2016届新疆兵团农二师华山中学高三上学期第二次月考数学文试题
A
C
2016届新疆兵团农二师华山中学高三上学期第二次月考数学文试题
一、选择题（每题5分,共60分）:
1．复数31i
z i
-=
-等于（ ） A ．i 21+ B ．i 21- C ．i +2 D ．i -2
2．已知实数集R 为全集，集合A ＝{x|y ＝log 2（
x －1）}，B ＝{y|y ，则（?R A ）∩B（ ） A ．（－∞，1] B ．（0,1） C ．[0,1] D ．（1,2]
3．已知βα,角的终边均在第一象限，则“βα>”是“βαsin sin >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
4．各项都为正数的等比数列{}n a 中，1091=a a ，则5a 的值为（ ） A ．5 B ．10± C ．10 D ．5-
5．设(1,2),(1,1),a b a a b λ==+
且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（ ）
A ．5
(,0)(0,)3-?+∞ B ．5(,)3-+∞C ．5[,0)(0,)3-?+∞ D ．5(,0)3
- 6．函数sin()y x ω?=+的部分图像如图，则()2
f π
=( )
A ．12-
B ．12
C ．2
- D 2
7．如图所示，平面内有三个向量，，，与夹角为o
120，与夹角为o
150，且
1OA
OB == ，OC =
若μλ+=()R ∈μλ，，则=+μλ（ ） （A ）1 （B ）2
9
-
（C ）6- （D ）6
8．若函数2)1(log )(223++++=x x b ax x f 在)0,(-∞上有最小值－5，
（a ，b 为常数），则函数)(x f 在),0(+∞上（ ）
A ．有最大值9
B ．有最小值5
C ．有最大值3
D ．有最大值5 9．已知()πα,0∈，2
2
)3
cos(-
=+
π
α，则=α2tan （ ） A ．
33 B ．3-或33- C ．3
3- D ．3- 10．若正项数列}{n a 满足043,22
1211=--=++n n n n a a a a a ，则}{n a 的通项=n a （ ）
A ．122-=n n a
B ．n n a 2=
C ．122+=n n a
D ．322-=n n a 11．函数23sin 2)(x x x x f --=π所有零点的和为（ ） （A ）6 （B ）7.5 （C ）9 （D ）12
12．在ABC △中,E 、F 分别为,AB AC 中点.P 为EF 上任一点,实数,x y 满足0PA xPB yPC ++=
.设ABC △,PBC △, PCA △,PAB △的面积分别为123,,,,S S S S 记
11S S λ=,22S
S
λ=,33S S λ=,则23λλ 取最大值时,2x y +的值为（ ）
A.-1
B.1
C.-
32 D.3
2
二、填空题（每题5分,共20分）: 13．化简
10
cos 3
10sin 1-=_____________． 14．若实数y x ,满足不等式组330101x y x y y +-≤??
-+≥??≥-?
，，，则2||z x y =+的取值范围是 ．
15．已知函数22()441f x x mx m =-+-，若关于x 的不等式(())0f f x <的解集为空集，则实数m 的取值范围是 ．
16．已知数列{}n a 各项为正，n S 为其前n 项和，满足==-=+n n n a a S a 则且11211________ 三、解答题（17题10分,其余每题12分）
17．（本小题满分10分）已知椭圆C:22143x y +=，直线:
l 3x y t
?=-??=??（t 为参数）． （1）写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程；
（2）设()1,0A ，若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与其到直线l 的距离相等，求点P 的坐标．
18．（本小题12分）设函数x x x f 2cos 2)3
42cos()(+-=π
（1）把函数)(x f 的图像向右平移2π个单位，再向下平移2
3
个单位得到函数)(x g 的图像，求函数)(x g 在
区间??
?
???-
6,4ππ上的最小值，并求出此时x 的值； （2）已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2,2
3
)(=+=+c b C B f ．求a 的最小值．
19．（本小题满分12分）如图，茎叶图记录了甲组3名同学寒假假期中去A 图书馆学习的次数和乙组4名
同学寒假假期中去B 图书馆学习的次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以x 表示．
（1）如果7x =，求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差；
（2）如果9x =，从学习次数大于8的学生中等可能地选2名同学，求选出的2名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20的概率．
20．（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为菱形，且2PA PD DA ===，060BAD ∠=．
（Ⅰ）求证：PB AD ⊥；
（Ⅱ）若PB =C 到平面PBD 的距离．
21．（本题满分12分）已知数列{}n a 满足：11a =，1221,N n n a a n *+=+∈．数列{}n b 的前n 项和为n S ，
2
19,N 3n n S n -*??=-∈ ?
??
．
（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）设n n n c a b =?，N n *
∈．求数列{}n c 的前n 项和n T ．
22.（本小题满分12分）已知函数2
()(1)
ln ,.f x a x x a R =-+∈
（Ⅰ）当1
4
a =-
时，求函数()y f x =的单调区间； （Ⅱ）若函数()1f x x ≤-对?),1[+∞∈x 恒成立，求实数a 的取值范围．
2015-2016学年度数学10月月考卷(文科)参考答案
1．C 2．C 3．D 4．C 5．A 6．D 7．C 8．A 9．C 10．A 11．A 12．D 13．4 14．[]1,11-． 15．1m ≤- 16． =n a 17．（1）2cos 3sin x y θ
θ
=???
