2017学年浙江省杭州地区(含周边)重点中学第一学期期中高二年级数学学科试题

2017学年第一学期期中杭州地区(含周边)重点中学

高二年级数学学科试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1．若0a b <<，则下列不等式中不成立的是 A ．a b >

B ．

11

a b a

>- C ．

11

a b

> D ．22

a b >

2．设l 是直线，,a b 是两个不同的平面，下列命题正确的是 A. 若l l ，a b P P ，则a b P B ．若l l ，a b ^P ，则a b ^ C ．若l ，a b a ^^，则l b P

D ．若l ，a b a ^P ，则l b ^

3．正四面体ABCD 中，E F ，分别为棱AD BC ，的中点，则异面直线EF 与CD 所成的角为

A ．

6π B ．4

π C ．

3

π

D ．

2

π 4．直线22sin cos 055x y ππ

+=的倾斜角α是

A ．25π-

B ．25

π

C ．

35

π

D ．

75

π 5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，*

111,2,()n n a a S n N +==?，则5S =

A ．81

B ．80

C ．121

D ．120

6．若三条直线2,3,50y x x y mx ny =+=++=相交于同一点，则点(),m n 到原点的距离的最小值为

A B

C ．

D ．7．已知正实数,a b 满足12

3a b

+=，则()()12a b ++的最小值是 A ．

25

3

B ．509

C ．7

D ．6

8．若关于x 的不等式()2

121x x a a x R ---≥+-∈的解集为空集，则实数a 的取值范围是 A ．()0,1

B ．()1,0-

C ．()(),10,+-∞-?∞

D ．()(),21,-∞-?+∞

9．设点(,)i i i P x y 在直线:i i i i l a x b y c +=上，若()(1,2)i i i i a b c i +==，且12PP 3

恒成立，则

12c c +的值

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

10．在四面体S ABC -中，

,2AB BC AB BC SA SC ⊥==

==，二面角S AC B -- 的余

弦值是3

-

A

．

B ．24π

C ．6π

D

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。把答案填在题中的横

线上。 11．已知直线12:32,:(2)1

l mx y m l x m y +=-++=

若12//l l ，则实数m = ；若12l l ^，

则实数m =

12．已知等差数列{}n a 的公差为2,若134,,a a a 成等比数列,则2a = ，数列{}n a 的前n 项

和n S 的最小值是

13．若三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的体积

为 ，表面积为

14．若实数,x y 满足1

31

y x y x ì??í?+??，不等式组所表示的平

面区域面积为 ；若z ax y =+在点11

()

22

，-处取到最大值，则实数a 的取值范围

15．m R ?，动直线1:10l x my +-=过定点A

，动直线2:20l mx y m --=过定点B ，若直

线1l 与2l 相交于点P （异于点,A B ），则PAB D 周长的最大值为 16．如右图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1DD 的中点，F 是侧

面11CDD C 上的动 点，且1B F //平面1A BE ，则1B F 与平面11CDD C 所成角的正切值的最小值是

17．设数列{}n a 满足123

a =

，且对任意的*

n N ?，满足22n n n a a +-?，452n n n a a +-≥?,则2017a =

三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

18．如图，在几何体ABCDE 中，AB BCE ⊥平面，且E BC ?

是正三角形，

四边形ABCD 为正方形，G 是线段BE 的中点，2AB =， （Ⅰ）若F 是线段CD 上的中点，求证://GF ADE 平面 （Ⅱ）若F 是线段CD 上的动点，求三棱锥-F ABE 的体积

