x (-∞,x 2) x 2 (x 2,x 1) x 1 (x 1,+∞)
F’(x) - 0 +
- f (x)
减函数
极小值
增函数 极大值
减函数
所以)(x f 在x 1, x 2处分别取得极大值和极小值.
综上,当b a ,满足2
b a >时,)(x f 取得极值.
(2)要使)(x f 在区间(0,1]上单调递增,需使2'()210f x ax bx =++≥在(0,1]上恒成立.
即1,(0,1]22ax b x x ≥-
-∈恒成立,所以max 1
()22ax b x
≥--, 设1()22ax g x x =--,2221()
1'()222a x a a g x x x
-=-+=, 令'()0g x =得1x a =
或1
x a
=-(舍去), 当1>a 时,101a <
<,当1(0,)x a
∈时'()0g x >,1()22ax g x x =--单调增函数; 当1(
,1]x a
∈时'()0g x <,1()22ax g x x =--单调减函数,
所以当1x a =
时,()g x 取得最大,最大值为1
(
)g a a
=-. 所以b a ≥-. 当01a <≤时,
1
1a
≥,此时'()0g x ≥在区间(0,1]恒成立, 所以1()22ax g x x
=-
-在区间(0,1]上单调递增, 当1x =时()g x 最大,最大值为1(1)2a g +=-,所以1
2
a b +≥-.
综上,当1>a 时, b a ≥-;当01a <≤时, 1
2
a b +≥-.
点评:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题.
【模拟演练】 1.函数2
2log 2x
y x
-=+的图象( ) A . 关于原点对称 B .关于主线y x =-对称 C . 关于轴对称 D .关于直线y x =对称
2. 定义在R 上的偶函数()f x 的部分图象如右图所示,则在()2,0-上,下列函数中与()f x 的单调性不同的是( )
A .21y x =+
B . ||1y x =+
C . 321,01,0x x y x x +≥?=?+
D .,,0
x x e x o
y e x -?≥?=??
3.已知定义在R 上的奇函数)(x f ,满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( )
A .(25)(11)(80)f f f -<<
B . (80)(11)(25)f f f <<-
C . (11)(80)(25)f f f <<-
D . (25)(80)(11)f f f -<<
4. 定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ?
??>---≤-0),2()1(0
),1(log 2x x f x f x x ,则f (2009)的
值为 .
5. 已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-,则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是 . 6.已知函数3
21(),3
f x x ax bx =
++且'(1)0f -= (I )试用含的代数式表示b ; (Ⅱ)求()f x 的单调区间;
(Ⅲ)令1a =-,设函数()f x 在1212,()x x x x <处取得极值,记点
1122(,()),(,())M x f x N x f x ,证明:线段MN 与曲线()f x 存在异于M 、N 的公共
点.
7.已知函数3
2
()22f x x bx cx =++-的图象在与轴交点处的切线方程是510y x =-. (I )求函数()f x 的解析式; (II )设函数1
()()3
g x f x mx =+
,若()g x 的极值存在,求实数的取值范围以及函数
()g x 取得极值时对应的自变量的值.
【参考答案】 1.答案:A
解析:由于定义域为(-2,2)关于原点对称,又f(-x)=-f(x),故函数为奇函数,图象关于原点对称,选A . 2.答案:C
解析:根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反,故可知求在()2,0-上单调递减,注意到要与()f x 的单调性不同,故所求的函数在()2,0-上应单调递增.而函数
21y x =+在(],1-∞上递减;函数1y x =+在(]
,0-∞时单调递减;函数
3
21,01,0
x x y x x +>?=?+
>0(x<0),故函数单调递增,显然符合题意;而函数,0
,0
x x e x y e x -?≥?=??,有y '=-x e -<0(x<0),故其在(,0]-∞上
单调递减,不符合题意,综上选C . 3. 答案:D
解析:因为)(x f 满足(4)()f x f x -=-,所以(8)()f x f x -=,所以函数是以8为周期的周期函数,则)1()25(-=-f f ,)0()80(f f =,)3()11(f f =,又因为)(x f 在R 上是奇函数, (0)0f =,得0)0()80(==f f ,)1()1()25(f f f -=-=-,而由(4)()f x f x -=-得)1()41()3()3()11(f f f f f =--=--==,又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数,所以0)0()1(=>f f ,所以0)1(<-f ,即
(25)(80)f f
f -<<,故选D .
4.答案:1
解析:由已知得2(1)log 21f -==,(0)0f =,(1)(0)(1)1f f f =--=-,
(2)(1)(0)1f f f =-=-,(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=,
(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=,(5)(4)(3)1f f f =-=,
(6)(5)(4)0f f f =-=,
所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f (2009)= f (5)=1. 5.答案:21y x =-
解析:由2()2(2)88f x f x x x =--+-得:
2(2)2()(2)8(2)8f x f x x x -=--+--,
即22()(2)44f x f x x x --=+-,∴2()f x x =∴/()2f x x =, ∴切线方程为12(1)y x -=-,即210x y --=. 6.解析:(I )依题意,得2'()2f x x ax b =++, 由'(1)120f a b -=-+=得21b a =-. (Ⅱ)由(I )得3
21()(21)3
f x x ax a x =
++-, 故2'()221(1)(21)f x x ax a x x a =++-=++-, 令'()0f x =,则1x =-或12x a =-, ①当1a >时,121a -<-,
当变化时,'()f x 与()f x 的变化情况如下表:
(,12)a -∞-
(2,1)a --
(1)-+∞
'()f x
+ - + ()f x
单调递增
单调递减
单调递增
由此得,函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞,单调减区间为
(12,1)a --.
②由1a =时,121a -=-,此时,'()0f x ≥恒成立,且仅在1x =-处'()0f x =,故函数()f x 的单调区间为R ;
③当1a <时,121a ->-,同理可得函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和
(12,)a -+∞,单调减区间为(1,12)a --.
