如何化为最简二次根式

如何化为最简二次根式
如何化为最简二次根式

如何化为最简二次根式

最简二次根式是特殊的二次根式,他需要满足:(1)被开方数的因数是整数,字母因式是整式;(2)被开方数中不含能开的尽方的因数或因式.那么如何将一个二次根式化为最简二次根式呢?

一、被开方数是整数或整数的积

例1 化简:(1)162;(2)7532?.

解:(1)原式=281?=292?=292?=29;

(2)原式=325216???=65422??=25422??=620.

温馨提示:当被开方数是整数或整数的积时,一般是先分解因数,再运用积的算术平方根的性质进行化简.

二、被开方数是数的和差

例2 化简:2

2)21

()23

(+. 解:原式=4149+=410=102

1. 温馨提示:当被开方数是数的和差时,应先求出这个和差的结果再化简.

三、被开方数是含字母的整式

例3 化简:(1)3418y x ;(2)3222b ab b a ++.

解:(1)原式=y y x ????2)(32222=y y x 232;

(2)原式=)2(22b ab a b ++=2)(b a b +=b b a )(+.

温馨提示:当被开方数是单项式时,应先把指数大于2的因式化为2)(m a 或a a m ?2

)(的形式再化简;当被开方数是多项式时,应先把多项式分解因式再化简,但需注意,被移出根号的因式是多项式的需加括号.

四、被开方数是分式或分式的和差 例4 化简:(1)b

a x 2383;(2)y x x y +. 解:(1)原式=

b b a b x 282323??=222246b

a bx x ?=bx a

b x 62; (2)原式=xy

y x 2

2+=2222)(y x xy y x +=)(122y x xy xy +. 温馨提示:当被开方数是分式时,应先把分母化为平方的形式,再运用商的算术平方

根的性质化简;当被开方数是分式的和差时,要先通分,再化简.

二次根式的化简与计算

二次根式的化简与计算 【知识要点】 1.一般地,式子()0≥a a 叫做二次根式,这里的a 可以是数,也可以是代数式,它们都必须是非负数(即不小于0),a 的结果也是非负数. 2.二次根式的性质 (1) () ()02 ≥=a a a (2)()()()?? ? ??<-=>==000 02a a a a a a a (3)()0,0≥≥?=? b a b a b a (4) ()0,0>≥=b a b a b a 3.运算法则: (1)乘法运算:()0,0≥≥=?b a ab b a (2)除法运算: ()0,0>≥= b a b a b a 4.最简的二次根式: (1)被开方数因数是整数,因式是整式. (2)被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数. 5.分母有理化 定义:把分母中的根号化去,叫做分母有理化. 方法:①单项 a =来确定. ②两项二次根式:利用平方差公式()()22b a b a b a -=-+来确定. 如 : a 与a - 【经典例题】 例1.判断下列各式,是否是二次根式: ,12,4,,4,27,824233 +--a a a 2,21122 +?? ? ?? < -a a a

例2.计算下列各题: (1) () 2 7 (2)2 43??? ? ?? (3)() 2 23 (4)2 55??? ? ?? (5 (6 例4.把下列各式分母有理化 (1)12 1 (2) 2 33 (3) 12121 (4)50 3 51- 例5.化简 (1)121699?? (2)637? (3)221026- (4) ()()2512-?- 例6.计算 (1)??? ? ??-?32335 (2) ??? ? ??-?56215 (3)??? ? ??-?614123 (4)5433 1 12785??? -

二次根式的化简与计算

二次根式的化简与计算

————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: ?

二次根式 【知识要点】 1.一般地,式子()0≥a a 叫做二次根式,这里的a 可以是数,也可以是代数式,它们都必须是非负数(即不小于0),a 的结果也是非负数. 2.二次根式的性质 (1)()()02≥=a a a (2)() ()() ?????<-=>==00002a a a a a a a (3)()0,0≥≥?=?b a b a b a (4)()0,0>≥=b a b a b a 3.运算法则: (1)乘法运算:()0,0≥≥=?b a ab b a (2)除法运算:()0,0>≥=b a b a b a 【化简以及分母有理化】 外移:2||a b a b = 内移:a b , 当0a >时,2a b a b = 当0a <时,2a b a b =- 4.最简的二次根式: (1)被开方数因数是整数,因式是整式. (2)被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数. 5.分母有理化 定义:把分母中的根号化去,叫做分母有理化.

方法:①单项二次根式:利用a a a ?=来确定. ②两项二次根式:利用平方差公式()()22b a b a b a -=-+来确定. 如: a b +与a b -,a b a b +-与, a x b y a x b y +-与分别互为有理化因式。 a x b y a x b y +-与分别互为有理化因式。 例题. 化简:(1)3227a b = ; (2)32418a a ?= . 例题32 27= . 2 3649y x = ; 同类二次根式 (1)定义: 几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同类 二次根式。 (2)判断方法: 注意以下三点: ①都是二次根式,即根指数都是2; ②必须先化成最简二次根式; ③被开方数相同. 【重难点解析】 1.化简二次根式:尽量把根号里的数写成几个数的平方的形式。 如:21223=?= 23 21832=?= 32 25052=?= 52 2.根号里的数比较大时,使用短除法把这个数分解成质数的幂的形式。 如29482379=??= 2379?,24202553=?= 253? 3.根号内有字母或代数式,观察它们所能分解出来的最小偶次数。如: 542 x x x x x =?=、()()()3232111x x x x x x +=++=()()11x x x x ++ 4.单项的分母有理化,可以直接分子分母同时乘以分母再约分。 如:11333333?==? 、 2223233233823233 ?====??

