平面向量高考题选及答案

《平面向量》

1．【2017全国高考新课标I 卷理数·13T 】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |= .

2.（2016全国1.理数.13）设向量a =(m ,1)，b =(1,2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m = ．

3.（2015全国1.理数.7）设D 为ABC 所在平面内一点,3BC CD =，则（ ） (A ) 1433AD AB AC =-

+ (B ) 14

33

AD AB AC =- (C ) 4133AD AB AC =

+ (D ) 4133

AD AB AC =- 4.（2014全国1.理数.15）已知,,A B C 是圆O 上的三点，若()

1

2

AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为 .

5.（2013全国1.理数. 13）已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t) b ，若b c

?=0，则t =_____.

6．【2017全国高考新课标II 卷理数·12T 】已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平 面ABC 内一点，则()PA PB PC ?+的最小是 ）A ．2-B ．32-

C ．4

3

- D ．1- 7．【2017全国高考新课标III 卷理数·12T 】在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上。若AP =λAB +μAD ，则λ+μ的最大值为 8.【2017全国高考天津卷理数·13T 】在ABC △中，60A =?∠，3AB =，2AC =.若

2BD DC =，()AE AC AB λλ∈=-R ，且4AD AE ?=-，则λ的值为___________.

9．【2017全国高考浙江卷理数·15T 】已知向量a ，b 满足则的 最小值是________，最大值是_______．

10.【2017全国高考江苏卷理数·12T 】如图，在同一个平面内，向量OA ,OB ,OC ,的模分别为1,1，2，OA 与OC 的夹角为α，且tan α=7，OB 与OC 的夹角为45°。若OC =m

OA +n OB

（m ，n ∈R ），则m+n=

1,2,==a b ++-a b a b

11.【2017全国高考浙江卷理数·13T 】在平面直角坐标系xOy 中，A （-12,0），B （0,6），点P 在圆O ：x 2+y 2=50上，若PA ·PB ≤20，则点P 的横坐标的取值范围是 12【2017全国高考浙江卷理数·16T 】（本小题满分14分）

已知向量a =（cos x ,sin x ）, , .（1）若a ∥b ，求x 的值； （2）记 ,求 的最大值和最小值以及对应的x 的值

13、（2016年北京高考）设，是向量，则“”是“”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 14、（2016年山东高考）已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos=.若n ⊥（t m +n ）， 则实数t 的值为（ ）（A ）4 （B ）–4 （C ）

（D ）– 15、（2016年四川高考）在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA =DB =DC ,

DA ﹒DB =DB ﹒DC =DC ﹒DA =-2，动点P ，M 满足AP =1，PM =MC ，则2BM 的

最大值是（ ）（A ）

434 （B ）49

4

（C

（D

16、（2016年天津高考）已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的 中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则AF BC 的值为（ ）

（A ）85

-

（B ）

8

1 （C ）

41 （D ）811

17、（2016年全国II 高考）已知向量，且，则m =（ ）

（A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8 18、（2016年全国III 高考）已知向量 , 则ABC=（ ）

(A)300

(B) 450

(C) 600

(D)1200

19、（2016年上海高考）在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线2

1x y -=a b ||||a b =||||a b a b +=-1

3

9494

(1,)(3,2)a m a =-，=()a b b ⊥

+1(,

22

BA =uu

v

1(,),22BC =uu u v ∠

上一个动点，则?的取值范围是 .

20、（2016年上海高考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A 的中心，

()0,11A .任取不同的两点j i A A ,，点P 满足=++j i OA ，则点P 落在第一象限的概

率是 .

