( 1)( 2)(是常数) ( 3)( 4) 反函数求导法则 若函数在某区间内可导、单调且,则它的反函数在对应区间内也可导,且 或 复合函数求导法则 设,而且及都可导,则复合函数的导数为 或 2. 双曲函数与反双曲函数的导数. 双曲函数与反双曲函数都是初等函数,它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出.

可以推出下表列出的公式: 常用积分公式表·例题和点评 ⑴kdx kx c ( k 为常数) ⑵x dx( 1) 1 x 1 c 1 特别, 1 dx 1 c , x d x 2 x23 c , 1 dx 2 x c x 2 x 3 x ⑶1 dx ln | x | c x ⑷ a x d x a x c , 特别,e x d x e x c ln a

⑸ sin x dx cos x c ⑹ cos x d x sin x c ⑺ 1 d x csc 2 x dx cot x c sin 2 x ⑻ 1 d x sec 2 x dx tan x c cos 2 x ⑼ 1 dx x c ( a 0) , 特别, a 2 x 2 arcsin a ⑽ 1 dx 1 x c (a 0) , 特别, a 2 x 2 arctan a a ⑾ 1 1 a x a 2 x 2 d x 2a ln a x c ( a 0) 或 1 1 x a x 2 a 2 dx 2a ln x a c ( a 0) ⑿ tan x dx ln cos x c ⒀ cot x dx ln sin x c 1 arcsin x c 1 d x x 2 1 1 x 2 dx arctan x c 1 ln csc x cot x c ⒁ csc x d x x dx ln tan c sin x 2 1 ln sec x tan x c ⒂ secx d x x dx c cos x ln tan 4 2 1 ( a 0) x 2 a 2 ⒃ a 2 dx ln x c x 2 ⒄ a 2 x 2 dx ( a 0) a 2 x x a 2 x 2 c arcsin 2 2 a ⒅ x 2 2 (a 0) x x 2 a 2 a 2 ln x x 2 a 2 c a d x 2 2

微积分公式与定积分计算练习大全

微积分公式与定积分计算练习(附加三角函数公式) 一、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼ ()x x e e '= ⑽ ()ln x x a a a '= ⑾ ()1 ln x x '= ⑿ () 1log ln x a x a '= ⒀ ( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '= ⒂ ()21arctan 1x x '=+ ⒃() 21arccot 1x x '=-+⒄()1 x '= ⒅ '= 二、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v ''' -??= ??? 三、高阶导数的运算法则 (1)()()() () () () () n n n u x v x u x v x ±=±??? ? (2)()() ( ) ()n n cu x cu x =??? ? (3)()() () ()n n n u ax b a u ax b +=+??? ? (4) ()()() ( ) ()() ()0 n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=???? ∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 (1) ()() ! n n x n = (2) ()() n ax b n ax b e a e ++=? (3) ()() ln n x x n a a a = (4) ()() sin sin 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ??? ??(5) ()()cos cos 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ???? ? (6) () () () 1 1! 1n n n n a n ax b ax b +???=- ?+?? + (7) ()() () ()() 1 1! ln 1n n n n a n ax b ax b -?-+=-???? + 五、微分公式与微分运算法则

常用求导积分公式及不定积分基本方法

常用求导积分公式及不定积分基本方法 This model paper was revised by LINDA on December 15, 2012.

一、基本求导公式 1. ()1x x μμμ-'= ()ln 1x x '= 2. (sin )cos x x '= (cos )sin x x '=- 3. 2(tan )sec x x '= 2(cot )csc x x '=- 4. (sec )tan sec x x x '= (csc )cot csc x x x '=- 5. ()ln x x a a a '=,()x x e e '= 6. () 2arctan 11x x '+= ()arcsin x '= () 2arccot 11x x '+=- ()arccos x '= 二、基本积分公式 1. 1d (111)x x x C μμμμ+=+ =-/ +?, 1ln ||+dx x C x =? 2. d ln x x a a x C a =+?,d x x e x e C =+? 3. sin d cos x x x C =-+?, cos d sin x x x C =+? 4. 2sec d tan x x x C =+? 2csc d cot x x x C =-+? 5. tan d ln |cos |x x x C =-+? cot d ln |sin |x x x C =+?