最简二次根式教学设计示例3

最简二次根式教学设计示例3 一、教学目标1.使学生知道什么是最简二次根式,遇到实际式子能够判断是不是最简二次根式.2.使学生掌握化简一个二次根式成最简二次根式的方法.3.使学生了解把二次根式化简成最简二次根式在实际问题中的应用.二、教学重点和难点1.重点:能够把所给的二次根式,化成最简二次根式.2.难点:正确运用化一个二次根式成为最简二次根式的方法.三、教学方法通过实际运算的例子,引出最简二次根式的概念,再通过解题实践,总结归纳化简二次根式的方法.四、教学手段利用投影仪.五、教学过程(一)引入新课提出问题:如果一个正方形的面积是0。5m2,那么它的边长是多少?能不能求出它的近似值?了.这样会给解决实际问题带来方便.(二)新课由以上例子可以看出,遇到一个二次根式将它化简,为解决问题创这两个二次根式化简前后有什么不同,这里要引导学生从两个方面考虑,一方面是被开方数的因数化简后是否是整数了,另一方面被开方数中还有没有开得尽方的因数.总结满足什么样的条件是最简二次根式.即:满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式:1.被开方数的因数是整数,因式是整式.2.被开方数中不

含能开得尽方的因数或因式.例1 指出下列根式中的最简二次根式,并说明为什么.分析:说明:这里可以向学生说明,前面两小节化简二次根式,就是要求化成最简二次根式.前面二次根式的运算结果也都是最简二次根式.例 2 把下列各式化成最简二次根式:说明:引导学生观察例2题中二次根式的特点,即被开方数是整式或整数,再启发学生总结这类题化简的方法,先将被开方数或被开方式分解因数或分解因式,然后把开得尽方的因数或因式开出来,从而将式子化简.例3 把下列各式化简成最简二次根式:说明:1。引导学生观察例题3中二次根式的特点,即被开方数是分数或分式,再启发学生总结这类题化简的方法,先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式,然后利用分母有理化化简.2。要提问学生问题,通过这个小题使学生明确如何使用化简中的条件.通过例2、例3总结把一个二次根式化成最简二次根式的两种情况,并引导学生小结应该注意的问题.注意:①化简时,一般需要把被开方数分解因数或分解因式.②当一个式子的分母中含有二次根式时,一般应该把它化简成分母中不含二次根式的式子,也就是把它的分母进行有理化.(三)小结1.满足什么条件的根式是最简二次根式.2.把一个二次根式化成最简二次根式的主要方法.(四)练习

最新二次根式的化简与计算

二次根式的化简与计算 1 【知识要点】 2 1.定义:一般地,式子()0≥a a 叫做二次根式,这里的a 可以是数,也可以是代数 3 式,它们都必须是非负数(即不小于0),a 的结果也是非负数. 4 2.二次根式的性质 5 (1) () ()02 ≥=a a a 6 (2)() ()()?? ? ??<-=>==000 02a a a a a a a 7 (3)()0,0≥≥?=?b a b a b a 8 (4) ()0,0>≥=b a b a b a 9 3.运算法则: 10 (1)乘法运算:()0,0≥≥=?b a ab b a 11 (2)除法运算: ()0,0>≥= b a b a b a 12 4.最简的二次根式: 13 (1)被开方数因数是整数,因式是整式. 14 (2)被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数. 15 5.分母有理化 16 定义:把分母中的根号化去,叫做分母有理化. 17 方法:①单项 a =来确定. 18

②两项二次根式:利用平方差公式()()22b a b a b a -=-+来确定. 19 如: a b +与a b -,a b a b +-与, 20 a x b y a x b y +-与分别互为有理化因式。 21 练习: 22 1.判断下列各式,是二次根式有_________________. 23 ,12,4,,4,27,824233+--a a a 2,21122+??? ? ? <-a a a 24 2.下列各组二次根式中是同类二次根式的是( ) 25 A . B . C . D . 26 3. 与最简二次根式是同类二次根式,则m=______. 27 28 4.若1<x <2,则的值为( ) 29 A .2x ﹣4 B .﹣2 C .4﹣2x D .2 30 5.实数a ,b 在数轴上对应点的位置如图所示,化简|a|+ 的结果是( ) 31 32 A .﹣2a+b B .2a ﹣b C .﹣b D .b 33 6.若式子有意义,则x 的取值范围为( ) 34 A .x ≥2 B .x ≠3 C .x ≥2或x ≠3 D .x ≥2且x ≠3 35