综上:
当1a >时,函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞,单调减区间为
(12,1)a --;
当1a =时,函数()f x 的单调增区间为R ;
当1a <时,函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞,单调减区间为
(1,12)a --
(Ⅲ)当1a =-时,得321()33f x x x x x
=
--,由2
'()230f x x x =--=,得121,3x x =-=.
由(Ⅱ)得()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞,单调减区间为(1,3)-,所以函数()f x 在121,3x x =-=处取得极值,故5(1,),(3,9)3
M N --, 所以直线MN 的方程为8
13
y x =-
-, 由32133813y x x x y x ?=--????=--??
得32330x x x --+= 解得1231, 1.3x x x =-==,
12331211
35119,,33x x x y y y =-=??=???
∴???
=-==-?????
, 所以线段MN 与曲线()f x 有异于,M N 的公共点11
(1,)3
-
. 7.解析:(I )由已知,切点为(2,0),故有(2)0f =,即430b c ++=……① 又2
()34f x x bx c '=++,由已知(2)1285f b c '=++=得870b c ++=……② 联立①②,解得1,1b c =-=.
所以函数的解析式为3
2
()22f x x x x =-+-.
(II )因为32
1
()223g x x x x mx =-+-+
.
令2
1
()34103g x x x m '=-++
=.
当函数有极值时,则0?≥,方程2
1
34103
x x m -++
=有实数解, 由4(1)0m ?=-≥,得1m ≤. ①当1m =时,()0g x '=有实数23x =,在23
x =左右两侧均有()0g x '>,故函数()g x 无极值; ②
当
1
m <时,
()
g x '=有两个实数根
1211
(21),(21),33
x m x m =--=+-(),()g x g x '情况如下表:
1(,)x -∞
1x
12(,)x x
2x
2()x +∞
()g x '
+ 0 - 0 + ()g x
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以在(,1)∈-∞m 时,函数()g x 有极值; 当1(21)3=--x m 时,()g x 有极大值;当1
(21)3
=+-x m 时,()g x 有极小值.
函数与导数专题试卷(含答案)
高三数学函数与导数专题试卷 说明:1.本卷分第Ⅰ卷(选择题),第Ⅱ卷(填空题与解答题),第ⅠⅡ卷的答案写在答题卷的答案纸上,学生只要交答题卷. 第Ⅰ卷 一.选择题(10小题,每小题5分,共50分) (4)()f x f x +=,当(0,2)x ∈时,()2f x x =+,则(7)f =( ) A . 3 B . 3- C . D . 1- 2.设A ={x ||x |≤3},B ={y |y =-x 2+t },若A ∩B =?,则实数t 的取值范围是( ) A .t <-3 B .t ≤-3 C .t >3 D .t ≥3 3.设0.3222,0.3,log (0.3)(1)x a b c x x ===+>,则,,a b c 的大小关系是 ( ) A .a b c << B .b a c << C .c b a << D .b c a << 4.函数x x f +=11)(的图像大致是( ) 5.已知直线ln y kx y x ==是的切线,则k 的值为( ) A. e B. e - C. 1e D. 1e - 6.已知条件p :x 2+x-2>0,条件q :a x >,若q 是p 的充分不必要条件,则a 的取值范围可以是( ) A .1≥a B .1≤a C .1-≥a D.3-≤a 7.函数3()2f x x ax =+-在区间(1,)+∞上是增函数,则a 的取值范围是( ) A. [3,)+∞ B. [3,)-+∞ C. (3,)-+∞ D. (,3)-∞- 8. 已知函数f (x )=log 2(x 2-2x -3),则使f (x )为减函数的区间是( ) A .(-∞,-1) B .(-1,0) C .(1,2) D .(-3,-1)
高中高考数学专题复习《函数与导数》
高中高考数学专题复习<函数与导数> 1.下列函数中,在区间()0,+∞上是增函数的是 ( ) A .1y x = B. 12x y ?? = ??? C. 2log y x = D.2x y -= 2.函数()x x x f -= 1 的图象关于( ) A .y 轴对称 B .直线y =-x 对称 C .坐标原点对称 D .直线y =x 对称 3.下列四组函数中,表示同一函数的是( ) A .y =x -1与y .y y C .y =4lgx 与y =2lgx 2 D .y =lgx -2与y =lg x 100 4.下列函数中,既不是奇函数又不是偶函数,且在)0,(-∞上为减函数的是( ) A .x x f ?? ? ??=23)( B .1)(2+=x x f C.3)(x x f -= D.)lg()(x x f -= 5.已知0,0a b >>,且12 (2)y a b x =+为幂函数,则ab 的最大值为 A . 18 B .14 C .12 D .34 6.下列函数中哪个是幂函数( ) A .3 1-??? ??=x y B .2 2-?? ? ??=x y C .3 2-=x y D .()3 2--=x y 7.)43lg(12x x y -++=的定义域为( ) A. )43 ,21(- B. )43 ,21[- C. ),0()0,2 1(+∞?- D. ),43 []21 ,(+∞?-∞ 8.如果对数函数(2)log a y x +=在()0,x ∈+∞上是减函数,则a 的取值范围是 A.2a >- B.1a <- C.21a -<<- D.1a >- 9.曲线3 ()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-,则0p 点的坐标为( )
