高中数学复习专题讲座充要条件的理解及判定方法

高考要求

充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件p 和结论q 之间的关系本节主要是通过不同的知识点来剖析充分必要条件的意义，让考生能准确判定给定的两个命题的充要关系重难点归纳

(1)要理解“充分条件”“必要条件”的概念当“若p 则q ”形式的命题为真时，就记作p ?q ，称p 是q 的充分条件，同时称q 是p 的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假

(2)要理解“充要条件”的概念，对于符号“?”要熟悉它的各种同义词语“等价于”，“当且仅当”，“必须并且只需”，“……，反之也真”等

(3)数学概念的定义具有相称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质

(4)从集合观点看，若A ?B ，则A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 、B 互为充要条件

(5)证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性) 例1已知p|1－

-x |≤2,q:x2－2x+1－m2≤0(m>0),若?p

是?q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围

命题意图本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了知识点的灵活性

知识依托本题解题的闪光点是利用等价命题对题目的文字表述方式进行转化，使考生对充要条件的难理解变得简单明了

错解分析对四种命题以及充要条件的定义实质理解不清晰是解此题的难点，对否命题，学生本身存在着语言理解上的困难

技巧与方法利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决解由题意知

命题若?p 是?q 的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为p 是q 的充分不必要条件 p:|1－

-x |≤2

?－2≤31-x －1≤2?－1≤31

-x ≤3?－2≤x ≤10

q:x2－2x+1－m2≤0?［x － (1－m)］［x －(1+m)］≤0 *∵p 是q 的充分不必要条件，

∴不等式|1－31

-x |≤2的解集是x2－2x+1－m2≤0(m>0)解集的子集又∵m>0∴不等式*的解集为1－m ≤x ≤1+m

∴

???≥≥???

?≥+-≤-9

10121m m m m ，∴m ≥9，∴实数m 的取值范围是［9，+∞)

例2已知数列{an}的前n 项Sn=pn+q(p ≠0,p ≠1),求数列{an}是等比数列的充要条件命题意图本题重点考查充要条件的概念及考生解答充要条件命题时的思维的严谨性

知识依托以等比数列的判定为主线，使本题的闪光点在于抓住数列前n 项和与通项之间的递推关系，严格利用定义去判定

错解分析因为题目是求的充要条件，即有充分性和必要性两层含义，考生很容易忽视充分性的证明技巧与方法由

an=??

?≥-=-)

2()1(11n S S n S n n 关系式去寻找an 与an+1的比值，但同时要注意充分性的证明

解a1=S1=p+q 当n ≥2时，an=Sn －Sn －1=pn －1(p －1)∵p ≠0,p ≠1,∴)

1()1(1---p p p p n n =p

若{an}为等比数列，则

n a a a a 112

+==p ∴

p p p +-)

1(=p,∵p ≠0，∴p －1=p+q ，∴q=－1

这是{an}为等比数列的必要条件

下面证明q=－1是{an}为等比数列的充分条件

当q=－1时，∴Sn=pn －1(p ≠0,p ≠1)，a1=S1=p －1

当n ≥2时，an=Sn －Sn －1=pn －pn －1=pn －1(p －1)∴an=(p －1)pn －1 (p ≠0,p ≠1)

1)1()1(-----=

n n n n p p p p a a =p 为常数∴q=－1时，数列{an}为等比数列即数列{an}是等比数列的充要条件为q=－1

例3已知关于x 的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α、β，证明|α|<2且|β|<2是2|a|<4+b 且|b|<4的充要条件

证明(1）充分性由韦达定理，得|b|=|α·β|=|α|·|β|＜2×2=4

设f(x)=x2+ax+b,则f(x)的图象是开口向上的抛物线又|α|＜2,|β|＜2,∴f(±2)>0

即有???

?>+->++0240

24b a b a 4+b>2a>－(4+b)又|b|＜4?4+b>0?2|a|＜4+b

(2)必要性

由2|a|＜4+b ?f(±2)>0且f(x)的图象是开口向上的抛物线

∴方程f(x)=0的两根α，β同在(－2，2）内或无实根∵α，β是方程f(x)=0的实根， ∴α，β同在(－2，2）内，即|α|＜2且|β|＜2

例4 写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的真假. （1）若x 、y 都是奇数，则x+y 是偶数；（2）若xy=0，则x=0或y=0；

（3）若一个数是质数，则这个数是奇数.

解：（1）命题的否定：x 、y 都是奇数，则x+y 不是偶数，为假命题. 原命题的否命题：若x 、y 不都是奇数，则x+y 不是偶数，是假命题. （2）命题的否定：xy=0则x ≠0且y ≠0，为假命题. 原命题的否命题：若xy ≠0，则x ≠0且y ≠0，是真命题.