6最简二次根式

课题名称: 16.2 最简二次根式 班别 姓名 【学习目标】掌握最简二次根式的概念,并懂得把一个根式化为最简二次根式。 【自学提要】 阅读教材 P 9 页(关键处、疑难处做好标记) 【学习过程】 1. 最简二次根式:观察下面的式子,了解最简二次根式应满足的条件。 22、 103、 a a 2 (1)被开方数 分母; (2)被开方数中不含能开得尽方的 或______ 符合上述两个条件的根式叫做最简二次根式。 2、下列二次根式中,是最简二次根式的是( ) A . 32 B 。x 1 C 。y x + D 。3x 3、指出下列各根式中哪些是最简二次根式。 (1 (2 ( 3 (4 (5最简二次根式有(填代号)_______________________________________________________ 4、把下列各式化成最简二次根式。 8)1( 12)2( 18)3( (4 32)5( (6 54)7( (8 5、把下列各式化成最简二次根式。 (1 (2 ( 3 (4) 6、设长方形的面积为S ,相邻两边分别为a,b 已知S=b=10,求a 。 【巩固练习】 7、下列根式中,不是..最简二次根式的是( ) A B C D 8、下列二次根式中,最简二次根式是( ) A B C D 9 【课堂小结】最简二次根式应满足的两个条件: ①被开方数 分母; ②被开方数中不含能开得尽方的 或______ 注:在进行二次根式的化简与计算时,其结果必须化成最简二次根式。

【课外作业】《南方新课堂》P12必做题:课时达标 选做题:能力展示、尝试提高【拓展提高】 10、 能化简吗?请同学们试试看。 11、同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫 做同类二次根式 (1 ) 1 (2 ) A B C D (3 a的值可以是() A.5 B.6 C.7 D.8 【课堂检测】6 班别:姓名: 1 ) A.2B.4 C. D.± 2、下列根式中是最简二次根式的是(). A B C D 3、下列根式中不是最简二次根式的是(). A.2B.6C.8D.10 4、把下列各式化成最简二次根式。 (1) (2 (3 (4

二次根式的概念及其化简教案

2.7二次根式 第1课时二次根式的概念及其化简【学习目标】 1.理解二次根式概念及性质. 2.会用公式ab=a·b(a≥0,b≥0),a b= a b (a≥0,b>0)进行二次根式的化简运算. 【学习重点】 二次根式乘除法法则. 【学习难点】 二次根式乘除法法则的灵活运用. 学习行为提示:让学生通过阅读教材后,独立完成“自学互研”的所有内容,并要求做完了的小组长督促组员迅速完成. 学习行为提示:教会学生看书,独学时对于书中的问题一定要认真探究,书写答案. 教会学生落实重点. 说明:学生亲自计算,通过观察、猜想,借助计算器验证得出结论,这比教师讲无数遍的效果要好得多,同时也为后面归纳二次根式的基本性质作了很好的引导.情景导入生成问题

观察下列代数式: 5,11,7.2,49 121,(c+b)(c-b)(其中b=24,c=25). 这些式子都是我们在前面已经学习过的,它们有什么共同特征呢? 【说明】通过学生观察、总结归纳这些式子的特点,为给二次根式下定义做好准备.【归纳结论】它们都含有开方运算,并且被开方数都是非负数. 一般地,形如a(a≥0)的式子叫做二次根式,a叫做被开方数. 二次根式有些什么性质呢?让我们一起去研究吧! 自学互研生成能力 知识模块一二次根式积的算术平方根与商的算术平方根 先阅读教材第41页“做一做”的内容,然后完成下面的问题. 做一做: (1)计算下列各式,你能得到什么猜想? 4×9=________,4×9=________; 4 9=________,4 9 =________; 25 49=________,25 49 =________; (2)根据上面的猜想,估计下面每组两个式子是否相等,借助计算器验证,并与同伴进行交流. 6×7与6×7,6 7与 6 7 . 【归纳结论】ab=a·b(a≥0,b≥0),a b= a b (a≥0,b>0).即积的算术平方根,等于各个因式算术平 方根的积,商的算术平方根,等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根.注意:a、b的取值范围不能忽略. 知识模块二二次根式的化简 先独立完成下面例1的化简,然后再对照教材第42页例1的规范解答自评自解.例1:化简: (1)81×64;(2)25×6;(3)5 9.

最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算

B A C 授课人: 授课时间: 教学内容:最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简 运算. 年级:九年级 教学目标: 理解最简二次根式的概念,并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式. 通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念,并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求 二次备课 教学重点:最简二次根式的运用. 教学难点:会判断这个二次根式是否是最简二次根式 教学过程:一、设疑自探——解疑合探 自探1.(学生活动)请同学们完成下列各题(请三位同学上台板书) 计算(1) 35,(2)3227,(3)82a 老师点评:3 5=155,3227=63,82a =2a a 自探2. 观察上面计算题的最后结果,可以发现这些式子中的二次根式有什么特点?(有如下两个特点:1.被开方数不含分母; 2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.) 我们把满足上述两个条件的二次根式,叫做最简二次根式. 合探1.把下面的二次根式化为最简二次根式: (1) 5312; (2) 2442x y x y +; (3) 238x y 合探2.如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=2.5cm ,BC=6cm ,求AB 的 长. AB=222.56+=25 16916913()362424 +====6.5(cm ) 因此AB 的长为6.5cm . 三、质疑再探:同学们,通过学习你还有什么问题或疑问?与同伴交流一下! 四、应用拓展 观察下列各式,通过分母有理化,把不是最简二次根式的化成最简二次根式: 121+=1(21)2121(21)(21) ?--=-+-=2-1, 132+=1(32)3232(32)(32) ?--=-+-=3-2,

