江西省南康中学、于都中学2019届高三下学期第二次联考数学(理)试题(含答案)

南康中学高三第二次大考（于都中学联考）

数学（理科）试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.） 1.设=+-=

|z |,1

1

则z z i ( ) 0.A 2

1

.B 1.C 2.D

2.=?-??15sin 15cos 275cos 210cos 2

( )

21.A 22.-B 21.-C 2

2.D

3.下列有关命题的说法正确的是（ ）

.A ),0(π∈?x ，使得

2sin sin 2

=+x x

成立． .B 命题P ：任意R x ∈，都有1cos ≤x ，则p ?：存在R x ∈0，使得1cos 0≤x ．

.C 命题“若2>a 且2>b ，则4>+b a 且4>ab ”的逆命题为真命题．

.D 若数列{}n a 是等比数列，*,,N p n m ∈则2

p n m a a a =?是p n m 2=+必要不充分条件．

4. 函数)ln()-ln()(2

x e x e x x f ++=的大致图像为（ ）

A B C D 5. 在ABC ?中，点M 为AC 的中点，点N 在AB 上,3=

，点P 在MN 上，2=，

那么等于（ ）

A.

6132- B. 2131-

C. 6131-

D. 6

1

21+ 6. 魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积

之比应为π：4．若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为（ ） A ．16

B ．16

C ．

D ．

7. 若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且84=S ，48=S ，则=16S （ ）

A ．

25 B ．2

5

- C ．40 D ．40- 8.已知函数()()sin 0,02f x x πω?ω??

?

=+><< ??

?

，()11f x =，()20f x =，若12

min

12

x x -=

，且11

22

f ??=

???，则()f x 的单调递增区间为（ ） A ．152,2,66k k k Z ??

-

++∈????

B ．512,2,66k k k Z ??

-

++∈????

．

C ．512,2,66k k k Z ππ??

-++∈????

D ．1

72,

2,6

6k k k Z ??

++∈????

9. 若(),log 43log 2

4ab b a =+则b a +的最小值是（ ）

A ．326+ B. 327+ C. 346+ D. 347+

10. 椭圆:G )0(122

22>>=+b a b

y a x 的两个焦点)0,(1c -F ，)0,(2c F ，M 是椭圆上的一点，且满足

.021=?F F 则椭圆离心率e 的取值范围为（ ）

A ．]2

2,

0( B ．)2

2,

0( C ．)1,2

2(

D ．)1,2

2[

11. 已知B A ,是球O 的球面上两点，且球的半径为3，?

=∠90AOB ，C 为该球面上的动点．当三

棱锥ABC O -的体积取得最大值时，则过C B A ,,三点的截面的面积为（ ） A ．π6

B ．π12

C ．π18

D ．π36

12. 已知函数2

1-2)(,1ln )(x e x g x x f =+=，若)(=)(n g m f 成立，则n m -的最小值是（ ） A.2ln +2

1

B.2-e

C. 21-

2ln D. 2

1-e 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.请将正确答案填在答题卷相应位置．．．．．．．．．．．．．．．.） 13. 若函数)1

21

(

)(3

a x x f x

+-=为偶函数，则a 的值为

14. 已知实数y x ,满足??

?

??≥≤-+≥--2

012340

1y y x y x ，则123++-=x y x z 的最大值为 ．

15. 点P 是椭圆221122111(0)x y a b a b +=>>和双曲线22

222222

1(0,0)x y a b a b -=>>的一个交点，

12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点,123

F PF π

∠=，则

1

2

b b 的值是 16. 已知定义在)2,2(π

π-

上的函数)(x f 满足1)6

(),()(=-=-πf x f x f ，对任意)2,0(π

∈x ，不等式()tan ()f x x f x '>恒成立，其中)('x f 是的)(x f 导数，则不等式x x f sin 2)(<的解集为________．

三、解答题（本大题共6小题，共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 17.（本题满分10分）

已知函数R a a x x x f ∈---=,21)(. (1)当3=a 时，解不等式2)(-

(2)当)1,(-∞∈x 时，0)(

18.（本题满分12分）

在数列{}n a 中，已知)(log 32,41

,41*4

111N n a b a a a n n n n ∈=+==

+. （1）求证：数列{}n b 是等差数列；

（2）设数列{}n c 满足n n n b a c ?=，{}n c 的前n 项和n S .求证3

2

19.（本题满分12分）

已知,,a b c 分别为ABC ?三个内角,,A B C 的对边，且cos a

C sin 0C b c --=．

（1）求A ；

（2）若AD 为BC 边上的中线，1

cos 7B =，AD =，求ABC ?的面积．

20．（本题满分12分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 为矩形，APB ?是以P ∠为直角的等腰直角三角形，平面

