二项式定理之杨辉三角

1．3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质

第一课时

一、复习引入：

1．二项式定理及其特例：（1）01()

()n

n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈ ，

（2）1(1)

r r n

n n x C x C x x +=+++++ .

2．二项展开式的通项公式：1

r n r r

r n T C a b -+=

3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性

二、讲解新课：

1二项式系数表（杨辉三角）

()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外

的每一个数都等于它肩上两个数的和

2．二项式系数的性质：

()n a b +展开式的二项式系数是0

n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r

n C 可以看成以r 为

自变量的函数

()f r

定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m

n m

n n C C -=）．

直线2

是图象的对称轴．（2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!k

k n n n n n n k n k C C k k ----+-+=

， ∴k

n C 相对于1

k n C -的增减情况由

1n k k -+决定，1112

n k n k k -++>?<，当1

n k

时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n 是偶数时，中间一项2n n

C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12

n n

C -，1

n n

+取得最大值．（3）各二项式系数和： ∵1(1)

r r

n n n x C x C x x +=+++++ ，

令1x

=，则0122n r n

n n n n C C C C C =++++++

三、讲解范例：

例1．在()n

a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和

证明：在展开式

01()()

n n n r n r r n n

n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈ 中，令

1,1

a b ==-，则0123(11)(1)n n n

n n n n n C C C C C -=-+-++- ，即0

2130()()n n n n C C C C =++-++ ，

∴0

213

n n n C C C C ++=++ ，

即在()n

a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．说明：由性质（3）及例1知0

213

12n n n n n C C C C -++=++= .

例2．已知7

270127(12)

x a a x a x a x -=++++ ，求：

（1）127a a a +++ ；（2）1357a a a a +++；（3）017||||||a a a +++ .

解：（1）当1x

=时，77(12)(12)1x -=-=-，展开式右边为

0127a a a a ++++

∴0127a a a a ++++ 1=-，

当0x =时，01a =，∴127112a a a +++=--=- ，（2）令1x =， 0127a a a a ++++ 1=- ①

令1x =-，70

12345673a a a a a a a a -+-+-+-= ②

①-② 得：7

13572()13a a a a +++=--，∴ 1357a a a a +++=7

132

（3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正，

∴由（2）中①+② 得：70

2462()13a a a a +++=-+，

∴ 7

0246132

a a a a -++++=

，

∴0

17||||||a a a +++= 01234567a a a a a a a a -+-+-+-

702461357()()3a a a a a a a a =+++-+++= 例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x 3

的系数

解：)

x 1(1]

)x 1(1)[x 1(x 1)x 1()x 1(1010

+-+-+=+++++）（

x x )1()1(11+-+，

∴原式中3x 实为这分子中的4

x ，则所求系数为7C

第二课时

例4.在(x 2+3x+2)5

的展开式中，求x 的系数解：∵5552

)2x ()1x ()2x 3x

(++=++

∴在(x+1)5

展开式中，常数项为1，含x 的项为x 5C 1

=，

在(2+x)5

展开式中，常数项为25

=32，含x 的项为x 80x 2

C 4

∴展开式中含x 的项为 x 240)32(x 5)x 80(1=+?，

∴此展开式中x 的系数为240

例 5.已知n

)x 2x (-

的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数

项

解：依题意2

n 4n 2n 4

C 14C 33:14C :C =?=

∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!?n=10

设第r+1项为常数项，又 2

r 510r 10r r 2r

10r 10

1r x C )2()x

2()

x (C T --+-=-=

令

2r 02

510=?=-， .180)2(C T 22

1012=-=∴+此所求常数项为180例6．设()()()

()23

1111n

x x x x ++++++++= 2012n n a a x a x a x ++++ ，

当0

12254n a a a a ++++= 时，求n 的值

解：令1x =得：

0122222n

n a a a a ++++=++++ 2(21)

25421

n -=

=-， ∴2128,7n

n ==，

点评：对于101()()()n n n f x a x a a x a a -=-+-++ ，令1,x a -=即1x a =+可得各项系

数的和012n a a a a ++++ 的值；令1,x a -=-即1x a =-，可得奇数项系数和与偶数项和的关

系

例7．求证：1

231232n

n n

n n n C C C nC n -++++=? ．

证（法一）倒序相加：设S

=12323n

n n n C C C nC ++++ ①

又∵S

=1221

(1)(2)2n n n n

n n n n nC n C n C C C --+-+-+++ ②

∵r

n r n

C C -=，∴011

,,n n n n n n C C C C -== ，由①+②得：()0122n n n n n S

n C C C C =++++ ，

∴11222

n n S n n -=

??=?，即1231232n

n n

n n n C C C nC n -++++=? ．（法二）：左边各组合数的通项为

r n rC 1

1!(1)!!()!(1)!()!

r n n n n r nC r n r r n r --?-=?