第13讲 函数与导数之导数及其应用(学生版)
第13讲 函数与导数之导数及其应用 一. 基础知识回顾 1.函数的平均变化率:一般地,已知函数y =f (x ),x 0,x 1是其定义域内不同的两点,记Δx =x 1-x 0,Δy =y 1-y 0=f (x 1)-f (x 0)=f (x 0+Δx )-f (x 0),则当Δx ≠0时,商 =Δy Δx 称作函数y =f (x )在区间[x 0,x 0+Δx ](或[x 0+Δx ,x 0])的平均变化率. 2.函数y =f (x )在x =x 0处的导数:(1)定义:函数y =f (x)在点x 0处的瞬时变化率 通 常称为f (x )在x =x 0处的导数,并记作f ′(x 0),即 . (2)几何意义:函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是过曲线y =f (x )上点(x 0,f (x 0)) 的 .导函数y =f ′(x )的值域即为 . 3.函数f (x )的导函数:如果函数y =f (x )在开区间(a ,b )内每一点都是可导的,就说f (x )在开 区间(a ,b )内可导,其导数也是开区间(a ,b )内的函数,又称作f (x )的导函数,记作 . 4.基本初等函数的导数公式表(右表) 5.导数运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′= ; (2)[f (x )g (x )]′= ; (3)????f (x )g (x )′= [g (x )≠0]. 5.导数和函数单调性的关系:(1)若f ′(x )>0在(a ,b )上恒成立,则f (x )在(a ,b )上是 函数,f ′(x )>0的解集与定义域的交集的对应区间为 区间;(2)若f ′(x )<0在(a ,b )上恒成立,则f (x )在(a , b )上是 函数,f ′(x )<0的解集与定义域的交集的对应区间为 区间(3)若在(a ,b )上, f ′(x )≥0,且f ′(x )在(a ,b )的任何子区间内都不恒等于零?f (x )在(a ,b )上为 函数,若在 (a ,b )上,f ′(x )≤0,且f ′(x )在(a ,b )的任何子区间内都不恒等于零?f (x )在(a ,b )上为 函 数. 6.函数的极值:(1)判断f (x 0)是极值的方法:一般地,当函数f (x )在点x 0处连续时,①如果 在x 0附近的左侧 ,右侧 ,那么f (x 0)是极大值;②如果在x 0附近的左侧 , 右侧 ,那么f (x 0)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤①求f ′(x );②求方程 的根;③检查f ′(x )在方程 的根左右值的符号.如果左正右负,那么f (x )在这个根处 取得 ;如果左负右正,那么f (x )在这个根处取得 . 7.函数的最值:(1)函数f (x )在[a ,b ]上必有最值的条件如果函数y =f (x )的图象在区间[a ,b ] 上 ,那么它必有最大值和最小值.(2)求函数y =f (x )在[a ,b ]上的最大值与最小值的步 骤:①求函数y =f (x )在(a ,b )内的 ;②将函数y =f (x )的各极值与 比较,其中最大 的一个是最大值,最小的一个是最小值. 二.典例精析 探究点一:导数的运算 例1:求下列函数的导数: (1)y =(1-x )? ???1+1x ; (2)y =ln x x ;(3)y =x e x ; (4)y =tan x .
高考数学二轮复习专题02:函数与导数
高考数学二轮复习专题 02:函数与导数
姓名:________
班级:________
成绩:________
一、 单选题 (共 17 题;共 34 分)
1. (2 分) (2016 高一上·厦门期中) 已知函数 f(x)=xln(x﹣1)﹣a,下列说法正确的是( )
A . 当 a=0 时,f(x)没有零点
B . 当 a<0 时,f(x)有零点 x0 , 且 x0∈(2,+∞)
C . 当 a>0 时,f(x)有零点 x0 , 且 x0∈(1,2)
D . 当 a>0 时,f(x)有零点 x0 , 且 x0∈(2,+∞)
2. (2 分) (2018 高二下·沈阳期中) 函数 A. B. C. D.
恰有一个零点,则实数 的值为( )
3. (2 分) 已知函数 f(x)= -cosx,若 A . f(a)>f(b) B . f(a)0
, 则( )
4. ( 2 分 ) (2019 高 二 上 · 浙 江 期 中 ) 已 知
的两个相邻的零点,且
,则
,且
,
,
是函数
的值为( )
第 1 页 共 12 页
A. B. C. D.
5. (2 分) 定义在 R 上的奇函数 f(x),当 x≥0 时,f(x)= =f(x)﹣a(0<a<1)的所有零点之和为( )
A . 3a﹣1 B . 1﹣3a C . 3﹣a﹣1 D . 1﹣3﹣a
, 则关于 x 的函数 F(x)
6. (2 分) 已知函数 取值范围是( )
A. B.
的图像为曲线 C,若曲线 C 存在与直线
垂直的切线,则实数 m 的
C.
D.
7. (2 分) (2016 高一上·沈阳期中) 已知函数 f(x)满足:当 f(x)= ()
A.
