相似三角形的存在性问题解题策略

相似三角形的存在性问题解题策略
相似三角形的存在性问题解题策略

中考数学压轴题解题策略(2)

相似三角形的存在性问题解题策略

《挑战压轴题·中考数学》的作者 上海 马学斌

专题攻略

相似三角形的判定定理有3个,其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件,因此探求两个三角形相似的动态问题,一般情况下首先寻找一组对应角相等.

判定定理2是最常用的解题依据,一般分三步:寻找一组等角,分两种情况列比例方程,解方程并检验,如例题1、2、3、4.

应用判定定理1解题,先寻找一组等角,再分两种情况讨论另外两组对应角相等,如例题6.

应用判定定理3解题不多见,如例题5,根据三边对应成比例列连比式解方程(组). 例题解析

例? 如图1-1,抛物线213482

y x x =-+与x 轴交于A 、B 两点(A 点在B 点左侧),与y 轴交于点C .动直线EF (EF //x 轴)从点C 开始,以每秒1个单位的速度沿y 轴负方向平移,且分别交y 轴、线段BC 于E 、F 两点,动点P 同时从点B 出发,在线段OB 上以每秒2个单位的速度向原点O 运动.是否存在t ,使得△BPF 与△ABC 相似.若存在,试求出t 的值;若不存在,请说明理由.

图1-1

【解析】△BPF 与△ABC 有公共角∠B ,那么我们梳理两个三角形中夹∠B 的两条边.

△ABC 是确定的.由213482

y x x =

-+,可得A (4, 0)、B (8, 0)、C (0, 4).

于是得到BA =4,BC =12CE CO EF OB ==. △BPF 中,BP =2t ,那么BF 的长用含t 的式子表示出来,问题就解决了.

在Rt △EFC 中,CE =t ,EF =2t ,所以CF .

因此)BF t ==-.

于是根据两边对应成比例,分两种情况列方程: ①当BA BP

BC BF ==.解得43t =(如图1-2).

②当BA BF

BC BP ==.解得207t =(如图1-3).

图1-2 图1-3 例? 如图2-1,在平面直角坐标系中,顶点为M 的抛物线y =ax 2+bx (a >0)经过点A 和x 轴正半轴上的点B ,AO =BO =2,∠AOB =120°.

(1)求这条抛物线的解析式;

(2)连结OM ,求∠AOM 的大小;

(3)如果点C 在x 轴上,且△ABC 与△AOM 相似,

求点C 的坐标.

图2-1

【解析】△ABC 与△AOM 中相等的一组角在哪里呢?

本题由简到难,层层深入.第(1)题求出抛物线的解析式,得到顶点M 的坐标,为第

(2)题求∠AOM 的大小作铺垫;求得了∠AOM 的大小,第(3)题暗示了要在△ABC 中寻找与∠AOM 相等的角.

(1)如图2-2,过点A 作AH ⊥y 轴,垂足为H .容易得到A (1-.

再由A (1-、B (2,0)两点,可求得抛物线的解析式为2y x x =.

(2)由221)y x x ==-M (1,.

所以tan BOM ∠=

.所以∠BOM =30°.所以∠AOM =150°.

图2-2

(3)由A (1-、B (2,0),可得∠ABO =30°.

因此当点C 在点B 右侧时,∠ABC =∠AOM =150°.

所以△ABC 与△AOM 相似,存在两种情况:

①当BA OA

BC OM ==时,2BC ===.此时C (4,0)(如图2-3).

②当

BC OA BA OM ==时,6BC ===.此时C (8,0)(如图2-4).

图2-3 图2-4

例? 如图3-1,抛物线y =ax 2+bx -3与x 轴交于A (1, 0)、B (3, 0)两点,与y 轴交于点D ,顶点为C .

(1)求此抛物线的解析式;

(2)在x 轴下方的抛物线上是否存在点M ,过M 作MN ⊥x 轴于点N ,使以A 、M 、N 为顶点的三角形与△BCD 相似?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.

图3-1

【解析】△AMN 是直角三角形,因此必须先证明△BCD 是直角三角形.一般情况下,根据直角边对应成比例分两种情况列方程.

(1)抛物线的解析式为y =-x 2+4x -3.

(2)由y =-x 2+4x -3=-(x -2)2+1,得D (0,-3),C (2, 1).