（3）命题的否定：一个数是质数，则这个数不是奇数，是假命题. 原命题的否命题：若一个数不是质数，则这个数不是奇数，为假命题.

例5 有A 、B 、C 三个盒子，其中一个内放有一个苹果，在三个盒子上各有一张纸条. A 盒子上的纸条写的是“苹果在此盒内”，B 盒子上的纸条写的是“苹果不在此盒内”， C 盒子上的纸条写的是“苹果不在A 盒内”.

如果三张纸条中只有一张写的是真的，请问苹果究竟在哪个盒子里？解：若苹果在A 盒内，则A 、B 两个盒子上的纸条写的为真，不合题意.

若苹果在B 盒内，则A 、B 两个盒子上的纸条写的为假，C 盒子上的纸条写的为真，符合题意，即苹果在B 盒内. 同样，若苹果在C 盒内，则B 、C 两盒子上的纸条写的为真，不合题意. 综上，苹果在B 盒内. 学生巩固练习

1函数f(x)=x|x+a|+b 是奇函数的充要条件是( )

Aab=0 Ba+b=0 Ca=b Da2+b2=0

2 “a=1”是函数y=cos2ax －sin2ax 的最小正周期为“π”的( ) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既非充分条件也不是必要条件

3 a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a －1)y=a －7平行且不重合的___

4命题A 两曲线F(x,y)=0和G(x,y)=0相交于点P(x0,y0),命题B 曲线F(x,y)+λG(x,y)=0(λ为常数)过点P(x0,y0),则A 是B 的__________条件

5设α，β是方程x2－ax+b=0的两个实根，试分析a>2且b>1是两根α、β均大于1的什么条件？

6已知数列{an}、{bn}满足bn=n na a a n

+++++++ 321221,求证数列{an}成等差数列的充要条件是数列{bn}也是等差数列

7已知抛物线Cy=－x2+mx －1和点A(3，0)，B(0，3)，求抛物线C 与线段AB 有两个不同交点的充要条件 8 p:－2

1.“A ∩B=A ”是A=B 的( ).

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.下列判断正确的是( ).

A.(x+1)(x-2)=0是x=-1的充分条件

B.x 2

＞4是x 2

＞23的必要条件

C.｜x+1｜＜1是-2＜x ＜0的充要条件

D.(a-2)2

+(b+3)2

=0是(a-2)(b+3)=0的必要条件

3.若条件p ∶｜x+1｜＞2；条件q ∶x 2

＜5x-6.则p 是q 的( ).

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 4.已知A 是B 的必要条件，B 是C 的充分条件，则A 是C 的( )

A.充分条件

B.必要条件

C.充要条件

D.无法判断 5.“0＜x ＜5”是“｜x-2｜＜3”的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件 6.“xy ＞0”是“｜x+y ｜=｜x ｜+｜y ｜”的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件二、填空题

(从“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出适当的一种填空) 1.复合命题“非p ”为假命题是复合命题“p 或q ”为真命题的 .

2.k ＞4,b ＜5是一次函数y=(k-4)x+b-5的图像交y 轴于负半轴，交x 轴于正半轴的 .

3.??

?>>+4,4xy y x 是???>>2

2y x 的

三、解答题

1.分别举出四个例子，说明p 是q 的“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”，并说明理由.

2.已知全集R ，A=｛x ｜｜x-3｜＞6｝，B=｛x ｜｜x ｜＞a,a ∈N +

｝.当a 为何值时.

①A 是B 的充分而不必要条件；②A 是B 的必要而不充分条件；③A 是B 的充要条件.

3.求关于x 的一元二次不等式ax 2

-ax+1＞0对一切x ∈R 都成立的充要条件是什么.

4.已知p ∶x ∈Z ，y ∈Z ，m=x 2-y 2

； q ∶k ∈Z,m=2K+1,或m=4k.求证：p 是q 的充分条件. 【素质优化训练】

1.设关于x 的一元二次不等式mx 2

-mx+1＞0对一切实数均成立，求a 的取值范围.

2.是否存在实数p ，使“4x+p ＜0”是“x 2

-x-2＞0”的充分条件?如果存在，求出p 的取值范围.是否存在实数p ，

使“4x+p ＜0”是“x 2

-x-2＞0”的必要条件.如果存在，求出p 的取值范围. 【生活实际运用】

在下列电路图中，闭合开关A 是灯泡B 亮的什么条件：

如图(1)所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的条件；如图(2)所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的条件；如图(3)所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的

条件；

如图(4)所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的

条件；

【同步达纲练习】

一、1.B 2.C 3.A 4.D 5.A 6.A

二、1.充分而不必要条件. 2.充要条件. 3.必要而不充分条件.