最简二次根式的教学设计

最简二次根式的教学设计 关于最简二次根式的教学设计 教学目的 1.使学生掌握最简二次根式的定义,并会应用此定义判断一个根式是否为最简二次根式; 2.会运用积和商的算术平方根的性质,把一个二次根式化为最简二次根式。 教学重点 最简二次根式的定义。 教学难点 一个二次根式化成最简二次根式的方法。 教学过程 一、复习引入 1.把下列各根式化简,并说出化简的根据: 2.引导学生观察考虑: 化简前后的根式,被开方数有什么不同? 化简前的被开方数有分数,分式;化简后的被开方数都是整数或整式,且被开方数中开得尽方的因数或因式,被移到根号外。 3.启发学生回答: 二次根式,请同学们考虑一下被开方数符合什么条件的二次根式叫做最简二次根式?

二、讲解新课 1.总结学生回答的.内容后,给出最简二次根式定义: 满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式: (1)被开方数的因数是整数,因式是整式; (2)被开方数中不含能开得尽的因数或因式。 最简二次根式定义中第(1)条说明被开方数不含有分母;分母是1的例外。第(2)条说明被开方数中每个因式的指数小于2;特别注意被开方数应化为因式连乘积的形式。 2.练习: 下列各根式是否为最简二次根式,不是最简二次根式的说明原因:3.例题: 例1把下列各式化成最简二次根式: 例2把下列各式化成最简二次根式: 4.总结 把二次根式化成最简二次根式的根据是什么?应用了什么方法? 当被开方数为整数或整式时,把被开方数进行因数或因式分解,根据积的算术平方根的性质,把开得尽方的因数或因式用它的算术平方根代替移到根号外面去。 当被开方数是分数或分式时,根据分式的基本性质和商的算术平方根的性质化去分母。 此方法是先根据分式的基本性质把被开方数的分母化成能开得尽方的因式,然后分子、分母再分别化简。

二次根式的化简与计算(讲义及答案)

二次根式的化简与计算(讲义) ? 课前预习 1. 回顾实数的相关概念,并完成下列各题. (1)二次根式: ①定义:一般地,形如___________的式子叫做二次根式. ②性质: 2=_______(a ≥0=_______(a ≥0). =_______(a ≥0,b ≥0=______(a ≥0,b >0). ③乘除法则: =_____(a ≥0,b ≥0=_____(a ≥0,b >0). ④加减法则: 先化成最简二次根式,再合并_______________. (2)实数混合运算顺序: 先算__________,再算______,最后算______.同级运算,从左向右进行.如果有括号,先算括号里面的. 2. 成立的x 的取值范围是( ) A .x ≥1 B .x ≥2 C .1≤x ≤2 D .x ≤2 ? 知识点睛 1. 二次根式的双重非负性: a ____00. 2. 二次根式双重非负性的常见应用: (120b c +=,则a =______,b =______,c =_____. (2a =______. 3. 实数混合运算处理方法: ①观察________,划________; ②有序操作,依________; ③每步推进一点点.

做运算时往往需要估计工作量 .....,观察式子结构,巧用公式,可以大大简化运算.4.二次根式与数形结合: 被开方数中出现平方形式,可通过构造直角三角形借助勾股定理 .............解决问题. ?精讲精练 1.若x,y 为实数,且满足10 x-=,则xy=______. 2.若x,y,z 2 (3)20 y x z -++= ,则 =_______. 3.若实数x,y 2210 y y ++=,则x y=_______. 4.若实数a,b (0 b-=,则a2+2b的平方根为________. 5.若实数x,y 满足3 y=,则2xy=________. 6.若实数x,y 满足1 y= =____. 7.已知a,b为一等腰三角形的两边长,且a,b 满足等式4 b =-,则此等腰三角形的周长为______. 8.计算: (1 2 1 3 - ? ? ---+ ? ???

(完整版)16.2最简二次根式教案

课型: 新授课 上课时间: 课时: 1 学习内容 最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算. 学习目标 理解最简二次根式的概念,并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式. 学习过程 一、 自主学习 (一)复习引入 1.计算(1)35== ,(2)3227==,(3)82a == 2.现在我们来看本章引言中的问题:如果两个电视塔的高分别是h 1km ,h 2km ,?那么它们的 传播半径的比是_________. (二)、探索新知 观察上面计算题1的最后结果,可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点: 1.被开方数不含分母; 2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 我们把满足上述两个条件的二次根式,叫做最简二次根式. 那么上题中的比是否是最简二次根式呢?如果不是,把它们化成最简二次根式. 1 222Rh Rh ==1211222 22h h Rh h Rh h ==. 例 1.化简:(1) 5312; (2) 2442x y x y +; (3) 23 8x y == == == 例2.如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=2.5cm ,BC=6cm ,求AB 的长. 二、巩固练习 教材练习 三、学生小组交流解疑,教师点拨、拓展

