《万有引力定律、万有引力理论的成就》
《万有引力定律、万有引力理论的成就》
一、不定项选择题
1.下列关于万有引力定律的说法中,正确的是( )
A .万有引力定律是牛顿发现的
B .F =G m 1m 2
r
2中的G 是一个比例常数,是没有单位的
C .万有引力定律适用于任意质点间的相互作用
D .两个质量分布均匀的分离的球体之间的相互作用力也可以用F =Gm 1m 2
r
2来计算,r 是两球体球心间的距离
2.下列关于万有引力的说法中正确的是( )
A .万有引力是普遍存在于宇宙空间中所有具有质量的物体之间的相互作用力
B .重力和引力是两种不同性质的力
C .当两物体间有另一质量不可忽略的物体存在时,则这两个物体间的万有引力将增大
D .当两物体间距离为零时,万有引力将无穷大
3.下列关于万有引力定律的说法中,正确的是( )
①万有引力定律是卡文迪许在实验室中发现的 ②对于相距很远、可以看成质点的两个物体,万有引力定律F =G Mm
r
2中的r 是两质点间的距离 ③对于质量分布均匀的球体,公式中的r 是两球心间的距离 ④质量大的物体对质量小的物体的引力大于质量小的物体对质量大的物体的引力 A .①③ B .②④ C .②③ D .①④
4.苹果自由落向地面时加速度的大小为g ,在离地面高度等于地球半径处做匀速圆周运动的人造卫星的向心加速度为( )
A .g
B .12g
C .1
4
g D .无法确定
5.在某次测定引力常量的实验中,两金属球的质量分别为m 1和m 2,球心间的距离为r ,若测得两金属球间的万有引力大小为F ,则此次实验得到的引力常量为( )
A .Fr m 1m 2
B .Fr 2m 1m 2
C .m 1m 2Fr
D .m 1m 2Fr
2 6.设想把质量为m 的物体放到地球的中心,地球质量为M ,半径为R ,则物体与地球间的万有引力是( )
A .零
B .无穷大
C .G Mm
R
2 D .无法确定
7.月球表面的重力加速度为地球表面重力加速度的1
6
,一个质量为600 kg 的飞行器到达月球后( )
A .在月球上的质量仍为600 kg
B .在月球表面上的重力为980 N
C .在月球表面上方的高空中重力小于980 N
D .在月球上的质量将小于600 kg
8.据报道,最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星,其质量约为地球质量的6.4倍,一个在地球表面重力为600 N 的人在这个行星表面的重力将变为960 N .由此可推知,该行星的半径与地球半径之比约为( )
A .0.5
B .2
C .3.2
D .4
9.若知道太阳的某一颗行星绕太阳运转的轨道半径为r ,周期为T ,引力常量为G ,则可求得( ) A .该行星的质量 B .太阳的质量 C .该行星的平均密度 D .太阳的平均密度
10.有一星球的密度与地球的密度相同,但它表面处的重力加速度是地面表面处重力加速度的4倍,则该星球的质量将是地球质量的( ) A .14
B .4倍
C .16倍
D .64倍 11.火星直径约为地球直径的一半,质量约为地球质量的十分之一,它绕太阳公转的轨道半径约为地球绕太阳公转半径的1.5倍.根据以上数据,下列说法中正确的是( )
A .火星表面重力加速度的数值比地球表面小
B .火星公转的周期比地球的长
C .火星公转的线速度比地球的大
D .火星公转的向心加速度比地球的大
12.若有一艘宇宙飞船在某一行星表面做匀速圆周运动,设其周期为T ,引力常量为G ,那么该行星的平均密度为( ) A .GT 23π B .3πGT 2 C .GT 24π D .4πGT 2 13.为了对火星及其周围的空间环境进行监测,我国预计于2011年10月发射第一颗火星探测器“萤火一号”.假设探测器在离火星表面高度分别为h 1和h 2的圆轨道上运动时,周期分别为T 1和T 2.火星可视为质量分布均匀的球体,且忽略火星的自转影响,引力常量为G .仅利用以上数据,可以计算出( )
A .火星的密度和火星表面的重力加速度
B .火星的质量和火星对“萤火一号”的引力
C .火星的半径和“萤火一号”的质量
D .火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力
14.设地球半径为R ,a 为静止在地球赤道上的一个物体,b 为一颗近地绕地球做匀速圆周运动的人造卫星,c 为地球的一颗同步卫星,其轨道半径为r.下列说法中正确的是( )
A .a 与c 的线速度大小之比为r R
B .a 与c 的线速度大小之比为R
r
C .b 与c 的周期之比为r R
D .b 与c 的周期之比为R r R
r
15.2008年9月27日“神舟七号”宇航员翟志刚顺利完成出舱活动任务,他的第一次太空行走标志着中国航天事业全新时代的到来.“神舟七号”绕地球做近似匀速圆周运动,其轨道半径为r ,若另有一颗卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为2r ,则可以确定( ) A .卫星与“神舟七号”的加速度大小之比为1∶4 B .卫星与“神舟七号”的线速度大小之比为1∶ 2 C .翟志刚出舱后不再受地球引力