三、1.略.2.①a=3,2,1.提示：A ?B ，结合数轴观察. ②｛a ｜a ≥9,a ∈N +

｝.提示：A ?B.

③这样的a 不存在. 3.0＜a ＜4.提示：分a ＞0，a ＜0两种情况讨论.4.略【素质优化训练】 1.0＜a ＜4.

2.p ≥4时，“4x+p ＜0”是“x 2-x-2＞0”的充分条件，不存在实数p ，使“4x+p ＜0”是“x 2

-x-2＞0”的必要条件. 【生活实际运用】图(1)：充分但不必要条件；图(2)：必要但不充分条件；图(3)：充要条件；图(4)：既不充分也不必要条件.

参考答案

1解析若a2+b2=0,即a=b=0,此时f(－x)=(－x)|x+0|+0=－x ·|x|=－(x|x+0|+b)=－(x|x+a|+b)=－f(x) ∴a2+b2=0是f(x)为奇函数的充分条件，又若f(x)=x|x+a|+b 是奇函数，即f(－x)=(－x)|(－x)+a|+b=－f(x),则必有a=b=0,即a2+b2=0∴a2+b2=0是f(x)为奇函数的必要条件答案 D

2解析若a=1,则y=cos2x －sin2x=cos2x,此时y 的最小正周期为π故a=1是充分条件，反过来，由y=cos2ax －sin2ax=cos2ax 故函数y 的最小正周期为π,则a=±1,故a=1不是必要条件答案 A

3解析当a=3时，直线l1:3x+2y+9=0;直线l2:3x+2y+4=0∵l1与l2的A1∶A2=B1∶B2=1∶1，而C1∶C2=9∶4≠1, 即C1≠C2,∴a=3?l1∥l2答案充要条件

4解析若P(x0,y0)是F(x,y)=0和G(x,y)=0的交点，则F(x0,y0)+λG(x0,y0)=0，即F(x,y)+λG(x,y)=0，过P(x0,y0); 反之不成立答案充分不必要

5解根据韦达定理得a=α+β,b=αβ判定的条件是p:??

?>>1

2b a ，结论是

q:??

?>>11βα

(注意p 中a 、b 满足的前提是Δ=a2－4b ≥0)

(1)由??

?>>11βα，得

a=α+β>2,b=αβ>1,∴q ?p

(2)为证明p

q,可以举出反例取α=4,β=21,它满足a=α+β=4+21>2,b=αβ=4×21

=2>1,但q 不成立

综上讨论可知a>2,b>1是α>1,β>1的必要但不充分条件 6证明①必要性

设{an}成等差数列，公差为d,∵{an}成等差数列

1212(12)[1223(1)]1231n n a a na a n d n n b n n n +++++++?+?++-∴=

=+++++++

(1)3a n d

=+-? 从而bn+1－bn=a1+n ·32d －a1－(n －1) 32d=32d 为常数故{bn}是等差数列，公差为32

②充分性:

设{bn}是等差数列，公差为d ′,则bn=(n －1)d ′ ∵bn(1+2+…+n)=a1+2a2+…+nan

①

bn －1(1+2+…+n －1)=a1+2a2+…+(n －1)an ②

①－②得nan=2)

1(2)1(--+n n b n n n bn －1

111111113

[(1)][(2)](1)22222n n n n n n n a b b b n d b n d b n d -+-+-'''=

-=+--+-=+-?从而得an+1－an=23d ′为常数，故{an}是等差数列

综上所述，数列{an}成等差数列的充要条件是数列{bn}也是等差数列 7解 ①必要性

由已知得，线段AB 的方程为y=－x+3(0≤x ≤3)由于抛物线C 和线段AB 有两个不同的交点，

所以方程组??

?≤≤+-=-+-=)30(312x x y mx x y *有两个不同的实数解消元得

x2－(m+1)x+4=0(0≤x ≤3)

设

f(x)=x2－(m+1)x+4,则有2

(1)440(0)40(3)93(1)401032m f f m m ??=+-?>?

=≥??

?=-++≥?