21、（2016年全国I 高考）设向量a =(m ,1)，b =(1,2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m = . 22、（2016年浙江高考）已知向量a 、b , ｜a ｜ =1，｜b ｜ =2，若对任意单位向量e ，均有 ｜

a ·e ｜+｜

b ·e ｜≤

,则a ·b 的最大值是 ．

23.【2015高考山东，理4】已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠= ,则BD CD ?=（ ） （A ）232a -

（B ）234a - （C ） 234a （D ） 23

2

a 24.【2015高考陕西，理7】对任意向量,a

b ，下列关系式中不恒成立的是（ ） A ．||||||a b a b ?≤ B ．||||||||a b a b -≤- C ．2

2

()||a b a b +=+ D ．22

()()a b a b a b +-=-

25.【2015高考四川，理7】设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =.若点M ，N 满足3BM MC =，2DN NC =，则AM NM ?=（ ）（A ）20（B ）15（C ）9 （D ）6

26.【2015高考重庆，理6】若非零向量a ，b 满足|a ||b |，且（a -b ）⊥（3a +2b ），则a 与b 的夹角为（ ）A 、

4

π

B 、

2

π

C 、

34

π

D 、π 27.【2015高考安徽，理8】C ?AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2a AB =，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（ ）

（A ）1b = （B ）a b ⊥ （C ）1a b ?= （D ）()

4C a b +⊥B 28.【2015高考福建，理9】已知1

,,AB AC AB AC t t

⊥== ，若P 点是ABC ? 所在平

面内一点，且4AB AC AP AB

AC

=

+

，则PB PC ? 的最大值等于（ ）

A ．13

B ．15

C ．19

D ．21

29.【2015高考北京，理13】在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC =，BN NC =．若 MN xAB y AC =+，则x =

；y = ．

30.【2015高考湖北，理11】已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则OA OB ?= . 31.【2015高考天津，理14】在等腰梯形ABCD 中,

已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,

1

,,9BE BC DF DC λλ

==

则AE AF ?的最小值为 . 32.【2015高考浙江，理15】已知12,e e 是空间单位向量，121

2

e e ?=

，若空间向量b 满足1252,2

b e b e ?=?=

， 且对于任意,x y R ∈，12010200()()1(,)b xe ye b x e y e x y R -+≥-+=∈，则0x = ，

0y = ，b = ．

33.【2015高考新课标2，理13】设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数

λ=_________．

34.【2015江苏高考，14】设向量a k (cos ,sin cos )(0,1,2,

,12)666

k k k k πππ=+=，则11

0k =∑

(a k

a k+1)的值为

35.【2015江苏高考，6】已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-, 若m a +n b =)8,9(-(R n m ∈,), 则n m -的值为______.

36.【2015高考湖南，理8】已知点A ，B ，C 在圆22

1x y +=上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为(2,0)，则PA PB PC ++的最大值为（ ）A.6 B.7 C.8 D.9

《平面向量》参考答案之一

1.【答案】试题解析：2

2

2

|2|||44||4421cos 60412+=+?+=+???+=a b a a b b ，所以

|2|+==a b .

秒杀解析：利用如下图形，可以判断出2+a b 的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱

形的对角线的长度，则为

2.【答案】2-【解析】试题分析：由2

2

2

||||||+=+a b a b ,得⊥a b ,所以1120m ?+?=,解得2m =-.

3.【解析】试题分析：由题知11

()33

AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-==

14

33

AB AC -+，故选A. 4.【解析】：∵1

()2

AO AB AC =+，∴O 为线段BC 中点，故BC 为圆O 的直径，

∴090BAC ∠=，∴AB 与AC 的夹角为090 5.【解析】?b c =[(1)]t t ?+-b a b =2

(1)t t ?+-a b b =

112t t +-=1

12

t -=0，解得t =2.

7.【答案】A 试题解析：如图所示，建立平面直角坐标系

设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ,

根据等面积公式可得圆的半径r =，即圆C 的方程是()2

2425

x y -+=

，

8.【答案】

311

9.【答案】4，【解析】试题解析：设向量的夹角为，由余弦定理有：， ，则：

，

令，则，

据此可得：，

即

的最小值是4，最大值是．

,a b θ21a b -=+212a b +=+=54cos a b a b ++-=+y =+[]21016,20y =+()

