2015届高考数学必考题型过关练:专题三+函数与导数 学生版

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第7练 基本初等函数问题

题型一 指数函数的图象和性质 例1 已知函数f (x )=2|2x

-m |

(m 为常数),若f (x )在区间[2,+∞)上是增函数,则m 的取值范围是________.

题型二 对数函数的图象和性质

例2 函数y =2log 4(1-x )的图象大致是( )

题型三 幂函数的图象和性质

例3 已知周期函数f (x )的定义域为R ,周期为2,且当-1

4,k ∈Z }

B .{a |a =2k -14或2k +3

4,k ∈Z }

C .{a |a =2k +1或2k +5

4,k ∈Z }

D .{a |a =2k +1,k ∈Z }

总结提高 (1)指数函数、对数函数、幂函数是高中数学重要的基本初等函数,考查形式主要是选择题和填空题,也有可能以解答题中某一小问的形式出现.考查重点主要有三个:一是考查指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质,二是考查指数式与对数式的运算,三是考查交汇性问题. (2)解决好本部分问题需要注意以下三点:

①理清定义:掌握指数函数、对数函数、幂函数的概念,并注意指数函数与幂函数的区别.

③把握交汇:把握指数函数、对数函数、幂函数与其他知识交汇的特点,在综合应用中强化对这三种函数的理解.

1.若函数y=a x+b-1 (a>0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则一定有()

A.00 B.a>1且b>0

C.01且b<0

2.(2013·课标全国Ⅱ)设a=log36,b=log510,c=log714,则()

A.c>b>a B.b>c>a

C.a>c>b D.a>b>c

3.(2014·福建)若函数y=log a x(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是()

4.设a>0,b>0()

A.若2a+2a=2b+3b,则a>b

B.若2a+2a=2b+3b,则a

C.若2a-2a=2b-3b,则a>b

D.若2a-2a=2b-3b,则a

5.“lg x,lg y,lg z成等差数列”是“y2=xz成立”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

6.已知x,y为正实数,则()

A.2lg x+lg y=2lg x+2lg y

B.2lg(x+y)=2lg x·2lg y

C.2lg x·lg y=2lg x+2lg y

D.2lg(xy)=2lg x·2lg y

7.已知0

8.若函数y =????12|1-x |

+m 的图象与x 轴有公共点,则实数m 的取值范围是________.

9.已知函数f (x )=????15x -log 3x ,若实数x 0是方程f (x )=0的解,且0

②(a *b )+c =(a +c )*(b +c ); ③(a *b )-c =(a -c )*(b -c ); ④(a *b )*c =a *(b *c ); ⑤*

a *

b ≥a +b 2

.

其中正确的命题有________.(写出所有正确的命题序号) 11.设函数f (x )=ax 2+bx +b -1(a ≠0). (1)当a =1,b =-2时,求函数f (x )的零点;

(2)若对任意b ∈R ,函数f (x )恒有两个不同零点,求实数a 的取值范围.

12.设函数f (x )=ax n (1-x )+b (x >0),n 为正整数,a ,b 为常数.曲线y =f (x )在(1,f (1))处的切线方程为x +y =1.

(1)求a ,b 的值; (2)求函数f (x )的最大值.

第8练 函数性质在运用中的巧思妙解

题型一 直接考查函数的性质

A .充分不必要条件

B .必要不充分条件

C .充分必要条件

D .既不充分也不必要条件 题型二 函数性质与其他知识结合考查

例2 (2013·安徽)函数y =f (x )的图象如图所示,在区间[a ,b ]上可找到n (n ≥2)个不同的数x 1,x 2,…,x n ,使得f (x 1)x 1=f (x 2)x 2=…=f (x n )x n

,则n 的取值范围为( )

A .{2,3}

B .{2,3,4}

C .{3,4}

D .{3,4,5}

题型三 对函数性质的综合考查 例3 已知函数f (x )=x 2+a ln x .

(1)当a =-2时,求函数f (x )的单调递减区间;

(2)若函数g (x )=f (x )+2

x 在[1,+∞)上单调,求实数a 的取值范围.

总结提高 (1)函数单调性的等价结论:设x 1、x 2∈[a ,b ]则(x 1-x 2) [f (x 1)-f (x 2)]>0?f (x 1)-f (x 2)

x 1-x 2>0?f (x )在[a ,

b ]上递增.(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]<0?f (x 1)-f (x 2)

x 1-x 2

<0?f (x )在[a ,b ]上递减.

(2)判断单调性时还可根据四则运算法则:若f (x )和g (x )都是增函数,则f (x )+g (x )也是增函数,-f (x )是减函数,复合函数单调性根据内函数和外函数同增异减的法则. (3)求函数单调性问题还可以求导.

(4)函数奇偶性的前提是定义域关于原点对称.

(5)任何一个函数都可以写成一个奇函数加上一个偶函数.

如f (x )=f (x )+f (-x )2+f (x )-f (-x )2,f (x )+f (-x )2为偶函数,而f (x )-f (-x )

2为奇函数.

(6)求函数的单调性要注意先研究定义域.

1.已知函数f (x )为奇函数,且当x ≥0时,f (x )=13x +2 013-a ,则f (log 31

2)等于( )

A.12 011×2 012

B.1

2 012×2 01

3 C.12 013×2 01

4 D.12 015×2 014

2.定义在R 上的函数f (x )满足f (x +6)=f (x ),当-3≤x <-1时,f (x )=-(x +2)2;当-1≤x <3时,f (x )=x .则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2 013)等于( ) A .335 B .337 C .1 678 D .2 012

3.设f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x ≥0时,f (x )=x 2,若对任意的x ∈[-2-2,2+2],不等式f (x +t )≤2f (x )恒成立,则实数t 的取值范围是( ) A .[2,+∞) B .(-∞,-2] C .[4+32,+∞)

D .(-∞,-2]∪[4+32,+∞)

4.(2013·天津)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若实数a 满足f (log 2a )+f (log 1

2a )≤2f (1),则a 的取值范围是( )

A .[1,2] B.????0,12 C.????

12,2 D .(0,2]

5.函数y =f (x -1)的图象关于直线x =1对称,当x ∈(-∞,0)时,f (x )+xf ′(x )<0成立,若a =20.2·f (20.2),b =ln 2·f (ln 2),c =(log 1214)·f (log 1214),则a ,b ,c 的大小关系是( )

A .a >b >c

B .b >a >c

C .c >a >b

D .a >c >b

6.已知定义在R 上的函数y =f (x )满足以下三个条件: ①对于任意的x ∈R ,都有f (x +4)=f (x );

②对于任意的x 1,x 2∈R ,且0≤x 1<x 2≤2,都有f (x 1)<f (x 2); ③函数y =f (x +2)的图象关于y 轴对称. 则下列结论中正确的是( ) A .f (4.5)<f (7)<f (6.5) B .f (7)<f (4.5)<f (6.5) C .f (7)<f (6.5)<f (4.5) D .f (4.5)<f (6.5)<f (7)

7.已知函数f (x )是R 上的偶函数,若对于x ≥0,都有f (x +2)=-f (x ),且当x ∈[0,2)时,f (x )=log 8(x +1),则f (-2 013)+f (2 014)的值为________.

8.对于任意实数a ,b ,定义min{a ,b }=?

????

a ,a ≤

b ,

b ,a >b .设函数f (x )=-x +3,g (x )=log 2x ,则函数h (x )=

9.(2013·江苏)已知f (x )是定义在R 上的奇函数.当x >0时,f (x )=x 2-4x ,则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________________.

10.已知函数y =f (x ),x ∈R ,有下列4个命题:

①若f (1+2x )=f (1-2x ),则f (x )的图象关于直线x =1对称; ②y =f (x -2)与y =f (2-x )的图象关于直线x =2对称;

③若f (x )为偶函数,且f (2+x )=-f (x ),则f (x )的图象关于直线x =2对称; ④若f (x )为奇函数,且f (x )=f (-x -2),则f (x )的图象关于直线x =1对称. 其中正确命题的序号为________.

11.设函数f (x )对任意的a ,b ∈R ,都有f (a +b )=f (a )+f (b )-1,且当x >0时,f (x )>1. (1)求证:f (x )是R 上的增函数; (2)若f (4)=5,解不等式f (3m 2-m -2)<3.

12.已知函数f (x )=a ·2x +b ·3x ,其中常数a ,b 满足ab ≠0. (1)若ab >0,判断函数f (x )的单调性; (2)若ab <0,求f (x +1)>f (x )时x 的取值范围.