+?<

33m ?<≤

②充分性: 当3＜x ≤310时，x1=2)1(1216)1(12

2+-+>

-+-+m m m m >0

216

)1310

(1310216)1(122

2=-+++≤-+-+=m m x

∴方程x2－(m+1)x+4=0有两个不等的实根x1,x2,且0＜x1＜x2≤3,方程组*有两组不同的实数解

因此，抛物线y=－x2+mx －1和线段AB 有两个不同交点的充要条件是3＜m ≤310

8解若关于x 的方程x2+mx+n=0有2个小于1的正根，设为x1,x2

则0＜x1＜1,0＜x2＜1,有0＜x1+x2＜2且0＜x1x2＜1,根据韦达定理 ???<<<-

?=-=+102

121n m n x x m x x 得有－2＜m ＜0;0＜n ＜1即有q ?p 反之，取m=－21

491,02131,21,3

12?

-=?=+-=x x n ＜0 方程x2+mx+n=0无实根，所以p q 综上所述，p 是q 的必要不充分条件

高三数学复习专题讲座

2010届高三数学复习专题讲座数列复习建议江苏省睢宁高级中学北校袁保金数列是高中数学的重点内容之一，是初等数学与高等数学的重要衔接点，由于它既具有函数特征，又能构成独特的递推关系，使得它既与高中数学其他部分的知识有着密切的联系，又有自己鲜明的特点．而且具有内容的丰富性、应用的广泛性和思想方法的多样性，所以数列一直是高考考查的重点和热点．纵观江苏省近几年高考数学试卷，数列都占有相当重要的地位，一般情况下都是以一道填空题和一道解答题形式出现，填空题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式等内容，对基本的计算技能要求比较高，具有“小、巧、活、新”的特点，解答题属于中高档难度的题目，甚至是压轴题．具有综合性强、变化多、难度较大特点，重点以等差数列和等比数列内容为主，考查数列内在的本质的知识和推理能力，运算能力以及分析问题和解决问题的能力．一、考纲解读 2、考纲解读（1）考纲中对数列的有关概念要求为A级，也就是说只要了解数列概念的基本含义，并能解决相关的简单问题．（2）等差数列和等比数列要求都为C级，2010年数学科考试说明中共列出八个C级要求的知识点，等差数列、等比数列占了其中两个，说明这两个基本数列在高考中的地位相当重要．具体要求我们对这两个数列的定义、性质、通项公式以及前n项和公式需要有深刻的认识，能够

系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题．这也说明涉及等差数列和等比数列的综合题在高考中一定出现．（3）由于数列这一章含有两个C级要求的知识点，可以命制等差数列、等比数列以及它们之间相互联系的综合题，也可以命制数列与函数、方程、不等式等知识点相融合的综合题，以及数列应用问题，着重考查思维能力、推理论证能力以及分析问题，解决实际问题的能力．二、考题启示1、考题分布自2004年江苏省单独命题以来，对数列知识的考查一直是命题的重 2、考题启示（1）数列在高考试卷中占的比重较大，分值约为13%左右，呈一大一小趋势，对等差数列和等比数列都有考查，纵观近几年江苏省高考试题，我们会发现江苏考题与全国卷、其他省市卷数列题有很大区别，具有十分明显的特色，对数列的考查不与其他知识综合，同时也回避了递推数列和不等式，主要揭示等差数列和等比数列内在的本质性的知识，形成江苏卷的一大特色．因此复习中在递推数列方面，特别是利用递推数列求通项，要大胆取舍，不要深挖．（2）客观题主要考查了等差、等比数列的基本概念和性质，突出了“小、巧、活、新”的特点，属容易题或中档题．主观题年年都考，且以中等和难度较大的综合题出现，常放在压轴题的位置．回顾江苏省单独命题以来，对数列的考查可以称得上到了极致．如2007年、2008年在倒数第二题，2005年、2006年在最后一题，2009年数列题前移到第17题，以中等题形式出现，这一显著地变化似乎一种信号，具有一定的导向作用．

高一数学必修复习计划

高一数学必修复习计划高一数学必修复习计划(一) 一、指导思想做好高一数学复习课教学，对大面积提高教学质量起着重要作用。高一数学期末复习应达到以下目的： (1)使所学知识系统化、结构化、让学生将一学期来的数学知识连成一个有机整体，更利于学生理解; (2)少讲多练，巩固基本技能; (3)抓好方法教学，归纳、总结解题方法; (4)做好综合题训练，提高学生综合运用知识分析问题的能力。二、明确复习范围及重点范围：必修1与必修4 重点：必修1：函数的基本性质，指数函数，对数函数;必修4：三角函数，平面向量。三、复习要求 1、重点复习掌握核心概念、基础知识、强调作图、解题规范; 2、围绕综合卷加强对差生的个别辅导、面批，争取提高合格率。四、复习要点：掌握各章知识结构和要点、知识点、澄清概念、解决疑难问题。习题归类，解题思路、方法，从解题中对知识加深理解、掌握，提高分析问题，解决问题的能力。五、复习方法