6. sec d ln |sec tan |x x x x C =++? csc d ln |csc cot |x x x x C =-+? 7. 2 1d arctan 1x x C x =++? arcsin x x C =+ 2211d arctan x x C a x a a =++? arcsin x x C a =+ 8. ln x x C =+ ( ln x x C =++ 9. 221 1d ln 2x a x C a x a x a -=+-+? 三、常用三角函数关系 1. 倍角公式 21cos 2sin 2x x -= 21cos 2cos 2x x += 2. 正余切与正余割 正割 1 sec cos x x = 22sec 1tan x x =+ 余割 1csc sin x x = 2 2csc 1cot x x =+ 四、常用凑微分类型 1. 1 1 ()d d ()ln ()()()f x x f x f x C f x f x '==+??;

常用微积分公式大全

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常用微积分公式 基本积分公式均直接由基本导数公式表得到,因此,导数运算的基础好坏直接影响积分的能力,应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式.。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)

对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式(1)为常量函数0的积分,等于积分常数. 公式(2)、(3)为幂函数的积分,应分为与. 当时,, 积分后的函数仍是幂函数,而且幂次升高一次. 特别当时,有. 当时, 公式(4)、(5)为指数函数的积分,积分后仍是指数函数,因为 ,故(,)式右边的是在分母,不在分子,应记清. 当时,有. 是一个较特殊的函数,其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式,幂函数是底为变量,幂为常数;指数函数是底为常数,幂为变量.要加以区别,不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式(6)、(7)、(8)、(9)为关于三角函数的积分,通过后面的学习还会增加其他三角函数公式.

公式(10)是一个关于无理函数的积分 公式(11)是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质,举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析:该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解: (为任意常数) 例2 求不定积分. 分析:先利用恒等变换“加一减一”,将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式. 解:由于,所以 (为任意常数) 例3 求不定积分.

2凑微分法

第二讲 Ⅰ 授课题目(不定积分): §5.2 凑微分法 Ⅱ 教学目的与要求: 熟练掌握基本的不定积分公式,熟悉“凑微分法”与“变量代换法” 的一般原则。 Ⅲ 教学重点与难点: 重点:凑微分法,变量代换法。 难点:凑微分法, 变量代换法。 Ⅳ 讲授内容: 一、 凑微分法 利用基本性质和基本积分公式,可以解决一些较为简单的函数的积分问题。但是,很多函数是经过复合而成的,无法直接利用公式。来看下面几个例子。 例1 求dx x ?2cos 这个不定积分不直接在表.5.1中,因为x 2cos 不是x 2sin 的导数。 解 因为x x 2cos 2)2(sin =' 而x x 2cos )2sin 21 (=', 所以c x xdx +=?2sin 2 12cos 。 例2 求dx x ?)4sin(3 解 ) 4sin(3))4cos(4 3() 4sin())4cos(4 1()4sin(4])4[cos(x x x x x x =- ?='-?-=' 按照等价命题 c x dx x +-=?)4cos(4 3)4sin(3 例3 求dt t ?+12 这样想:) (12+=' t ,联想到 )(u = ' ,再想到 u u u u u u = '?= = '=')3 2( 2 32 3)()(3 23 23 3 如果12+=t u