第9练 分段函数,剪不断理还乱

题型一 分段函数的值域问题

例1 函数f (x )=?????

log 21x ,x ≥1,2x ,x <1的值域为________.

例2 (2014·济南4月高三模拟)已知函数f (x )=?????

????x +1x ,x ≠0,

0,x =0,则关于x 的方程f 2(x )+bf (x )+c =0有5

个不同实数解的充要条件是( ) A .b <-2且c >0 B .b >-2且c <0 C .b <-2且c =0 D .b ≥-2且c =0 题型三 分段函数的综合性问题 例3 已知函数f (x )=????

?

-x 2

+2x ,x >0,0,x =0,

x 2+mx ,x <0是奇函数.

(1)求实数m 的值;

(2)若函数f (x )在区间[-1,a -2]上单调递增,求实数a 的取值范围.

总结提高 (1)分段函数是一个函数在其定义域的不同子集上,因对应关系的不同而分别用几个不同的式子来表示的.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.

(2)在求分段函数f (x )解析式时,一定要首先判断x 属于定义域的哪个子集,然后再代入相应的关系式.

1.设函数f (x )=?????

21-

x

,x ≤1,

1-log 2x ,x >1,

则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )

A .[-1,2]

B .[0,2]

C .[1,+∞)

D .[0,+∞)

2.已知函数f (x )=????

?

(a -3)x +5,x ≤1,2a x ,x >1是(-∞,+∞)上的减函数,那么a 的取值范围是( )

A .(0,3)

B .(0,3]

C .(0,2)

D .(0,2]

3.设函数g (x )=x 2-2(x ∈R ),

f (x )=?

????

g (x )+x +4,x

g (x )-x ,x ≥g (x ), 则f (x )的值域是( )

A .[-9

,0]∪(1,+∞) B .[0,+∞)

C .[-94,+∞)

D .[-9

4

,0]∪(2,+∞)

4.已知f (x )=???

-2x (-1≤x ≤0),

x (0

则下列函数的图象错误的是( )

5.设函数f (x )=?????

log 12x ,x >0,

log 2(-x ),x <0.若f (m )>f (-m ),则实数m 的取值范围是( )

A .(-1,0)∪(0,1)

B .(-∞,-1)∪(1,+∞)

C .(-1,0)∪(1,+∞)

D .(-∞,-1)∪(0,1)

6.对实数a 和b ,定义运算“?”:a ?b =?

???

?

a ,a -

b ≤1,b ,a -b >1.设函数f (x )=(x 2-2)?(x -x 2),x ∈R .若函数y =f (x )

-c 的图象与x 轴恰有两个公共点,则实数c 的取值范围是( ) A .(-∞,-2]∪(-1,3

2)

B .(-∞,-2]∪(-1,-3

4)

C .(-1,14)∪(1

4,+∞)

D .(-1,-34)∪[1

4

,+∞)

7.已知函数f (x )=?

???

?

log 2x ,x >0,f (x +2)+1,x ≤0,则f (-3)的值为________.

8.已知函数f (x )=?

????

x 2+2ax ,x ≥2,

2x +1,x <2,若f (f (1))>3a 2,则a 的取值范围是________.

9.已知函数f (x )=?????

2x , x ≥2,

(x -1)3, x <2.若关于x 的方程f (x )=k 有两个不同的实根,则实数k 的取值范围是

________.

10.设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f (x )=??

?

ax +1,-1≤x <0,bx +2其中a ,b ∈R .

若f ????12=f ????32,则a +3b 的值为________.

11.(2013·四川)已知函数f (x )=?

????

x 2

+2x +a ,x <0,

ln x ,x >0,其中a 是实数,设A (x 1,f (x 1)),B (x 2,f (x 2))为该函数图

象上的两点,且x 1

(2)若函数f (x )的图象在点A ,B 处的切线互相垂直,且x 2<0,求x 2-x 1的最小值; (3)若函数f (x )的图象在点A ,B 处的切线重合,求a 的取值范围.

12.(2013·湖南)已知a >0,函数f (x )=??

??

??x -a x +2a .

(1)记f (x )在区间[0,4]上的最大值为g (a ),求g (a )的表达式;

(2)是否存在a ,使函数y =f (x )在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线相互垂直?若存在,求a 的取值范围;若不存在,请说明理由.

第10练 化解抽象函数快捷有效的几个途径

题型一 与抽象函数有关的函数性质问题

例1 已知f(x )是定义在R 上的偶函数,且以2为周期,则“f (x )为[0,1]上的增函数”是“f (x )为[3,4]上的减函数”的( )

A .既不充分也不必要的条件

B .充分而不必要的条件

C .必要而不充分的条件

D .充要条件

题型二 与抽象函数有关的函数零点问题

则方程f(x)=0在闭区间[-2 011,2 011]上的根的个数为()

A.802 B.803 C.804 D.805

题型三与抽象函数有关的新概念问题

例3设V是全体平面向量构成的集合.若映射f:V→R满足:

对任意向量a=(x1,y1)∈V,b=(x2,y2)∈V,以及任意λ∈R,均有f(λa+(1-λ)b)=λf(a)+(1-λ)f(b),

则称映射f具有性质P,

现给出如下映射:

①f1:V→R,f1(m)=x-y,m=(x,y)∈V;

②f2:V→R,f2(m)=x2+y,m=(x,y)∈V;

③f3:V→R,f3(m)=x+y+1,m=(x,y)∈V.

其中,具有性质P的映射的序号为________.(写出所有具有性质P的映射的序号)

总结提高(1)让抽象函数不再抽象的方法主要是赋值法和单调函数法,因此学会赋值、判断并掌握函数单调性和奇偶性是必须过好的两关,把握好函数的性质.

(2)解答抽象函数问题时,学生往往盲目地用指数、对数函数等来代替函数来解答问题而导致出错,要明确抽象函数是具有某些性质的一类函数而不是具体的某一个函数,因此掌握这类函数的关键是把握函数的性质以及赋值的方法.

1.设f(x)为偶函数,对于任意的x>0,都有f(2+x)=-2f(2-x),已知f(-1)=4,那么f(-3)等于() A.2 B.-2

C.8 D.-8

2.对于函数y=f(x),x∈R,“y=|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的()

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3.函数f(n)=log n+1(n+2)(n∈N*),定义:使f(1)·f(2)·…·f(k)为整数的数k (k∈N*)叫做企盼数,则在区间[1,10]内这样的企盼数共()

A.2个B.3个C.4个D.5个

4.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是()

A.f(x)+|g(x)|是偶函数

B.f(x)-|g(x)|是奇函数

C.|f(x)|+g(x)是偶函数

D.|f(x)|-g(x)是奇函数

5.(2014·攀枝花模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足f(2-x)=f(x),且在[-3,-2]上是减函数,α,β是钝角三角形的两个锐角,则下列不等式中正确的是()

A.f(sin α)>f(cos β) B.f(sin α)

C.f(cos α)f(cos β)

根的个数为 ( )

A .2

B .3

C .5

D .6

7.如图,偶函数f (x )的图象如字母M ,奇函数g (x )的图象如字母N ,若方程f (f (x ))=0,f (g (x ))=0的实根个数分别为m ,n ,则m +n =________.

8.设y =f (x )是定义在R 上的偶函数,满足f (x +1)=-f (x ),且在[-1,0]上是增函数,给出下列关于函数y =f (x )的判断: ①y =f (x )是周期函数;

②y =f (x )的图象关于直线x =1对称; ③y =f (x )在[0,1]上是增函数; ④f (1

2

)=0.

其中正确判断的序号是________.

9.函数f (x )的定义域为A ,若x 1,x 2∈A 且f (x 1)=f (x 2)时总有x 1=x 2,则称f (x )为单函数.例如,函数f (x )=2x +1(x ∈R )是单函数.下列命题: ①函数f (x )=x 2(x ∈R )是单函数;

②若f (x )为单函数,x 1,x 2∈A 且x 1≠x 2,则f (x 1)≠f (x 2); ③若f :A →B 为单函数,则对于任意b ∈B ,它至多有一个原象; ④函数f (x )在某区间上具有单调性,则f (x )一定是单函数. 其中的真命题是________.(写出所有真命题的序号) 10.(2013·湖南)设函数f (x )=a x +b x -c x ,其中c >a >0,c >b >0.

(1)记集合M ={(a ,b ,c )|a ,b ,c 不能构成一个三角形的三条边长,且a =b },则(a ,b ,c )∈M 所对应的f (x )的零点的取值集合为________.