第 2 页 共 12 页
,则 f(2+log23)=
高考文科数学导数全国卷
导数高考题专练 1、(2012课标全国Ⅰ,文21)(本小题满分12分) 设函数f (x )= e x -ax -2 (Ⅰ)求f (x )的单调区间 (Ⅱ)若a =1,k 为整数,且当x >0时,(x -k ) f ′(x )+x +1>0,求k 的最大值 2、(2013课标全国Ⅰ,文20)(本小题满分12分) 已知函数f (x )=e x (ax +b )-x 2-4x ,曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为y =4x +4. (1)求a ,b 的值; (2)讨论f (x )的单调性,并求f (x )的极大值. 3、(2015课标全国Ⅰ,文21).(本小题满分12分) 设函数2()ln x f x e a x =-. (Ⅰ)讨论()f x 的导函数'()f x 零点的个数; (Ⅱ)证明:当0a >时,2 ()2ln f x a a a ≥+。 4、(2016课标全国Ⅰ,文21)(本小题满分12分) 已知函数.2)1(2)(-+-= x a e x x f x )( (I)讨论)(x f 的单调性; (II)若)(x f 有两个零点,求的取值范围. 5、((2016全国新课标二,20)(本小题满分12分) 已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--. (I )当4a =时,求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程;
(II)若当()1,x ∈+∞时,()0f x >,求a 的取值范围. 6(2016山东文科。20)(本小题满分13分) 设f (x )=x ln x –ax 2+(2a –1)x ,a ∈R . (Ⅰ)令g (x )=f'(x ),求g (x )的单调区间; (Ⅱ)已知f (x )在x =1处取得极大值.求实数a 的取值范围. 2017.(12分) 已知函数)f x =(a e 2x +(a ﹣2) e x ﹣x . (1)讨论()f x 的单调性; (2)若()f x 有两个零点,求a 的取值范围. 2018全国卷)(12分) 已知函数()1 ln f x x a x x = -+. ⑴讨论()f x 的单调性; ⑵若()f x 存在两个极值点1x ,2x ,证明: ()()1212 2f x f x a x x -<--. 导数高考题专练(答案) 1 2解:(1)f ′(x )=e x (ax +a +b )-2x -4. 由已知得f (0)=4,f ′(0)=4. 故b =4,a +b =8. 从而a =4,b =4. (2)由(1)知,f (x )=4e x (x +1)-x 2-4x ,
(完整版)函数与导数专题(含高考试题)
函数与导数专题1.在解题中常用的有关结论(需要熟记):
考点一:导数几何意义: 角度一 求切线方程 1.(2014·洛阳统考)已知函数f (x )=3x +cos 2x +sin 2x ,a =f ′? ?? ?? π4,f ′(x )是f (x ) 的导函数,则过曲线y =x 3上一点P (a ,b )的切线方程为( ) A .3x -y -2=0 B .4x -3y +1=0 C .3x -y -2=0或3x -4y +1=0 D .3x -y -2=0或4x -3y +1=0 解析:选A 由f (x )=3x +cos 2x +sin 2x 得f ′(x )=3-2sin 2x +2cos 2x ,则a = f ′? ?? ??π4=3-2sin π2+2cos π2=1.由y =x 3得y ′=3x 2,过曲线y =x 3上一点P (a ,b )的切线的斜率k =3a 2=3×12=3.又b =a 3,则b =1,所以切点P 的坐标为(1,1),故过曲线y =x 3上的点P 的切线方程为y -1=3(x -1),即3x -y -2=0. 角度二 求切点坐标 2.(2013·辽宁五校第二次联考)曲线y =3ln x +x +2在点P 0处的切线方程为4x -y -1=0,则点P 0的坐标是( ) A .(0,1) B .(1,-1) C .(1,3) D .(1,0) 解析:选C 由题意知y ′=3 x +1=4,解得x =1,此时4×1-y -1=0,解得y =3,∴点P 0的坐标是(1,3). 角度三 求参数的值 3.已知f (x )=ln x ,g (x )=12x 2+mx +7 2(m <0),直线l 与函数f (x ),g (x )的图像都相切,且与f (x )图像的切点为(1,f (1)),则m 等于( )
高考数学真题汇编——函数与导数
高考数学真题汇编——函数与导数 1.【2018年浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】D 点睛:有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路:(1)由函数的定义域,判断图象的左、右位置,由函数的值域,判断图象的上、下位置;(2)由函数的单调性,判断图象的变化趋势;(3)由函数的奇偶性,判断图象的对称性;(4)由函数的周期性,判断图象的循环往复. 2.【2018年理天津卷】已知,,,则a,b,c的大小关系为A. B. C. D. 【答案】D
【解析】分析:由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解:由题意结合对数函数的性质可知:,, , 据此可得:.本题选择D选项. 点睛:对于指数幂的大小的比较,我们通常都是运用指数函数的单调性,但很多时候,因幂的底数或指数不相同,不能直接利用函数的单调性进行比较.这就必须掌握一些特殊方法.在进行指数幂的大小比较时,若底数不同,则首先考虑将其转化成同底数,然后再根据指数函数的单调性进行判断.对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较,利用图象法求解,既快捷,又准确. 3.【2018年理新课标I卷】已知函数.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是 A. [–1,0) B. [0,+∞) C. [–1,+∞) D. [1,+∞) 【答案】C 详解:画出函数的图像,在y轴右侧的去掉,再画出直线,之后上下移动,可以发现当直线过点A时,直线与函数图像有两个交点,并且向下可以无限移动,都可以保证直线与函数的图像有两个交点,即方程有两个解,也就是函数有两个零点,此时满足,即,故选C.