如图3-2,由B (3, 0)、D (0,-3)、C (2, 1),可知∠CBO =45°,∠DBO =45°.

所以∠CBD =90°,且13

BC BD ==.

图3-2 图3-3 图3-4

设点M 、N 的横坐标为x ,那么NM =-y M ,而NA 的长要分N 在A 的右边或左边两种情况,因此列方程要“两次分类”:

当N 在A 右侧时,NA =x -1,分两种情况列方程: ①当3NA BD NM BC ==时,13(1)(3)x x x -=--.解得103

x =.此时M 107(,)39-(如图3-3). ②当13

NA BC NM BD ==时,11(1)(3)3x x x -=--.解得x =6.此时M (6,-15)(如图3-5). 当N 在A 左侧时,NA =1-x ,也要分两种情况列方程: ①当

3NA BD NM BC ==时,13(1)(3)x x x -=--.解得83

x =>1,不符合题意(如图3-4). ②当13NA BC NM BD ==时,11(1)(3)3x x x -=--.解得x =0,此时M (0,-3)(如图3-6).

图3-5 图3-6

例? 如图4-1,在平面直角坐标系中,A (8,0),B (0,6),点C 在x 轴上,BC 平分∠OBA .点P 在直线AB 上,直线CP 与y 轴交于点F ,如果△ACP 与△BPF 相似,求直线CP 的解析式.

图4-1

【解析】首先求得点C (3,0).△ACP 与△BPF 中,相等的角在哪里啊?

①如图4-2,当点P 在线段AB 上时,△ACP 与△BPF 中,∠APC 与∠BPF 是邻补角,如果这两个邻补角一个是锐角,一个是钝角,两个三角形怎么可能相似呢?因此CP 与AB 是垂直的.可以求得F (0,-4),于是直线CF (CP )为443

y x =-. ②如图4-3,当点P 在AB 的延长线上时,△ACP 与△BPF 有公共角∠P .于是∠OFC =∠PFB =∠A ,可以求得F (0, 4),因此直线CF (CP )为443y x =-

+.

③如图4-4,当点P 在BA 的延长线上时,∠B 与∠PCA 不可能相等.在△AOB 中,根据大边对大角,∠B >∠BAO ;∠BAO 又是△PCA 的一个外角,∠BAO >∠PCA .

图4-2 图4-3 图4-4

例? 如图5-1,二次函数y =x 2+3x 的图象经过点A (1,a ),线段AD 平行于x 轴,交抛物线于点D .在y 轴上取一点C (0, 2),直线AC 交抛物线于点B ,连结OA 、OB 、OD 、BD .求坐标平面内使△EOD ∽△AOB 的点E 的坐标;

图5-1

【解法一】点A 、D 、B 都是确定的,可以求得A (1, 4),D (-4, 4),B (-2,-2).

所以AO =

,BO =

,AB =

DO =.

△EOD ∽△AOB ,对应边已经确定,因此我们可以根据判定定理3列方程. 由EO OD DE AO OB BA ==

==

.所以EO =

DE = 设点E 的坐标为(x , y ),根据EO 2=68,DE 2=180,列方程组222268,(4)(4)180.x y x y ?+=??++-=??

解得118,2,x y =??=-? 22

2,8,x y =??=-? 所以点E 的坐标为(8,-2)或(-2, 8).

上面的解题过程是“盲解”,我们并不明白两个三角形的位置关系.

【解法二】如图5-2,△AOB 是确定的,△AOB 与△EOD 有公共点O ,OB ∶OD =1∶2,∠BOD =90°.

如果△EOD ∽△AOB ,我们可以把△AOB 绕着点O 顺时针旋转,使得点B ′落在OD 上,此时旋转角为90°,点B ′恰好落在OD 的中点.

按照这个运动规则,点A (1, 4) 绕着点O 顺时针旋转90°,得到点A ′(4,-1),点A ′是线段OE 的中点,因此点E 的坐标为(8,-2).

如图5-3,点E (8,-2)关于直线OD (即直线y =-x )对称的点为E ′(2,-8).

图5-2 图5-3

例? 如图6-1,在△ABC 中,AB =AC =BC =8.⊙A 的半径为2,动点P 从点B 出发沿BC 方向以每秒1个单位的速度向点C 运动.延长BA 交⊙A 于点D ,连结AP 交⊙A 于点E ,连结DE 并延长交BC 于点F .设点P 运动的时间为t 秒,当△ABP 与△FBD 相似时,求t 的值.