1 2))12(3 1( 1 22)12(12))12(3 2( 3 3 += '+?+='+?+='+t t t t t t 最后一个等式正是我们想要的。利用等价命题,就可以得到 c t dt t ++= +? 3 )12(3 112。 在以上的例子中,基本想法是找F 使F f '=具体做法是利用链法则,按f 的具体情况凑出了F 。这种计算不定积分的方法叫做凑微分法,或叫换元法(integration by substitution ) 例4 求dx x x ?+212 如果我们能想到)1(22'+=x x 和),1()(,)(2 x x g u u u f +=== 那么这个不定积分就可以看作? ?'=+dx x g x g f dx x x )())((122 如果F 是f 的反导数,根据链法则 )())(())((x g x g f x g F dx d '= 所以,将u 看作是 2 1x +, 由于 c u du u du u f += =?? 23 3 2)( 就可以得到 c x dx x x ++= +?32 2 2 )1(3 212 还可以通过求导数来验证结果是正确的。 把上面的思路理清楚:如果F 是f 的反导数,而)(x g u =是某个可导函数,那么根据链法则 或者 ?? = +=du u f c u F dx dx du u f )()()(, 例5 求? +dx x x 2 32 dx du u f dx du u F u F dx d )()()(='=

定积分导数

高三数学第一轮复习教案—导数、定积分、极限 一.课标要求: 1.导数及其应用 (1)导数概念及其几何意义 ①通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵; ②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。 (2)导数的运算 ①能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=1/x,y=x 的导数; ②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b))的导数; ③会使用导数公式表。 (3)导数在研究函数中的应用 ①结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间; ②结合函数的图像,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值,以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值;体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 (4)生活中的优化问题举例 例如,使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用。 (5)定积分与微积分基本定理 ①通过实例(如求曲边梯形的面积、变力做功等),从问题情境中了解定积分的实际背景;借助几何直观体会定积分的基本思想,初步了解定积分的概念; ②通过实例(如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系),直观了解微积分基本定理的含义。 (6)数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料,并进行交流;体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。 二.命题走向 导数是高中数学中重要的内容,是解决实际问题的强有力的数学工具,运用导数的有关知识,研究函数的性质:单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样,以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用,也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来,综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值,估计高考继续以上面的几种形式考察不会有大的变化: (1)考查形式为:选择题、填空题、解答题各种题型都会考察,选择题、填空题一般难度不大,属于高考题中的中低档题,解答题有一定难度,一般与函数及解析几何结合,属于高考的中低档题; (2)今年高考可能涉及导数综合题,以导数为数学工具考察:导数的物理意义及几何意义,复合函数、数列、不等式等知识。 定积分是新课标教材新增的内容,主要包括定积分的概念、微积分基本定理、定积分的简单应

不定积分的例题分析及解法[1]

不定积分的例题分析及解法 这一章的基本概念是原函数、不定积分、主要的积分法是利用基本积分公式,换元积分法和分部积分法。对于第一换元积分法,要求熟练掌握凑微分法和设中间变量)(x u ?=,而第二换元积分法重点要求掌握三角函数代换,分部积分法是通过“部分地”凑微分将?υud 转化成?du υ,这种转化应是朝有利于求积分的方向转化。对于不同的被积函数类型应该有针对性地、灵活地采用有效的积分方法,例如)(x f 为有理函数时,通过多项式除法分解成最简分式来积分,)(x f 为无理函数时,常可用换元积分法。 应该指出的是:积分运算比起微分运算来,不仅技巧性更强,而且业已证明,有许多初等函数是“积不出来”的,就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示,例如 dx x x ? sin ;dx e x ?-2 ;dx x ? ln 1;? -x k dx 2 2 sin 1(其中10<