1、根据学生的薄弱点，有针对，有系统地设计4份复习案，其中集合与函数2份，三角函数与平面向量2份，综合训练试卷4份。 2、利用星期二、五早读课时间对优生进行补短，主要是补基础知识，看学生基础知识有没有记住，记住了会不会应用，再找一些基本题让学生练。 3、时间很紧，要求我们稳扎稳打，让每一节课都高效，每节课的导学案都当堂完成，晚自习让学生处理更多的典型题。高一数学必修复习计划(二) 一、明确复习范围及重点范围：必修一、必修二重点：必修1：函数的基本性质，指数函数，对数函数必修2：空间几何体(三视图面积、体积)，直线与平面之间的位置关系(平行、垂直)，直线方程，圆的方程。二、复习建议： (一)回归课本弄懂基本概念。先把你以前学过的却不懂的知识，概念，定理再结合课本、笔记复习，直到弄懂为止. (二)弄会基本方法。复习课上，老师会把最基本，最重要的思想、方法会再过一遍，这时候一定认真听(为什么有的同学好像平时没怎么好好学，可是成绩不错呢，就是因为他抓紧了这段时间)，当然，既然是“过”一遍，不可能还像刚开始讲课那样详细，因此课后你一定要对老师讲的方法做针对性练习，真正把把数学复习计划落实到实处。 (三)勤动手。有这么一种观点：数学还用什么复习计划啊?该会的肯定会，不会的复习也不会。对此种论调一定要辩证看待，即使你平时学的不错。因为，有的题目是你以前会做，但是过这么长时间了，有可能思路忘了;有的题目你有思路，但是具体的一些解题细节不一定很清楚，所以经常会发生有的同学考完试说：题都会做，

(推荐)高中数学七大数学基本思想方法

高中数学七大数学基本思想方法第一：函数与方程思想（1）函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用。（2）方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查。第二：数形结合思想（1）数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面（2）在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系，形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化。第三：分类与整合思想（1）分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法。（2）从具体出发，选取适当的分类标准。（3）划分只是手段，分类研究才是目的。（4）有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性。（5）含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性。第四：化归与转化思想（1）将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决题化归为已解决问题。（2）灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法。（3）高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化。第五：特殊与一般思想（1）通过对个例认识与研究，形成对事物的认识。（2）由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论。（3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程。（4）构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程。（5）高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向。第六：有限与无限的思想（1）把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路。（2）积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向。（3）立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用。（4）随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查。第七：或然与必然的思想

高中数学复习专题讲座第讲直线方程及其应用

高中数学复习专题讲座第讲直线方程及其应用 Last revised by LE LE in 2021

题目高中数学复习专题讲座直线方程及其应用高考要求直线是最简单的几何图形，是解析几何最基础的部分，本章的基本概念；基本公式；直线方程的各种形式以及两直线平行、垂直、重合的判定都是解析几何重要的基础内容应达到熟练掌握、灵活运用的程度，线性规划是直线方程一个方面的应用，属教材新增内容，高考中单纯的直线方程问题不难，但将直线方程与其他知识综合的问题是学生比较棘手的重难点归纳 1 对直线方程中的基本概念，要重点掌握好直线方程的特征值(主要指斜率、截距)等问题；直线平行和垂直的条件；与距离有关的问题等 2 对称问题是直线方程的一个重要应用，中学里面所涉及到的对称一般都可转化为点关于点或点关于直线的对称中点坐标公式和两条直线垂直的条件是解决对称问题的重要工具 3 线性规划是直线方程的又一应用线性规划中的可行域，实际上是二元一次不等式(组)表示的平面区域求线性目标函数z =ax +by 的最大值或最小值时，设t =ax +by ,则此直线往右(或左)平移时，t 值随之增大(或减小)，要会在可行域中确定最优解 4 由于一次函数的图象是一条直线，因此有关函数、数列、不等式、复数等代数问题往往借助直线方程进行，考查学生的综合能力及创新能力典型题例示范讲解例1某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为α(90°≤α＜180°)镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m,b m,(a ＞b ) 问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳命题意图本题是一个非常实际的数学问题，它不仅考查了直线的有关概念以及对三角知识的综合运用，而且更重要的是考查了把实际问题转化为数学问题的能力知识依托三角函数的定义，两点连线的斜率公式，不等式法求最值错解分析解决本题有几处至关重要，一是建立恰当的坐标系，使问题转化成解析几何问题求解；二是把问题进一步转化成求tan ACB 的最大值如果坐标系选择不当，或选择求sin ACB 的最大值都将使问题变得复杂起来技巧与方法欲使看画的效果最佳，应使∠ACB 取最大值，欲求角的最值，又需求角的一个三角函数值解建立如图所示的直角坐标系，AO 为镜框边，AB 为画的宽度，O 为下边缘上的一点，在x 轴的正半轴上找一点C (x ,0)(x ＞0),欲使看画的效果最佳，应使∠ACB 取得最大值由三角函数的定义知 A 、B 两点坐标分别为(a cos α,a sin α)、 (b cos α,b sin α),于是直线AC 、BC 的斜率分别为 k AC =tan xCA = x a a -ααcos sin ,.cos sin tan x b b xCB k BC -==αα 于是 tan ACB = AC BC AC BC k k k k ?+-1αα ααcos )(sin )( cos )(sin )(2?+-+?-= ++-?-=b a x x ab b a x x b a ab x b a