图6-1

【解析】△ABC 是等腰直角三角形,⊙A 是确定的,先按照题意把图形补充完整. 如图6-2,容易发现△ABP 与△FBD 有公共角∠B ,如果根据对应边成比例列方程BA BD

BP BF =或BA BF BP BD

=,其中BA =BP =t ,BD =2,但是用含t 的式子表示BF 困难重重啊!

图6-2 图6-3 图6-4

我们另起炉灶,按照判定定理1来解决.

△ABP 与△FBD 有公共角∠B ,我们以∠D 为分类标准,分两种情况讨论它们相似: 第一种情况,如图6-3,∠BAP =∠D 是不可能的,这是因为∠BAP 是等腰三角形ADE 的外角,∠BAP =2∠D .

第二种情况,如图6-4,当∠BP A =∠D 时,在△ABP 中,由于∠BAP =2∠D =2∠BP A , 因此45°+3∠BP A =180°.解得∠BP A =45°.

此时△ABP 是等腰直角三角形,P 与C 重合,所以t =8.

解答这道题目,如果选取点P的3个不同位置,按照题意画图,可以帮助我们探究.在讨论第二种情况∠BP A=∠D时,我们容易被已知图6-1给定的点P的位置所误导,以为图6-2中“锐角∠D”与“钝角∠BP A”不可能相等.

马学斌wnmaxuebin@https://www.360docs.net/doc/399263233.html,

2015年9月20日星期日

To:《中小学数学·初中版》

北京市海淀区西三环北路105号(首都师大)数学楼118室,100048

(完整版)相似三角形的判定方法

(一)相似三角形 1、定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形,叫做相似三角形. ①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等,且三条对应边的比相等时,这两个(或几个)三角形叫做相似三角形,即定义中的两个条件,缺一不可; ②相似三角形的特征:形状一样,但大小不一定相等; ③相似三角形的定义,可得相似三角形的基本性质:对应角相等,对应边成比例. 2、相似三角形对应边的比叫做相似比. ①全等三角形一定是相似三角形,其相似比k=1.所以全等三角形是相似三角形的特例.其区别在于全等要求对应边相等,而相似要求对应边成比例. ②相似比具有顺序性.例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比,即相似比为k,则△A′B′C′∽ △ABC的相似比,当它们全等时,才有k=k′=1. ③相似比是一个重要概念,后继学习时出现的频率较高,其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数,这一点借助相似三角形可观察得出. 3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形. 4、相似三角形的预备定理:平行于三角形的一条边直线,截其它两边所在的直线,截得的三角形与原三角形相似. ①定理的基本图形有三种情况,如图其符号语言: ∵DE∥BC,∴△ABC∽△ADE; (双A型) ②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理.它不但本身有着广泛的应用,同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础,故把它称为“预备定理”; ③有了预备定理后,在解题时不但要想到“见平行,想比例”,还要想到“见平行,想相似”. (二)相似三角形的判定 1、相似三角形的判定: 判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。可简单说成:两角对应相等,两三角形相似。 例1、已知:如图,∠1=∠2=∠3,求证:△ABC∽△ADE.

相似三角形的存在性(讲义及答案).

相似三角形的存在性(讲义) 知识点睛 1.存在性问题的处理思路 ①分析不变特征 分析背景图形中的定点,定线,定角等不变特征. ②分类、画图 结合图形形成因素(判定,定义等)考虑分类,画出符合题意的图形. 通常先尝试画出其中一种情形,分析解决后,再类比解决其他情形. ③求解、验证 围绕不变特征、画图依据来设计方案进行求解;验证时,要回归点的运动范围,画图或推理,判断是否符合题意. 注:复杂背景下的存在性问题往往需要研究背景图形,几何背景往往研究点,线,角;函数背景研究点坐标,表达式等.2.相似三角形的存在性不变特征及特征下操作要点举例: 一般先从角(不变特征)入手,分析对应关系后,作出符合题意图形,再借助不变特征和对应边成比例列方程求 解.常见特征如一组角对应相等,这一组相等角顶点为确定对应点,结合对应关系分类后,作出符合题意图形,一般利用对应边成比例列方程求解.