PAB ⊥平面ABCD ．

（1）证明：平面PAD ⊥平面PBC ；

（2）M 为直线PC 的中点，且2AP AD ==，求二面角A MD B --的正弦值．

21. （本题满分12分）

设抛物线()2

40y mx m =>的准线与x 轴交于1F ,抛物线的焦点为2F ，以12F F 、为焦点，离心

率1

2e =的椭圆与抛物线的一个交点为23E ? ??

；自1F 引直线交抛物线于P Q 、两个不同的点，

设.11Q F P F λ=.

（1）求抛物线的方程和椭圆的方程； （2）若1,12λ??

∈????

，求PQ 的取值范围.

22.（本题满分12分）

函数a ax x x x f (12ln )(2+-+=为常数） (1)讨论函数)(x f 的单凋性；

(2)若存在]1,0(∈0x 使得对任意的]0,2(-∈a 不等式4+2+>)(+)1+(22

0a a x f a me a

（其中

e 为自然对数的底数）都成立，求实数m 的取值范围．

南康中学2019届高三寒假数学（理科）测试参考答案

一、选择题：

1-12：CBDA DCDB DDAA 二、填空题

13.21 14. 4

9

15.

3 16. )6

,0()6,2(π

π

π -

三、解答题

17. 【详解】（1）当3=a 时，2)(-

2321)(-<---=x x x f

所以???-<-+-<23211x x x 或?????-<-+-≤≤2321231x x x 或?????

-<+-->2

3212

3x x x ， 所以0x ， 综上，不等式解集为{}40|>

∴|2|1a x x -<-恒成立. ∴ a x x -<-21或a x x ->-21恒成立. ∴3

1

+>

a x 或1-x a ② 恒成立， 解①得a 不存在；解②得：2≥a . 综上知，2≥a . 18. 解：（Ⅰ）∵

4

1

1=+n n a a ∴数列｛n a ｝是首项为

41，公比为4

1

的等比数列， ∴)()4

1

(*N n a n n ∈=.…………………………………………………………………………3分

∵2log 34

1-=n n a b ………………………………………………………………… 4分

∴232)4

1(log 32

1-=-=n b n n .∴11=b ，公差d=3

∴数列}{n b 是首项11=b ，公差3=d 的等差数列.…………………………………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，n n a )4

1

(=，23-=n b n （n *N ∈）

∴)(,)4

1

()23(*N n n c n n ∈?-=.………………………………………………………………8分

∴n n n n n S )4

1

()23()41()53()41(7)41(4411132?-+?-+?+?+?+?=-， ①

于是1432)41

()23()41()53()41(7)41(4)41(141+?-+?-+?+?+?+?=n n n n n S ②……… 9分

两式①-②相减得132)4

1

()23(])41()41()41[(34143+?--+?+++=n n n n S

=1)4

1

()23(21+?+-n n .………………………………………………………………………10分 ∴ )()41(381232*1

N n n S n n ∈?+-=

+.3

2<∴n s ………………………………………12分

19.（本题满分12分）（Ⅰ）∵cos sin 0a C C b c --=，由正弦定理得：

sin cos sin sin sin A C A C B C =+，即

()

sin cos sin sin sinC A C A C A C =++，化简得：

cos 1A A -=，∴

()0

1

s i n 302

A -

=

．在ABC ?中，000180A <<，∴003030A -=，得060A =．

（Ⅱ）在ABC ?中，1cos 7B =，得sin B =，

则()11sin sin 72C A B =+=

+=

，由正弦定理得sin 7sin 5a A c C ==． 设7,5a x c x ==，在ABD ?中，由余弦定理得：2222cos AD AB BD AB BD B =+-，

则

22129111

25492574427

x x x x =+?-????，解得1x =，即7,5a c ==，

故1

sin 2

ABC S ac B ?==．

20. （Ⅰ）证明：

ABCD 为矩形，AD AB ∴⊥，

平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ?平面ABCD AB =，

AD ∴⊥平面PAB ，则AD PB ⊥，

又PA PB ⊥，PA

AD A =，

PB ∴⊥平面PAD ，而PB ?平面PBC ，

∴平面PAD ⊥平面PBC ；

（Ⅱ）取AB 中点O ，分别以OP ，OB 所在直线为x ，y 轴建立空间直角坐标系， 由2AP AD ==，APB ?是以P ∠为直角的等腰直角三角形，

得：(0A

，0)，(0D

，，2)，(0B

，0)

，M

，1)，

(1)

MA =-

-，(

MD =-

，(1)MB =--． 设平面MAD 的一个法向量为(,,)m x y z =

，

由2020m MA x y z m MD y z ?