==---，

∴ ()1

230121112123n n n

n n n n n n n C C C nC n C C C C -----++++=++++ 1

n n -=?．例8．在10

)

32(y x -的展开式中,求:

①二项式系数的和; ②各项系数的和;

③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; ④奇数项系数和与偶数项系数和; ⑤x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和.

分析:因为二项式系数特指组合数r

n C ,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式y x 32-中的系数无关.

解：设10102829110010

)

32(y a y x a y x a x a y x ++++=- (*),

各项系数和即为

1010a a a +++ ,奇数项系数和为0210a a a +++ ,偶数项系数和为

9531a a a a ++++ ,x 的奇次项系数和为9531a a a a ++++ ,x 的偶次项系数和10420a a a a ++++ .

由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和. ①二项式系数和为1010

101100

102=+++C C C .

②令1==

y x ,各项系数和为1)1()32(1010=-=-.

③奇数项的二项式系数和为910

102100

102=+++C C C ,

偶数项的二项式系数和为99103101

102=+++C C C .

④设10102829110010

)32(y a y x a y x a x a y x ++++=- ,

令1==

y x ,得到110210=++++a a a a …(1),

令1=x ,

1-=y (或1-=x ,1=y )得101032105=++-+-a a a a a (2)

(1)+(2)得101020

51)(2+=+++a a a ,

∴奇数项的系数和为2

5110

(1)-(2)得10931

51)(2-=+++a a a ,

∴偶数项的系数和为2

110

⑤x 的奇次项系数和为2

110

531-=++++a a a a ;

x 的偶次项系数和为2

110

10420+=++++a a a a .

点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一.

例9．已知n x x 223

)(+的展开式的系数和比n x )13(-的展开式的系数和大992,求n x

x 2)12(-的展

开式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项.

解：由题意992222=-n n

,解得5=n .

①10

1(2)x x

的展开式中第6项的二项式系数最大, 即8064)1()2(555

10156

-=-??==+x

x C T T .

②设第1+r 项的系数的绝对值最大,

则r r r

r r r r r x C x

x C T 210101010101

2)1()1()2(---+???-=-??=

∴??????≥??≥?--+-+---110110101011011010102222r r r r r r r r C C C C ,得?????≥≥+-11010

1101022r r r r C C C C ,即???-≥+≥-r r r r 10)1(2211

∴3

1138≤≤r ,∴3=r ,故系数的绝对值最大的是第4项

例10．已知：2

(3)n x

x +的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992．

（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2 解：令1x

=，则展开式中各项系数和为2(13)2n n +=，

又展开式中二项式系数和为2n

，

∴222992n

n -=，5n =．

（1）∵5n =，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项，

∴223

226

()(3)90T C x x x

==，22232

()(3)270T C x x x

==，

（2）设展开式中第1r +项系数最大，则2

1045233

()

(3)3r r r

r r

r r T C x x C x

+-+==，

∴1155

33792233r r r r r r r r C C r C C --++?≥??≤≤?≥??，∴4r =，

即展开式中第5项系数最大，2264

()(3)405T C x x x

==．

例11．已知)(122221

2211+---∈+?++++=N n C C C S n n n n n n n n

，

求证：当n 为偶数时，14--n S n

能被64

分析：由二项式定理的逆用化简n S ，再把14--n S n 变形，化为含有因数64的多项式

∵11221

22221(21)n n n n n n n n n S C C C ---=++++?+=+ 3n =，

∴14--n S n 341n n =--，∵n 为偶数，∴设2n k =（*k N ∈）， ∴14--n S n

2381k k =--(81)81k k =+--

0111888181k k k k k k C C C k --=++++--

011

228(8

8)8k

k k k C C C -=+++ （*），

当k =1时，410n S n --=显然能被64整除，

当2k

≥时，

（*）式能被64整除，所以，当n 为偶数时，14--n S n 能被64

三、课堂练习： 1

．

)

()

1x -展开式中4

x 的系数为，各项系数之和为．

2．多项式

12233()(1)(1)(1)(1)n

n n n n n f x C x C x C x C x =-+-+-++- （6n >）的展开式中，

6x 的系数为

3．若二项式2

1(3)2n x

（n N *

∈）的展开式中含有常数项，则n 的最小值为（） A.4 B.5 C.6 D.8

4．某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应（） A.低于5％ B.在5％～6％之间 C.在6％～8％之间 D.在8％以上

5．在(1)n

x +的展开式中，奇数项之和为

p ，偶数项之和为q ，则2(1)n x -等于（）

A.0

B.pq

C.22p q +

D.22

p q -

6．求和：()2341

012311111111111n n n

n n n n n

a a a a a C C C C C a a a a a

+------+-++------ ． 7．求证：当n N *∈且2n ≥时，()13

22n

n n ->+．

8．求

()