高中数学复习专题讲座(第42讲)应用性问题

题目高中数学复习专题讲座应用性问题高考要求数学应用题是指利用数学知识解决其他领域中的问题高考对应用题的考查已逐步成熟，大体是三道左右的小题和一道大题，注重问题及方法的新颖性，提高了适应陌生情境的能力要求重难点归纳 1 解应用题的一般思路可表示如下：数学解答数学问题结论问题解决数学问题实际问题 2 解应用题的一般程序（1）读阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础（2）建将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关（3）解求解数学模型，得到数学结论一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程（4）答将数学结论还原给实际问题的结果 3 中学数学中常见应用问题与数学模型（1）优化问题实际问题中的“优选”“控制”等问题，常需建立“不等式模型”和“线性规划”问题解决（2）预测问题经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决（3）最（极）值问题工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”，转化为求函数的最值（4）等量关系问题建立“方程模型”解决（5）测量问题可设计成“图形模型”利用几何知识解决典型题例示范讲解例1为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱（如图），污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a 、b 的乘积ab 成反比，现有制箱材料60平方米，问当a 、b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A 、B 孔的面积忽略不计）？ B A

高一数学期末复习资料

复习指南 1．注重基础和通性通法在平时的学习中，应立足教材，学好用好教材，深入地钻研教材，挖掘教材的潜力，注意避免眼高手低，偏重难题，搞题海战术，轻视基础知识和基本方法的不良倾向，当然注重基础和通性通法的同时，应注重一题多解的探索，经常利用变式训练和变式引申来提高自己的分析问题、解决问题的能力。 2.注重思维的严谨性平时学习过程中应避免只停留在“懂”上，因为听懂了不一定会，会了不一定对，对了不一定美。即数学学习的五种境界：听——懂——会——对——美。我们今后要在第五种境界上下功夫，每年的高考结束，结果下来都可以发现我们宿迁市的考生与南方的差距较大，这就是其中的一个原因。另外我们的学生的解题的素养不够，比如仅仅一点“规范答题”问题，我们老师也强调很多遍，但作为学生的你们又有几人能够听进去！希望大家还是能够做到我经常所讲的做题的“三观”： 1. 审题观 2. 思想方法观 3. 步骤清晰、层次分明观 3. 注重应用意识的培养注重培养用数学的眼光观察和分析实际问题，提高数学的兴趣，增强学好数学的信心，达到培养创新精神和实践能力的目的。 4.培养学习与反思的整合建构主义学习观认为知识并不是简单的由教师或者其他人传授给学生的，而只能由学生依据自身已有的知识、经验，主动地加以建构。学习是一个创造的过程，一个批判、选择、和存疑的过程，一个充满想象、探索和体验的过程。你不想学，老师强行的逼迫是不容易的或者说是作用不大，俗话说“强扭的瓜不甜”嘛！数学学习不但要对概念、结论和技能进行记忆，积累和模仿，而且还要动手实践，自主探索，并且在获得知识的基础上进行反思和修正。（这也就是我们经常将让大家一定要好好预习，养成自学的好习惯。）记得有一位中科院的教授曾经给“科学”下了一个定义：科学就是以怀疑和接纳新知识作为进步的标准的一门学问，仔细想来确实很有道理！所以我们在平时学习中要注意反思，只有这样才能使内容得到巩固，知识的得到拓展，能力得到提高，思维得到优化，创新能力得到真正的发展，希望大能够让数学反思成为我们的自然的习惯！ 5.注重平时的听课效率听课效率高不仅可以让自己深刻的理解知识，而且事半功倍，可以省好多的时间。而有些同学则认为上课时听不到什么，索性就不听，抓紧课堂上的每一点时间做题，多做几道题心里就踏实。这种认识是不科学的，想象如果上课没有用的话，国家还开办学校干嘛？只要印刷课本就足够了，学生买了书就可以自己学习到时候参加考试就行了。想想好多东西还是在课堂上聆听的，听听老师对问题的分析和解题技巧，老师是如何想到的，与自己预习时的想法比较。课堂上记下比较重要的东西，更重要的是跟着老师的思路，注重老师对题目的分析过程。课后宁愿花时间去整理笔记，因为整理笔记实际上是一种知识的整合和再创造！回忆课堂上老师是怎样讲的，自己在整理时有比较好的想法，

