北京市海淀区2016届高三下学期期中练习数学理试题含答案

海淀区高三年级2015-2016 学年度第二学期期中练习

数学试卷（理科） 2016.4

本试卷共4 页，150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项．

1

．函数()f x = A ．［0，＋∞）

B ．［1，＋∞

）

C ．（－∞，0］

D ．（－∞，1］

2．某程序的框图如图所示，若输入的z ＝i （其中i 为虚数单位），则输出的S 值为 A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i

3．若x ，y 满足20

400

x y x y y -+≥??

+-≤??≥?，则12z x y =+的最大值为

A ．

5

2 B ．

3 C ．7

2

D ．4

4．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为 A

B

C

D

5．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，则“ {}n a 为常数列”是“*,n n n N S na ?∈=”的

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

6．在极坐标系中，圆C 1 :2cos ρθ=与圆C 2:2sin ρθ=相交于 A ，B 两点，则｜AB ｜＝ A ．1 B

C

D ． 2 7．已知函数sin(),0

()cos(),0

x a x f x x b x +≤?=?

+>?是偶函数，则下列结论可能成立的是

A ．,44a b π

π

=

=-

B ．2,36

a b ππ=

=

C ．,36

a b ππ

== D ．52,63a b ππ== 8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值

如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则 下列叙述正确的是

A ．甲只能承担第四项工作

B ．乙不能承担第二项工作

C ．丙可以不承担第三项工作

D ．丁可以承担第三项工作

二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分．

9．已知向量(1,),(,9)a t b t ==，若a b ，则t ＝ _______． 10．在等比数列{}n a 中，a 2＝2，且

13115

4

a a +=，则13a a +的值为_______． 11．在三个数1

231,2.log 22

-中，最小的数是_______．

12．已知双曲线C ：22

221x y a b

-=的一条渐近线l 的倾斜角为3π，且C 的一个焦点到l 的距离

C 的方程为_______．

13．如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1，2，3 中的一个．

（ⅰ）当每条边上的三个数字之和为4 时，不同的填法有_______种； （ⅱ）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有_______种．

14．已知函数()f x ，对于实数t ，若存在a ＞0，b ＞0 ，满足：[,]x t a t b ?∈-+，使得

|()()|f x f t -≤2，则记a ＋b 的最大值为H （t ）．

（ⅰ）当 ()f x ＝2x 时，H （0）＝ _______．

（ⅱ）当()f x 2

x =且t [1,2]∈时，函数H （t ）的值域为_______．

三、解答题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13 分） 如图，在△ABC 中，点D 在边 AB 上，且1

3

AD DB =．记∠ACD ＝α ，∠BCD ＝β． （Ⅰ）求证：sin 3sin AC BC β

α

= ；

（Ⅱ）若,,6

2

AB π

π

αβ=

=

=BC 的长．

16．（本小题满分13 分）

2004 年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推 广．2015 年12 月10 日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法 上的贡献获得诺贝尔医学奖．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．

某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中 分别种植了100 株青蒿进行对比试验．现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4 株青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量（单位：克）如下表所示：

（Ⅰ）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量；

（Ⅱ）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为21s ，2

2s ，根据样本数据， 试估计21s 与22s 的大小关系（只需写出结论）；

（Ⅲ）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1 株，记这2 株的产量总和为ξ，求 随机变量ξ的分布列和数学期望．

17．（本小题满分14 分）

如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，点M ，N 分别为线段PB ，PC 上的点，MN ⊥PB ． （Ⅰ）求证： BC ⊥平面PAB ；

（Ⅱ）求证：当点M 不与点P ，B 重合时，M ，N ，D ， A 四个点在同一个平面内； （Ⅲ）当PA ＝AB ＝2，二面角C －AN －D 的大小为

3

π

时，求PN 的长．

18．（本小题满分13 分） 已知函数f (x ) ＝ln x ＋

1x －1，1

()ln x g x x

-= （Ⅰ）求函数 f (x )的最小值；

（Ⅱ）求函数g (x )的单调区间；

（Ⅲ）求证：直线 y ＝x 不是曲线 y ＝g (x )的切线。 19．（本小题满分14 分）

已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>> C 与y 轴交于A ， B 两点，

且｜AB ｜＝2．

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设点P 是椭圆C 上的一个动点，且点P 在 y 轴的右侧．直线PA ，PB 与直线x ＝ 4 分别交于M ， N 两点．若以MN 为直径的圆与x 轴交于两点E ， F ，求点P 横 坐标的取值范围及｜EF ｜的最大值． 20．（本小题满分13 分） 给定正整数n (n ≥3)，集合{}1,2,,n U n =???．若存在集合A ，B ，C ，同时满足下 列条件：