2x +的展开式中系数最大的项

答案：1. 45, 0 2. 0 ．提示：

()(16n f x x n =->

3. B

4. C

5. D

6. ()

1n a

a ---

7. (略) 8. 331

15360T x +=

四、小结：二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个

1．已知2

(1)n

a +展开式中的各项系数的和等于5

x ?+ ?的展开式的常数项，而2

(1)n a

+ 展

开式的系数的最大的项等于54，求a 的值(a R ∈a

2．设

()()

()()()59

1413

011314132111x x a x a x a x a -+=+++++++

求：①

0114a a a +++ ②

1313

a a a +++ ．答案：①

9319683

=；

②

()

3．求值：0

123456789

999999999922222C C C C C C C C C C -+-+-+-+-．答案：82=

4．设

296()(1)(21)f x x x x =+-+，试求()f x 的展开式中：

（1）所有项的系数和；（2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和答案：（1）6

729=；

（2）所有偶次项的系数和为

6313642-=；所有奇次项的系数和为631

七、教学反思：

二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。

二项式定理概念的引入，我们已经学过(a +b )2=a 2+2ab +b 2，(a +b )3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3，那么对一般情

况；(a +b )n 展开后应有什么规律，这里n ∈N ，这就是我们这节课“二项式定理”要研究的内容.

选择实验归纳的研究方式，对(a +b )n 一般形式的研究与求数列{a n }的通项公式有些类似，大家想想，求a n 时我们用了什么方法，学生：先写出前n 项，再观察规律，猜测其表达式，最后用数学归纳法证明，老师：大家说得很正确，现在我们用同样的方式来研究(a +b )4的展开，因(a +b )4=(a +b )3(a +b )，我们可以用(a +b )3展开的结论计算(a +b )4(由学生板演完成，体会计算规律)然后老师把计算过程总结为如下形式：

(a +b )4=(a +b )3(a +b )=(a 3+3a 2b +3ab 2+b 3)(a +b )=a 4+3a 3b 2+ab 3+3a 2b 2+3ab 3+b 4=a 4+4a 3b +6a 2b 2+4ab 3+b 4. 对计算的化算：对(a +b )n 展开式中的项，字母指数的变化规律是十分明显的，大家能说出它们的规律吗？学生：a 的指数从n 逐次降到0，b 的指数从0逐次升到n ，老师：大家说的很对，这样一来展开式的项数就是从0到n 的(n +1) 项了，但唯独系数规律还是“犹抱琵琶半遮面”使我们难以发现，但我们仍可用

n n

n n a a a 10,来表示，它这样一来

(a +b )n

的展开形式就可写成

(a +b )n =n n n r r n r n n n n

n b a b a a b a

a a

a +++-- 110现在的问题就是要找r

n a 的表达形式.为此我们要采用抽象分析法来化简计算

1．（2007年江苏卷）若对于任意实数x ，有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-，则2

a 的值为（B ）

A ．3

B ．6

C ．9

D ．12

2．（2007年湖北卷）如果n

x x ???

?-3

223 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为(B)

A.3

B.5

C.6

D.10 【分析】：22()3251

32(3)()3(2)3(2)r nr r r nr r nr r

r nr

r n r

r n n n

T C x C x C x x

------

+=-=-=-，

250n r -=，52

n =

（2,4,r

= ）。m i

n 5n =.

3．（2007年江西卷）已知

展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，

则n 等于（ C ）Ａ．4

Ｂ．5

Ｃ．6

Ｄ．7

4．（2007年全国卷I ）21n

x x ??

- ?

?的展开式中，常数项为15，则n =（ D ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

5．（2007年全国卷Ⅱ）8

21(12)x x x ??+- ?

?的展开式中常数项为 42- ．（用数字作答）

6．（2007年天津卷）若6

21x ax ??

+ ?

?的二项展开式中2

x 的系数为

，则a = 2 （用数字作答）．

7．（2007年重庆卷）若n

x x )1(+

展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ B ） A10 B.20 C.30 D.120

8．（2007年安徽卷）若(2x 3+

1)a 的展开式中含有常数项,则最小的正整数n 等于 7 .

