专题1.4 坐标法在平面向量中最值问题的应用-小问题大用途之高三数学小问题集中营2018版(原卷版)
一、问题的提出
在平面向量中,解决有关最大值、最小值问题是平面向量中比较热的问题，也是难点问题，用单纯的向量方法很难求解，毫无头绪，如果能通过建立直角坐标系，将最值问题用函数思想、不等式思想求解，可以起到事半功倍的效果．
二、问题的探源
1.设若向量11(,)a x y = ，22(,)b x y = ，则12120a b x x y y ⊥?+=
． 2．若向量11(,)a x y = ，22(,)b x y = ，则1212//a b x y y x ?=
．
3. 若(,)a x y = ，则||a =
4. 若向量1122()()a x y b x y == ，，，，则1122a b x y x y ?=+
．
三、问题的佐证
(一)利用坐标法求解模的最值问题
例1已知平面向量,PA PB 满足1
1,2
PA PB PA PB ==?=- ，若1BC = ，则AC 的最大值为（ ）
A. 1
B. 1
C. 1
D. 1
(二)利用坐标法求解数量积的最值问题．
例2．如图，等边ABC ?的边长为2，顶点,B C 分别在x 轴的非负半轴， y 轴的非负半轴上滑动， M 为
AB 中点，则OA OM ?
的最大值为（ ）
A. B.
52+ C. 72 D. 3
(三)利用坐标法求角的取值范围．
例3. 已知非零向量,a b 满足||2||a b = ，若函数3211()||132
f x x a x abx =+++
在R 上存在极值，则a 和
b
夹角的取值范围是（ ）
A ．[0,
)6π
B ．(,]3ππ
C ．2(,]33ππ
D ．[,]3
π
π 四、问题的解决
1．已知,,A B C 是圆2
2
:1O x y +=上的动点，且AC BC ⊥，若点M 的坐标是()1,1，则M
A M
B M
C ++
的最大值为
A. 3
B. 4
C. 1
D. 1
2．已知向量,,a b c
满足2,3a b a b ==?= ，若()2203c a c b ??-?-= ??
? ，则b c - 的最小值是（ ）
A. 2
B. 2
C. 1
D. 2
3．已知,a b 是单位向量， 0a b ?=
，若向量c 满足1c a b --= ，则c 的取值范围是（ ）
A. 1??
B. 2??
C. 1????
D. 2????
4．已知在三角形ABC 中， ,90AB AC BAC <∠=
，边,A B A C
的长分别为方
程(
2210x x -+=的两个实数根，若斜边BC 上有异于端点的,E F 两点，且1,EF EAF θ=∠=，
则tan θ的取值范围为 （ ）
A. ??
B. ??
C. ??
D. ??
5．如图，在平面斜坐标系中，
，斜坐标定义：如果
（其中，分别是轴，
轴的单位向量），则
叫做的斜坐标.
（1）已知得斜坐标为
，则
__________．
（2）在此坐标系内，已知
，动点满足
，则的轨迹方程是__________．
6．在直角三角形ABC 中， 90C =?， 6AC =， 4BC =，若点D 满
足D 2DB A =-
，则CD = ______．
7．在非等腰直角△ABC 中，已知C=90°，D 是BC 的一个三等分点，若cos∠BAD=，则sin∠BAC=_________.
8．在平面内，定点，
，，
满足，
，
动点
，
满足
，，则
的最大值为__________．
9．如图，在直角梯形中，
，若
分别是线段
和
上的动点，
则
的取值范围是 __________．
10．在直角梯形,,,1,2,,ABCD AB AD DC AB AD DC AB E F ⊥===∥分别为,AB BC 的中点，点P 在
以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 上变动（如图所示）．若AP ED AF λμ=+ ，其中,λμ∈R ，则2λμ
-的取值范围是__________．
11．已知直角梯形ABCD 中，BC AD //，90ADC ∠=?，2=AD ，1=BC ，P 是腰DC 上的动点，则
3PA PB +
的最小值为________.
12. 如图，在△ABC 中，已知2AB =，3AC =，BAC θ∠=，点D 为BC 的三等分点（靠近点B ），
则AD BC ?
的取值范围为（ ）
A ．
1113(,)33-
B ．17(,)33
C ．555(,)33-
D ．57(,)33-
13. 在等腰直角ABC ?中，90ABC ∠=?，2AB BC ==错误！未找到引用源。，M N ，为AC 边上的两个
动点，且满足
错误！未找到引用源。MN =BM BN ?
的取值范围为___________．