精讲精练 1.如图,将长为8cm,宽为5cm的矩形纸片ABCD折叠,使 点B落在CD边的点E处,压平后得到折痕MN,点A的对称点为点F,CE=4cm.若点G是矩形边上任意一点,则当△ABG与△CEN相似时,线段AG的长为. 2.如图,抛物线y=-1x2+10x-8经过A,B,C三点,BC⊥OB, 33 AB=BC,过点C作CD⊥x轴于点D.点M是直线AB上方的抛物线上一动点,作MN⊥x轴于点N,若△AMN与△ACD 相似,则点M的坐标为.

3.如图,已知抛物线y=3x2+bx+c与坐标轴交于A,B,C三 4 点,点A的坐标为(-1,0),过点C的直线y=3 4t x-3与x轴 交于点Q,点P是线段BC上的一个动点,过P作PH⊥OB 于点H.若PB=5t,且0<t<1. (1)点C的坐标是,b=,c=.(2)求线段QH的长(用含t的代数式表示). (3)依点P的变化,是否存在t的值,使以P,H,Q为顶点的三角形与△COQ相似?若存在,求出所有符合条件的t 值;若不存在,说明理由.

相似三角形解题方法步骤(教师版)

相似三角形解题方法、技巧、步骤 一、相似、全等的关系 全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面,全等形是相似比为1的特殊相似形,相似形则是全等形的推广.因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别;相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础. 二、相似三角形 (1)三角形相似的条件: ①;②;③. 三、两个三角形相似的六种图形: 只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形,并能根据问题需要舔加适当的辅助线,构造出基本图形,从而使问题得以解决. 四、三角形相似的证题思路:判定两个三角形相似思路: 1)先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线),因为这个条件最简单; 2)再而先找一对内角对应相等,且看夹角的两边是否对应成比例; 3)若无对应角相等,则只考虑三组对应边是否成比例; 找另一角两角对应相等,两三角形相似 找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角 相等,两三角形相似 找夹角相等两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似 找第三边也对应成比例三边对应 成比例,两三角形相似 找一个直角斜边、直角边对应成比例,两个直角三角形相似 找另一角两角对应相等,两三角形相似 找两边对应成比例判定定理1或判定定理 4 找顶角对应相等判定定理1 找底角对应相等判定定理1 找底和腰对应成比例判定定理3 e)相似形的传递性若△1∽△2,△2∽△3,则△1∽△3 五、“三点定形法”,即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是:先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形,若能,则只要证明这两个三角形相似就可以了,这叫做“横定”;若不能,再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形,则只要证明这两个三角形相似就行了,这叫做“竖定”。 有些学生在寻找条件遇到困难时,往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞,乱添辅助线,这样反而使问题复杂化,效果并不好,应当运用基本规律去解决问题。 例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC. 求证:BA AC AF AE = (判断“横定”还是“竖定”?) 例2、如图,CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高,∠BAC 的 平分线分别交BC 、CD 于点E 、F ,AC ·AE=AF ·AB 吗? 说明理由。 分析方法: 1)先将积式______________ 2)______________(“横定”还是“竖定”?) 例1、 已知:如图,△ABC 中,∠ ACB=900 ,AB 的垂直平分线交AB 于D ,交BC 延长线于F 。 求证:CD 2 =DE ·DF 。 分析方法: 1)先将积式______________ 2)______________(“横定”还是“竖定”?) 六、过渡法(或叫代换法) 有些习题无论如何也构造不出相似三角形,这就要考虑灵活地运用“过渡”,其主要类型有三种,下面分情况说明. 1、 等量过渡法(等线段代换法) 遇到三点定形法无法解决欲证的问题时,即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上,不能组成三角形,或四条线段虽然组成两个三角形,但这两个三角形并不相似,那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段,如果没有,可考虑添加简单的辅助线。然后再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当,问题往往可以得到解决。当然,还要注意最后将代换的线段再代换回来。 例1:如图3,△ABC 中,AD 平分∠BAC , AD 的垂直平分线FE 交BC 的延长线于E .求证:DE 2=BE·CE . 分析: 2、 等比过渡法(等比代换法) 当用三点定形法不能确定三角形,同时也无等线段代换时,可以考虑用等比代换法,即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥,也就是通过对已知条件或图形的深入分析,找到与求证的结论中某个比相等的比,并进行代换,然后再用三点定形法来确定三角形。 例2:如图4,在△ABC 中,∠BAC=90°,AD ⊥BC ,E 是AC 的中点,ED 交AB 的延长线于点F . 求证:AB DF AC AF =. a)已知一对等b)己知两边对应成比 c)己知一个直d)有等腰关