9．（2007年湖南卷）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第 2

- 行；第61行中1的个数是 32 ．

第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1

…… ……………………………………… 图1

杨辉三角与二项式系数的性质(教案)

1． 3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质教学目标：知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。情感、态度与价值观：要启发学生认真分析书本图1－5－1提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪第一课时一、复习引入： 1．二项式定理及其特例：（1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，（2）1 (1)1n r r n n n x C x C x x +=++ ++ +. 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+= 3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性二、讲解新课： 1二项式系数表（杨辉三角） ()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 2．二项式系数的性质： ()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自变量的函数()f r 定义域是{0,1,2, ,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n n C C -=）．直线2 n r = 是图象的对称轴．（2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!k k n n n n n n k n k C C k k ----+-+= =? ，

杨辉三角与二项式系数的性质教学反思07

杨辉三角与二项式系数的性质教学反思本节课有以下几点值得一提：一、目标定位准确本节课，在充分挖掘教学内容的内在联系，了解学生已有知识基础，充分分析学情后，确定的教学目标：理解、领悟二项式系数性质；渗透数形结合和分类讨论思想；灵活有效地运用赋值法.应该说具有具体而又准确，科学而有效的特点.随着课堂的实践得到了落实，并且将“知识目标”、“能力目标”、“情感目标”融为一体. 教学目标基本符合学生“认识规律”，以递进的形式呈现：观察分析、归纳猜想、抽象概括，提炼上升；特殊——一般——特殊到一般…，课堂实践表明，这些目标，在师生共同努力及合作下是完全可以达到的. 二、突出主体地位 1．放手发动学生把课堂还给学生，一直是课改的大方向，也是新课标的原动力之一. 还给学生什么呢？教师作了很好的诠释：一是给“问题”，当然问题有预设的，也有生成的，符合从学生“思维最近发展区”出发这一根本教学原则. 二是给“时间”，这体现了教师的先进教学理念，即便是教学难点“中间项系数最大”这一组合数计算讨论过程仍由学生尝试. 当然，n=6，7时，离散型函数的图象起了直观引领，奠基的重要作用. 不为完成任务所累，不为主宰课堂所困. 三是给“机会”，让学生展示自主探索，合作交流的成果，极大地保护和激发了学生学习的热情和积极性，参与程度和激情得到了空前的提高. 2．彰显理性数学本节课，无论是对称性，增减性（最大值），及二项式系数和的逐步生成，学生都能从“特殊到一般”的认识规律，归纳猜想到结论. 但数形结合的函数思想，组合数两个性质的运用，两个计数原理的巧妙“会师”，奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，反馈升华例示中赋值法再现. 这正是“数学演绎”、“理性数学”的精华，让学生找到内化和建构的多种途径.

(完整版)教学案例.杨辉三角与二项式系数性质(标准)

1.3.2二项式系数的性质(第一课时) 学校：新塘中学班级：高二A8班教师：段建辉 ●教学目标（一）知识与技能 1.二项式系数的性质：对称性，增减性与最大值，各二项式系数的和. 2.掌握“赋值法”，并会简单应用（二）情感与价值观 1.树立由一般到特殊及特殊到一般的意识. 2.了解中国古代数学成就及地位．．．．．．．．．．．．． ●教学重点：二项式系数的性质 ●教学难点：二项式系数的最大值的理解与二项展开式中系数最大项有的求解. ●教学方法:发现法 ●授课类型：新授 ●教学情境设计：一、复习回顾 1．二项式定理及其特例：（1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈L L ，（2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++L L . 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+= 二、引入通项公式中的r n C ，我们称其为二项式系数.当n 依次取1，2，3…时， n b a )(+二项式系数，如下表所示：

表1 此表叫二项式系数表,早在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现了又叫杨辉三角.国外最早发现是在欧洲,叫帕斯卡三角，比中国晚了500年下面我们可以利用“杨辉三角”来研究二项式系数的性质三、探究观察二项式系数表,根据提示的方法,寻找表中的规律. 【注意】 ?1）不要孤立的看、规律应该体现在联系之中 ?2）既要注意横向观察，也要注意纵向观察，横向观察是重点 ?3）可以结合函数图象或图表来研究，也可以和集合作联系 1、二项式系数表的规律 ①每行两端都是1 ②除1以外的每1个数都等于它肩上两个数的和（如何用数学知识解释？）【提示】设这一数为r C 1-r n 和C r n ，由组合数知识可知： 1 1 01C C 02 C 12 C 2 2C 03 C 13 C 23 C 33 C 1 4C 0 4 C 3 4C 2 4C 4 4C 0 5C 1 5C 2 5C 35 C 4 5C 55 C

4、1二项式定理与杨辉三角完整讲义(最终修订版)