① U n ＝A ∪B ∪C ，且A ∩B ＝ B ∩C ＝A ∩C ＝?；

②集合A 中的元素都为奇数，集合B 中的元素都为偶数，所有能被3 整除的数都在集 合C 中（集合C 中还可以包含其它数）；

③集合A ， B ，C 中各元素之和分别记为S A ， S B ，S C ，有S A ＝S B ＝S C ； 则称集合 U n 为可分集合．

（Ⅰ）已知U 8为可分集合，写出相应的一组满足条件的集合A ， B ，C ； （Ⅱ）证明：若n 是3 的倍数，则U n 不是可分集合； （Ⅲ）若U n 为可分集合且n 为奇数，求n 的最小值． （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

D

A

B

C

海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案

数学（理科） 2016.4

阅卷须知:

1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）

二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）

三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．解：（Ⅰ）

在ACD ?中，由正弦定理,有sin sin AC AD

ADC α

=∠ …………………2分

在

BCD

?中，

由

正

弦

定

理

,

有

sin sin BC BD

BDC β

=∠ …………………4分

因为πADC BDC ∠+∠=,所以sin sin ADC BDC ∠=∠ …………………6分 因为

13AD DB =, 所以sin 3sin AC BC β

α

= …………………7分 [23,4]

（Ⅱ）因为π6α=

，π2

β=, 由（Ⅰ）得πsin

32π2

3sin 6

AC BC =

= …………………9分 设2,3,0AC k BC k k ==>,由余弦定理,

2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-??∠ …………………11分

代入,得到2

2

2π

1949223cos

3

k k k k =+-???, 解得1k =,所以3BC =. …………………13分

16解: (I)由山下试验田4株青蒿样本青蒿素产量数据，得样本平均数 3.6 4.4 4.4 3.6

44

x +++=

= …………………2分

则山下试验田100株青蒿的青蒿素产量S 估算为

100400S x ==g …………………3分 （Ⅱ）比较山上、山下单株青蒿素青蒿素产量方差2

1s 和2

2s ，结果为2

1s >2

2s .

…………………6分

（Ⅲ）依题意，随机变量ξ可以取7.27.488.28.69.4，

，，，，， …………………7分 1(7.2)4P ξ==

, 1

(7.4)8

P ξ== 1(8)4P ξ==

, 1(8.2)8

P ξ== 1(8.6)8P ξ==

, 1

(9.4)8

P ξ== …………………9分 随机变量ξ的分布列为

…………………11分 随机变量ξ的期望111111

()7.27.4+8+8.2+8.6+9.4=8484888

E ξ=?

+?????. …………………13分 17解:

（Ⅰ）证明：在正方形ABCD 中，AB BC ⊥, …………………1分 因为PA ⊥平面ABCD ，BC ?平面ABCD ， 所以PA BC ⊥. …………………2分 因为AB

PA A =，且AB ，PA ?平面PAB ，

所以BC ⊥平面PAB …………………4分 （Ⅱ）证明：因为BC ⊥平面PAB ，PB ?平面PAB ,

所以BC PB ⊥ …………………5分 在PBC ?中，BC PB ⊥，MN PB ⊥， 所以MN

BC . …………………6分

在正方形ABCD 中，AD BC , 所以MN AD ， …………………7分

所以 MN AD ，可以确定一个平面，记为α

所以,,,M N D A 四个点在同一个平面α内 …………………8分 （Ⅲ）因为PA ⊥平面ABCD ，,AB AD ?平面ABCD ，

所以PA AB ⊥,PA AD ⊥. 又AB AD ⊥,如图，以A 为原点，,,AB AD AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系

A xyz -, …………………9分

所以(2,2,0),(0,2,0),(2,0,0),(0,0,2)C D B P . 设平面DAN 的一个法向量为(,,)n x y z =， 平面CAN 的一个法向量为(,,)m a b c =, 设PN PC λ=, [0,1]λ∈，

因为(2,2,2)PC =-，所以(2,2,22)AN λλλ=-，

又(0,2,0)AD =，所以0

0AN n AD n ??=???=??

，即22(22)020x y z y λλλ++-=??=?，…………………10分

取1z =, 得到1

(

,0,1)n λλ

-=, …………………11分 因为(0,0,2)AP =，(2,2,0)AC =

所以00

AP m AC m ??=???=??，即20220c a b =??+=?，

取1a =得, 到(1,1,0)m =-, …………………12分 因为二面C AN D --大小为

3π, 所以π1

|cos ,|cos 32

m n <>==,

所以1|cos ,|2||||

m n m n m n ?