相似三角形存在性探究精品

文档收集于互联网,已重新整理排版.word 版本可编辑,有帮助欢迎下载支持. 1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 【关键字】条件、速度、方向 相似三角形存在性探究 如图,点D 在△ABC 的边上. (1)要判断△ADB 与△ (2)要判断△ADB 与△(3)通过(1)(2)例1如图,在△ABC 的边AB 上有一点E ,AB =4cm AE =1cm AC =3cm 。在AC 边上是否存 在点F ,使得△AEF 和△ABC 相似?若存在,求出AF 的长。 变式 如图, 点E 在AB 边上从点A 向点B 运动,速度为2cm/s , 点F 同时从点C 向点A 运动,速度为1cm/s,设运动时间为t 秒,问是否存在t 的值,使得 △AEF 和△ABC 相似?若存在,试求出t 的值,若不存在,请说明理由。 例2如图,在平面点直角坐标系xoy 中,A (1,0)、B (3,0)、C (0,-3)、P (2,1)请问在x 轴上是 否存在点Q,使以P ,B,Q 为顶点的三角形与△ABC 相似?若存在,求出点Q 的坐标,若不存 在,请说明理由。 变式 如图,在平面点直角坐标系xoy 中,A (1,0)、B (3,0)、C (0,-3)、P (2,1) (1)求过A 、B 、C 三点的抛物线解析式 (2)请问在x 轴下方的抛物线上是否存在点M ,过M 作M N ⊥x 轴于点N,使以A,M,N 为顶点的 三角形与△BCP 相似?若存在,求出点M 的坐标,若不存在,请说明理由。 做一做 如图,抛物线 与x 轴交于A ,B 两点(A 点在B 点左侧)与y 轴交于点C ,动直线EF (EF //x 轴)从点C 出发,以每秒1个单位长度的速度沿y 轴负 方向平移,且分别交y 轴、线段BC 于E 、F 两点,动点P 同时从点B 出发,在线段OB 上 以每秒2个单位长度的速度向原点O 运动,是否存在t 的值,使△BPF 与△ABC 相似?若 存在试求出t 的值,若不存在,请说明理由。 B 42 3812+-=x x y O

相似三角形解题思路赏析

相似三角形解题思路赏析(3.29) 姓名_______ 评价 内容解读:人们在对两个物体或图形的形状和大小进行认识时,全等和相似的感知是伴生的.在数学上全等和相似是特殊与一般、共性与个性的关系,形状相同是二者的共性.全等形是相似比等于1时的相似形;同时我们应学会应用两个三角形相似的判定方法去解决问题。 例题讲解: 1、如图,在Rt △ABC 内有边长分别为,,a b c 的三个正方形,则,,a b c 满足的关系式是( ) A 、b a c =+ B 、b ac = C 、2 2 2 b a c =+ D 、22b a c == 2、已知矩形ABCD 的边长3cm 6cm AB BC ==,.某一时刻,动点M 从A 点出发沿AB 方向以1cm/s 的速度向B 点匀速运动;同时,动点N 从D 点出发沿DA 方向以2cm /s 的速度向A 点匀速运动,问:(1)经过多少时间,AMN △的面积等于矩形ABCD 面积的 1 9 ? (2)是否存在时刻t ,使以A M N ,,为顶点的三角形与ACD △ 相似?若存在,求t 的值;若不存在,请说明理由. 3、如图1,在Rt ABC △中,90BAC ∠=°,AD BC ⊥于点D ,点O 是AC 边上一点,连接BO 交AD 于F ,OE OB ⊥交BC 边于点E . (1)求证:ABF COE △∽△; (2)当O 为AC 边中点,2AC AB =时,如图2,求 OF OE 的值; (3)当O 为AC 边中点,AC n AB =时,请直接写出 OF OE 的值. 4、已知9023ABC AB BC AD BC P ∠===°,,,∥,为线段BD 上的动点,点Q 在射线AB 上,且满足PQ AD PC AB = (如图1所示). B A D E C O F 图2 B A C E D 图1 F