(2)若a ,b ,c 是△ABC 的三条边长,则下列结论正确的是____________.(写出所有正确结论的序号) ①?x ∈(-∞,1),f (x )>0;

②?x ∈R ,使a x ,b x ,c x 不能构成一个三角形的三条边长; ③若△ABC 为钝角三角形,则?x ∈(1,2),使f (x )=0.

11.已知定义在区间(0,+∞)上的函数f (x )满足f (x 1

x 2)=f (x 1)-f (x 2),且当x >1时,f (x )<0.

(1)求f (1)的值;

(3)若f(3)=-1,解不等式f(|x|)<-2.

12.设集合P n={1,2,…,n},n∈N*,记f(n)为同时满足下列条件的集合A的个数:

①A?P n;②若x∈A,则2x?A;

③若x∈?P n A,则2x??P n A.

(1)求f(4);

(2)求f(n)的解析式(用n表示).

第11练寻图有道,破解有方——函数的图象问题

题型一对函数图象的直接考查

例1(2013·四川)函数y=x3

3x-1

的图象大致是()

题型二 对函数零点的考查

例2 已知函数f (x )满足f (x )=f (1x ),当x ∈[1,3]时,f (x )=ln x .若在区间[1

3,3]内,函数g (x )=f (x )-ax 与x

轴有三个不同的交点,则实数a 的取值范围是( ) A .(0,1e ) B .(0,1

2e )

C .[ln 33,1e )

D .[ln 33,1

2e )

题型三 综合考查函数图象

例3 已知函数f (x )的图象与函数h (x )=x +1

x +2的图象关于点A (0,1)对称.

(1)求f (x )的解析式;

(2)若g (x )=f (x )·x +ax ,且g (x )在区间[0,2]上为减函数,求实数a 的取值范围.

总结提高 (1)求函数图象时首先考虑函数定义域,然后考虑特殊值以及函数变化趋势,特殊值首先考虑坐标轴上的点.

(2)运用函数图象解决问题时,先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容,熟悉图象所能够表达的函数的性质.

(3)在运用函数图象时要避免只看表象不联系其本质,透过函数的图象要看到它所反映的函数的性质,并以此为依据进行分析、推断,才是正确的做法.

(4)在解决综合问题时,图象只能作为分析工具而不能作为解题过程,在应用过程中要使图象尽量准确.

1.(2013·山东)函数y =x cos x +sin x 的图象大致为( )

2.(2014·课标全国Ⅰ)如图,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x

的始边为射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M ,将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x ),则y =f (x )在[0,π]的图象大致为( )

3.(2014·山东)已知函数f (x )=|x -2|+1,g (x )=kx ,若方程f (x )=g (x )有两个不相等的实根,则实数k 的取值范围是( ) A .(0,12) B .(1

2,1)

C .(1,2)

D .(2,+∞)

4.已知函数f (x )=2x -2,则函数y =|f (x )|的图象可能是( )

5.(2014·湖北)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=1

2(|x -a 2|+|x -2a 2|-3a 2).若?x ∈R ,

f (x -1)≤f (x ),则实数a 的取值范围为( ) A .[-16,16] B .[-66,6

6]

C .[-13,13]

D .[-33,3

3

]

6.(2013·江西)如图,半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1,l 2之间,l ∥l 1,l 与半圆相交于F 、G 两点,与三角形ABC 两边相交于E 、D 两点.设弧FG 的长为x (0

7.已知定义在R 上的函数f (x )满足: ①函数y =f (x -1)的图象关于点(1,0)对称; ②对?x ∈R ,f (34-x )=f (3

4+x )成立;

③当x ∈(-32,-3

4]时,f (x )=log 2(-3x +1).

则f (2 014)=________.

8.已知函数f (x )=x 2+1的定义域为[a ,b ](a

9.(2014·江苏)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数,当x ∈[0,3)时,f (x )=|x 2-2x +1

2|.若函数y =f (x )

-a 在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是________.

10.方程x |x |16+y |y |

9=-1的曲线即为函数y =f (x )的图象,对于函数y =f (x ),有如下结论:①f (x )在R 上单调

递减;②函数F (x )=4f (x )+3x 不存在零点;③函数y =f (x )的值域是R ;④f (x )的图象不经过第一象限.其中正确的有________.

11.已知函数f (x )=x k +b (其中k ,b ∈R 且k ,b 为常数)的图象经过A (4,2)、B (16,4)两点. (1)求f (x )的解析式;

(2)如果函数g (x )与f (x )的图象关于直线y =x 对称,解关于x 的不等式:g (x )+g (x -2)>2a (x -2)+4. ②若a >2,则不等式的解集为{x |x >a }.

12.已知函数y =f (x )的定义域为R ,并对一切实数x ,都满足f (2+x )=f (2-x ). (1)证明:函数y =f (x )的图象关于直线x =2对称; (2)若f (x )是偶函数,且x ∈[0,2]时,f (x )=2x -1, 求x ∈[-4,0]时f (x )的表达式.

第12练 函数的零点——关键抓住破题题眼

题型一 函数零点所在区间问题

例1 函数f (x )=2x +ln 1

x -1的零点所在的大致区间是( )

A .(1,2)

B .(2,3)

C .(3,4)

D .(1,2)与(2,3) 题型二 函数零点个数问题

例2 已知f (x +1)=f (x -1),f (x )=f (-x +2),方程f (x )=0在[0,1]内有且只有一个根x =1

2,则f (x )=0在区

间[0,2 014]内根的个数为( )

A .1 006

B .1 007

C .2 013

D .2 014 题型三 由函数零点求参数范围问题

例3 函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且满足f (x +2)=f (x ).当x ∈[0,1]时,f (x )=2x .若在区间[-2,3]上方程ax +2a -f (x )=0恰有四个不相等的实数根,则实数a 的取值范围是________.

总结提高 (1)确定零点所在区间主要依据就是零点存在性定理,而函数零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,而不能判断函数的不变号零点,而且连续函数在一个区间两端点处的函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件而不是必要条件,所以在判断函数在某个区间上不存在零点时,不能完全依赖函数的零点存在性定理.

(2)函数零点个数判断问题可直接解方程f (x )=0,方程的根的个数就是函数零点的个数,对于无法求解的函数应根据函数的单调性与函数值的符号变化来确定其零点的个数.

(3)分段函数与零点的结合是比较新颖的一类问题,解决此类问题需注意两个方面:一是分段函数中的每个解析式所对应自变量的取值范围,解方程之后要注意检验根是否在所给定的取值范围中;二是灵活利用函数性质确定零点的个数,灵活利用特殊函数值的符号判断零点所在的范围.

1.f (x )=2sin πx -x +1的零点个数为( ) A .4 B .5 C .6 D .7

2.设函数f (x )=4sin(2x +1)-x ,则在下列区间中函数f (x )不存在零点的是( ) A .[-4,-2] B .[-2,0] C .[0,2] D .[2,4]

3.定义在R 上的奇函数f (x ),当x ≥0时,f (x )=?

????

log 0.5(x +1),0≤x <1,1-|x -3|,x ≥1,则关于x 的函数F (x )=f (x )-a (0

的所有零点之和为( ) A .1-2a B .2a -1 C .1-2-

a D .2-

a -1

4.已知f (x )=?

????

e x

-x -2,x ≤0,

ln (x 2

-x +1),x >0,则函数的零点个数为( ) A .1 B .2 C .3 D .4

A .(2,+∞)

B .(-∞,-2)

C .(1,+∞)

D .(-∞,-1)

6.已知函数f (x )=?????

kx +1,x ≤0,

ln x ,x >0,

则下列关于函数y =f (f (x ))+1的零点个数的判断正确的是( )

A .当k >0时,有3个零点;当k <0时,有2个零点

B .当k >0时,有4个零点;当k <0时,有1个零点

C .无论k 为何值,均有2个零点

D .无论k 为何值,均有4个零点

7.已知函数f (x )=log a x +x -b (a >0,且a ≠1),当2

8.方程2-

x +x 2=3的实数解的个数为________.

9.已知函数f (x )=2ax 2+2x -3.如果函数y =f (x )在区间[-1,1]上有零点,则实数a 的取值范围为________.

10.(2014·天津)已知函数f (x )=?

????

|x 2

+5x +4|,x ≤0,

2|x -2|,x >0.

若函数y =f (x )-a |x |恰有4个零点,则实数a 的取值范围为________. 11.已知函数f (x )=ln x +x 2.