1、观察下列各式,通过分母有理数,把不是最简二次根式的化成最简二次根式: 121+=1(21)2121(21)(21) ?--=-+-=2-1, 132+=1(32)3232(32)(32) ?--=-+-=3-2, 同理可得:143 +=4-3,…… 从计算结果中找出规律,并利用这一规律计算 ( 121++132++143++……120022001+)(2002+1)的值. == 2、归纳小结 (1).重点:最简二次根式的运用. (2).难点关键:会判断这个二次根式是否是最简二次根式. 四、课堂检测 (一)、选择题 1.将x y (y>0)化为最简二次根式是( ). A .x y (y>0) B .xy (y>0) C .xy y (y>0) D .以上都不对 2.把(a-111 a --中根号外的(a-1)移入根号内得( ). A 1a -1a -.1a -.1a - 33227 -的结果是( ) A .-23 B .3 C .-63 D .2 二、填空题 1422x x y +.(x ≥0) 2.21a a +- 化简二次根式号后的结果是_________. 三、综合提高题

二次根式及其化简【公开课教案】【公开课教案】

2.7 二次根式 第1课时 二次根式及其化简 1.了解二次根式的定义及最简二次根式;(重点) 2.运用二次根式有意义的条件解决相关问题.(难点) 一、情境导入 问题:(1)如图,在Rt △ABC 中,AC =3,BC =2,∠C =90°,那么AB 边的长是多少?(2)面积为S 的正方形的边长是多少?(3)要修建一个面积为6.28平方米的圆形水池,它的半径是多少米?(π取3.14) 上述结果有什么共同特征? 二、合作探究 探究点一:二次根式的相关概念 【类型一】 二次根式的定义 下列式子中,哪些是二次根式,哪些不是二次根式? (1)2;(2)4;(3)3 3;(4)1x +y ; (5)x +y (x≥0,y ≥0);(6)3a 2 +8; (7)-x 2 -12. 解:(1)(2)(5)(6)是;(3)(4)(7)不是. 方法总结:在判断一个代数式是不是二次根式时,应该在原始形式的基础上进行判断,不能先化简再作判断,如本题4=2,4是二次根式,但2不是二次根式. 【类型二】 二次根式有意义的条件 当x________,x +3+ 1 x +1 在实数范围内有意义. 解析:要使x +3+1 x +1在实数范围内有意义,必须同时满足被开方数x +3≥0和分母 x +1≠0,解得x ≥-3且x≠-1. 方法总结:使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况:一是分母不

为零,二是偶次方根的被开方数是非负数,三是零次幂的底数不为零.探究点二:二次根式的性质及化简 化简下列二次根式. (1)48;(2)8a3b(a≥0,b≥0); (3)(-36)×169×(-9). 解析:本题主要考查运用 ab=a·b(a≥0,b≥0)及a2=a(a≥0)进行化简.解:(1)48=16×3=16×3=43; (2)8a3b=22·a2·2ab=(2a)2·2ab=2a2ab; (3)(-36)×169×(-9)=36×169×9=6×13×3=234. 方法总结:(1)若被开方数中含有负因数,则应先化成正因数,如(3)题.(2)将二次根式尽量化简,使被开方数(式)中不含能开得尽方的因数(因式),即化为最简二次根式(后面学到). 探究点三:最简二次根式 在二次根式8a, c 9 ,a2+b2,a2 中,最简二次根式共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:8a中有因数4; c 9 中有分母9;a3中有因式a2.故最简二次根式只有a2+b2.故选A. 方法总结:只需检验被开方数是否还有分母,是否还有能开得尽方的因数或因式. 三、板书设计 二次根式 ?? ? ??定义???形如a(a≥0)的式子 有意义的条件:a≥0 性质:(a)2=a(a≥0),a2=a(a≥0) 最简二次根式 本节经历从具体实例到一般规律的探究过程,运用类比的方法,得出实数运算律和运算法则,使学生清楚新旧知识的区别和联系,加深学生对运算法则的理解,能否根据问题的特点,选择合理、简便的算法,能否确认结果的合理性等等. 4.4一次函数的应用 第1课时确定一次函数的表达式

最简二次根式教学设计

最简二次根式教学设计 The simplest quadratic radical teaching desig n

最简二次根式教学设计 前言:小泰温馨提醒,数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科,从某种角度看属于形式科学的一种,在人类历史发展和社会生活中,数学发挥着不可替代的作用,是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。本教案根据数学课程标准的要求和针对教学对象是初中生群体的特点,将教学诸要素有序安排,确定合适的教学方案的设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。便于学习和使用,本文下载后内容可随意修改调整及打印。 教学建议 1.教材分析 本节是在前两节的基础上,从实际运算的客观需要出发,引出最简二次根式的概念,然后通过一组例题介绍了化简二次根式的方法.本小节内容比较少(求学生了解最简二次根式的概念并掌握化简二次根式的方法),但是本节知识在全章中却起着承上启下的重要枢纽作用,二次根式性质的应用、二次根式的化简以及二次根式的运算都需要最简二次根式来联接. (1)知识结构 (2)重难点分析 ①本节的重点Ⅰ.最简二次根式概念 Ⅱ.利用二次根式的性质把二次根式化简为最简二次根式.