<>=

=

= 解得1

2

λ=

, 所以PN = …………………14分 18解: （Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞， …………………1分

22111'()x f x x x x -=

-=

…………………2分 当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：

…………………4分 函数()f x 在(,)+∞0上的极小值为1

()ln1101

f a =+

-=， 所以()f x 的最小值为0 …………………5分 （Ⅱ）解：函数()g x 的定义域为(0,1)

(1,)+∞， …………………6分

22211

ln (1)

ln 1

()'()ln ln ln x x x f x x x g x x x x --+-===

…………………7分 由（Ⅰ）得，()0f x ≥，所以'()0g x ≥

…………………8分

所以()g x 的单调增区间是(0,1),(1,)+∞，无单调减区间. …………………9分 （Ⅲ）证明：假设直线y x =是曲线()g x 的切线. ………………10分

设切点为00(,)x y ，则0'()1g x =，即

00

2

1ln 11ln x x x +

-= …………………11分 又000001,ln x y y x x -=

=，则000

1

ln x x x -=. …………………12分 所以0000

11

ln 1x x x x -=

=-, 得0'()0g x =，与 0'()1g x =矛盾 所以假设不成立，直线y x =不是曲线()g x 的切线 …………………13分

19解：（Ⅰ）由题意可得，1b =， …………………1分

c e a =

=

…………………2分 得22

13

4

a a -=， …………………3分 解2

4a =， …………………4分

椭圆C 的标准方程为2

214

x y +=. …………………5分 （Ⅱ）设000(,)(02)P x y x <≤，(0,1)A ，(0,1)B -， 所以001PA y k x +=

，直线PA 的方程为00

1

1y y x x +=-， …………………6分 同理：直线PB 的方程为00

1

1y y x x -=

+， 直线PA 与直线4x =的交点为004(1)

(4,

1)y M x -+， …………………7分 直线PB 与直线4x =的交点为00

4(1)

(4,

1)y N x +-， 线段MN 的中点0

4(4,

)y x ， …………………8分

所以圆的方程为2

22000

44

(4)()(1)y x y x x -+-

=-， …………………9分 令0y =，则2

2

2002016(4)(1)4

y x

x x -+=-， …………………10分

因为22

0014x y +=，所以 2

020114

y x -=-， …………………11分 所以2

8

(4)50x x -+

-=， 因为这个圆与x 轴相交,该方程有两个不同的实数解， 所以 0

8

50x -

>，解得08(,2]5x ∈. …………………12分

设交点坐标12(,0),(,0)x x

，则12||x x -=0825

x <≤） 所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2. …………………14分

方法二：（Ⅱ）设000(,)(02)P x y x <≤，(0,1)A ，(0,1)B -， 所以001PA y k x +=

，直线PA 的方程为00

1

1y y x x +=-， …………………6分 同理：直线PB 的方程为00

1

1y y x x -=

+， 直线PA 与直线4x =的交点为004(1)

(4,

1)y M x -+， …………………7分 直线PB 与直线4x =的交点为00

4(1)

(4,1)y N x +-， 若以MN 为直径的圆与x 轴相交， 则00

4(1)[

1]y x -+?004(1)

[1]0y x +-<， …………………9分

即

2

0002

00016(1)4(1)4(1)

10,y y y x x x --+-+-<

即2

02

0016(1)810.y x x -+-< …………………10分 因为 22

0014x y +=，所以 2020114y x -=-, …………………11分

代入得到 0

8

50x -

>，解得08(,2]5x ∈. …………………12分

该圆的直径为00000

4(1)4(1)8

|

+1(1)|=|2|y y x x x -+---， 圆心到x 轴的距离为000000

4(1)

4(1)41|

+1+(1)|=||2y y y x x x -+-，

该圆在x

轴上截得的弦长为8

,(2)5

x =<≤； 所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2. …………………14分 方法三：

（Ⅱ）设000(,)(02)P x y x <≤，(0,1)A ，(0,1)B -， 所以001PA y k x +=

，直线PA 的方程为00

1

1y y x x +=-， …………………6分 同理：直线PB 的方程为00

1

1y y x x -=

+， 直线PA 与直线4x =的交点为004(1)

(4,

1)y M x -+， …………………7分 直线PB 与直线4x =的交点为00

4(1)

(4,

1)y N x +-， 所以00000

4(1)4(1)8

||=|

+1(1)|=|2|y y MN x x x -+---， …………………8分 圆心到x 轴的距离为000000

4(1)