=--=???

?=-+=?

?

，取1y =，得(3,1,0)m =

-； 设平面MBD 的一个法向量为(,,)n x y z =，

由20

20n MD y z n MB y z ?

=-+=???

?=-+-=??

，取1z =

，得2(,n =． cos ,|

|||10m n m n m n -∴<>=

==?．

∴二面角A MD B --

21. 【解析】：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为22

221(0)x y a b a b

+=>>，

由题意得22424199{ 1

2

a b

c a a +===，解得224{ 3a b ==，∴椭圆的方程为22

143x y +=， ∴点2F 的坐标为()1,0,∴1m =,∴抛物线的方程是2

4y x =.

（Ⅱ）由题意得直线PQ 的斜率存在，设其方程为()()10y k x k =+≠， 由()2

1{

4y k x y x

=+=消去x 整理得2

440ky y k -+=（*） ∵直线PQ 与抛物线交于两点，∴2

16160k ?=->．

设()11,P x y ， ()22,Q x y ，则124y y =①，124

y y k

+=

②． ∵11F P FQ λ=， ()11,0F

-,∴()()11221,1,x y x y λ+=+∴12y y λ=．③

由①②③消去12,y y 得： ()

22

41k λ

λ=

+．

∴PQ ===

=

42

41616k PQ k -=， 将()

22

41k λ

λ=

+代入上式得

()()

2

4

2

2

2

2

2

21

111616216PQ

λ

λλλλλλ+++??

=

-=

-=++- ???

，

∵()1

1,12f λλλλ??

=+

∈????

在上单调递减，∴()()112f f f λ??<≤ ???，即1522λλ<+≤，

∴2

11702164λλ??

<++-≤ ???，∴0PQ <≤，即PQ 的取值范围为? ?

?． 22. 解析：（1）)0(122221)('2>+-=-+=x x

ax x a x x x f ，记122)(2+-=ax x x g

（i ）当0≤a 时，因为0>x ，所以01)(>>x g ，函数)(x f 在).0(∞+上单调递增； （ii ）当20≤

≤-=?a ，

所以0)(≥x g ，函数)(x f 在).0(∞+上单调递增；

（iii ）当2>a 时，由???>>0)(0x g x ，解得)

22,22(22-+--∈a a a a x ，

所以函数)(x f 在区间)

22,22(22-+--a a a a 上单调递减，

在区间),2

2(),22,0(2

2+∞-+--a a a a 上单调递增

（II ）由（1）知当]0,2(-∈a 时，函数)(x f 在区间]1,0(上单调递增，

所以当]1,0(∈x 时，函数)(x f 的最大值是a f 22)1(-=，对任意的]0,2(-∈a ， 都存在]1,0(0∈x ，使得不等式42)()1(22

0++>++a a x f a me a

成立，

等价于对任意的]0,2(-∈a ，不等式42)()1(22

max ++>++a a x f a me a 都成立， 即对任意的]0,2(-∈a ，不等式024)1(22>---+a a a me a 都成立， 记24)1(2)(2---+=a a a me a h a ，由1020)0(>?>?>m m h ，

)2)(1(2)('+-=a me a h a ，

由0)('=a h 得2-=a 或m a ln -=,因为]0,2(-∈a ，所以0)2(>+a ， ①当21e m <<时，)0,2(ln -∈-=m a ，且)ln ,2(m a --∈时，0)('

)0,ln (m a -∈时，0)('>a h ，所以0)ln 2(ln )ln ()(min >-?=-=m m m h a h ，

所以]0,2(-∈a 时，0)(>a h 恒成立；

②当2e m =时，)2)(1(2)('2+-=+a e a h a ，因为]0,2(-∈a ，所以0)('>a h ， 此时)(a h 单调递增，且0)2(=-h ， 所以]0,2(-∈a 时，0)2()(=->h a h 成立； ③当2e m >时，022

)2(2

<+-=-e m

h ，022)0(>-=m h ， 所以存在)0,2(0-a 使得0)('=a h ，因此0)(>a h 不恒成立． 综上，m 的取值范围是],1(2e ．