二项式定理知识要点（一）探究 3 4 a b a b ++,（）（）的展开式问题1：()()112233 a b a b a b +++（）展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？问题2：将上式中，若令123123, a a a a b b b b ======,则展开式又是什么？思考一：合并同类项后，为什么2 a b 的系数是3？问题3： 4 a b +（）的展开式又是什么呢？结论： 404132223344 44444a b C a C a b C a b C ab C b +=++++（）；（二）猜想、证明“二项式定理” 问题4： n a b +（）的展开式又是什么呢？思考二：（1）将 n a b +（）展开有多少项？（2）每一项中，字母,a b 的指数有什么特点？（3）字母,a b 指数的含义是什么？是怎么得到的？（4）如何确定,a b 的系数？二项式定理： 0111222()n n n n r n r r n n n n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++L L ()n *∈N ；（三）归纳小结：二项式定理的公式特征（1）项数：_______；（2）次数：字母a 按降幂排列，次数由____递减到_____；字母b 按升幂排列，次数由____递增到______；（3）二项式系数：下标为_____，上标由_____递增至_____；（4）通项：1k T +=__________；指的是第1k +项，该项的二项式系数为______；（5）公式所表示的定理叫_____________，右边的多项式叫做n a b +（）的二项展开式。

概率、组合、二项式定理和杨辉三角

概率 2.1离散型随机变量及其分布列一、离散型随机变量在射击比赛中，选手击中靶上的圆形或环形区域内得分，得分值由靶心往外依次可记为：10环，9环，8环，…，1环，0环。那么射击选手射击一次，可以出现的结果为：10环，9环，8环，…，1环，0环。例如抛一枚硬币，所有可能的结果是：“正面向上”，“反面向上”。 1、随机变量：在这些试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化的，我们把变量X 叫做一个随机变量。随机变量常用大写字母X,Y …表示。例如：设某射击选手每次射击所得的环数是X ，那么X 是一个随机变量。X 的取值范围是{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}。例：100件产品中，含有5件次品，从中取出4件，那么可能出现的“次品件数”。设X 是一个随机变量，X={ }。练习1：写出下列各离散型随机变量可能取的值：（1）从10张已编号的卡片（1—10号）中任取一张，被取出的卡片的号数；（2）抛掷一个骰子得到的点数；（3）一个袋子里装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；练习2：把一枚硬币先后抛掷两次，如果出现两个正面得5分，出现两个反面得-3分，其他结果得0分，列表写出可能出现的结果与对应的分值。 2、离散型随机变量：如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量。二、离散型随机变量的分布列 1、离散型随机变量X 的概率分布（或离散型随机变量X 的分布列）概率分布表需要列出：（1） X 所有可能的值；（2） X 取每一个值的概率。如下表： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 2、离散型随机变量的分布列有下面两条性质：（1） p i ≥0，i=1,2,3…. ，n ；（2） p 1+p 2+…+p n =1. 3、两点分布：如果随机变量X 的分布列为其中0

杨辉三角与二项式定理教学设计

1．3．2“杨辉三角”与二项式定理昌邑一中吴福顺一、复习引入： 1．二项式定理及其特例：（1），（2） . 2 ．二项展开式的通项公式： 3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性二、讲解新课：（首先介绍杨辉本人，让学生了解杨辉） 1 二项式系数表（杨辉三角）展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和2．二项式系数的性质：展开式的二项式系数是，，，…，．可以看成以为自变量的函数定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵）．直线是图象的对称轴．（2）增减性与最大值．∵， ∴相对于的增减情况由决定，，当时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值．（3）各二项式系数和： ∵，令，则

（讲解完成后，学生搜索有关二项式系数性质的网页，更加全面的了解二项式系数）三、讲解范例：例1．在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和证明：在展开式中，令，则，即， ∴，即在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．（搜索赋值法，了解什么是赋值法）说明：由性质（3）及例1知 . 例2．已知，求：（1）；（2）；（3） . 解：（1）当时，，展开式右边为 ∴，当时，，∴，（2）令，① 令，② ①②得：，∴ . （3）由展开式知：均为负，均为正， ∴由（2）中①+②得：， ∴， ∴ 例3.求 (1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数解： =，

杨辉三角与二项式定理导学案

§1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质主讲：泉州中远学校高二数学组朱坤城【三维目标】 1. 使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其中的规律； 2．能运用函数观点分析处理二项式系数的性质； 3. 理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用。 4. 引导学生发现、欣赏数学中的美，弘扬民族文化。【教学重难点】教学重点：二项式系数的性质及其应用；教学难点：杨辉三角的基本性质的探索和发现。【教学过程】【问题探究1】。杨辉三角的来历及规律早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和；指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它.这表明我国发现这个表不晚于11世纪；在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角.这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右. 认识杨辉三角： 1 1 1 12 1 133 1

1464 1 1510105 1 161520156 1 你能发现这个三角数阵的几个规律：从以上的数阵，想想我们学过的哪些知识和它有联系？【问题探究2】二项式定理与杨辉三角的联系。问题1：二项式展开式是：试把( a+b) n（n=0，1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数填入课本P32的表格。问题2：为了方便，我们将上表改写成如下形式. (a+b)0 (1) (a+b)1 …………………………………………………1 1 (a+b)2…………………………………………………12 1 (a+b)3………………………………………………133 1 (a+b)4……………………………………………1464 1 (a+b)5…………………………………………1510105 1 (a+b)6………………………………………161520156 1 …………………………… 【问题探究3】、从函数角度分析二项式系数：