4(1)41|

+1+(1)|=||2y y y x x x -+-， …………………9分

若该圆与x 轴相交，则 04

|1|x -

>00

4||y x ， …………………10分 即22

000

44(1)()0y x x -

->， 因为 22

0014x y +=，所以2020114y x -=-, …………………11分

所以0

8

50x -

>，解得08(,2]5x ∈ …………………12分

该圆在x

轴上截得的弦长为=≤； 所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2. …………………14分

方法四： 记(20)D ，

, (40)H ，，设00(,) (4,) (4,)P x y M m N n 由已知可得(0,1) (0,1)A B -， 所以AP 的直线方程为001

1y y x x -=

+， ……………………….6分 BP 的直线方程为00

1

1y y x x +=

-， 令4x =，分别可得00

4(1)

1y m x -=

+， 00

4(1)

1y n x +=

- ， ……………………….8分 所以004(1)(4,

1),y M x -+00

4(1)

(41)y N x +-， 若以MN 为直径的圆与x 轴相交于,E F ，

因为EH MN ⊥， 所以2EH HN HM =?， ……………………….9分

20000

4(1)4(1)

(

1)(1)y y EH HN HM x x -+=?=-+?- 22

0002

016168(

)y x x x -+-=- ……………………….10分

因为 2

2

0014

x y +=，所以2020114y x -=-, ……………………….11分

代入得到2EH =2

00

2

0850x x x -=

> 所以08(,2]5

x ∈， ……………………….12分

所以22EF EH ==≤=

所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2. …………………14分

方法五：

设直线 OP 与4x =交于点T 因为//MN y 轴，所以有,,AP AO OP BP BO OP PN TN PT PM TM PT

==== 所以

AO BO

TN TM

=，所以TN TM =，所以T 是MN 的中点. ……………………….6分 又设000(,)(02)P x y x <≤, 所以直线OP 方程为0

y y x x =

, ……………………….7分 令4x =,得00

4y y x =

, 所以0

04(4)y T x ， ……………………….8分

而0

4

1r TN x ==

- ……………………….9分 若以MN 为直径的圆与x 轴相交于,E F 则000

44

|

|1y d r x x =<=- ……………………….10分 所以22

0016(4)y x <-

因为 2

2

0014

x y +=，所以202

0114y x -=-,代入得到 ……………………….11分 所以2

00580x x ->，所以08

5

x >

或00x < 因为点002x <≤，所以0825

x <≤ ……………………….12分

而EF==

2

=≤=

所以该圆被x轴截得的弦长为最大值为2. …………………14分20解：

（I）依照题意，可以取{}

5,7

A=，{}

4,8

B=，{}

1,2,3,6

C=…………………3分

（II）假设存在n是3的倍数且

n

U是可分集合.

设3

n k

=，则依照题意{3,6,,3}k C

????，

故

C

S≥

2

33

363

2

k k

k

+

++???+=，

而这n个数的和为

(1)

2

n n

+

，故

2

1(1)3

322

C

n n k k

S

++

=?=

2

33

2

k k

+

<, 矛盾，

所以n是3的倍数时，

n

U一定不是可分集合…………………7分(Ⅲ)n=35. …………………8分因为所有元素和为

(1)

2

n n

+

，又

B

S中元素是偶数，所以

(1)

3

2B

n n

S

+

==6m(m为正整数) 所以(1)12

n n m

+=，因为,1

n n+为连续整数，故这两个数一个为奇数，另一个为偶数

由（Ⅱ）知道，n不是3的倍数，所以一定有1

n+是3的倍数.

当n为奇数时，1

n+为偶数，而(1)12

n n m

+=，

所以一定有1

n+既是3的倍数，又是4的倍数，所以112

n k

+=,

所以*

121,

n k k

=-∈N. …………………10分定义集合{1,5,7,11,...}

D=，即集合D由集合

n

U中所有不是3的倍数的奇数组成，

定义集合{2,4,8,10,...}

E=，即集合E由集合

n

U中所有不是3的倍数的偶数组成，

根据集合,,

A B C的性质知道，集合,

A D

B E

??，

此时集合,

D E中的元素之和都是2

24k，而2

1(1)

242

32

A B C

n n

S S S k k

+

====-，

此时

n

U中所有3的倍数的和为2

(3123)(41)

246

2

k k

k k

+--

=-，

22

24(242)2

k k k k

--=,22

(242)(246)4

k k k k k

---=

显然必须从集合,

D E中各取出一些元素，这些元素的和都是2k，

所以从集合{1,5,7,11,...}

D=中必须取偶数个元素放到集合C中，所以26

k≥,

所以3k ≥，此时35n ≥

而令集合{7,11,13,17,19,23,25,29,31,35}A =，

集合{8,10,14,16,20,22,26,28,32,34}B =， 集合{3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,1,5,2,4}C =，

检验可知，此时35U 是可分集合, 所以n 的最小值为35. …………………13分