概论试题

南京工业大学 概率统计 课程考试试卷（A 闭）

(2011/2012学年第1学期-2012年1月)

所在系(院) 班 级 学号 姓名

一、填空题（每空3分，共18分）

1．假设()14P A =，()13P B A =，()12P A B =，则=)(B P ，

()P A B = .

1/6, 1/3

2. 设连续随机变量的密度函数为)(x f ，则随机变量X e Y 3=的概率密度函数为

=)(y f Y

.

?

??≤>=0

00)])3/[ln()(1

y y y f y f y

Y

3. 随机变量);4,0;1,0(~),(ρN Y X =22

1122(,;,;)N μσμσρ，已知(2)1

D X Y -=，则ρ=

答： 7 / 8 (或0.875) ；

4. 在0H 为原假设，1H 为备择假设的假设检验中，若显著性水平为α，则表示概率：

P （ ）=α

10(|);

P H H α=接受成立

5. 设某种清漆干燥时间),(~2σμN X （单位：小时），取9=n 的样本，得样本均值和方差分

别为33.0,62

==S X ，则μ的置信度为95%的单侧置信区间上限为 答：上限为 6.356 .

二、 选择题（每题3分，共12分）

1. 掷一颗骰子600次，则“1”点出现次数的均值为 . (A) 50; (B) 100; (C) 120; (D)150.

2. 随机变量,X Y 相互独立且服从同一分布，3/)1()()(+====k k Y P k X P ，1,0=k ，则

()P X Y ==

.

（A ）1/9； （B ）4/9； （C ）5/9； （D ）1.

3. 离散型随机变量X 的概率分布为k A k X P λ==)(( ,2,1=k )的充要条件是 .

（A ）1

)1(-+=A λ且0>A ； （B ）λ-=1A 且10<<λ；

（C ）11

-=-λA 且1<λ； （D ）0>A 且10<<λ.

4. 设10个电子管的寿命i X (10~1=i )独立同分布，且A X D i =)((10~1=i )，则10个电子管

的平均寿命Y 的方差=)(Y D .

（A ）A ； （B ）A 1.0； （C ）A 2.0； （D ）A 10.

答：（C ）（B ）（A ）（B ）

三.（8分） 某厂卡车运送防“非典”用品下乡，顶层装10个纸箱，其中5箱民用口罩、2箱医用口罩、3箱消毒棉花. 到目的地时发现丢失1箱，不知丢失哪一箱. 现从剩下9箱中任意打开2箱，结果都是民用口罩，求丢失的一箱也是民用口罩的概率. 解： A —任取2箱都是民用口罩，

k B —丢失的一箱为k , 3,2,1=k 分别表示民用口罩，医用口罩，消毒棉花. 2分

368

5110321)()()(29252925292

43

1=

?+?+?==∑=C C C C C C B A P B P A P k k k 3分 .8

3

368363)(/21)(/)()()(292

4111=÷=?==A P C C A P B A P B P A B P 3分

四.（8分）设连续型随机变量X 的分布函数为??

?

?

?≥-<≤<=--1,110,0

,)()1(x Ae x B x Ae x F x x 求：（1）A ，B 的值；（2）X 的概率密度函数()f x ；（3）{}1/3P X >。 解：(1)由F(x)为连续函数，所以

(0)(0)(0)(0)

1F F A B F F B A

-==-==-即，即，联立得A=B=1/2 4分

(2) 11,02()()0,011,12

x x e x f x F x x e x -?

'==≤

??≥? 2分 (3) {}{}1/311/31(13)12P X P X F >=-≤=-= 2分

五．（12分）设随机变量(,)X Y 的联合密度函数

02,(,)0A x y x

f x y ?<<<=?

?，，

其它

求 (1) 常数A ; (2) 条件密度函数)(x y f X

Y ; (3) 讨论X 与Y 的相关性与独立性.

解：(1) 2

1x

x

dx Ady -=?

?由

，

所以 =1/4.A 3分 (２) (1/4)/202

()(,)0x

x

X dy x x f x f x y dy ∞

--∞

?=<

=???

??

，，其它 2分

当20<

f x y f y x f x -<

?

，，其它 2分 (３) ?

==2

2

,3/4)2/()(dx x X E ??

==

-20

,0)4/()(x

x

dy y dx Y E

?

?==

-2

,0)4/()(x

x

dy y xdx XY E cov(,)()()()0X Y E XY E X E Y =-= 3分

所以X 与Y 不相关. 又

22

(1/4)(2)401

()(,)(1/4)(2)410

0y Y y dx y y f y f x y dx dx y y ∞

-∞

-?=-<

==+-<

?

??

??

?，，，其它

显然 (,)()()X Y f x y f x f y ≠? 所以X 与Y 不独立。 2分

六.（7分） 设相互独立的二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度函数为

22,

0,0(,)0,

x y e x y f x y --?>>=?

?其它

,

求 max{,}Z X Y =的密度函数. 解: 由题意知,X Y 相互独立 , 且

220()00x X e x f x x -?>=?

y

Y e y f y y -?>=?