杨辉三角的规律以与推导公式-杨辉三角规律

杨辉三角的规律以及定理 1 二项式定理与杨辉三角与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理。杨辉三角我们首先从一个二次多项式 (a+b) 2 的展开式来探讨。由上式得出： (a+b) 2＝ a 2+2ab+b 2 此代数式的系数为： 1 2 1 则 (a+b) 3 的展开式是什么呢？答案为： a 3+3a 2b+3a b 2+b 3 由此可发现，此代数式的系数为： 1 3 3 1 但似乎没有什么规律，所以让我们再来看看 (a+b) 4 的展开式。展开式为： a 4 +4a 3b+6a 2b2+4ab 3+b 4 由此又可发现，代数式的系数为： 1 4641 似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列： 1 (11 ) 1 1 (11 1 ) 1 2 1 (11 2 ) 1 3 3 1 (11 3 ) 1 4 6 4 1 (11 4 ) 1 5 10 10 5 1 (11 5 ) 1 6 15 20 15 6 1 (11 6) 杨辉三角形的系数分别为： 1,（1,1 ）,（1,2,1 ）,（ 1,3,3,1 ）,（ 1,4,6,4,1 ）（ 1,5,10,10,5,1 ）,（ 1,6,15,20,15,6,1 ）, （ 1,7,21,35,35,21,7,1）所以： (a+b) 7=a 7+7a 6 b+21a 5b 2+35a 4b 3+35a 3b 4+21a 2b 5+7ab 6+b 7。由上式可以看出， (a+b) n 等于 a 的次数依次下降 n 、n-1 、n- 2?n -n ，b 的次数依次上升， 0、1、2?n 次方。系数是杨辉三角里的系数。 2 杨辉三角的幂的关系首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下： 1 ( 1 ) 1 1 ( 1+1=2 ) 1 2 1 (1+2+1=4 ) 1 3 3 1 (1+3+3+1=8 ) 1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 ) 1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=3 2 ) 1 6 15 20 15 6 1 (1+6+15+20+15+6+1=64 ) ?? 相加得到的数是 1， 2， 4， 8， 16， 32， 64，?刚好是 2 的 0， 1，2， 3， 4， 5， 6，? n 次幂，即杨辉三角第 n 行中 n 个数之和等于 2 的 n-1 次幂 3 杨辉三角中斜行和水平行之间的关系

2019-2020学年高一数学杨辉三角与二项式系数(二)作业.doc

2019-2020学年高一数学杨辉三角与二项式系数(二)作业 1.(a+b)n 展开式中第四项与第六项的系数相等，则n 为（） A .8 B .9 C .10 D .11 2.二项式(1-x)4n+1的展开式系数最大的项是（） A .第2n+1项 B .第2n+2项 C .第2n 项 D 第2n+1项或2n+2项 3.10110-1的末尾连续零的个数是（） A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 4.若n 为奇数，777712211---+???+++n n n n n n n C C C 被9除所得的余数是（） A .0 B .2 C .7 D .8 5.5 n +13 n (n N ∈)除以3的余数是（） A .0 B .0或1 C .0或2 D .2 6.数(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是（） A .1.23 B .1.24 C .1.33 D .1.44 7.!20123181920!417181920!21920C 0 4?????????+???+???+?+ 的值是（） A .217 B .218 C .219 D .220 8.(1-2x)15的展开式中的各项系数和是（） A .1 B .-1 C .215 D .315 9. 在(ax+1)7的展开式中，(a>1)，x 3的系数是x 2的系数与x 4的系数的等差中项，则a 的值是。 10.设112131)13(x x + 展开式中各项系数和为A ，而它的二项式系数之和为B ，若A+B=272，那么展开式中x 2项的系数是。 11.关于二项式(x 1)2007有下列四个命题： ①该二项展开式中非常数项的系数和是1； ②该二项展开式中系数最大的项是第1004项； ③该二项展开式中第6项为200162007x C ； ④当x=2008时，(x 1)2007 除以2008的余数是2007。其中正确命题的序号是。 12.将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如下图所示的01三角数表，从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 行全行的数都为1的是第行。第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 …… ……… ……… ……… 13.用二项式定理证明6363+17能被16整除.