点睛:该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题,在求解的过程中,解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题,将式子移项变形,转化为两条曲线交点的问题,画出函数的图像以及相应的直线,在直线移动的过程中,利用数形结合思想,求得相应的结果. 4.【2018年理新课标I卷】设函数,若为奇函数,则曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 【答案】D 点睛:该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题,在求解的过程中,首先需要确定函数解析式,此时利用到结论多项式函数中,奇函数不存在偶次项,偶函数不存在奇次项,从而求得相应的参数值,之后利用求导公式求得,借助于导数的几何意义,结合直线方程的点斜式求得结果. 5.【2018年全国卷Ⅲ理】设,,则
高三二轮复习函数与导数
第三课时函数与导数的应用 1.若函数f (x )=ax 4+bx 2+c 满足f ′(1)=2,则f ′(-1)=( ) A .-1 B .-2 C .2 D .0 2.已知某生产厂家的年利润y (单位:万元)与年产量x (单位:万件)的函数关系 式为y =-13 x 3 +81x -234,则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为( ) A .13万件 B .11万件 C .9万件 D .7万件 3:由直线x =-π3,x =π 3 ,y =0与曲线y =cos x 所围成的封闭图形的面积为( ) A.12 B .1 C.3 2 D.3 4.若函数 y =f (x )在R 上可导,且满足不等式xf ′(x )>-f (x )恒成 立,且常数a ,b 满足a >b ,则下列不等式一定成立的是( ) A .af (a )>bf (b ) B .af (a )bf (a ) 5:放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少, 这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137的衰变过程中,其含量M (单位:太贝克)与时间t (单位:年)满足函数关系:M (t )=M 02- t 30 ,其中M 0为t =0时 铯137的含量.已知t =30时,铯137含量的变化率... 是-10ln2(太贝克/年),则M (60)=( ) A .5太贝克 B .75ln2太贝克 C .150ln2太贝克 D .150太贝克 6.曲线y =2x 4上的点到直线y =-x -1的距离的最小值为_____5 16 2___. 7:已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,f (1)=0, 2 '()() 0(0)xf x f x x x ->>,则不等式 x 2f (x )>0的解集是 (-1,0)∪(1,+∞) . 8:已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f (I )当a=18时,求函数)(x f 的单调区间; (II )求函数)(x f 在区间],[2 e e 上的最小值. 解:(Ⅰ)x x x x f ln 164)(2 --=, x x x x x x f ) 4)(2(21642)('-+= --= 2分
高考数学函数与导数复习指导
2019高考数学函数与导数复习指导 函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程,在近几年的高考中,函数类试题在试题中所占分值一般为22---35分。一般为2个选择题或2个填空题,1个解答题,而且常考常新。 在选择题和填空题中通常考查反函数、函数的定义域、值域、函数的单调性、奇偶性、周期性、函数的图象、导数的概念、导数的应用以及从函数的性质研究抽象函数。 在解答题中通常考查函数与导数、不等式的综合运用。其主要表现在: 1.通过选择题和填空题,全面考查函数的基本概念,性质和图象。 2.在解答题的考查中,与函数有关的试题常常是以综合题的形式出现。 3.从数学具有高度抽象性的特点出发,没有忽视对抽象函数的考查。 4.一些省市对函数应用题的考查是与导数的应用结合起来考查的。 5.涌现了一些函数新题型。 死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素 养煞费苦心。其实,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。 6.函数与方程的思想的作用不仅涉及与函数有关的试题,而且对于数列,不等式,解析几何等也需要用函数与方程思想作指导。 家庭是幼儿语言活动的重要环境,为了与家长配合做好幼儿阅读训练
工作,孩子一入园就召开家长会,给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长,要求孩子回家向家长朗诵儿歌,表演故事。我和家长共同配合,一道训练,幼儿的阅读能力提高很快。 7.多项式求导(结合不等式求参数取值范围),和求斜率(切线方程结合函数求最值)问题。 “师”之概念,大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。《说文解字》中有注曰:“师教人以道者之称也”。“师”之含义,现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。“老”在旧语义中也是一种尊称,隐喻年长且学识渊博者。“老”“师”连用最初见于《史记》,有“荀卿最为老师”之说法。慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制,老少皆可适用。只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”,其只是“老”和“师”的复合构词,所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称,虽能从其身上学以“道”,但其不一定是知识的传播者。今天看来,“教师”的必要条件不光是拥有知识,更重于传播知识。 8.求极值,函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合。
高三数学专题复习 函数的零点与导数的应用关系
高三数学专题复习 函数的零点与导数的应用关系 21、(本题满分14分) 已知函数1()ln ,()f x a x a R x =-∈其中 (1)设()(),h x f x x =+讨论()h x 的单调性。 (2)若函数()f x 有唯一的零点,求a 取值范围。 21.解:(1)1()ln h x a x x x =-+,定义域为(0,)+∞………………1分 22211()1a ax x h x x x x ++'=++=………………2分 令22()1,4g x x ax a =++?=- 当0?≤,即22a -≤≤时()0g x ≥,()0h x '≥此时()h x 在(0,)+∞上单调递增。………………4分 当0?>即2a <-或2a >时,由()0g x =得1x =,2x = ………………5分 若2a >则10x <又1210x x =>所以20x < 故()0h x '>在(0,)+∞上恒成立 所以()h x 在(0,)+∞单调递增……………………6分 若2a <-则20x >又1210x x =>所以20x > 此时当1(0,)x x ∈时()0h x '>;当12(,)x x x ∈时()0h x '<当2(,)x x ∈+∞时()0h x '> 故()h x 在1(0,)x ,2(,)x +∞上单调递增,在12(,)x x 单调递减……………………7分 综上,当2a ≥-时()h x 在(0,)+∞上单调递增 当2a <-时()h x 在1(0,)x ,2(,)x +∞单调递增,在12(,)x x 单调递减……………8分 (2)方法1:问题等价于1ln a x x = 有唯一实根 显然0a ≠则关于x 的方程1ln x x a =有唯一实根……………10分 构造函数()ln x x x ?=,则()1ln x x ?'=+ 由0ln 1'=+=x ?,得e x 1=
2018年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析
2018年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析 已知函数2()x f x e ax =-. (1) 若1a =,证明:当0x ≥时,()1f x ≥. (2) 若()f x 在(0,)+∞只有一个零点,求a . 题目分析: 本题主要通过函数的性质证明不等式以及判断函数零点的问题考察学生对于函数单调性以及零点存在定理性的应用,综合考察学生化归与分类讨论的数学思想,题目设置相对较易,利于选拔不同能力层次的学生。第1小问,通过对函数以及其导函数的单调性以及值域判断即可求解。官方标准答案中通过()()x g x e f x -=的变形化成2()x ax bx c e C -+++的形式,这种形式的函数求导之后仍为2()x ax bx c e -++这种形式的函数,指数函数的系数为代数函数,非常容易求解零点,并且这种变形并不影响函数零点的变化。这种变形思想值得引起注意,对以后导数命题有着很大的指引作用。但是,这种变形对大多数高考考生而言很难想到。因此,以下求解针对函数()f x 本身以及其导函数的单调性和零点问题进行讨论,始终贯穿最基本的导函数正负号与原函数单调性的关系以及零点存在性定理这些高中阶段的知识点,力求完整的解答该类题目。 题目解答: (1)若1a =,2()x f x e x =-,()2x f x e x '=-,()2x f x e ''=-. 当[0,ln 2)x ∈时,()0f x ''<,()f x '单调递减;当(ln 2,)x ∈+∞时,()0f x ''>,()f x '单调递增; 所以()(ln 2)22ln 20f x f ''≥=->,从而()f x 在[0,)+∞单调递增;所以()(0)1f x f ≥=,得证. (2)当0a ≤时,()0f x >恒成立,无零点,不合题意. 当0a >时,()2x f x e ax '=-,()2x f x e a ''=-. 当[0,ln 2)x a ∈时,()0f x ''<,()f x '单调递减;当(ln 2,)x a ∈+∞时,()0f x ''>,()f x '单调递增;所以()(ln 2)2(1ln 2)f x f a a a ''≥=-. 当02 e a <≤ 时,()0f x '≥,从而()f x 在[0,)+∞单调递增,()(0)1f x f ≥=,在(0,)+∞无零点,不合题意.