重点分析本章的主要内容是二次根式的性质和运算,但自始至终围绕着二次根式的化简和运算.二次根式化简的最终目标就是最简二次根式;而二次根式的运算则是合并同类二次根式,怎样判定同类二次根式,是在化简为最简二次根式的基础上进行的.因此本节以二次根式的概念和二次根式的性质为基础,内容虽然简单,在本章中却起着穿针引线的作用,教师在教学中应给于极度重视,不可因为内容简单而采取弱化处理;同时初二学生代数成绩的分化一般是由本节开始的,分化的根本原因就是对最简二次根式概念理解不够深刻,遇到相关问题不知怎样操作,具体操作到哪一步. ②本节的难点是化简二次根式的方法与技巧. 难点分析化简二次根式,实际上是二次根式性质的综合运用.化简二次根式的过程,一般按以下步骤:把根号下的带分数或绝对值大于1的小数化成假分数,把绝对值小于1的小数化成分数;被开方数是多项式的要因式分解;使被开放数不含分母;将被开方数中能开的尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面;化去分母中的根号;约分.所以对初学者来说,这一过程容易出现符号和计算出错的问题.熟练掌握化简二次根式的方法与技巧,能够进一步开拓学生的解题思路,提高学生的解题能力.

(完整)初中数学专题训练--二次根式--最简二次根式.docx

典型例题一 例 01.下列各式中属于最简二次根式的是( ) A . x 2 1 B . x y C . 12 D . 1 1 x 2 分析 因 x y x 12 3 4 2 3. x xy , x 1 1 3 6 2 2 2 解答 A 说明 最简二次根式必须满足两个条件: ( 1)被开方数因数是整数,因式是整式; ( 2) 被开方数不能含有开得尽方的因数或因式 . 典型例题二 例 02.在二次根式中 45 , 2x 3 , x , m 2 n 2 , 11 ,最简二次根式的个数 4 是( ) A . 1 个 B . 2 个 C . 3 个 D . 4 个 分析 因为 45 3 5 , 2x 3 x 2x , x x 都不是最简二次根式, 所以最简 4 2 二次根式有 2 个 . 解答 B 说明 最简二次根被开方数中因数次数只能小于 2,且不能含有分母 . 典型例题三 例 03.在根式 6 , ( x y) 2 z , a 2b , 1 x , y y 2 , 8ab , , , x 2 x 2 x x 3 中,最简二次根式的个数为( ) . A . 2 B . 3 C . 4 D . 5 分 析 1 的 被 开 方 数 是 分 式 , x 的 被 开 方 数 中 含 有 分 数 因 数 1 , x 2 2 22 2ab 3 x 22

所以这几个二次根式都不是最简二次根式. 解答C 说明考查最简二次根式的意义. 只要全面了解了最简二次根式的定义,这样的题目就能迎刃而解. 读者可以自行编拟类似的判断题等,互相检查对二次根式的了解情况. 典型例题四 例 04.化简 a3222, ()______. a b a a b ab a b 分析原式 = a(222) a a a a b b b a a b a( a b) 2 a a a b a b 因 a b , a b0 , a b(a b) 故原式 =a a 解答a a 说明化简时,把能开得尽方的因式移到根号外,但一定要根据其取值范围,将算术平方根移到根号外. 如果将要移出因式是多项式,必须添上括号. 典型例题五 例 05.(1)化简:4x5______; 1 ________ . ( 2)a a 分析(1)因4x50 ,则x0 , 故4x52x 2x2x2x ( 2)因1 0 , a0,a 故 a 1a a a a a a a a2 解答 2 x2x ;a

二次根式的化简

【二次根式化简】 1、被开方数是小数的二次根式化简 例1、化简5.1 分析:被开方数是小数时,常把小数化成相应的分数,后进行求解。 解:5.1=262 62223232==??=。 评注:化简时通常分子、分母同时乘以分数的分母,使分母上数或者式子成为完全平方数或者完全平方式。 2、被开方数是分数的二次根式化简 例2、化简125 1 分析:因为,125=5×5×5=52×5,所以,只需分子、分母同乘以5就可以了。 解:1251=25 5555551=????。 评注:化简时,通常分子、分母同时乘以分数分母的一个恰当因数或因式,使分母上数或者式子成为完全平方数或者完全平方式。 3、被开方数是非完全平方数的二次根式化简 例3、化简48 分析:因为,48=16×3=42 ×3, 所以,根据公式b a ab ?=(a≥0,b≥0),就可以把积的是完全平方数或平方式的部分从二次根号下开出来,从而实现化简的目的。 解:48=34343163162=?=?=?。 评注:将被开方数进行因数分解,是化简的基础。 4、被开方数是多项式的二次根式化简 例4、化简3)(y x + 分析:当指数是奇数时,保持底数不变,设法把指数化成是一个偶数和一个奇数的积。 解:3)(y x +=y x y x y x y x y x y x ++=+?+=++)()()()(22。 评注:当多项式从二次根号中开出来的时候,一定要注意添加括号。否则,就失去意义。