(1)若函数g (x )=f (x )-ax 在其定义域内为增函数,求实数a 的取值范围; (2)在(1)的条件下,若a >1,h (x )=e 3x -3a e x ,x ∈[0,ln 2],求h (x )的极小值;

(3)设F (x )=2f (x )-3x 2-kx (k ∈R ),若函数F (x )存在两个零点m ,n (0

12.(2014·四川)已知函数f (x )=e x -ax 2-bx -1,其中a ,b ∈R ,e =2.718 28…为自然对数的底数. (1)设g (x )是函数f (x )的导函数,求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值; (2)若f (1)=0,函数f (x )在区间(0,1)内有零点,证明:e -2

第13练 以函数为背景的创新题型

题型一 新定义函数名称的问题

例1 定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数f (x ),如果对于任意给定的等比数列{a n },{f (a n )}仍是等比数列,则称f (x )为“保等比数列函数”.现有定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的如下函数: ①f (x )=x 2;②f (x )=2x ; ③f (x )=|x |;④f (x )=ln |x |.

则其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为( ) A .①② B .③④ C .①③ D .②④ 题型二 新定义函数的性质或部分性质问题

例2 设函数f (x )的定义域为D ,如果对于任意的x 1∈D ,存在唯一的x 2∈D ,使得f (x 1)+f (x 2)2=C 成立(其

中C 为常数),则称函数y =f (x )在D 上的均值为C .现在给出下列4个函数:①y =x 3;②y =4sin x ;③y =lg x ;④y =2x .则在其定义域上的均值为2的所有函数是( ) A .①② B .③④ C .①③④ D .①③

总结提高 有关以函数为背景的创新题型,题型主要以选择、填空题尤其以多项选择题为主,一般是先叙述或新规定一些条件,若满足这些条件则该函数为该类函数或具有该性质,解决办法是根据我们所学过的其他函数的有关意义和性质来逐个验证加以解决,注意严格准确把握新定义.

1.设D ={(x ,y )|(x -y )(x +y )≤0},记“平面区域D 夹在直线y =-1与y =t (t ∈[-1,1])之间的部分的面积”为S ,则函数S =f (t )的图象的大致形状为( )

2.设函数f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ,b ]上的两个函数,若对任意的x ∈[a ,b ],都有|f (x )-g (x )|≤k (k >0),则称f (x )与g (x )在[a ,b ]上是“k 度和谐函数”,[a ,b ]称为“k 度密切区间”.设函数f (x )=ln x 与g (x )=

mx -1x 在[1

e ,e]上是“e 度和谐函数”,则m 的取值范围是( ) A .[-e -1,1] B .[-1,e +1] C .[1e -e,1+e] D .[1

e

+1-e,1+e]

3.对于函数f (x ),若任意的a ,b ,c ∈R ,f (a ),f (b ),f (c )为某一三角形的三边长,则称f (x )为“可构造三角形函数”.已知函数f (x )=e x +t

e x +1是“可构造三角形函数”,则实数t 的取值范围是( )

A .[1

2,2] B .[0,1]

C .[1,2]

D .(0,+∞)

4.若直角坐标平面内的两点P ,Q 满足条件:①P ,Q 都在函数y =f (x )的图象上;②P ,Q 关于原点对称.则称点对[P ,Q ]是函数y =f (x )的一对“友好点对”(点对[P ,Q ]与[Q ,P ]看作同一对“友好点对”).已知函

数f (x )=?

????

log 2x ,x >0,-x 2-4x ,x ≤0,则此函数的“友好点对”有( )

A .0对

B .1对

C .2对

D .3对

5.(2014·山东)对于函数f (x ),若存在常数a ≠0,使得x 取定义域内的每一个值,都有f (x )=f (2a -x ),则称f (x )为准偶函数.下列函数中是准偶函数的是( ) A .f (x )=x B .f (x )=x 2 C .f (x )=tan x D .f (x )=cos(x +1)

6.(2014·辽宁)已知定义在[0,1]上的函数f (x )满足: ①f (0)=f (1)=0;

②对所有x ,y ∈[0,1],且x ≠y ,有|f (x )-f (y )|<1

2

|x -y |.

若对所有x ,y ∈[0,1],|f (x )-f (y )|

7.设集合M ={(x ,y )|y =f (x )},若对于任意(x 1,y 1)∈M ,存在(x 2,y 2)∈M ,使得x 1x 2+y 1y 2=0成立,则称集合M 为“垂直双点集”.给出下列四个集合:

①M ={(x ,y )|y =1

x };②M ={(x ,y )|y =sin x +1};③M ={(x ,y )|y =log 2x };④M ={(x ,y )|y =e x -2}.其中

是“垂直双点集”的序号是( )

8.下图展示了由区间(0,4)到实数集R 的一个映射过程:区间(0,4)中的实数m 对应数轴上的点M (如图1),将线段AB 围成一个正方形,使两端点A ,B 恰好重合(如图2),再将这个正方形放在平面直角坐标系中,使其中两个顶点在y 轴上(如图3),点A 的坐标为(0,4),若图3中直线AM 与x 轴交于点N (n,0),则m 的象就是n ,记作f (m )=n .现给出以下命题:

①f (2)=0;

②f (x )的图象关于点(2,0)对称; ③f (x )在区间(3,4)上为常数函数; ④f (x )为偶函数.

其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号).

9.对于函数f (x ),若存在区间M =[a ,b ](其中a

2

x ;④f (x )=e x .

其中存在“稳定区间”的函数有________.(填出所有满足条件的函数序号)

10.(2014·山东)已知函数y =f (x )(x ∈R ).对函数y =g (x )(x ∈I ),定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y =h (x )(x ∈I ),y =h (x )满足:对任意x ∈I ,两个点(x ,h (x )),(x ,g (x ))关于点(x ,f (x ))对称.若h (x )是g (x )=4-x 2关于f (x )=3x +b 的“对称函数”,且h (x )>g (x )恒成立,则实数b 的取值范围是________.

11.若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合,则称这两个函数为“同形”函数,给出四个函数:f 1(x )=2log 2 x ,f 2(x )=log 2 (x +2),f 3(x )=(log 2 x )2,f 4(x )=log 2(2x ).则“同形”函数是________.

12.已知集合A ={1,2,3,…,2n }(n ∈N *).对于A 的一个子集S ,若S 满足性质P :“存在不大于n 的正整数m ,使得对于S 中的任意一对元素s 1,s 2,都有|s 1-s 2|≠m ”,则称S 为理想集.对于下列命题: ①当n =10时,集合B ={x ∈A |x >9}是理想集;

②当n =10时,集合C ={x ∈A |x =3k -1,k ∈N *}是一个理想集;

③当n =1 000时,集合S 是理想集,那么集合T ={2 001-x |x ∈S }也是理想集. 其中的真命题是________(写出所有真命题的序号).

第14练 高考对于导数几何意义的必会题型

题型一 直接求切线或切线斜率问题

例1 已知f (x )=x 3+f ′(23)x 2-x ,则f (x )的图象在点(23,f (2

3))处的切线斜率是________.

函数与导数历年高考真题

函数与导数高考真题 1.2log 510+log 50.25= A 、0 B 、1 C 、2 D 、4 2.2 2 (1cos )x dx π π-+?等于( ) A.π B.2 C.π-2 D.π+2 3.设f(x)为定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f(x)=2x +2x+b(b 为常数),则f(-1)= (A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3 4.设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ?+=,若()12f =,则()99f =( ) (A)13 (B)2 (C) 132 (D)213 75.已知函数3()2x f x +=,1()f x -是()f x 的反函数,若16mn =(m n ∈+R ,),则11()()f m f n --+的值为( ) A .2- B .1 C .4 D .10 6.设正数a,b 满足4)(22lim =-+→b ax x x , 则=++--+∞ →n n n n n b a ab a 211 1lim ( ) A .0 B . 41 C .21 D .1 7.已知函数y =13x x -++的最大值为M ,最小值为m ,则m M 的值为 (A)14 (B)12 (C)22 (D)32 8.已知函数y =x 2-3x+c 的图像与x 恰有两个公共点,则c = (A )-2或2 (B )-9或3 (C )-1或1 (D )-3或1 9.已知以4T =为周期的函数21,(1,1]()12,(1,3] m x x f x x x ?-∈-?=?--∈??,其中0m >。若方程 3()f x x =恰有5个实数解,则m 的取值范围为( ) A .158(,)33 B .15(,7)3 C .48(,)33 D .4(,7)3 10.已知函数2()22(4)1f x mx m x =--+,()g x mx =,若对于任一实数x ,()f x 与 ()g x 至少有一个为正数,则实数m 的取值范围是 A . (0,2) B .(0,8) C .(2,8) D . (,0)-∞