高考数学函数与导数
回扣2 函数与导数 1.函数的定义域和值域 (1)求函数定义域的类型和相应方法 ①若已知函数的解析式,则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围; ②若已知f (x )的定义域为[a ,b ],则f [g (x )]的定义域为不等式a ≤g (x )≤b 的解集;反之,已知f [g (x )]的定义域为[a ,b ],则f (x )的定义域为函数y =g (x )(x ∈[a ,b ])的值域; ③在实际问题中应使实际问题有意义. (2)常见函数的值域 ①一次函数y =kx +b (k ≠0)的值域为R ; ②二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0):当a >0时,值域为????4ac -b 2 4a ,+∞,当a <0时,值域为? ???-∞,4ac -b 2 4a ; ③反比例函数y =k x (k ≠0)的值域为{y ∈R |y ≠0}. 2.函数的奇偶性、周期性 (1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质,对于定义域内的任意x (定义域关于原点对称),都有f (-x )=-f (x )成立,则f (x )为奇函数(都有f (-x )=f (x )成立,则f (x )为偶函数). (2)周期性是函数在其定义域上的整体性质,一般地,对于函数f (x ),如果对于定义域内的任意一个x 的值:若f (x +T )=f (x )(T ≠0),则f (x )是周期函数,T 是它的一个周期. 3.关于函数周期性、对称性的结论 (1)函数的周期性 ①若函数f (x )满足f (x +a )=f (x -a ),则f (x )为周期函数,2a 是它的一个周期. ②设f (x )是R 上的偶函数,且图象关于直线x =a (a ≠0)对称,则f (x )是周期函数,2a 是它的一个周期. ③设f (x )是R 上的奇函数,且图象关于直线x =a (a ≠0)对称,则f (x )是周期函数,4a 是它的一个周期. (2)函数图象的对称性 ①若函数y =f (x )满足f (a +x )=f (a -x ), 即f (x )=f (2a -x ), 则f (x )的图象关于直线x =a 对称.
函数与导数专题复习
函数与导数专题复习 类型一 导数的定义 运算及几何意义 例1:已知函数)(x f 的导函数为)('x f ,且满足x xf x f ln )1(2)(' +=,则=)1('f ( ) A .-e B.-1 C.1 D.e 解:x f x f 1)1(2)(''+=,1)1(1)1(2)1('''-=∴+=f f f 【评析与探究】求值常用方程思想,利用求导寻求)('x f 的方程是求解本题的关键。 变式训练1 曲线33+-=x x y 在点(1,3)处的切线方程为 类型二 利用导数求解函数的单调性 例2:d cx bx x x f +++= 233 1)(何时有两个极值,何时无极值?)(x f 恒增的条件是什么? 解:,2)(2'c bx x x f ++=当0442>-=?c b 时, 即c b >2时,0)('=x f 有两个异根2,1x x ,由)('x f y =的图像知,在2,1x x 的左右两侧)('x f 异号,故2,1x x 是极值点,此时)(x f 有两个极值。 当c b =2时,0)('=x f 有实数根0x ,由)('x f y =的图像知,在0x 左右两侧)(' x f 同号,故0x 不是)(x f 的极值点 当c b <2时,0)(' =x f 无根,当然无极值点 综上所述,当时c b ≤2,)(x f 恒增。 【评析与探究】①此题恒增条件c b ≤2易掉“=”号,②c b =2 时,根0x 不是极值点也易错。 变式训练2 已知函数b x x g ax x x f +=+=232)(,)(,它们的图像在1=x 处有相同的切线 ⑴求函数)(x f 和)(x g 的解析式;
2019高考数学二轮复习第二编专题二函数与导数第2讲导数及其应用配套作业文
第2讲导数及其应用 配套作业 一、选择题 1.(2018·成都模拟)已知函数f (x )=x 3 -3ax +14 ,若x 轴为曲线y =f (x )的切线,则a 的值为() A.12B .-12 C .-34D. 14 答案 D 解析 f ′(x )=3x 2 -3a ,设切点坐标为(x 0,0),则 ??? ?? x30-3ax0+14=0,3x2 0-3a =0,解得????? x0=1 2,a =1 4, 故选D. 2.(2018·赣州一模)函数f (x )=12 x 2 -ln x 的递减区间为() A .(-∞,1) B .(0,1) C .(1,+∞) D.(0,+∞) 答案 B 解析 f (x )的定义域是(0,+∞), f ′(x )=x -1 x = x2-1 x , 令f ′(x )<0,解得0<x <1, 故函数f (x )在(0,1)上递减.故选B. 3.(2018·安徽示范高中二模)已知f (x )=ln x x ,则() A .f (2)>f (e)>f (3) B .f (3)>f (e)>f (2) C .f (3)>f (2)>f (e) D .f (e )>f (3)>f (2) 答案 D 解析 f (x )的定义域是(0,+∞), 因为f ′(x )=1-ln x x2 ,所以x ∈(0,e),f ′(x )>0; x ∈(e ,+∞),f ′(x )<0, 故x =e 时,f (x )max =f (e), 而f (2)=ln 22=ln 86,f (3)=ln 33=ln 9 6 , f (e)>f (3)>f (2).故选D. 4.(2018·安徽芜湖模拟)设函数f (x )在R 上可导,其导函数为f ′(x ),且函数y =(1
2018年全国卷理科数学十年真题分类汇编 导数
导数 一.基础题组 1. 【2010新课标,理3】曲线y = 在点(-1,-1)处的切线方程为( ) A .y =2x +1 B .y =2x -1 C .y =-2x -3 D .y =-2x -2 【答案】A 2. 【2008全国1,理6】若函数的图像与函数的图像关于直线 对称,则( ) A . B . C . D . 【答案】B. 【解析】由. 3. 【2012全国,理21】已知函数f (x )满足f (x )=f ′(1)e x -1 -f (0)x + x 2 . (1)求f (x )的解析式及单调区间; (2)若f (x )≥ x 2 +ax +b ,求(a +1)b 的最大值. 【解析】(1)由已知得f ′(x )=f ′(1)e x -1 -f (0)+x . 所以f ′(1)=f ′(1)-f (0)+1,即f (0)=1. 又f (0)=f ′(1)e -1 ,所以f ′(1)=e. 从而f (x )=e x -x + x 2 . 2 x + x (1)y f x = -1y =y x =()f x =21 x e -2x e 21 x e +22 x e +() ()()()212121,1,y x x y x e f x e f x e --=?=-==12 12 12