高中数学函数解题技巧方法总结(高考)

高中数学函数知识点总结 1. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) 2. 求函数的定义域有哪些常见类型？ ()() 例：函数的定义域是 y x x x = --432 lg ()()()（答：，，，）022334Y Y 函数定义域求法： ● 分式中的分母不为零； ● 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； ● 指数式的底数大于零且不等于一；对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。 ● 正切函数x y tan = ??? ??∈+≠∈Z ππk k x R x ,2,且 ● 余切函数x y cot = ()Z π∈≠∈k k x R x ,,且 ● 反三角函数的定义域函数y ＝arcsinx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是，函数y ＝arccosx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] ，函数y ＝arctgx 的定义域是 R ，值域是.，函数y ＝arcctgx 的定义域是 R ，值域是 (0, π) . 当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。 3. 如何求复合函数的定义域？ [] 的定，则函数，，的定义域是如：函数)()()(0)(x f x f x F a b b a x f -+=>-> 义域是_____________。 [] （答：，）a a - 复合函数定义域的求法：已知)(x f y =的定义域为[]n m ,，求[])(x g f y =的定义域，可由n x g m ≤≤)(解出x 的范围，即为[])(x g f y =的定义域。例若函数)(x f y =的定义域为?? ? ???2,21，则)(log 2x f 的定义域为。分析：由函数)(x f y =的定义域为?? ? ???2,21可知：221≤≤x ；所以)(log 2x f y =中有2log 212≤≤x 。解：依题意知： 2log 2 1 2≤≤x 解之，得 42≤≤x ∴ )(log 2x f 的定义域为{} 42|≤≤x x

(新)高中数学复习专题一---函数图象问题

专题一函数图象数形结合是中学数学的重要的数学思想方法，尤其是函数的图象更是历年高考的热点.函数图象是函数的一种表达形式，形象的显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题的结果的重要工具. 一、知识方法 1．函数图象作图方法（1）描点法：列表、描点（注意关键点：如图象与x 、y 轴的交点，端点，极值点等））、连线（注意关键线：如；对称轴，渐近线等）（2）利用基本函数图象变换。 2．图象变换（由一个图象得到另一个图象）：平移变换、对称变换和伸缩变换等。（1）平移变换 ① 水平平移：函数()y f x a =+的图象可以把函数()y f x =的图象沿x 轴方向向左 (0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到； ② 竖直平移：函数()y f x a =+的图象可以把函数()y f x =的图象沿y 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到．（2）对称变换 ① 函数()y f x =-的图象可以将函数()y f x =的图象关于y 轴对称即可得到； ② 函数()y f x =-的图象可以将函数()y f x =的图象关于x 轴对称即可得到； ③ 函数()y f x =--的图象可以将函数()y f x =的图象关于原点对称即可得到；（3）翻折变换 ① 函数|()|y f x =的图象可以将函数()y f x =的图象的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到； ② 函数(||)y f x =的图象可以将函数()y f x =的图象右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到．（4）伸缩变换 ① 函数()y af x =(0)a >的图象可以将函数()y f x =的图象中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到； ② 函数()y f ax =(0)a >的图象可以将函数()y f x =的图象中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(01a <<)或压缩(1)a >为原来的 1 a 倍得到． 3．函数图象的对称性：对于函数)(x f y =，若对定义域内的任意x 都有 ①)()(x a f x a f +=-（或))2()(x a f x f -=，则)(x f 的图象关于直线a x =对称； ②b x a f x a f 2)()(=++-（或)2)2()(b x a f x f =-+，，则)(x f 的图象关于点),(b a P 对称. 4、熟练掌握基本初等函数（如正、反比例函数，一次、二次函数，指数、对数函数，幂函数，三角函数）的图象 5、作函数图象的一般步骤：（1）求出函数的定义域；（2）化简函数式；（3）讨论函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性）以及图像上的特殊点、线（如极值点、渐近线、对称轴等）；（4）利用基本函数的图像（5）利