高中数学导数与积分知识点

高中数学教案—导数、定积分 一.课标要求: 1.导数及其应用 (1)导数概念及其几何意义 ① 通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵; ②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。 (2)导数的运算 ① 能根据导数定义求函数y=c ,y=x ,y=x 2,y=x 3 ,y=1/x ,y=x 的导数; ② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如f (ax+b ))的导数; ③ 会使用导数公式表。 (3)导数在研究函数中的应用 ① 结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间; ② 结合函数的图像,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值,以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值;体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 (4)生活中的优化问题举例 例如,使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用。 (5)定积分与微积分基本定理 ① 通过实例(如求曲边梯形的面积、变力做功等),从问题情境中了解定积分的实际背景;借助几何直观体会定积分的基本思想,初步了解定积分的概念; ② 通过实例(如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系),直观了解微积分基本定理的含义。 (6)数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料,并进行交流;体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。 二.命题走向 导数是高中数学中重要的内容,是解决实际问题的强有力的数学工具,运用导数的有关知识,研究函数的性质:单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样,以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用,也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来,综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值. 三.要点精讲 1.导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?,那么函数y 相应地有增量y ?=f (x 0+x ?)-f (x 0),比值 x y ??叫做函数y=f (x )在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率,即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。 如果当0→?x 时, x y ??有极限,我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导,并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数,记作f’(x 0)或y’|0x x =。

高中高考数学专题复习《函数与导数》

高中高考数学专题复习<函数与导数> 1.下列函数中,在区间()0,+∞上是增函数的是 ( ) A .1y x = B. 12x y ?? = ??? C. 2log y x = D.2x y -= 2.函数()x x x f -= 1 的图象关于( ) A .y 轴对称 B .直线y =-x 对称 C .坐标原点对称 D .直线y =x 对称 3.下列四组函数中,表示同一函数的是( ) A .y =x -1与y .y y C .y =4lgx 与y =2lgx 2 D .y =lgx -2与y =lg x 100 4.下列函数中,既不是奇函数又不是偶函数,且在)0,(-∞上为减函数的是( ) A .x x f ?? ? ??=23)( B .1)(2+=x x f C.3)(x x f -= D.)lg()(x x f -= 5.已知0,0a b >>,且12 (2)y a b x =+为幂函数,则ab 的最大值为 A . 18 B .14 C .12 D .34 6.下列函数中哪个是幂函数( ) A .3 1-??? ??=x y B .2 2-?? ? ??=x y C .3 2-=x y D .()3 2--=x y 7.)43lg(12x x y -++=的定义域为( ) A. )43 ,21(- B. )43 ,21[- C. ),0()0,2 1(+∞?- D. ),43 []21 ,(+∞?-∞ 8.如果对数函数(2)log a y x +=在()0,x ∈+∞上是减函数,则a 的取值范围是 A.2a >- B.1a <- C.21a -<<- D.1a >- 9.曲线3 ()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-,则0p 点的坐标为( )

全国卷历年高考函数与导数真题归类分析(含答案)

全国卷历年高考函数与导数真题归类分析(含答案) (2015年-2018年共11套) 函数与导数小题(共23小题) 一、函数奇偶性与周期性 1.(2015年1卷13)若函数f (x ) =ln(x x +为偶函数,则a= 【解析】由题知ln(y x = 是奇函数,所以ln(ln(x x ++- =22ln()ln 0a x x a +-==,解得a =1.考点:函数的奇偶性 2.(2018年2卷11)已知是定义域为的奇函数,满足 .若 , 则 A. B. 0 C. 2 D. 50 解:因为是定义域为 的奇函数,且 , 所以, 因此, 因为 ,所以, ,从而 ,选C. 3.(2016年2卷12)已知函数()()R f x x ∈满足()()2f x f x -=-,若函数1 x y x += 与()y f x =图像的交点为()11x y ,,()22x y ,,?,()m m x y ,,则()1 m i i i x y =+=∑( ) (A )0 (B )m (C )2m (D )4m 【解析】由()()2f x f x =-得()f x 关于()01, 对称,而11 1x y x x +==+也关于()01,对称, ∴对于每一组对称点'0i i x x += '=2i i y y +,∴()1 1 1 022 m m m i i i i i i i m x y x y m ===+=+=+? =∑∑∑,故选B . 二、函数、方程与不等式 4.(2015年2卷5)设函数211log (2),1, ()2,1,x x x f x x -+-

高中数学(函数和导数)综合练习含解析

高中数学(函数和导数)综合练习含解析 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、选择题(题型注释) 1.已知函数2()ln ()f x x ax a x a R =--∈.3253()422 g x x x x =-+-+ (1)当1a =时,求证:()12,1,x x ?∈+∞,均有12()()f x g x ≥ (2)当[)1,x ∈+∞时,()0f x ≥恒成立,求a 的取值范围. 2.已知定义域为R 的奇函数)(x f y =的导函数为)(x f y '=,当0≠x 时,0)()(>+'x x f x f ,若)1(f a =,)2(2--=f b , )21(ln )21(ln f c =,则c b a ,,的大小关系正确的是( ) A .b c a << B .a c b << C .c b a << D .b a c << 3.函数3()3f x x ax a =-+在()0,2内有最小值,则实数a 的取值范围是( ) A .[)0,4 B .()0,1 C .()0,4 D .()4,4- 4.在函数()y f x =的图象上有点列(),n n x y ,若数列{}n x 是等差数列,数列{}n y 是等比数列,则函数()y f x =的解析式可能为( ) A .()21f x x =+ B .()2 4f x x = C .()3log f x x = D .()34x f x ??= ??? 5.设:x p y c =是R 上的单调递减函数;q :函数()() 2lg 221g x cx x =++的值域为R .如果“p 且q ”为假命题,“p 或q ”为真命题,则正实数c 的取值范围是( ) A .1,12?? ??? B .1,2??+∞ ??? C .[)10,1,2??+∞ ??? D .10,2?? ??? 6.如果函数y ||2x =-的图像与曲线22:C x y λ+=恰好有两个不同的公共点,则实数λ的取值范围 是( ) A .{2}∪(4,)+∞ B .(2,)+∞ C .{2,4} D .(4,)+∞

高中数学函数与导数综合复习

高二数学函数与导数综合复习 一、知识梳理: 1.基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则: 常用函数导数公式:='x ; =')(2 x ;=')(3 x ;=')1 (x ; 初等函数导数公式:='c ; =')(n x ;=')(sin x ;=')(cos x ; =')(x a ; =')(x e ;=')(log x a ;=')(ln x ; 导数运算法则:(1)/ [()()]f x g x ±= ;(2))]'()([x g x f ?= ; (3)/ ()[ ]() f x g x = [()0].g x ≠ 2.导数的几何意义:______________________________________________________________________; 曲线)(x f y =在点()(,00x f x )处的切线方程为________________________________________. 3.用导数求函数单调区间的一般步骤: (1)__________________________________; (2)________的解集与定义域的交集的对应区间为增区间;_______的解集与定义域的交集的对应区间为减区间 4. 利用导数求函数的最值步骤: ⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值; ⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值. 二.巩固练习: 1.一个物体的运动方程为21s t t =-+ 其中S 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时 速度是 ( ) A 、 7米/秒 B 、6米/秒 C 、 5米/秒 D 、 8米/秒 2. 在0000()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=?中,x ?不可能 ( ) A .大于0 B .小于0 C .等于0 D .大于0或小于0 3. 已知曲线3 2x y =上一点)2,1(A ,则A 处的切线斜率等于 ( ) A .2 B .4 C .6+6x ?+2(x ?)2 D .6 4. 设)(x f y =存在导函数,且满足12) 21()1(lim 0 -=??--→?x x f f x ,则曲线)(x f y =上点))1(,1(f 处的切线 斜率为( ) A .2 B .-1 C .1 D .-2

高考数学真题汇编——函数与导数

高考数学真题汇编——函数与导数 1.【2018年浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】D 点睛:有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路:(1)由函数的定义域,判断图象的左、右位置,由函数的值域,判断图象的上、下位置;(2)由函数的单调性,判断图象的变化趋势;(3)由函数的奇偶性,判断图象的对称性;(4)由函数的周期性,判断图象的循环往复. 2.【2018年理天津卷】已知,,,则a,b,c的大小关系为A. B. C. D. 【答案】D

【解析】分析:由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解:由题意结合对数函数的性质可知:,, , 据此可得:.本题选择D选项. 点睛:对于指数幂的大小的比较,我们通常都是运用指数函数的单调性,但很多时候,因幂的底数或指数不相同,不能直接利用函数的单调性进行比较.这就必须掌握一些特殊方法.在进行指数幂的大小比较时,若底数不同,则首先考虑将其转化成同底数,然后再根据指数函数的单调性进行判断.对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较,利用图象法求解,既快捷,又准确. 3.【2018年理新课标I卷】已知函数.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是 A. [–1,0) B. [0,+∞) C. [–1,+∞) D. [1,+∞) 【答案】C 详解:画出函数的图像,在y轴右侧的去掉,再画出直线,之后上下移动,可以发现当直线过点A时,直线与函数图像有两个交点,并且向下可以无限移动,都可以保证直线与函数的图像有两个交点,即方程有两个解,也就是函数有两个零点,此时满足,即,故选C.