=??，:390l x y -+=；（2）833(,)55P -．
试题解析：（1）C ：2cos 3sin x y θ
θ
=???=??（θ为为参数），:390l x y -+=．
（2）设(2cos ,3sin )P θθ,则22||(2cos 1)(3sin )2cos AP θθθ=-+=-， P 到直线l 的距离|2cos 3sin 9|2cos 3sin 9
22
d θθθθ-+-+=
=． 由||AP d =，得3sin 4cos 5θθ-=，又22sin cos 1θθ+=，得3sin 5θ=，4
cos 5
θ=-．
故833(,)55
P -．
18．（1）6π-=x 时，函数)(x g 在区间??
?
???-6,4ππ上的最小值为23-；
（2）1．
试题解析：（1）f （x ）=cos （2x ﹣）+2cos 2
x
=（cos2xcos +sin2xsin
）+（1+cos2x ）
=cos2x ﹣sin2x+1=cos （2x+
）+1，
所以)3
22cos(21)(π
-+-
=x x g 因为???
???-∈6,4ππx ，所以??????--∈-3,67322πππx
所以当ππ-=-
322x 即6π-=x 时，函数)(x g 在区间??
?
???-6,4ππ上的最小值为23-． （2）由题意，f （B+C ）=，即cos （2π﹣2A+）=，
化简得：cos （2A ﹣）=，∵A ∈（0，π），∴2A ﹣
∈（﹣
，
），
则有2A ﹣
=
，即A=
，
在△ABC 中，b+c=2，cosA=， 由余弦定理，a 2
=b 2
+c 2
﹣2bccos =（b+c ）2
﹣3bc=4﹣3bc ，（10分）
由b+c=2知：bc≤=1，当且仅当b=c=1时取等号，
∴a 2
≥4﹣3=1， 则a 取最小值1．（12分）
19．（1）7
9,
2
；（2）13
试题解析：（1）当7x =时，由茎叶图可知，乙组同学去图书馆学习的次数是：7，8，9，12，所以平
均数为78912
94x +++=
= 方差为()()()()22222
1779899912942s ??=-+-+-+-=?
?
（2）记甲组3名同学分别为1A ，2A ，3A ，他们去图书馆学习次数依次为9，12，11；乙组4名同学分别为1B ，2B ，3B ，4B ，他们去图书馆学习次数依次为9，8，9，12
从学习次数大于8的学生中选2名同学，所有可能的结果有15种，它们是：12A A ，13A A ，11A B ，13A B ，
14A B ，23A A ，21A B ，23A B ，24A B ，31A B ，33A B ，34A B ，13B B ，14B B ，34B B 用C 表示：“选出的2名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20”这一事件，其中的结果有5种，它们是：14A B ，24A B ，23A B ，21A B ，34A B
故选出的2名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习次数和大于20的概率为()51C 153
P =
= 考点：平均数和方差，古典概型． 20．试题解析：（Ⅰ）证明：取AD 的中点E ，连接,,PE BE BD ．∵PA PD DA ==，四边形ABCD 为菱形，
且0
60BAD ∠=，∴PAD ?和ABD ?为两个全等的等边三角形，则,,PE AD BE AD ⊥⊥∴AD ⊥平面 PBE ，又PB ?平面PBE ，∴PB AD ⊥；
（Ⅱ）在△PBE 中，由已知得，PE BE PB ===222
PB PE BE =+，所以0
90PEB ∠=，即
PE BE ⊥，又P E A D ⊥，∴PE ⊥平面ABCD ；在等腰△PBD 中，2,PD BD PB ===所以△PBD
面积为
12；又△BCD C 到平面PBD 的距离为h ，由等体积即V C －PBD ＝V P －BCD 得：
111
3223h ?=，所以5
h =
，所以点点C 到平面PBD 考点：1、直线平面垂直的判定定理；2、点到平面的距离的求法；
21．（1）12n n a +=
，223
n n b -=；（2）2
45251()443n n n T -+=-． 试题解析：（Ⅰ）由1221n n a a +=+得11,N 2
n n a a n *
+-=∈，又11a =，
所以数列{}n a 是以1为首项，1
2为公差的等差数列，
于是11(1)2
n n a a n d +=+-=，N n *
∈．
当1n =时，12
11196,3b S -??==-= ?
??
当2n ≥时，3
1193n n S --??
=- ???
，
2312112
99333n n n n n n b S S ----????????=-=---=???? ? ?????????????，
又1n =时12263n b -==，所以22
3
n n b -=，N n *∈．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知12n n a +=，223n n b -=，N n *∈，所以2
1(1),N 3n n n n c a b n n -*??
==+∈ ?
??
．
所以1012
1111234(1)3333n n T n --????????
=?+?+?+++? ? ? ? ?
????????
(1)
考点：等差数列的通项公式、由n S 求n a 、错位相减法、等比数列的前n 项和公式．
22．（Ⅰ）41-
=a ,x x x f ln )1(41)(2
+--=,（x>0） f ＇（x ）x
x x x x x x x 2)
1)(2(22121212+--=++-=++-=，
当0< x < 2时，f ＇（x ）>0，f （x ）在（0,2）单调递增；
当x>2时，f ＇（x ）<0，f （x ）在),2(+∞单调递减； 所以函数的单调递增区间是（0,2），单调递减区间是),2(+∞． （Ⅱ）由题意得1ln )1(2
-≤+-x x x a 对),1[+∞∈x 恒成立，
设=)(x g 1ln )1(2
+-+-x x x a ，),1[+∞∈x ，则0)(max ≤x g ，),1[+∞∈x
求导得22ax (21)1(21)(1)
'()a x ax x g x x x
-++--==，
当0≤a 时，若1>x ，则0)(' 当21≥a 时，121 ≤= a x ,)(x g 在),1[+∞单调递增， 所以存在1>x ，使0)1()(=>g x g ，则不成立；