高考数学总复习杨辉三角与二项式系数的性质教案

河北省二十冶综合学校高中分校高考数学总复习杨辉三角与二项式系数的性质教案教学目标：掌握二项式系数的四个性质。教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题。教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题。一，复习1．二项式定理及其特例：（1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，（2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++. 2．二项展开式的通项公式：二、讲解新课： 1二项式系数表（杨辉三角）课本32页探究：，。 2．二项式系数的性质： ()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自变量的函数()f r 定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性：，

。（2）增减性与最大值: , . . （3）各二项式系数和： ∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++，令，则0122n r n n n n n n C C C C C =+++ +++ 三，课堂小练（1）20)(b a +第项的二项式系数最大，最大是。（2）19)(b a +第项的二项式系数最大，最大是。（3）n x )21(+的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，求展开式中二项式系数最大的项是。注意：二项式系数最大的项不一定是系数最大的项。（4）=++++77372717C C C C 。三、讲解范例：例1．在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和说明：由性质（3）及例1知021312n n n n n C C C C -++=++=. 例2．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求：

教学案例.杨辉三角与二项式系数性质

二项式系数的性质(第一课时) 学校：新塘中学班级：高二A8班教师：段建辉 ●教学目标（一）知识与技能 1.二项式系数的性质：对称性，增减性与最大值，各二项式系数的和. 2.掌握“赋值法”，并会简单应用（二）情感与价值观 1.树立由一般到特殊及特殊到一般的意识. 2.了解中国古代数学成就及地位．．．．．．．．．．．．． ●教学重点：二项式系数的性质 ●教学难点：二项式系数的最大值的理解与二项展开式中系数最大项有的求解. ●教学方法:发现法 ●授课类型：新授 ●教学情境设计：一、复习回顾 1．二项式定理及其特例：（1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈L L ，（2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++L L . 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+= 二、引入通项公式中的r n C ，我们称其为二项式系数.当n 依次取1，2，3…时， n b a )(+二项式系数，如下表所示：表1 此表叫二项式系数表,早在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现了又叫杨辉三角.国外最早发现是在欧洲,叫帕斯卡三角，比中国晚了500年 11 01C C 02 C 12 C 2 2C 0 3 C 13 C 23 C 33 C 1 4C 0 4 C 3 4C 2 4C 4 4C 05 C 15 C 25 C 35 C 45 C 55 C

下面我们可以利用“杨辉三角”来研究二项式系数的性质三、探究观察二项式系数表,根据提示的方法,寻找表中的规律. 【注意】 ?1）不要孤立的看、规律应该体现在联系之中 ?2）既要注意横向观察，也要注意纵向观察，横向观察是重点 ?3）可以结合函数图象或图表来研究，也可以和集合作联系 1、二项式系数表的规律 ①每行两端都是1 ②除1以外的每1个数都等于它肩上两个数的和（如何用数学知识解释）【提示】设这一数为 r C 1-r n 和C r n ，由组合数知识可知： ③与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 ④中间的数值最大 2、二项式系数的函数观点 n b a )(+展开式的二项式系数依次是：C n 0 , C n 1…C n r …C n n . 从函数角度看，r n C 可看成是以r 为自变量的函数)(r f y = 其定义域是：｛0,1,2…n ｝当n=5及n=6时，分别作出其图象图1 图2 据图可分析出函数r n C r f =)(，图象的对称轴是2 n r = 3、二项式系数的性质据图1,2和表1可得出二项式系数的性质【1】对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n n C C -=）．直线2 n r = 是图象的对称轴． [典型问题] .已知5 15C =a ，9 15C =b ，那么10 16C =__________；

杨辉三角与二项式系数的性质说课稿教案教学设计

“杨辉三角”与二项式系数的性质学习目标： 1掌握二项式定理和二项式系数的性质。 2.能灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题学习重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题学习难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入： 1．二项式定理及其特例：（1），（2）. 2．二项展开式的通项公式： 3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 41二项式系数表（杨辉三角）展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 5．二项式系数的性质：展开式的二项式系数是，，，…，．可以看成以为自变量的函数，定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵）．直线是图象的对称轴．

（2）增减性与最大值：当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值．（3）各二项式系数和： ∵，令，则二、讲解范例：例1．设，当时，求的值解：令得：， ∴，点评：对于，令即可得各项系数的和的值；令即，可得奇数项系数和与偶数项和的关系例2．求证：．证（法一）倒序相加：设① 又∵② ∵，∴，由①+②得：， ∴，即．（法二）：左边各组合数的通项为，

∴．例3．已知：的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大．（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项解：令，则展开式中各项系数和为，又展开式中二项式系数和为， ∴，．（1）∵，展开式共项，二项式系数最大的项为第三、四两项， ∴，，（2）设展开式中第项系数最大，则， ∴，∴，即展开式中第项系数最大，．例4．已知，求证：当为偶数时，能被整除分析：由二项式定理的逆用化简，再把变形，化为含有因数的多项式∵， ∴，∵为偶数，∴设（）， ∴ （），当=时，显然能被整除，当时，（）式能被整除，所以，当为偶数时，能被整除