高中数学复习专题讲座极限的概念及其运算

高中数学复习专题讲座极限的概念及其运算高考要求极限的概念及其渗透的思想，在数学中占有重要的地位，它是人们研究许多问题的工具旧教材中原有的数列极限一直是历年高考中重点考查的内容之一本节内容主要是指导考生深入地理解极限的概念，并在此基础上能正确熟练地进行有关极限的运算问题重难点归纳 1 学好数列的极限的关键是真正从数列的项的变化趋势理解数列极限学好函数的极限的关键是真正从函数值或图象上点的变化趋势理解函数极限 2 运算法则中各个极限都应存在都可推广到任意有限个极限的情况，不能推广到无限个在商的运算法则中，要注意对式子的恒等变形，有些题目分母不能直接求极限 3 注意在平时学习中积累一些方法和技巧，如 )1|(|0lim ,0)1(lim <==-∞→∞→a a n n n n n ???? ? ????><==++++++--∞→时当不存在时当时当l k l k l k b a b x b x b a x a x a l l k k k n ,,0,lim 0 1 1 10110 典型题例示范讲解例1已知lim ∞ →x (12+-x x －ax －b )=0,确定a 与b 的值命题意图在数列与函数极限的运算法则中，都有应遵循的规则，也有可利用的规律，既有章可循，有法可依因而本题重点考查考生的这种能力也就是本知识的系统掌握能力知识依托解决本题的闪光点是对式子进行有理化处理，这是求极限中带无理号的式子常用的一种方法错解分析本题难点是式子的整理过程繁琐，稍不注意就有可能出错技巧与方法有理化处理解 b ax x x b ax x x b ax x x x x +++-+-+-=--+-∞ →∞ →1)()1(lim )1(lim 2 2 22 b ax x x b x ab x a x +++--++--=∞ →1) 1()21()1(lim 2 222 要使上式极限存在，则1－a 2=0, 当1－a 2=0时， 1) 21(1)21(1111)21(lim 1)1()21(lim 22 2 22=++-++-=+++--++-=+++--+--=∞→∞→a ab a ab a x b x x x b ab b ax x x b x ab x x 由已知得上式 ∴

高中数学竞赛专题讲座---竞赛中的数论问题

竞赛中的数论问题的思考方法一. 条件的增设对于一道数论命题，我们往往要首先排除字母取零值或字母取相等值等“平凡”的情况，这样，利用字母的对称性等条件，往往可以就字母间的大小顺序、整除性、互素性等增置新的条件，从而便于运用各种数论特有手段。 1. 大小顺序条件与实数范围不同，若整数x ，y 有大小顺序x m ,而令n =m +u 1，n >u 1≥1，得-2 (m -1mu 1)(22112=--u mu m 。同理，又可令m = u 1+ u 2，m >u 2≥1。如此继续下去将得u k+1= u k =1，而11+-+=i i i u u u ，i ≤k 。故n m u u u u k k ,,,,,,121 +是不大于1981的裴波那契数，故m =987，n =1597。例2. （匈牙利—1965）怎样的整数a ，b ，c 满足不等式?233222c b ab c b a ++<+++ @ 解：若直接移项配方，得01)1()12(3)2(222<--+-+-c b b a 。因为所求的都是整数，所以原不等式可以改写为：c b ab c b a 234222++≤+++，变形为：0)1()12 (3)2(222≤-+-+-c b b a ，从而只有a =1， b =2， c =1。 2. 整除性条件对于整数x ，y 而言，我们可以讨论其整除关系：若x |y ，则可令y =tx ；若x ?y ，则可令y =tx +r ，0，则q a b +≥。结合高斯函数，设n 除以k ，余数为r ，则有r k k n n +?? ????=。还可以运用抽屉原理，为同余增设一些条件。整除性与大小顺序结合，就可有更多的特性。例3. 试证两相继自然数的平方之间不存在自然数a q ）由p ，q 的互素性易知必有q |a ，q |b 。这样，由b >a 即得q a b +≥。（有了三个不等式，就可对 q p 的范围进行估计），从而q n n q a d b d q p q q q ++<+≤=<+=+22)1(111。于是将导致矛盾的结果：0)(2<-q n 。这里，因为a ，b 被q 整除，我们由b >a 得到的不仅是b ≥a +1，而是更强的条件b ≥a +q 。例4. （IMO-25）设奇数a ，b ，c ，d 满足0