2019学年镇海中学高三上期中

2019学年镇海中学高三上期中

一、选择题：每小题4分，共40分

1. 已知集合{}

2450A x x x =∈--≤Z ，{}0ln 2B x x =<<，则A B 的元素的个数（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．7

2. 若a ，b ，c ∈R ，且a b >，则下列不等式中一定成立的是（ ）

A ．ac bc >

B ．()20a b c ->

C ．11

a b

<

D ．22a b -<-

3. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且24S =，418S =，则6S 等于（ ）

A ．50

B ．42

C ．38

D ．36

4. 函数()243

x

x f x =

的图象大致为（ ）

5. 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（ ）

A ．76

B ．84

C

．76+D

．84+

6. 将函数()y f x =的图象向右平移

6

π

个单位长度后，得到 ()sin 26g x x π?

?=+ ??

?，则()y f x =的函数解析式为（ ）

A ．()cos 2f x x =-

B ．()sin 26f x x π?

?=- ??

?

C ．()cos 2f x x =

D ．()cos 26f x x π?

?=- ??

?

7. 设命题p ：()lg 210x -≤，命题q ：()

10x a x a

-+≤-，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范

围

是（ ）

A ．10,2??????

B ．10,2?? ???

C ．10,2??????

D ．?

B

D

俯视图

侧视图

正视图

8. 已知2

2π

π

αβ-<-<

，sin 2cos 1αβ-=

，cos 2sin αβ+=sin 6πβ?

?+= ??

?（ ）

A

B

C

． D

． 9. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点1F ，2F ，设点P 是该椭圆和双曲线的一个公共点，且123

F PF π

∠=

，

若椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则22

12e e +的最小值为（ ）

A

B

．4+C

．2+ D

．110. 设a ，b 为正实数，且121322a b a b +++=，则12

a b +的最大值与最小值之和为（ ）

A ．2

B ．92

C ．132

D ．9

二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分

11. 抛物线22y x =的焦点坐标为 ，准线方程为 ．

12. 已知点()1,0A ，()0,2B ，点(),P a b 在线段AB 上，则直线AB 的斜率为 ， ?a b 的最大值

为 ．

13. 若实数(),x y 满足约束条件20

201x y x y y --≤??

+-≥??≤?

，则2x y -的最小值为 ，

的最小值

为 ．

14. 已知长方体1111ABCD A B C D -中，11

2

AA =

，1

AB =，AD ，则直线1AA 与平面1A BD 所成的角为 ，若空间的一条直线l 与直线1AA 所成的角为4

π

，则直线l 与平面1A BD 所成的最大角为 ．

15. 已知{}n a 是等比数列且0n a >，243546225a a a a a a ++=，则4a 的最大值为 ． 16. 已知圆O ：221x y +=，设点P 是恒过点()0,4的直线l 上任意的一点，若在该圆上存在点A 使得

3

OPA π

∠≤

，则直线l 的斜率k 的取值范围为 ．

17. 已知()11,A x y ，()22,B x y 为单位圆上两点，且满足1

2

OA OB ?=，则1122x y x y +++的取值范围为 ．

三、解答题：5小题，共74分

18. 已知()sin cos sin 222x x x f x a ??=?++ ?

??．

（1）求实数a 的值；

（2

）若44f a f a ππ????++-= ? ??

??

?，求21

41tan παα?

?-+ ???+的值．

19. 在锐角ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知3b =，2239a c c =-+．

（1）求A ；

（2）求22sin sin B C +的取值范围．

20. 如图，在三棱锥P ABC -中，PAB △与ABC △都为等腰直角三角形，PA PB ⊥，AB AC ⊥，M 为AC

的中点，且PM AC =．

（1）求二面角P AB C --的大小；

（2）求直线PM 与平面PBC 所成角的正弦值．

M P

C

B

A

21. 已知数列{}n a 的前n 项和为{}n S ，且满足：12a =，()

*132n n a S n +=-+∈N ．

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）数列{}n b 满足12b =-，()()

()2131n n n b b n n n a +-+=+，求数列{}n b 的通项公式．

22. 在平面直角坐标系中，已知()2,0F ，()2,P t -，若线段FP 的中垂线l 与抛物线()2:20C y px p =>总

是相切．

（1）求抛物线C 的方程；

（2）若过点()2,1Q 的直线l '交抛物线C 于M 、N 两点，过M ，N 分别作抛物线的切线1l ，2l 相交于点A ，1l ，2l 分别与y 轴交于点B ，C ；

（i ）证明：当l '变化时，ABC △的外接圆过定点，并求出定点的坐标； （ii ）求ABC △的外接圆面积的最小值．