杨辉三角和二项式系数的性质

班级：姓名：填写日期：杨辉三角和二项式系数的性质一．课题导入复习二项式定理二．学习目标（2分钟） 1.能认识杨辉三角,并能利用它解决实际问题。 2.能记住二项式系数的性质,并能灵活运用解决相关问题. 3.会用赋值法求展开式系数的和. 三.预习指导 1.杨辉三角的特点 (1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数___________________. (2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的__________，即 __________________. 2.二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“_____________”的两个二项式系数相等(即___________). (2)增减性与最大值：当k<_____________时，二项式系数逐渐增大.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n是偶数时，中间一项______________取得最大值；当n是奇数时，中间两项_______________相等，同时取得最大值. 四.引导探究探究一二项式展开（观察二项式系数，观察其系数的特点）总结：杨辉三角的第n行中的数对应于二项式(a+b)n展开式的系数探究２杨辉三角的主要性质 (观察杨辉三角，是总结出如下性质） (1)基本性质：___________________________________ (2)对称性：________________________________ (3)最值：______________________________________________ 探究三:杨辉三角各行数字和有何特点? 总结____________________________ 探究四与左斜边平行的直线所经过的数字之和？总结：__________________________________________________________________________ 例1、（04上海，春）在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第_________________行中从左至右第14与第15个数的比为2：3.

1.3.2杨辉三角与二项式系数(二)作业

1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质（二）班级姓名 1.(a+b)n 展开式中第四项与第六项的系数相等，则n 为（） A .8 B .9 C .10 D .11 2.二项式(1-x)4n+1的展开式系数最大的项是（） A .第2n+1项 B .第2n+2项 C .第2n 项 D 第2n+1项或2n+2项 3.10110-1的末尾连续零的个数是（） A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 4.若n 为奇数，77771221 1---+???+++n n n n n n n C C C 被9除所得的余数是（） A .0 B .2 C .7 D .8 5.5 n +13 n (n N ∈)除以3的余数是（） A .0 B .0或1 C .0或2 D .2 6.数(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是（） A .1.23 B .1.24 C .1.33 D .1.44 7.! 201 23181920!417181920!21920C 0 4?????????+ ???+???+?+ 的值是（） A .217 B .218 C .219 D .220 8.(12x)15的展开式中的各项系数和是（） A .1 B .-1 C .215 D .315 9. 在(ax+1)7的展开式中，(a>1)，x 3的系数是x 2的系数与x 4的系数的等差中项，则a 的值是。 10.设11 2 1 3 1)1 3(x x + 展开式中各项系数和为A ，而它的二项式系数之和为B ，若A+B=272，那么展开式中x 2项的系数是。 11.关于二项式(x 1)2007有下列四个命题： ①该二项展开式中非常数项的系数和是1； ②该二项展开式中系数最大的项是第1004项； ③该二项展开式中第6项为2001 62007x C ； ④当x=2008时，(x 1)2007除以2008的余数是2007。其中正确命题的序号是。 12.将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如下图所示的01三角数表，从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 行全行的数都为1的是第行。第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 …… ……… ……… ……… 13.用二项式定理证明6363+17能被16整除.

二项式定理和杨辉三角练习题

二项式定理和杨辉三角练习题二项式定理练习题班级：__________姓名：___________ 一．选择题： 1．化简(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1得 ( )． A．x4 B．(x－1)4 C．(x＋1)4 D．x5 ?1n2．若 x－x展开式的第4项为含x3的项，则n等于 ( )．?? A．8 B．9 C．10 D．11 ?13?n3．对于二项式 x＋x?(n∈N*)，有以下四种判断：?? ①存在n∈N*，展开式中有常数项；②对任意n∈N*，展开式中没有常数项；③对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项；④存在n∈N*，展开式中有x的一次项．其中正确的是 ( )． A．①与③ B．②与③ C．②与④ D．①与④ 4．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数是 ( )． A．－297 B．－252 C．297 D．207 5．(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是 ( )． A．1.23 B．1.24 C．1.33 D．1.34 二．填空题： 17?2x＋6. 的展开式中倒数第三项为________． x?? 1n?3的展开式中的常数项为84，则n＝________． 7．若 x＋xx?? 1?5?8．若 x2＋ax?6的二项展开式中x3的系数为2a＝________. ?? 9．已知(1＋ax)5＝1＋10x＋bx2＋…＋a5x5，则b＝________. ?21910．二项式 x＋x的展开式中整式项共有________项(用数字作答)．?? ?111．(1＋2x2) x－x8的展开式中的常数项为________．?? 12．233除以9的余数是________． ?5413．已知(xcos θ＋1)的展开式中x的系数与 x＋4的展开式中x3的系数相等，??52