()

max

min

2025,164a b a b

a b a b

++-==++-=a b a b ++-

12.【解析】（1）∵a ∥b ，

∴3sin x x =，又c o s

0x ≠，

∴t a n 3

x =-，∵ ，∴5π6x =.（2）(

)π

3cos )3f x x x x ==--.∵ ，∴ππ2π[,]333x -

∈-

，∴πsin()123x -≤-≤

，∴()3f x -≤≤，当ππ

33

x -=-，即0x =时， 取得最大值，为3；当ππ32x -

=，即5π

6

x =

时， 取得最小值，

为-. 13.【答案】D 14.【答案】B 15.【答案】B 16.【答案】B 17.【答案】D

18.【答案】A 19.【答案】 20.【答案】5

28

21.【答案】2-

22.【答案】

12

23.【答案】D

因为()BD CD BD BA BA BC BA ?=?=+?()

2

2223cos 602

BA BC BA a a a +?=+=

故选D.

24.【答案】B 【解析】因为cos ,a b a b a b a b ?=≤，所以选项A 正确；当a 与b 方向相反时，a b a b -≤-不成立，所以选项B 错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C 正确；()()2

2a b

a b a

b +-=-，所以选项D 正确．故选B ．

25.【答案】C 【解析】311

,443

AM AB AD NM CM CN AD AB =+

=-=-+，所以 221111

(43)(43)(169

)(1636916)

94124848

AM NM AB AD AB AD AB AD =

+-=-=?-?=，选C. 26.【答案】A

[0,1+

27.【答案】D 【解析】如图，

由题意，(2)2BC AC AB a b a b =-=+-=，则||2b =，故A 错误；|2|2||2a a ==，所

以||1a =，又22(2)4||222cos602AB AC a a b a ab ?=?+=+=?=，所以1a b ?=-，故,B C 错误；设,B C 中点为D ，则2AB AC AD +=，且AD BC ⊥，而

22(2)4AD a a b a b =++=+，所以()

4C a b +⊥B ，故选D.

28.【答案】A 【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，

如图所示，则1

(,0)B t

，(0,)C t ，1AP =

（，0)+4(0,1)=(1,4)，即1P （，4)，所以11PB t

-=（，-4)，1PC -=（，t-4)，

因此PB PC ?11416t t =--+1

17(4)t t

=-+，因

为

144t t +≥=，所以PB PC ? 的最大值等于13，当14t t =，即1

2

t =时取等号．

《平面向量》参考答案之二

29.【答案】

11,26

-

30.【答案】9【解析】因为OA AB ⊥，||3OA =，

所以OA OB ?=93||||)(2

2

2

===?+=+?OA OB OA OA AB OA OA . 31.【答案】

29

18

【解析】因为

1

,9DF DC λ

=

1

2

DC AB =

，119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ

--=-=

-==， AE AB BE AB BC

λ=+=+，

19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλ

λλ

-+=++=++

=+，()

221919191181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BC

λλλλλλλλλ+++???

??=+?+=+++?? ? ????

?

19199421cos1201818

λλ

λλ++=

?++????2117172992181818λλ=

++≥+= 当且仅当

2192λλ=即23λ=时AE AF ?的最小值为

29

18

.

32.【答案】1，2，22.

33.【答案】1

2【解析】因为向量a b λ+与2a b +平行，所以2a b k a b λ+=+（），则12,

k k λ=??

=?，所以1

2

λ=

．34.

【答案】【解析】 a k a k+1(1)(1)(1)(cos

,sin cos )(cos ,sin cos )666666

k k k k k k ππππππ+++=+?+(1)(1)(1)cos

cos (sin cos )(sin cos )666666

k k k k k k ππππππ

+++=++?+(1)(1)(1)(1)(1)(cos

cos sin sin )(sin cos cos sin )cos cos 6666666666

k k k k k k k k k k ππππππππππ+++++=+++

+22(1)21cos sin

cos cos sin cos sin

6

66666266

k k k k k k k π

πππππππππ

+++=++=+-

21sin cos )sin 6343k k k ππππ+=

+++

-21(21)sin cos

626

k k πππ

++=+ 因为21(21)sin cos 626

k k πππ

++，的周期皆为6，一个周期的和皆为零， 因此11

k =∑

(a k a k+1

)12=

=35.【答案】3-【解析】由题意得：29,282,5, 3.m n m n m n m n +=-=-?==-=- 36.【答案】B.【解析】