十四校2018届高三第一次联考数学(理)试题含答案

高三·十四校联考 第一次考试

数学（理科）试卷 第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知复数z 满足()234i z i -=-+，则z 的共轭复数是（ ） A ．2i -+ B ．2i - C ．2i + D ．2i --

2.已知全集为R ，集合{

}

21x

A x =≥，{

}

2

320B x x x =-+<，则R A

B =e（ ）

A ．{}

0x x ≤ B ．{}012x x x ≤≤≥或 C ．{}12x x << D ．{}

012x x x ≤<>或 3.袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”“0”“1”“8”，现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（ ） A ．

23 B ．12 C ．13 D ．1

4

4.若双曲线

22

131

x y m m +=--的焦距为4，则m 等于（ ） A ．0或4 B ．4 C.12- D ．0

5.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若945S =，3812a a +=，则7a 等于（ ） A ．10 B ．9 C.8 D ．7

6.执行如图所示的程序框图，则其输出的结果是（ ）

A ．2047

B ．1025 C.1023 D ．511

7.已知函数()f x 为偶函数，当[]1,1x ∈-时，()2

1f x x =-，且()1f x +为奇函数，则

212f ??

= ???

（ ） A ．

12 B ．12- C.32- D ．3

2

8.已知一个棱长为2的正方体被两个平面所截得的几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）

A ．38cm 3

B ．3

4cm C.

320cm 3 D ．316

cm 3

9.若01a b <<<，b m a =，a

n b =，log b p a =，则m ，n ，p 这三个数的大小关系正确

的是（ ）

A ．n m p <<

B ．m n p << C.p m n << D ．p n m <<

10.函数()()()sin 0,0,0f x A x A ω?ω?π=+>><<的部分图象如图所示，已知

12,,2x x ππ??

∈ ???

，12x x ≠，且()()12f x f x =，则()12f x x +等于（ ）

A ．1-

B ．2- C.1 D ．2

11.若对于函数()()2

ln 1f x x x =++图象上任意一点处的切线1l ，在函数

()sin cos g x a x x x =-的图象上总存在一条切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为

（ ）

A ．21,12??-?

??? B ．1212??

--???

?，

C.122122?

?

??

---∞+∞ ??? ?

?

??

，

， D ．(][),11,-∞-+∞

12.如图，已知椭圆2

21:14

x C y +=，过抛物线22:4C x y =焦点F 的直线交抛物线于M 、N 两点，连接NO ，MO 并延长分别交1C 于A 、B 两点，连接AB ，OMN △与OAB △的面积分别记为OMN S △，OAB S △.则在下列命题中，正确命题的个数是（ ） ①若记直线NO ，MO 的斜率分别为1k 、2k ，则12k k 的大小是定值为14

-； ②OAB △的面积OAB S △是定值1；

③线段OA 、OB 长度的平方和2

2

OA OB +是定值5； ④设OMN

OAB

S S λ=

△△，则2λ≥. A ．4个 B ．3个 C.2个 D ．1个

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知向量()1,2m =-，(),4n x =，若m n ⊥，则2m n += ．

14.已知a 为常数，且1

02a xdx =?，则6

a x x ?

?- ??

?的二项展开式中的常数项为 ．

15.已知x ，y 满足约束条件2010x y x x y k -+≥??

≤??++≥?

，则3z x y =+的最大值是最小值的2-倍，则

k = ．

16.已知数列{}n a 满足：13a =，()

()12312n

n n a a n -=--≥.设{}t

k a 是等差数列，数列

{}()t k t N *∈是各项均为正整数的递增数列，若11k =，则32k k -= ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.设函数()(

)

1

sin 3cos sin 2

f x x

x x =+-.

（Ⅰ）求函数()f x 的递增区间；

（Ⅱ）在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若()1f B =，2b =，且

()()2cos cos 1b A a B -=+，求ABC △的面积.

18.某百货商店今年春节期间举行促销活动，规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商店经理对春节前7天参加抽奖活动的人数进行统计，y 表示第x 天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：

x

1 2 3 4 5 6 7 y

5

8

8

10

14

15

17

（Ⅰ）经过进一步统计分析，发现y 与x 具有线性相关关系.请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；

（Ⅱ）该商店规定：若抽中“一等奖”，可领取600元购物券；抽中“二等奖”可领取300元

购物券；抽中“谢谢惠顾”，则没有购物券.已知一次抽奖活动获得“一等奖”的概率为1

6

，获得“二等奖”的概率为

1

3

.现有张、王两位先生参与了本次活动，且他们是否中奖相互独立，求此二人所获购物券总金额X 的分布列及数学期望.

参考公式：122

1

n

i i

i n

i

i x y nx y

b x

nx ==-=

-∑∑，a y bx =-，

7

1

364i i

i x y

==∑.

19. 如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AD DC CB ===，60ABC ∠=，

ACEF ABCD

⊥平面平面，四边形ACEF 是菱形，60CAF ∠=.

（Ⅰ）求证：BF AE ⊥；

（Ⅱ）求二面角B EF D --的平面角的正切值.

20. 已知椭圆()22

2210x y E a b a b +=>>： 上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值是最小值的

3倍，且点312P ??

???

，在椭圆E 上.

（Ⅰ）求椭圆E 的方程；

（Ⅱ）过点()11M ，任作一条直线l ，l 与椭圆E 交于不同于P 点的A 、B 两点，l 与直线

:34120m x y +-=交于C 点，记直线PA 、PB 、PC 的斜率分别为1k 、2k 、3k .试探究12

k k +与3k 的关系，并证明你的结论.

21. 已知函数()()ln x

e f x a x x x

=+-（其中a R ∈且a 为常数，e 为自然对数的底数，