点睛:该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题,在求解的过程中,解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题,将式子移项变形,转化为两条曲线交点的问题,画出函数的图像以及相应的直线,在直线移动的过程中,利用数形结合思想,求得相应的结果. 4.【2018年理新课标I卷】设函数,若为奇函数,则曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 【答案】D 点睛:该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题,在求解的过程中,首先需要确定函数解析式,此时利用到结论多项式函数中,奇函数不存在偶次项,偶函数不存在奇次项,从而求得相应的参数值,之后利用求导公式求得,借助于导数的几何意义,结合直线方程的点斜式求得结果. 5.【2018年全国卷Ⅲ理】设,,则

高中数学 多项式函数的导数素材

多项式函数的导数 教学目的:会用导数的运算法则求简单多项式函数的导数 教学重点:导数运算法则的应用 教学难点:多项式函数的求导 一、复习引入 1、已知函数2)(x x f =,由定义求)4()(/ /f x f ,并求 2、根据导数的定义求下列函数的导数: (1)常数函数C y = (2)函数)(*N n x y n ∈= 二、新课讲授 1、两个常用函数的导数: 2、导数的运算法则: 如果函数)()(x g x f 、有导数,那么 也就是说,两个函数的和或差的导数,等于这两个函数的导数的和或差;常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数. 例1:求下列函数的导数: (1)37x y = (2)43x y -= (3)3 534x x y += (4))2)(1(2-+=x x y (5)b a b ax x f 、()()(2+=为常数 )

例2:已知曲线331x y =上一点)3 82(,P ,求: (1)过点P 的切线的斜率; (2)过点P 的切线方程. 三、课堂小结:多项式函数求导法则的应用 四、课堂练习:1、求下列函数的导数: (1)28x y = (2)12-=x y (3)x x y +=2 2 (4)x x y 433-= (5))23)(12(+-=x x y (6))4(32-=x x y 2、已知曲线24x x y -=上有两点A (4,0),B (2,4),求: (1)割线AB 的斜率AB k ;(2)过点A 处的切线的斜率AT k ;(3)点A 处的切线的方程. 3、求曲线2432+-=x x y 在点M (2,6)处的切线方程. 五、课堂作业 1、求下列函数的导数: (1)1452+-=x x y (2)7352++-=x x y (3)101372-+=x x y (4)333x x y -+= (5)453223-+-=x x x y (6))3)(2()(x x x f -+= (7)1040233)(34-+-=x x x x f (8)x x x f +-=2)2()( (9))3)(12()(23x x x x f +-= (10)x x y 4)12(32-+= 2、求曲线32x x y -=在1-=x 处的切线的斜率。 3、求抛物线241x y = 在2=x 处及2-=x 处的切线的方程。 4、求曲线1323+-=x x y 在点P (2,-3)处的切线的方程。

高二数学 几种常见函数的导数

高二数学 几种常见函数的导数 一、教学目标:熟记公式(C )'=0 (C 为常数), (x )'=1, ( x 2 )'=2x , 2'11x x -=??? ??.x x 21 )'(= 二、教学重点:牢固、准确地记住五种常见函数的导数,为求导数打下坚实的基础. 教学难点:灵活运用五种常见函数的导数. 三、教学过程: (一)公式1:(C )'=0 (C 为常数). 证明:y =f (x )=C , Δy =f (x +Δx )-f (x )=C -C =0, ,0=??x y .0lim ')('0=??==∴→?x y C x f x 也就是说,常数函数的导数等于0. 公式2: 函数x x f y ==)(的导数 证明:(略) 公式3: 函数2)(x x f y ==的导数 公式4: 函数x x f y 1)(==的导数 公式5: 函数x x f y ==)(的导数 (二)举例分析 例1. 求下列函数的导数. ⑴3x ⑵21x ⑶x 解:⑴=')(3x 133-x 23x = ⑵='?? ? ??21x )(2'-x 32--=x 32x -= ⑶=')(x )(2 1'x 12121-=x 2121-=x .21x = 练习

求下列函数的导数: ⑴ y =x 5; ⑵ y =x 6; (3);13x y = (4).3x y = (5)x x y 2= 例2.求曲线x y 1=和2x y =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积。 例3.已知曲线2x y =上有两点A (1,1),B (2,2)。 求:(1)割线AB 的斜率; (2)在[1,1+△x ]内的平均变化率; (3)点A 处的切线的斜率; (4)点A 处的切线方程 例4.求抛物线y =x 2上的点到直线x -y -2=0 的最短距离. (三)课堂小结 几种常见函数的导数公式 (C )'=0 (C 为常数), (x )'=1, ( x 2 )'=2x , 2'11x x -=?? ? ??.x x 21)'(= (四)课后作业 《习案》作业四

(完整版)函数与导数专题(含高考试题)

函数与导数专题1.在解题中常用的有关结论(需要熟记):

考点一:导数几何意义: 角度一 求切线方程 1.(2014·洛阳统考)已知函数f (x )=3x +cos 2x +sin 2x ,a =f ′? ?? ?? π4,f ′(x )是f (x ) 的导函数,则过曲线y =x 3上一点P (a ,b )的切线方程为( ) A .3x -y -2=0 B .4x -3y +1=0 C .3x -y -2=0或3x -4y +1=0 D .3x -y -2=0或4x -3y +1=0 解析:选A 由f (x )=3x +cos 2x +sin 2x 得f ′(x )=3-2sin 2x +2cos 2x ,则a = f ′? ?? ??π4=3-2sin π2+2cos π2=1.由y =x 3得y ′=3x 2,过曲线y =x 3上一点P (a ,b )的切线的斜率k =3a 2=3×12=3.又b =a 3,则b =1,所以切点P 的坐标为(1,1),故过曲线y =x 3上的点P 的切线方程为y -1=3(x -1),即3x -y -2=0. 角度二 求切点坐标 2.(2013·辽宁五校第二次联考)曲线y =3ln x +x +2在点P 0处的切线方程为4x -y -1=0,则点P 0的坐标是( ) A .(0,1) B .(1,-1) C .(1,3) D .(1,0) 解析:选C 由题意知y ′=3 x +1=4,解得x =1,此时4×1-y -1=0,解得y =3,∴点P 0的坐标是(1,3). 角度三 求参数的值 3.已知f (x )=ln x ,g (x )=12x 2+mx +7 2(m <0),直线l 与函数f (x ),g (x )的图像都相切,且与f (x )图像的切点为(1,f (1)),则m 等于( )

高考真题汇编(函数与导数)

函数与导数 1.【2018年浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】D 点睛:有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路:(1)由函数的定义域,判断图象的左、右位置,由函数的值域,判断图象的上、下位置;(2)由函数的单调性,判断图象的变化趋势;(3)由函数的奇偶性,判断图象的对称性;(4)由函数的周期性,判断图象的循环往复. 2.【2018年理天津卷】已知,,,则a,b,c的大小关系为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析:由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解:由题意结合对数函数的性质可知:,,,据此可得:.本题选择D选项.