由于f ′(x )=e x -1+x , 故当x ∈(-∞,0)时,f ′(x )<0; 当x ∈(0,+∞)时,f ′(x )>0. 从而,f (x )在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. (2)由已知条件得e x -(a +1)x ≥b .① (ⅰ)若a +1<0,则对任意常数b ,当x <0,且时,可得e x -(a +1)x <b ,因此①式不成立. (ⅱ)若a +1=0,则(a +1)b =0. 所以f (x )≥ x 2 +ax +b 等价于 b ≤a +1-(a +1)ln(a +1).② 因此(a +1)b ≤(a +1)2 -(a +1)2 ln(a +1). 设h (a )=(a +1)2 -(a +1)2 ln(a +1), 则h ′(a )=(a +1)(1-2ln(a +1)). 所以h (a )在(-1,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减, 故h (a )在处取得最大值. 从而,即(a +1)b ≤. 当,时,②式成立, 11 b x a -< +12 12 e 1-12 e 1-12 =e 1a -e ()2h a ≤ e 2 1 2 =e 1a -12 e 2 b =
(完整版)导数知识点总结及应用
《导数及其应用》知识点总结 一、导数的概念和几何意义 1. 函数的平均变化率:函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为: 2121 ()() f x f x x x --。 2. 导数的定义:设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义,0(,)x a b ∈,若x ?无限趋近于0时,比值00()()f x x f x y x x +?-?=??无限趋近于一个常数A ,则称函数()f x 在0x x =处可导,并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数,记作0()f x '。函数()f x 在0x x =处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。 3. 求函数导数的基本步骤:(1)求函数的增量00()()y f x x f x ?=+?-;(2)求平均变化率:00()()f x x f x x +?-?;(3)取极限,当x ?无限趋近与0时,00()() f x x f x x +?-?无限趋近与一个常数A ,则 0()f x A '=. 4. 导数的几何意义: 函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率。由此,可以利用导数求曲线的切线方程,具体求法分两步: (1)求出()y f x =在x 0处的导数,即为曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率; (2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-。 当点00(,)P x y 不在()y f x =上时,求经过点P 的()y f x =的切线方程,可设切点坐标,由切点坐标得到切线方程,再将P 点的坐标代入确定切点。特别地,如果曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线平行与y 轴,这时导数不存在,根据切线定义,可得切线方程为0x x =。 5. 导数的物理意义: 质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数()S t ,则()V S t '=表示瞬时速度,()a v t '=表示瞬时加速度。 二、导数的运算 1. 常见函数的导数: (1)()kx b k '+=(k , b 为常数); (2)0C '=(C 为常数); (3)()1x '=; (4)2()2x x '=; (5)32()3x x '=; (6)211()x x '=-; (7 )'; (8)1()ααx αx -'=(α为常数);
二轮复习-函数与导数
函数与导数 1.求函数的定义域,关键是依据含自变量x 的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解,如开偶次方根、被开方数一定是非负数;对数式中的真数是正数;列不等式时,应列出所有的不等式,不应遗漏. 对抽象函数,只要对应关系相同,括号里整体的取值范围就完全相同. [问题1] 函数y 的定义域是________. 答案 ??? ?0,14 2.用换元法求解析式时,要注意新元的取值范围,即函数的定义域问题. [问题2] 已知f (cos x )=sin 2x ,则f (x )=________. 答案 1-x 2(x ∈[-1,1]) 3.分段函数是在其定义域的不同子集上,分别用不同的式子来表示对应关系的函数,它是一个函数,而不是几个函数. [问题3] 已知函数f (x )=????? e x ,x <0,ln x ,x >0, 则f ????f ????1e =________. 答案 1e 4.判断函数的奇偶性,要注意定义域必须关于原点对称,有时还要对函数式化简整理,但必须注意使定义域不受影响. [问题4] f (x )=lg (1-x 2) |x -2|-2是________函数(填“奇”“偶”或“非奇非偶”). 答案 奇
解析 由? ???? 1-x 2>0, |x -2|-2≠0得定义域为(-1,0)∪(0,1), f (x )=l g (1-x 2) -(x -2)-2=lg (1-x 2) -x . ∴f (-x )=-f (x ),f (x )为奇函数. 5.弄清函数奇偶性的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反. (2)若f (x )为偶函数,则f (-x )=f (x )=f (|x |). (3)若奇函数f (x )的定义域中含有0,则必有f (0)=0. 故“f (0)=0”是“f (x )为奇函数”的既不充分也不必要条件. [问题5] 设f (x )=lg ????21-x +a 是奇函数,且在x =0处有意义,则该函数为( ) A .(-∞,+∞)上的减函数 B .(-∞,+∞)上的增函数 C .(-1,1)上的减函数 D .(-1,1)上的增函数 答案 D 解析 由题意可知f (0)=0,即lg(2+a )=0, 解得a =-1, 故f (x )=lg 1+x 1-x ,函数f (x )的定义域是(-1,1), 在此定义域内f (x )=lg 1+x 1-x =lg(1+x )-lg(1-x ), 函数y 1=lg(1+x )是增函数,函数y 2=lg(1-x )是减函数,故f (x )=y 1-y 2是增函数.选D. 6.求函数单调区间时,多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接,可用“及”连接,或用“,”隔开.单调区间必须是“区间”,而不能用集合或不等式代替. [问题6] 函数f (x )=1 x 的减区间为________. 答案 (-∞,0),(0,+∞) 7.求函数最值(值域)常用的方法: (1)单调性法:适合于已知或能判断单调性的函数.