5、被开方数是隐含条件的二次根式化简 例5、把 根号外的因式移到根号内,得( ). A . B . C . D . 【答案】C. 由二次根式的意义知x <0,则 . 【总结升华】反过来将根号外的因式移到根号内时,也必须向里移非负数。如此例中x <0,所以只能向根号里移x -,到根号里面要变成()2 x -. 练习1.化简二次根式2 2a a a +-的结果是( ) (A )2--a (B)2---a (C)2-a (D)2--a 2. 化简a a 1-的结果是: A )a B )a - C )a - D )a -- 3. 已知?xy 0,化简二次根式_________. 【化简】 例1. 已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长,化简 【答案与解析】∵a 、b 、c 为△ABC 的三边长, ∴原式

最简二次根式

最简二次根式(二) 一、教学过程 (一)复习最简二次根式,学生首先做以下练习 1.选择题: (1)下列根式中最简二次根式是()。 (A)(B) (C)(D) (2)已知x>a,则化简的最简二次根式是()。(A)(B) (C)(D) 答案(1)C;(2)B。 (1);(2); (3);(4)。 解:(1)。 (2)。 (3)。

。 (4) 。 3.检查下列计算是否正确? (1); (2); (3)。 让学生通过自己计算,检查上面各题的化简是否正确,以便培养学生分析、辨别的能力。教师引导学生对以上3个小题分析回答如下: (1)根号内的分母乘以2y,而分子没乘,改变了原式的值,正确结果应是: 。 (2)根号内的分母的系数应该先分解质因数,,分子与分母同时乘以5y就行了。 。 原做法中,由于分子、分母乘的数过大,使还能移因式于根号外: 。

它还可以与分母约分。 (3)分母开出根号后,还应写在分母上。 正确结果是:。 学生通过对化最简二次根式中错误的分析,进一步巩固了化简二次根式的方法。 (二)巩固化简二次根式的方法 例把下列根式化简为最简二次根式: (1);(2) 由最简二次根式的定义,学生分析应该如何计算。 解:(1) 。 (2)

。 以上两个小题,可由学生在黑板做题完成,然后做题同学为大家讲为什么这样做,再让其他同学检查一下运算的结果是否是最简二次根式,从而再次巩固把二次根式化为最简二次根式所要求满足的两个条件。 (三)二次根式应用举例 二次根式实际应用很广泛,可让同学举出例子。如已知正方形面积是,求正方形边长,又如利用勾股定理计算时经常要化简二次根式,我们再向同学们介绍几个例子。 如果一个三角形的三边分别长a、b、c,设,那么可以根据下面的公式(秦九韶�海伦公式)求这个三角形的面积S: 。 另外,我们还将在物理学中学到公式:,其中W表示电功,I表示电流,R表示电阻,t表示时间,如果已知W、R、t求I,则有。 我们还知道,一个物体从高处自行落下,落到地面所用的时间t(单位:秒)与开始落下的高度h(单位:米)有下面的关系:,这些都需要对二次根式化简。 (四)小结 1.继续巩固化二次根式为最简二次根式的方法。 2.二次根式的应用。 (五)练习 1.化下列各式为最简二次根式:

二次根式的化简习题

二次根式的化简 1.若-10时,化简的结果是 A.x B.-x C.x D.-x 9.实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示,则化简的结果为 A.-b B.2a-b C.b-2a D.b 10.计算等于 A.5-2 B.1 C.2-5 D.2-1 11.下列二次根式中,是同类二次根式的是 A. B.与 C.与 D.与 二、填空题 1.化简=____.

2.= . 3.得 . 4.若三角形的三边a?b?c满足a2-4a+4+=0,则笫三边c的取值范围是_____________. 5.判断题 (1)若=a,则a一定是正数.( ) (2)若=-a,则a一定是负数.( ) (3)=π-3.14.( ) (4)∵(-5)2=52,∴.( ) (5)( ) (6)当a>1时,|a-1|+=2a-2.( ) (7)若x=1,则2x-=2x-(x-2)=x+2=1+2=3.( ) (8)若=-xy≠0,则x、y异号.( ) (9)m<1时,(m-1)=1.( ) (10)=x+1.( ) (11)=0.( ) (12)当m>3时,-m=-3.( ) 6.如果等式=-x成立,则x的取值范围是________. 7.当x_______时,=x-1. 8.若=x+2,则x__________. 9.若m<0,则|m|+. 10.当=________. 11.若x与它的绝对值之和为零,则. 12.当a_________时,|-3a|=-4a.