19．已知直线l 经过点P (6,4)，斜率为k

（Ⅰ）若l 的纵截距是横截距的两倍，求直线l 的方程；

（Ⅱ）若k =-1，一条光线从点M (6,0)出发，遇到直线l 反射，反射光线遇到y 轴再次反射回

点M ，求光线所经过的路程。

20．已知函数()||1f x x x a =--

（Ⅰ）当1a =时，解不等式()1f x x <-； （Ⅱ）当(0,1]x ∈时，2

1()2

f x x ≤

恒成立，求实数a 的取值范围。

21．如图，已知ABC V 和BCD V 所在平面互相垂直，且

090BAC BCD ∠=∠=，,AB AC =

CB CD =，点,E F 分别在线段,BD CD 上，沿直线EF 将EFD V 向上翻折使得D 与A 重合

（Ⅰ）求证：AB CF ⊥；

（Ⅱ）求直线AE 与平面ABC 所成角。

22．已知数列{},{}n n a b ，2

111(,0),(),.1n n n n n

a R a a a n N

b a λλλ+=∈>=+∈=+ （Ⅰ）记12n n P b b b =???，求n P 的取值范围； （Ⅱ）记12n n S b b b =++

+，问：

1

n n P S λ

+是否为定值？如果是，请证明，如果不是，请说明

理由。

2017学年第一学期期中杭州地区(含周边)重点中学

高二年级数学学科参考答案

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

二、填空题（共7小题，多空每题6分，单空每题4分，共36分）

11．3

3,2

--

12．6,20-- 13．

40

,303+ 14．3,32

a ≥

15．2+

16．

17．2017

23

三、解答题：本大题共5小题，共74分。 18．解：

（1）解法一：

取AE 的中点H ，连接HG ，DH

G 是线段BE 的中点，

1

//2

HG AB =∴

四边形ABCD 为正方形，F 是线段CD 上的中点

1

DF //2AB =∴

//DF HG =

∴

∴四边形DFGH 是平行四边形

//GF DH ∴

DH GF ADE ADE ??平面，平面 //GF ADE ∴平面

（1）解法二：

取CE 的中点H ，连接FH ，H G

G 是线段BE 的中点， //GH BC ∴

四边形ABCD 为正方形， BC//AD ∴ //GH AD ∴

AD

GH ADE ADE ??平面，平面 H //G ADE ∴平面

又

F 是线段CD 上的中点

//DE HF ∴

DE HF ADE ADE ??平面，平面 //HG ADE ∴平面

/F H GH H ?=

H //F G ADE ∴平面平面 FG FHG ?平面

//GF ADE ∴平面...........7分

（2）

四边形ABCD 为正方形， B//C A D ∴

AB CD ABE ABE ??平面，平面 //CD ABE ∴平面

F =C ABE ABE ∴点到平面的距离点到平面的距离

--A-E F ABE C ABE BC V V V ∴==

=BCE 111S AB=22332?????...........14分

19．解析：

（1）l y k x =-+:(6)4

令x =0，得y k =-+64 令y =0，得x k

=-

+4

6 k k

∴-+=-

+4

642(6) 解得：k =

2

3或k =-2 l y x ∴=-+2

:(6)43

或l y x =--+:2

(6)4 即l x y -=:230或l x y +-=:2160..........8分 （2）k =-1时，l x y +-=:100

设点M 关于l 的对称点为M a b 1(,)，

则b

a a y ?=??-?+?+-=??16

6100

2

，解得a b ?=?=?104，M ∴1(10,4)

则M 1(10,4)关于y 轴的对称点为M -2(10,4)

∴

光线所经过的路程为M M ==2||分

20．解析

（1）当a =1时，()||1f x x x a =--

则有||x x a x -<。

当0x >时， 解得02x << 当0x <时，|1|1,x ->解得0x >

于是不等式的解集是{|002}x x x <<<或 ...........8分 （2）2

1||12

x x a x -≤

+ 因为(0,1]x ∈，所以11||2x a x x -≤

+，即1131

22x a x x x

-≤≤+在(0,1]x ∈

恒成立。所以1

2

a -≤≤ ...........15分

21. 解析

（1）

090FC ABC AB CF BCD CF BC ⊥??

??⊥?⊥??∠=?⊥?

面ABC 面BCD

面ABC 面BCD=BC 面.............5分 （2

）设12AB AC CD BD ===

=，则,

t BE =设，则ED=EA=2-t,

取,BC H HE AH 的中点，连接, 又0

2

2

1

452

EBH HE t t ∠==-+

，则 （3）AH BCD AH BC ⊥?

?

??⊥??⊥?

面ABC 面BCD 面ABC 面BCD=BC 面.............7分

()2222

2,112-,1

22

AH BCD AE AH EH t t t t ⊥=+∴=+-+∴=又面，

E BD ∴点是的中点,...........10分 ,HE BC HE ABC ∴⊥面P BEA ∠为所求角的线面角...........12分

122AE AH EH ==

=，...........14分

sin 2BEA ∴∠=

所以直线AE 与平面ABC 所成角为

4π

..............................15分

法2：A BCE E BCA V V --=

,2

E ABC ∴到面的距离为

sin 2θ∴=

所以直线AE 与平面ABC 所成角为4π（酌情给分）

22．

（1）2

1211123111

1,,0,1n n n n n n n n n n n n a a a a a b P a a a a a a a a a a λ+++++=

=∴===-=>+Q L Q 1

{}(0,

)1n n a P λ

∴∴+单调递增趋向正无穷，的范围是 （2）211111

11111

,1(1)n n n n n n n n n n n n n n a a a b S a a a a a a a a a a ++++-====-∴=-

++ 11

11

,.n n P S a λ

λ

∴

+=

=为定值 高二数学答案勘误： （1）第16

题： 2 （2）第22题第一小题1(0,)1l +

高二数学第9题，答案ABCD 都可以，大家看一下，

一下