点睛:对于指数幂的大小的比较,我们通常都是运用指数函数的单调性,但很多时候,因幂的底数或指数不相同,不能直接利用函数的单调性进行比较.这就必须掌握一些特殊方法.在进行指数幂的大小比较时,若底数不同,则首先考虑将其转化成同底数,然后再根据指数函数的单调性进行判断.对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较,利用图象法求解,既快捷,又准确. 3.【2018年理新课标I卷】已知函数.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是 A. [–1,0) B. [0,+∞) C. [–1,+∞) D. [1,+∞) 【答案】C 详解:画出函数的图像,在y轴右侧的去掉,再画出直线,之后上下移动,可以发现当直线过点A时,直线与函数图像有两个交点,并且向下可以无限移动,都可以保证直线与函数的图像有两个交点,即方程有两个解,也就是函数有两个零点,此时满足,即,故选C. 点睛:该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题,在求解的过程中,解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题,将式子移项变形,转化为两条曲线交点的问题,画出函数的图像以及相应的直线,在直线移动的过程中,利用数形结合思想,求得相应的结果. 4.【2018年理新课标I卷】设函数,若为奇函数,则曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D.

高中数学函数与导数常考题型归纳

高中数学函数与导数常考题型整理归纳 题型一:利用导数研究函数的性质 利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一,每年必考,一般考查两类题型:(1)讨论函数的单调性、极值、最值,(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围. 【例1】已知函数f (x )=ln x +a (1-x ). (1)讨论f (x )的单调性; (2)当f (x )有最大值,且最大值大于2a -2时,求实数a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=1 x -a . 若a≤0,则f′(x )>0,所以f (x )在(0,+∞)上单调递增. 若a >0,则当x ∈? ???? 0,1a 时,f ′(x )>0; 当x ∈? ?? ?? 1a ,+∞时,f ′(x )<0, 所以f (x )在? ???? 0,1a 上单调递增,在? ?? ??1a ,+∞上单调递减. 综上,知当a≤0时,f (x )在(0,+∞)上单调递增; 当a >0时,f (x )在? ???? 0,1a 上单调递增,在? ?? ??1a ,+∞上单调递减. (2)由(1)知,当a ≤0时,f (x )在(0,+∞)上无最大值; 当a >0时,f (x )在x =1a 处取得最大值,最大值为f ? ?? ??1a =ln 1 a +a ? ?? ??1-1a =-ln a +a -1. 因此f ? ?? ?? 1a >2a -2等价于ln a +a -1<0. 令g (a )=ln a +a -1,则g (a )在(0,+∞)上单调递增, g (1)=0. 于是,当0<a <1时,g (a )<0; 当a >1时,g (a )>0. 因此,实数a 的取值范围是(0,1). 【类题通法】(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论,讨论单调性要先求函数定义域,再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性.

高中数学题型归纳大全函数与导数题专题练习二

高中数学题型归纳大全函数与导数题专题练习二 9.已知函数f(x)=x(e2x﹣a). (1)若y=2x是曲线y=f(x)的切线,求a的值; (2)若f(x)≥1+x+lnx,求a的取值范围. 10.已知函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=e x(cx+d),若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2. (Ⅰ)求a,b,c,d的值; (Ⅱ)若x≥﹣2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围. 11.已知函数f(x)=alnx x+1 +b x,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y﹣3 =0. (Ⅰ)求a、b的值; (Ⅱ)证明:当x>0,且x≠1时,f(x)>lnx x?1.

12.已知函数f(x)=(a ?1 x )lnx (a ∈R ). (1)若曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为x +y ﹣1=0,求a 的值; (2)若f (x )的导函数f '(x )存在两个不相等的零点,求实数a 的取值范围; (3)当a =2时,是否存在整数λ,使得关于x 的不等式f (x )≥λ恒成立?若存在,求出λ的最大值;若不存在,说明理由. 13.已知函数f (x )=4lnx ﹣ax +a+3 x (a ≥0) (Ⅰ)讨论f (x )的单调性; (Ⅱ)当a ≥1时,设g (x )=2e x ﹣4x +2a ,若存在x 1,x 2∈[1 2,2],使f (x 1)>g (x 2), 求实数a 的取值范围.(e 为自然对数的底数,e =2.71828…) 14.已知函数f (x )=a x +x 2﹣xlna (a >0且a ≠1) (1)求函数f (x )在点(0,f (0))处的切线方程;

2020高考数学函数与导数综合题型分类总结

函数综合题分类复习 题型一:关于函数的单调区间(若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开),极值,最值;不等式恒成立;此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步:令 0)('=x f 得到两个根;第二步:列表如下;第三步:由表可知; 不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题,常见处理方法有四种: 第一种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----题型特征(已知谁的范围就把谁作为主元);第二种:分离变量求最值(请同学们参考例5);第三种:关于二次函数的不等式恒成立;第四种:构造函数求最值----题型特征 )()(x g x f >恒成立 0)()()(>-=?x g x f x h 恒成立;参考例4; 例1.已知函数32 1()23 f x x bx x a =-++,2x =是)(x f 的一个极值点. (Ⅰ)求()f x 的单调递增区间;(Ⅱ)若当[1, 3]x ∈时,2 2()3 f x a ->恒成立,求a 的取值范围. 例2.已知函数b ax ax x x f +++=2 3)(的图象过点)2,0(P . (1)若函数)(x f 在1-=x 处的切线斜率为6,求函数)(x f y =的解析式;(2)若3>a ,求函数)(x f y =的单调区间。 例3.设2 2(),1 x f x x = +()52(0)g x ax a a =+->。 (1)求()f x 在[0,1]x ∈上的值域; (2)若对于任意1[0,1]x ∈,总存在0[0,1]x ∈,使得01()()g x f x =成立,求a 的取值范围。 例4.已知函数 32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 的切线斜率为3-, 32 6()(1)3(0)2 t g x x x t x t -=+-++> (Ⅰ)求,a b 的值; (Ⅱ)当[1,4]x ∈-时,求()f x 的值域; (Ⅲ)当[1,4]x ∈时,不等式()()f x g x ≤恒成立,求实数t 的取值范围。 例5.已知定义在R 上的函数 32()2f x ax ax b =-+) (0>a 在区间[]2,1-上的最大值是5,最小值是-11. (Ⅰ)求函数()f x 的解析式;(Ⅱ)若]1,1[-∈t 时,0(≤+'tx x f )恒成立,求实数x 的取值范围. 例6.已知函数 2233)(m nx mx x x f +++=,在1-=x 时有极值0,则=+n m 例7.已知函数23)(a x x f =图象上斜率为3的两条切线间的距离为 510 2,函数33)()(2 2 +-=a bx x f x g . (1) 若函数)(x g 在1=x 处有极值,求)(x g 的解析式; (2) 若函数)(x g 在区间]1,1[-上为增函数,且)(42 x g mb b ≥+-在区间]1,1[-上都成立,求实数m 的取值范围. 答案: 1、解:(Ⅰ) '2()22f x x bx =-+. ∵2x =是)(x f 的一个极值点, ∴2x =是方程2 220x bx -+=的一个根,解得32 b =. 令'()0f x >,则2 320x x -+>,解得1x <或2x >. ∴函数()y f x =的单调递增区间为(, 1)-∞,(2, +)∞. (Ⅱ)∵当(1,2)x ∈时 '()0f x <,(2,3)x ∈时'()0f x >, ∴ ()f x 在(1,2)上单调递减,()f x 在(2,3)上单调递增. ∴(2)f 是()f x 在区间[1,3]上的最小值,且 2 (2)3 f a = +. 若当[1, 3]x ∈时,要使 22()3f x a -> 恒成立,只需22(2)3f a >+, 即2 2233 a a +>+,解得 01a <<. 2、解:(Ⅰ)a ax x x f ++='23)(2 . 由题意知? ??=+-=-'==623)1(2)0(a a f b f ,得 ???=-=23b a . ∴ 233)(23+--=x x x x f . (Ⅱ)023)(2=++='a ax x x f . ∵ 3>a ,∴ 01242>-=?a a .