最全高等数学导数和积分公式汇总表

高等数学导数及积分公式汇总表 一、导数公式 1.幂函数 0='c 1)(-='n n nu u 2.指数函数 a a a u u ln )(=' e e e u u ln )(=' 3.对数函数 a u a u ln 1 )(log =' u u 1)(ln = ' 4.三角函数 u u cos )(sin =' u u sin )(cos -=' u u 2sec )(tan =' u u 2csc )(cot -=' u u u tan sec )(sec =' u u u cot csc )(csc -=' 5.反三角函数 2 11)(arcsin u u -= ' 2 11)(arccos u u -- =' 11)(arctan u u +=' 11)cot (u u arc +-=' 6.其他 1='u 2 11)(u u -=' u u 21)(= ' 2 3 21 1 )( u u - =' 2 2 )(22a u u a u ±= '± 二、积分公式 1.幂函数 C du =?0 C u du u n n n += ++?11 1 2.指数函数 C e du e u u +=? C du a a a u u += ?ln 3.有关对数 C u du +=? ln 4.三角函数 C u udu +-=?cos sin C u udu +=?sin cos C u udu +=?tan sec 2 C u udu +-=?cot csc 2 C u udu u +=?sec tan sec C u udu u +-=?csc cot csc C u udu +-=?cos ln tan C u udu +=?sin ln cot C u u udu ++=?tan sec ln sec C u u udu +-=?cot csc ln csc 5.反三角函数 C a u u a u du +±+=? ±22ln 2 2 C a u u a du +=?-arcsin 2 2 C u a u a a u a du += -+-?ln 212 2 C a u a u a du +=? +arctan 12 2 6.其他 C u u du +-=? 12 C u du u +=? 23 3 2 C u du u +=? 2 1 21 C u u udu +-=? -222 2 C u u udu ++=? +2 2111ln 2

2凑微分法

第二讲 Ⅰ 授课题目(不定积分): §5.2 凑微分法 Ⅱ 教学目的与要求: 熟练掌握基本的不定积分公式,熟悉“凑微分法”与“变量代换法” 的一般原 则。 Ⅲ 教学重点与难点: 重点:凑微分法,变量代换法。 难点:凑微分法, 变量代换法。 Ⅳ 讲授内容: 一、 凑微分法 利用基本性质和基本积分公式,可以解决一些较为简单的函数的积分问题。但是,很多函数是经过复合而成的,无法直接利用公式。来看下面几个例子。 例1 求dx x ?2cos 这个不定积分不直接在表.5.1中,因为x 2cos 不是x 2sin 的导数。 解 因为x x 2cos 2)2(sin =' 而x x 2cos )2sin 2 1 (=', 所以c x xdx += ? 2sin 2 12cos 。 例2 求dx x ?)4sin(3 解 )4sin(3))4cos(4 3()4sin())4cos(41()4sin(4])4[cos(x x x x x x =-?='-?-=' 按照等价命题 c x dx x +-=?)4cos(43)4sin(3 例3 求dt t ?+12 这样想:)( 12+='t ,联想到 )(u =' ,再想到 u u u u u u ='?=='=')3 2(2323)()(32323 3 如果12+=t u

12))12(3 1(122)12(12))12(32(33+='+?+='+?+='+t t t t t t 最后一个等式正是我们想要的。利用等价命题,就可以得到 c t dt t ++=+? 3)12(3 112。 在以上的例子中,基本想法是找F 使F f '=具体做法是利用链法则,按f 的具体情况凑出了F 。这种计算不定积分的方法叫做凑微分法,或叫换元法(integration by substitution ) 例4 求dx x x ? +212 如果我们能想到)1(22'+=x x 和),1()(,)(2x x g u u u f +=== 那么这个不定积分就可以看作??'=+dx x g x g f dx x x )())((122 如果F 是f 的反导数,根据链法则 )())(())((x g x g f x g F dx d '= 所以,将u 看作是 21x +, 由于 c u du u du u f +==??23 32)( 就可以得到 c x dx x x ++=+?3222)1(3 212 还可以通过求导数来验证结果是正确的。 把上面的思路理清楚:如果F 是f 的反导数,而)(x g u =是某个可导函数,那么根据链法则 或者 ??=+=du u f c u F dx dx du u f )()() (, 例5 求?+dx x x 2 32 dx du u f dx du u F u F dx d )()()(='=

常用微积分公式大全

常用微积分公式 基本积分公式均直接由基本导数公式表得到,因此,导数运算的基础好坏直接影响积分的能力,应熟记一些常用的积分公式、 因为求不定积分就是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式、。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)