D .翟志刚出舱任务之一是取回外挂的实验样品,假如不小心实验样品脱手,则它将做自由落体运动
16.一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上.已知万有引力常量为G ,若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零,则天体自转周期为( )
A .????4π3Gρ12
B .????34πGρ12
C .????πGρ12
D .????3πGρ12 17.如图所示,a 、b 是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星,它们距地面的高度分别是R 和2R(R 为地球半径).下
列说法中正确的是( )
A .a 、b 的线速度大小之比是2∶1
B .a 、b 的周期之比是1∶2 2
C .a 、b 的角速度大小之比是36∶4
D .a 、b 的向心加速度大小之比是9∶4
18.英国《新科学家(Ne w Scientist )》杂志评选出了2008年度世界8项科学之最,在XTEJ 1650—500双星系统中
发现的最小黑洞位列其中,若某黑洞的半径R 约为45 km ,质量M 和半径R 的关系满足M R =c 2
2G
(其中c 为光速,
G 为引力常量),则该黑洞表面重力加速度的数量级为( )
A .108 m /s 2
B .1010 m /s 2
C .1012 m /s 2
D .1014 m /s 2
二、计算题
19.地球自转速度达到使赤道上的物体能“飘”起来(完全失重).试估算一下,此时地球上的一天等于多少小时?(地球半径取6.4×106 m ,g 取10 m /s 2)
20.如图所示,火箭内平台上放有测试仪,火箭从地面启动后,以加速度g
2
竖直向上匀加速运动,升到某一高度
时,测试仪对平台的压力为启动前压力的17
18
.已知地球半径为R ,求火箭此时离地面的高度.(g 为地面附近的重
力加速度)
21.土星周围有许多大小不等的岩石颗粒,其绕土星的运动可视为圆周运动.其中有两个岩石颗粒A 和B 与土星中心的距离分别为r A =8.0×104 km 和r B =1.2×105 km ,忽略所有岩石颗粒间的相互作用.(结果可用根式表示) (1)求岩石颗粒A 和B 的线速度之比.
(2)土星探测器上有一物体,在地球上重为10 N ,推算出它在距土星中心3.2×105 km 处受到土星的引力为0.38 N .已知地球半径为6.4×103 km ,请估算土星质量是地球质量的多少倍?
22.中子星是恒星演化过程中的一种可能结果,它的密度很大.现有一中子星,观测到它的自转周期为T =1
30
s .问
该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的稳定,不致因自转而瓦解?(计算时星体可视为均匀球体,万有
引力常量G =6.67×10-
11m 3/(kg ·s 2))
参考答案
1.ACD [万有引力定律是牛顿在前人研究的基础上发现的,据F =G
m 1m 2r
2知G 的国际单位是N ·m 2/kg 2
,适用于任何两个物体之间的相互引力作用.]
2.A [两物体间万有引力大小只与两物体质量的乘积及两物体间的距离有关,与存不存在另一物体无关,所以C 错.若间距为零时,公式不适用,所以D 错.]
3.C
4.C [地面处:mg =G Mm
R 2,则g =GM R
2 离地面高为R 处:mg ′=G Mm (2R ),则g ′=GM
4R
所以g ′g =14,即g ′=1
4
g ,C 正确.]
5.B [由万有引力定律F =G m 1m 2r 2得G =Fr 2
m 1m 2
,所以B 项正确.]
6.A [设想把物体放到地球中心,此时F =G Mm
r
2已不适用,地球的各部分对物体的吸引力是对称的,故物体
与地球间的万有引力是零,答案为A.]
7.ABC [物体的质量与物体所处的位置及运动状态无关,故A 对,D 错;由题意可知,物体在月球表面上
受到的重力为地球表面上重力的16,即F =16mg =16×600×9.8 N =980 N ,故B 对;由F =Gm 1m 2
r
2知,r 增大时,引
力F 减小.在星球表面,物体的重力可近似认为等于物体所受的万有引力,故C 对.]
点评 物体的质量是物体所含物质的多少,与物体所处的位置和物体的运动状态无关;在星球表面,物体的重力可认为等于物体所受的万有引力,与物体和星球的质量及二者的相对位置有关.
8.B [设地球质量为m ,则“宜居”行星质量为M ,则M =6.4m . 设人的质量为m ′,地球的半径为R 地,“宜居”行星的半径为R ,由万有引力定律得,地球上
G 地=G mm ′R 2地
“宜居”行星上G ′=G Mm ′R 2=G 6.4mm ′
R 2
两式相比得R R 地
= 6.4G 地G ′= 6.4×600960=2
1
.] 9.B
10.D [由G Mm R =mg 得M =gR 2
G ,
ρ=M V =gR 2G 43
πR
3=3g
4πGR
所以R =3g 4πG ρ,则R R 地=g
g 地
=4
根据M =gR 2G =4g 地·(4R 地)2G =64g 地R 2地
G
=64M 地,所以D 项正确.]