近5年高考数学全国卷23试卷分析报告
2013----2017年高考全国卷2、3试卷分析从2012年云南进入新课标高考至今,已有六年时间,数学因为容易拉分,加上难度变幻不定,可以说是我省考生最为害怕的一个学科,第一天下午开考的数学考得如何直接决定着考生第二天的考试情绪。近5年全国卷数学试题从试卷的结构和试卷的难度上逐渐趋于平稳,稳中有新,难度都属于较为稳定的状态。选择、填空题会以基础题呈现,属于中等难度。选择题在前六题的位置,填空题在前二题的位置;解答题属于中等难度,且基本定位在前三题和最后一题的位置。 一、近五年高考数学考点分布统计表:
从近五年数学试题知识点分布及分值分布统计表不难看出,试题坚持对基础知识、数学思想方法进行考查,重点考查了高中数学的主体内容,兼顾考查新课标的新增内容,在此基础上,突出了对考生数学思维能力和数学应用意识的考查,体现了新课程改革的理念。具体
来说几个方面: 1.整体稳定,覆盖面广 高考数学全国卷2、3全面考查了新课标考试说明中各部分的内容,可以说教材中各章的内容都有所涉及,如复数、旋转体、简易逻辑、概率等教学课时较少的内容,在试卷中也都有所考查。有些内容这几年轮换考查,如统计图、线性回归、直线与圆、线性规划,理科的计数原理、二项式定理、正态分布、条件概率等。 2.重视基础,难度适中 试题以考查高中基础知识为主线,在基础中考查能力。理科前8道选择题都是考查基本概念和公式的题型,相当于课本习题的变式题型。填空题前三题的难度相对较低,均属常规题型。解答题的前三道题分别考查解三角形,分布列、数学期望,空间线面位置关系等基础知识,利用空间直角坐标系求二面角,属中低档难度题。 4.全面考查新增内容,体现新课改理念 如定积分、函数的零点、三视图、算法框图、直方图与茎叶图、条件概率、几何概型、全称命题与特称命题等。 5.突出通性通法、理性思维和思想方法的考查 数学思想方法是对数学知识的最高层次的概括与提炼,是适用于中学数学全部内容的通法,是高考考查的核心。数形结合的思想、方程的思想、分类讨论的思想等在高考中每年都会考查。尤其数形结合,每年还专门有一道“新函数”的大致图象问题 6.注重数学的应用和创新
2015高考复习专题五 函数与导数 含近年高考试题
2015专题五:函数与导数 在解题中常用的有关结论(需要熟记): (1)曲线()y f x =在0x x =处的切线的斜率等于0()f x ',切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+ (2)若可导函数()y f x =在0x x =处取得极值,则0()0f x '=。反之,不成立。 (3)对于可导函数()f x ,不等式()f x '0>0<()的解集决定函数()f x 的递增(减)区间。 (4)函数()f x 在区间I 上递增(减)的充要条件是:x I ?∈()f x '0≥(0)≤恒成立 (5)函数()f x 在区间I 上不单调等价于()f x 在区间I 上有极值,则可等价转化为方程 ()0f x '=在区间I 上有实根且为非二重根。 (若()f x '为二次函数且I=R ,则有0?>)。 (6)()f x 在区间I 上无极值等价于()f x 在区间在上是单调函数,进而得到()f x '0≥或 ()f x '0≤在I 上恒成立 (7)若x I ?∈,()f x 0>恒成立,则min ()f x 0>; 若x I ?∈,()f x 0<恒成立,则max ()f x 0< (8)若0x I ?∈,使得0()f x 0>,则max ()f x 0>;若0x I ?∈,使得0()f x 0<,则min ()f x 0<. (9)设()f x 与()g x 的定义域的交集为D 若x ?∈D ()()f x g x >恒成立则有[]min ()()0f x g x -> (10)若对11x I ?∈、22x I ∈,12()()f x g x >恒成立,则min max ()()f x g x >. 若对11x I ?∈,22x I ?∈,使得12()()f x g x >,则min min ()()f x g x >. 若对11x I ?∈,22x I ?∈,使得12()()f x g x <,则max max ()()f x g x <. (11)已知()f x 在区间1I 上的值域为A,,()g x 在区间2I 上值域为B , 若对11x I ?∈,22x I ?∈,使得1()f x =2()g x 成立,则A B ?。 (12)若三次函数f(x)有三个零点,则方程()0f x '=有两个不等实根12x x 、,且极大值大 于0,极小值小于0. (13)证题中常用的不等式: ① ln 1(0)x x x ≤->② ln +1(1)x x x ≤>-()③ 1x e x ≥+ ④ 1x e x -≥-⑤ ln 1 (1)12 x x x x -<>+⑥ 22 ln 11(0)22x x x x <->