2015高考复习专题五 函数与导数 含近年高考试题

2015专题五:函数与导数 在解题中常用的有关结论(需要熟记): (1)曲线()y f x =在0x x =处的切线的斜率等于0()f x ',切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+ (2)若可导函数()y f x =在0x x =处取得极值,则0()0f x '=。反之,不成立。 (3)对于可导函数()f x ,不等式()f x '0>0<()的解集决定函数()f x 的递增(减)区间。 (4)函数()f x 在区间I 上递增(减)的充要条件是:x I ?∈()f x '0≥(0)≤恒成立 (5)函数()f x 在区间I 上不单调等价于()f x 在区间I 上有极值,则可等价转化为方程 ()0f x '=在区间I 上有实根且为非二重根。 (若()f x '为二次函数且I=R ,则有0?>)。 (6)()f x 在区间I 上无极值等价于()f x 在区间在上是单调函数,进而得到()f x '0≥或 ()f x '0≤在I 上恒成立 (7)若x I ?∈,()f x 0>恒成立,则min ()f x 0>; 若x I ?∈,()f x 0<恒成立,则max ()f x 0< (8)若0x I ?∈,使得0()f x 0>,则max ()f x 0>;若0x I ?∈,使得0()f x 0<,则min ()f x 0<. (9)设()f x 与()g x 的定义域的交集为D 若x ?∈D ()()f x g x >恒成立则有[]min ()()0f x g x -> (10)若对11x I ?∈、22x I ∈,12()()f x g x >恒成立,则min max ()()f x g x >. 若对11x I ?∈,22x I ?∈,使得12()()f x g x >,则min min ()()f x g x >. 若对11x I ?∈,22x I ?∈,使得12()()f x g x <,则max max ()()f x g x <. (11)已知()f x 在区间1I 上的值域为A,,()g x 在区间2I 上值域为B , 若对11x I ?∈,22x I ?∈,使得1()f x =2()g x 成立,则A B ?。 (12)若三次函数f(x)有三个零点,则方程()0f x '=有两个不等实根12x x 、,且极大值大 于0,极小值小于0. (13)证题中常用的不等式: ① ln 1(0)x x x ≤->② ln +1(1)x x x ≤>-()③ 1x e x ≥+ ④ 1x e x -≥-⑤ ln 1 (1)12 x x x x -<>+⑥ 22 ln 11(0)22x x x x <->

高中数学函数与导数练习题

1、讨论函数在内的单调性 2、作出函数22||3y x x =--的图像,指出单调区间和单调性 3、求函数[]()251x f x x = -在区间,的最大值和最小值 4 、使函数y = 的最小值是 2的实数a 共有_______个。 5、已知函数()f x 的定义域为R ,且对m 、n R ∈,恒有()()()1f m n f m f n +=+-,且1()02f -=,当12 x >-时,()0f x > (1)求证:()f x 是单调递增函数;(2)试举出具有这种性质的一个函数,并加以验证. 6、已知()f x 是定义在[1,1]-上的增函数,且(1)(23)f x f x -<-,求x 的取值范围。 四、强化训练 1、已知()f x 是定义在R 上的增函数,对x R ∈有()0f x >,且(5)1f =,设1()()()F x f x f x =+,讨论()F x 的单调性,并证明你的结论。 2、设函数2 ()22f x x x =-+(其中[,1]x t t ∈+,t R ∈)的最小值为()g t ,求()g t 的表达式 3、定义域在(0,)+∞上的函数()f x 满足:(1)(2)1f =;(2)()()()f xy f x f y =+; (3)当x y >时,有()()f x f y >,若()(3)2f x f x +-≤,求x 的取值范围。 4、已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的,a b R ∈, 都满足()()()f ab af b bf a =+ (1)求(0)f ,(1)f 的值;(2)判断()f x 的奇偶性,并加以证明 223f(x)x ax =-+(2,2)-

高中数学函数与导数常考题型整理归纳

高中数学函数与导数常考题型整理归纳 题型一:利用导数研究函数的性质 利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一,每年必考,一般考查两类题型:(1)讨论函数的单调性、极值、最值,(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围. 【例1】已知函数f (x )=ln x +a (1-x ). (1)讨论f (x )的单调性; (2)当f (x )有最大值,且最大值大于2a -2时,求实数a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=1x -a . 若a ≤0,则f′(x )>0,所以f (x )在(0,+∞)上单调递增. 若a >0,则当x ∈? ?? ??0,1a 时,f ′(x )>0; 当x ∈? ?? ??1a ,+∞时,f ′(x )<0, 所以f (x )在? ????0,1a 上单调递增,在? ?? ??1a ,+∞上单调递减. 综上,知当a ≤0时,f (x )在(0,+∞)上单调递增; 当a >0时,f (x )在? ????0,1a 上单调递增,在? ?? ??1a ,+∞上单调递减. (2)由(1)知,当a ≤0时,f (x )在(0,+∞)上无最大值; 当a >0时,f (x )在x =1a 处取得最大值,最大值为f ? ????1a =ln 1a +a ? ?? ??1-1a =-ln a +a -1. 因此f ? ?? ??1a >2a -2等价于ln a +a -1<0. 令g (a )=ln a +a -1,则g (a )在(0,+∞)上单调递增, g (1)=0. 于是,当0<a <1时,g (a )<0; 当a >1时,g (a )>0. 因此,实数a 的取值范围是(0,1). 【类题通法】(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论,讨论单调性要先求函数定义域,再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性. (2)由函数的性质求参数的取值范围,通常根据函数的性质得到参数的不等式,再解出参数的范围.若不等式是初等的一次、二次、指数或对数不等式,则可以直接解不等式得参数的取值范围;若不等式是一个不能直接解出的超越型不等式时,如求解ln a +a -1<0,则需要构造函数来解.

新课标全国III卷理科数学2016-2020年高考分析函数与导数大题

新课标全国III卷理科数学2016-2020年高考分析函数与导数大题 一、函数与导数大题: 函数与导数大题5年5考,每年1题.第1问一般考查导数的几何意义或函数的单调性,第2问考查利用导数讨论函数性质.若是在小题中考查了导数的几何意义,则在大题中一般不再考查.函数载体上:无论文科理科,基本放弃纯3次函数,对数函数很受“器重”!指数函数也较多出现!两种函数也会同时出现!但是,无论怎么考,讨论单调性永远是考查的重点,而且仅仅围绕分类整合思想的考查.在考查分离参数还是考查不分离参数上,命题者会大做文章!分离(分参)还是不分离(部参),的确是一个问题!!一般说来,主要考查不分离问题(部参).另外,函数与方程的转化也不容忽视,如函数零点的讨论.函数题设问灵活,多数考生做到此题,时间紧,若能分类整合,抢一点分就很好了.还有,灵活性问题:有些情况下函数性质是不用导数就可以“看出”的,如增函数+增函数=增函数,复合函数单调性,显然成立的不等式,放缩法等等,总之,导数是很重要,但是有些解题环节,不要“吊死”在导数上,不要过于按部就班!还有,数形结合有时也是可以较快得到答案的,虽然应为表达不严谨不得满分,但是在时间紧的情况下可以适当使用. 2016年我在考前曾经改编了一个导数为(1)() x --的题目,和当 x e a 年全国1高考题的导数(1)(2) x -+完全类似. x e a

值得一提的是2017年(作为山东文科卷的关门题,还是给下一步的导数命题提供了一个新的思路,留下了一些回忆,也列在表中)山东文科的考法,学习了2016全国1的考法,却比全国1卷更上一层,这个导数为()()(sin ).f x x a x x '=-- 以上告诉大家,导数题命题关键是如何构造一个导数,使这个导数的讨论层次体现选拔性,达到压轴的目的.

高中数学导数专题训练

精心整理 高二数学导数专题训练 一、选择题 1.一个物体的运动方程为S=1+t+2 t 其中s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是() A 7米/秒 B 6米/秒 C 5米/秒 D 8米/秒 2.已知函数f (x )=ax 2 +c ,且(1)f '=2,则a 的值为() A.1 B.2 C.-1 D.0 3()f x 与(f x A (f C (f 4.函数y A (5.若函数A.f(x)6.0'()f x A C 7.曲线f A (1,0)C (1,0)8.函数y A.C.9.对于R A (0)(2)2(1)f f f + 10.若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导,且0(,)x a b ∈则000 ()() lim h f x h f x h h →+-- 的值为() A .' 0()f x B .' 02()f x C .' 02()f x -D .0 二、填空题 11.函数32 y x x x =--的单调区间为___________________________________. 12.已知函数3 ()f x x ax =+在R 上有两个极值点,则实数a 的取值范围是.

13.曲线x x y 43 -=在点(1,3)-处的切线倾斜角为__________. 14.对正整数n ,设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ,则数列1n a n ?? ??+?? 的前n 项和的公式是 . 三、解答题: 15.求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3 2 35y x x =+-相切的直线方程 16 17 (1)求y (2)求 y 18(I (II (III 19(I (II 20.已知x (1)求m (2)求f (3)当x AABCBACCDB 二、填空题 11.递增区间为:(-∞,13),(1,+∞)递减区间为(1 3 -,1) (注:递增区间不能写成:(-∞,1 3 )∪(1,+∞)) 12.(,0)-∞13.3 4 π 14.1 2 2n +-()()/ 112 22,:222(2)n n n x y n y n x --==-++=-+-切线方程为,

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