11.AB [由G Mm R 2=mg 得g =G M R 2,计算得火星表面的重力加速度约为地球表面的25,A 正确;由G Mm r 2=m (2πT )2r
得T =2πr 3GM ,公转轨道半径大的周期长,B 对;周期长的线速度小(或由v =GM
r
判断轨道半径大的线速度
小),C 错;公转向心加速度a =G M
r
2,D 错.]
12.B [设飞船的质量为m ,它做匀速圆周运动的半径为行星半径R ,则G Mm R 2=m (2πT
)2
R ,所以行星的质量M
=4π2R
3
GT 2,行星的平均密度ρ=M
43πR 3=4π2R
3
GT 2
43
πR 3=3π
GT
2,B 项正确.] 13.A [设火星质量为M ,半径为R ,“萤火一号”的质量为m ,则有
G Mm (R +h 1)2=m ? ??
??2πT 12(R +h 1) ① G Mm (R +h 2)2=m ? ????2πT 22(R +h 2) ② 联立①②两式可求得M 、R ,由此可进一步求火星密度,由于mg =
GMm R 2,则g =GM
R
2,显然火星表面的重力加速度也可求出,正确答案为A.]
14.D [物体a 与同步卫星c 角速度相等,由v =r ω可得,二者线速度之比为R
r
,选项A 、B 均错误;而b 、
c 均为卫星,由T =2π
r 3GM 可得,二者周期之比为R
r
R
r
,选项C 错误,D 正确.] 15.AB [根据a =GM r 2,可知a 1∶a 2=1∶4,故A 正确;根据v = GM
r
,可知v 1∶v 2=1∶2,故B 正确;
根据万有引力定律,翟志刚不论是在舱里还是在舱外,都受地球引力的作用,故C 错;样品脱手时具有和人同样
的初速度,并不会做自由落体运动,故D 错.]
16.D [物体随天体一起自转,当万有引力全部提供向心力使之转动时,物体对天体的压力恰好为零,则
G Mm R 2=m 4π2T 2R ,又ρ=M 43
πR 3
,所以T =1
2
3G p r
骣琪琪桫
,D 正确.]
17.CD [根据G Mm r 2=m v 2
r
得
v =GM r ,v a v b =3R 2R = 6
2
.
根据GMm r =mr 4π
2
T
,得
T =4π2r 3GM
,
T a T b = (2R 3R )3=2 69 ωa ωb =T b
T a
=3 6∶4. 根据a n =F 万m =GM
r
2,得
a n a a n
b =(3R 2R )2=94
.] 18.C [可认为黑洞表面物体的重力等于万有引力,即mg =GMm R 2,即g =GM R 2,将M R =c 22G 代入上式得g =c 2
2R
=
(3×108)2
2×45×103 m/s 2=1×1012 m/s 2
.]
19.解:物体刚要“飘”起来时,还与地球相对静止,其周期等于地球自转周期,此时物体只受重力作用,物体“飘”起来时,半径为R 地,据万有引力定律有
mg =GMm R 2地=m 4π2
T
2R 地
得T =
4π2
R 地
g
=
4π2×6.4×10
6
10
s =5 024 s =1.4 h.
20.解:在地面附近的物体,所受重力近似等于物体受到的万有引力,即mg ≈G
Mm
R 2
,物体距地面一定高度时,万有引力定律中的距离为物体到地心的距离,重力和万有引力近似相等,故此时的重力加速度小于地面上的重力加速度.
取测试仪为研究对象,其先后受力如图甲、乙所示.
据物体的平衡条件有F N1=mg 1,g 1=g 所以F N1=mg
据牛顿第二定律有F N2-mg 2=ma =m ·g
2
所以F N2=mg
2
+mg 2
由题意知F N2=1718F N1,所以mg 2+mg 2=17
18mg
所以g 2=49g ,由于mg ≈G Mm R 2,设火箭距地面高度为H ,所以mg 2=G Mm
(R +H )2
又mg =G Mm R
2
所以49g =gR 2
(R +H )2,H =R
2
.
21.解:(1)万有引力提供岩石颗粒做圆周运动的向心力,所以有G Mm r
2=mv 2
/r .故v =GM r 所以v A
v B =r B
r A
=1.2×105
km 8.0×104
km =6
2
. (2)设物体在地球上重为G 地,在土星上重为G 土,则由万有引力定律知:
G 地=G M 地m R 2地,G 土=G M 土m R 2土
又F 万=G M 土m r 2,故G 土R 2土=F 万r 2
所以M 土M 地=G 土R 2土
G 地R 2地=F 万r 2G 地R 2地
=0.38×(3.2×105)210×(6.4×103)2=95.
22.解:考虑中子星赤道处一小块物体,只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体一起旋转所需的向
心力时,中子星才不会瓦解.
设中子星的密度为ρ,质量为M ,半径为R ,自转角速度为ω,位于赤道处的小块物体质量为m ,则有 GMm R 2=m ω2
R ,ω=
2πT ,M =43
πR 3ρ 由以上各式得ρ=3π
GT
2
代入数据解得ρ=1.27×1014 kg/m 3
点评 因中子星自转的角速度处处相同,据G Mm R
2=m ω2
R 知,只要赤道上的物体不做离心运动,其他位置上的物体就会处于稳定状态,中子星就不会瓦解.