16.2最简二次根式教案(可编辑修改word版)

h 1 h 2 课型: 新授课 上课时间: 课时: 1 学习内容 最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算. 学习目标 理解最简二次根式的概念,并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式. 学习过程 一、 自主学习 (一)复习引入 1.计算(1) 3 2 ,(2) 8 ,(3) == 27 == 2a == 2. 现在我们来看本章引言中的问题:如果两个电视塔的高分别是 h 1km ,h 2km , 那么它们的 传播半径的比是 . (二)、探索新知 观察上面计算题 1 的最后结果,可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点: 1. 被开方数不含分母; 2. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 我们把满足上述两个条件的二次根式,叫做最简二次根式. 那么上题中的比是否是最简二次根式呢?如果不是,把它们化成最简二次根式. == 例 1.化简:(1) 3 = = ; (2) h 1h 2 . h 2 ; (3) == == == 例 2.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=2. 5cm ,BC=6cm , 求 AB 的长. 二、巩固练习 教材练习 三、学生小组交流解疑,教师点拨、拓展 3 5 2Rh 1 2Rh 2 2Rh 1 2Rh 2 5 12 x 2 y 4 + x 4 y 2 8x 2 y 3

1?( 2 -1) ( 2 +1)( 2 -1) 2 3 + 2 1?( 3 - 2) ( 3 + 2)( 3 - 2) 3 2 4 3 x y x y - 1 a -1 a -1 - a +1 a 2 1、观察下列各式,通过分母有理数,把不是最简二次根式的化成最简二次根式: 1 = = 2 -1 1 = = = -1, = - , 3 - 2 1 同理可得: = - ,…… 从计算结果中找出规律,并利用这一规律计算 1 1 1 ( + + 1 +…… )( +1)的值. 2002 + 2001 == 2、归纳小结 (1).重点:最简二次根式的运用. (2).难点关键:会判断这个二次根式是否是最简二次根式. 四、课堂检测 (一)、选择题 1. 将 (y>0)化为最简二次根式是( ). A . (y>0 ) B . (y>0) C . (y>0) D .以上都不对 y 2. 把(a-1) 中根号外的(a-1)移入根号内得( ). A. B . C .- D .- 3. 化简 的结果是( ) A .- 3 2 B .- C .- 3 D .- 二、填空题 1 = .(x≥0) 2.a 化简二次根式号后的结果是 . 三、综合提高题 2 +1 2 -1 3 - 2 4 + 3 2 +1 3 + 2 4 + 3 2002 xy xy 1- a a -1 1- a -3 2 27 2 3 6 2 x 4 + x 2 y 2

二次根式的化简及计算

二次根式的化简及计算 、学习准备: 1平方根:如果x 2= a,那么x叫做a的平方根。若a _ 0,则a的平方根记为___________________ . 2、算术平方根:正数a的正的平方根,叫做a的算术平方根。若a 3 0,则a的算术平方根记为 __________ 3、填空:① J100表示100的_________ ,结果为 ______ ? ②49表示49的 __________ ,结果为 _____ ? ,64 64 ③0.81的算术平方根记为_____________ ,结果为 _________ ? ④计算:阿+736 = _____________ , T004 —T025 = _____________ ? 二、阅读理解 4、二次根式的概念: 对于形如100^,81,-、a 这样的式子,我们将符号“ja ”叫做二次根式,根号下的数叫做被开方数。 在实数范围内,负数没有平方根,所以被开方数只能是正数或零,即被开方数只能是非负数。 5、积的算术平方根 计算..= = . _______ .4 .9 x_= ______________ ,所以盲 一般地,-.晶“菱电(a_0,b_0)(注意:公式中a,b必须都是非负数) 积的算术平方根,等于 ___________________________________ ? 想一想:.、(《) (-9)= 二?一匚9成立吗?为什么?、.(-4) (-9)应该等于多少? 例1、化简:(1) .16 81 (2) 2000 (3)27 15 (4) . 16ab2 (a - 0,b - 0) 即时练习:计算(1) 49 121 (2) 18 ( 3) 3x3(4)、27m2n3

最简二次根式和同类二次根式

最简二次根式和同类二次根式 一、复习引人: 1、化简下列二次根式: 1)18 2) 3 a 3) )0(92> b a b 2、观察思考: 观察每组两个二次根式里的被开方数前后发生了什么变化,化简后的被开方数是由那些共同的特征. 总结: 1) 被开方数中各因式的指数都为1; 2) 被开方数不含分母. 3、同时符合上述两个条件的二次根式,叫做最简二次根式. 举例说明:如ab 3、y x +23 1、)(622b a m +等都是最简二次根式. 例1:判断下列二次根式是不是最简二次根式: 1)3 5a 2)a 42 3)324x 4))1()12(32-≥++a a a 例2:将下列二次根式化成最简二次根式: 1))0(423>y y x 2))0())((22≥≥+-b a b a b a 3))0(>>-+n m n m n m 4、几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同类二次根式。在多项式中,同类项是可以合并的,类似的,同类二次根式也可以合并,它的依据是提取公因式.。 例3:下列二次根式,那些是同类二次根式: 12 ,24, 271,b a 4,)0(23>a b a , )0(3>-a ab 例4:合并下列各式中的同类二次根式: 1)323132122++- ; 2)xy b xy a xy +-3 三、课堂小结: (1)掌握判断最简二次根式的依据:二次根式里被开方数中各因式的指数都为1且被开方数不含分母. (2)化简二次根式时,要特别注意判断根号内字母的取值范围,从而正确化简. (1)掌握判断同类二次根式的依据:即先化成最简二次根式,再看被开方数是否相同. (2)合并同类二次根式时,可类比合并同类项.

相关文档
最新文档