对这些公式应正确熟记、可根据它们的特点分类来记、 公式(1)为常量函数0的积分,等于积分常数、 公式(2)、(3)为幂函数的积分,应分为与、 当时, , 积分后的函数仍就是幂函数,而且幂次升高一次、 特别当时,有、 当时, 公式(4)、(5)为指数函数的积分,积分后仍就是指数函数,因为,故( , )式右边的就是在分母,不在分子,应记清、当时,有、 就是一个较特殊的函数,其导数与积分均不变、 应注意区分幂函数与指数函数的形式,幂函数就是底为变量,幂为常数;指数函数就是底为常数,幂为变量、要加以区别,不要混淆、它们的不定积分所采用的公式不同、 公式(6)、(7)、(8)、(9)为关于三角函数的积分,通过后面的学习还会增加其她三角函数公式、 公式(10)就是一个关于无理函数的积分 公式(11)就是一个关于有理函数的积分

下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质,举例说明如何利用基本积分公式求不定积分、 例1 求不定积分、 分析:该不定积分应利用幂函数的积分公式、 解: (为任意常数) 例2 求不定积分、 分析:先利用恒等变换“加一减一”,将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式、 解:由于,所以 (为任意常数) 例3 求不定积分、

分析:将按三次方公式展开,再利用幂函数求积公式、解: (为任意常数) 例4 求不定积分、 分析:用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次、 解: (为任意常数) 例5 求不定积分、 分析:基本积分公式表中只有 但我们知道有三角恒等式: 解:

凑微分法解不定积分

一,凑微分法原理 回忆一下,我们导函数的几种表示方法:f′(x) dy/dx df(x)/dx 等等,那么我们对于同一个函数是否就有如下等式:f′(x)= df(x)/dx 再加以变形可得f′(x) dx=df(x)我们把这个式子称之为凑微分法的原理公式。(我自己定义的,别和别人说哦,教科书上没定义)为了说明这个式子,我们来看几个例子: 例题一:d(2x+1)= dx 解析:由凑微分法原理公式可知,所填处为2x+1的导函数,既2,所以d(2x+1)= 2 d(x)例题二:d(e^x)= dx 解析:由凑微分法原理公式可知,所填处为e^x的到函数,既e^x,所以d(e^x)= e^x dx 因为做题目的时候,往往是告诉你们e^x dx要你们求d(e^x)。 我再举一个凑微分法的事例: 例题三: 1 2 dx x = - ? 解析:我们会求解的,其实都是最原始的积分公式有的,如果这题是要我们求1/x我想你们都会吧,但是这里是x-2所以就很麻烦了,那你们就牢记一点,谁可恨,我们就把谁弄到d 后面去。所以我就想到用d(x-2),根据凑微分法原理公式可知d(x-2)=1*d(x),所以我们可以将这题变为 d(x-2),如果你们还看不出来,那你们用t来代替x-2,是不是就是你们会解的题目了,最后再把t还原为x-2就好了。 具体的实例就不举了,多操作。 下面我要重点说说,讨厌,这个问题 二,什么函数可以凑微分,什么函数讨厌 什么函数最讨厌,什么函数一看就是要凑微分 我们知道,凑微分其实是把被积函数的一个部分与dx看作一个整体,运用凑积分法原理公式进行替换。所以被积函数可以表示为两个有求导关系的函数时,一般采用凑微分法。 根据已知的不定积分公式我们可以知道: 1三角函数求导仍为三角函数 2反三角函数求导为有理函数 3幂函数求导认为幂函数 4对数函数求导为指数幂为-1的幂函数 5幂函数求导仍为幂函数 所以,当我们发现一个大的函数是由上述关系中的一种构成的,那么我们就会把求导为的那个函数拿去d一下,然后与原来的式子进行比较,缺什么,补什么,有的时候,甚至要进行多次的凑微分,但是不要怕,一步步往下做一定可以。 最后给你们一个提醒:最容易被扔到d后面的函数有e为底的指数函数,1/根号x。而最不能扔的,就是把对数函数,反三角函数想方法扔到d后面去,因为你们想想,什么函数求导会等于对数函数和反三角函数啊对吧。

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