当0z >时，

(){max(,)}{,}{}{}()()

Z X Y F z P X Y z P X z Y z P X z P Y z F z F z =≤=≤≤=≤≤= 2分

2223()()()()()2(1)(1)23z z z z z z z Z X Y X Y f z f z F z F z f z e e e e e e e -------=+=-+-=+-

故 23230

()0z z z Z e e e z f z ---?+->=??，，其它 3分

七．（8分）3．某商店出售某种贵重商品. 根据经验，该商品每周销售量服从参数为1=λ的泊松

分布. 假定各周的销售量是相互独立的. 用中心极限定理计算该商店一年内（52周）售出该商品件数在50件到70件之间的概率.

解：设 i X 为第i 周的销售量, 52,,2,1 =i i X )1(~P ， 则一年的销售量为

∑==52

1

i i X Y ，52)(=Y E , 52)(=Y D . 3分

由独立同分布的中心极限定理，所求概率为

1522521852185252522)7050(-?

??

?

??Φ+???? ??Φ≈???? ??<-<-=<

6041.016103.09938.01)28.0()50.2(=-+=-Φ+Φ=. 2分

八．（10分）已知随机变量X 的密度函数为

(1)(5)56()(0)0

x x f x θ

θθ?+-<<=>?

?其他

，

其中θ均为未知参数，求θ的矩估计量与极大似然估计量.

解: （1）6

6

6

115

5

5

1

(1)(5)(5)6(5)62

EX x x dx xd x x dx θθθθθ++=

+-=-=--=-

+?

?? 2分 EX X =由， 得θ 的矩估计量为

1

?26X

θ

=-- 3分 （2）似然函数1

1

()(;)(1)(5)n n

n

i

i

i i L f x x θθθθ===

=+-∏∏, 2分

故1

ln ()ln(1)ln(5)n

i

i L n x

θθθ

==++-∑

1

5

1

ln ()ln(5)0

1?1

ln(5)

n

i i i

i d L n

x d n

X

θθθθθ

===+-=+=---∑∑的极大似然估计量为 3分

九.(12分)（1） 根据长期的经验，某工厂生产的特种金属丝的折断力),(~2σμN X （单位：kg ）. 已知8=σ kg ， 现从该厂生产的一大批特种金属丝中随机抽取10个样品，测得样本均值

2.575=x kg . 问这批特种金属丝的平均折断力可否认为是570 kg ？ （%5=α）

（2）已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布)048.0,(2

μN . 某日抽取5个样品，测得其纤

度为: 1.31， 1.55， 1.34， 1.40， 1.45 . 问 这天的纤度的总体方差是否正常？试用%10=α作假设检验.

解：(1) 要检验的假设为 570:,570:10≠=μμH H 2分

检验用的统计量 )1,0(~/0

N n

X U σμ-=

，

拒绝域为 96.1)1(025.0==-≥z n z U α. 2分

96.106.21065.010

/85702.5750>==-=

U ，落在拒绝域内，

故拒绝原假设0H ，即不能认为平均折断力为570 kg . 2分

(2) 要检验的假设为 221220048.0:,048.0:≠=σσH H 2分

检验用的统计量

)1(~)(22

2

5

1

2--=

∑=n X X

i i

χσχ，

拒绝域为

488.9)4()1(2

05.022==->χχχαn 或 711.0)4()1(2

95.02

12

2

==-<-χχχαn 2分

41.1=x ， 488

.9739.150023.0/0362.02

0>==χ, 落在拒绝域内， 故拒绝原假设0H ，即认为该天的纤度的总体方差不正常 . 2分

十.(5分) 设（621,,,X X X ）是来自正态分布)1,0(N 的样本，试确定c 使得cY 服从2χ分布；确定其自由度n 及)(2

χE .其中，26

4

2

3

1

)()

(∑∑==+=i i i i

X X Y .

解： 因为 (0,1)1,2,,6i X N i = ，

所以

3

6

14(0,3),

(0,3)i

i

i i X

N X

N ==∑∑

故3

6

2

22

2i

i

X

X

χ+∑∑ （）

，即2

23

Y χ （），所以c=1/3, n=2, )(2χE =2

附表： 标准正态分布数值表

6554.0)4.0(=Φ,950.0)645.1(=Φ,975.0)960.1(=Φ,9772.0)0.2(=Φ 6103.0)28.0(=Φ,975.0)96.1(=Φ,9772.0)0.2(=Φ,9938.0)5.2(=Φ

2χ分布数值表

815.7)3(205.0=χ,348.9)3(2

025.0=χ,20.05(4)9.488χ=,143.11)4(2025.0=χ

711.0)4(295.0=χ,071.11)5(205.0=χ,145.1)5(295.0=χ815.7)3(205.0=χ

t 分布数值表

,1824.3)3(025.0=t , 3534.2)3(05.0=t , 8595.1)8(05.0=t , 306.2)8(025.0=t ,1315.2)15(025.0=t , 7531.1)15(05.0=t ,1199.2)16(025.0=t , 7459.1)16(05.0=t