相似三角形经典大题解析(含答案)

相似三角形经典大题解析 1.如图,已知一个三角形纸片ABC ,B C 边的长为8,B C 边上的高为6,B ∠和C ∠都为锐角,M 为A B 一动点(点M 与点A B 、不重合),过点M 作M N B C ∥,交A C 于点N ,在A M N △中,设M N 的长为x ,M N 上的高为h . (1)请你用含x 的代数式表示h . (2)将AMN △沿M N 折叠,使A M N △落在四边形B C N M 所在平面,设点A 落在平面的点为1A ,1A M N △与四边形B C N M 重叠部分的面积为y ,当x 为何值时,y 最大,最大值为多少? 【答案】解:(1)M N B C ∥ A M N A B C ∴△∽△ 68 h x ∴= 34 x h ∴= (2)1AM N A M N △≌△ 1A M N ∴△的边M N 上的高为h , ①当点1A 落在四边形B C N M 内或B C 边上时, 1A M N y S =△= 2 11332 2 4 8 M N h x x x = = ·· (04x <≤) ②当1A 落在四边形B C N M 外时,如下图(48)x <<, 设1A EF △的边E F 上的高为1h , 则132662h h x =-= - 11EF M N A EF A M N ∴ ∥△∽△ 11A M N ABC A EF ABC ∴ △∽△△∽△

12 16A EF S h S ??= ??? △△ABC 168242 A B C S = ??= △ 2 2 3632241224 62EF x S x x ?? - ?∴==?=-+ ? ??? 1△A 112 223 3912241224828A M N A EF y S S x x x x x ??=-= --+=-+- ??? △△ 所以 2 91224 (48)8 y x x x =- +-<< 综上所述:当04x <≤时,2 38 y x =,取4x =,6y =最大 当48x <<时,2 912248 y x x =-+-, 取163 x = ,8y =最大 86> ∴当163 x = 时,y 最大,8y =最大 M N C B E F A A 1

相似三角形的存在性问题解题策略

中考数学压轴题解题策略(2) 相似三角形的存在性问题解题策略 《挑战压轴题·中考数学》的作者 上海 马学斌 专题攻略 相似三角形的判定定理有3个,其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件,因此探求两个三角形相似的动态问题,一般情况下首先寻找一组对应角相等. 判定定理2是最常用的解题依据,一般分三步:寻找一组等角,分两种情况列比例方程,解方程并检验,如例题1、2、3、4. 应用判定定理1解题,先寻找一组等角,再分两种情况讨论另外两组对应角相等,如例题6. 应用判定定理3解题不多见,如例题5,根据三边对应成比例列连比式解方程(组). 例题解析 例? 如图1-1,抛物线213482 y x x =-+与x 轴交于A 、B 两点(A 点在B 点左侧),与y 轴交于点C .动直线EF (EF //x 轴)从点C 开始,以每秒1个单位的速度沿y 轴负方向平移,且分别交y 轴、线段BC 于E 、F 两点,动点P 同时从点B 出发,在线段OB 上以每秒2个单位的速度向原点O 运动.是否存在t ,使得△BPF 与△ABC 相似.若存在,试求出t 的值;若不存在,请说明理由. 图1-1 【解析】△BPF 与△ABC 有公共角∠B ,那么我们梳理两个三角形中夹∠B 的两条边. △ABC 是确定的.由213482 y x x = -+,可得A (4, 0)、B (8, 0)、C (0, 4). 于是得到BA =4,BC =12CE CO EF OB ==. △BPF 中,BP =2t ,那么BF 的长用含t 的式子表示出来,问题就解决了. 在Rt △EFC 中,CE =t ,EF =2t ,所以CF . 因此)BF t ==-. 于是根据两边对应成比例,分两种情况列方程: ①当BA BP BC BF ==.解得43t =(如图1-2).

相似三角形存在性问题

因动点产生得相似三角形问题 例1 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第24题 如图1,在平面直角坐标系中,双曲线(k≠0)与直线y=x+2都经过点A(2, m). (1)求k与m得值; (2)此双曲线又经过点B(n, 2),过点B得直线BC与直线y=x+2平行交y轴于点C,联结AB、AC,求△ABC得面积; (3)在(2)得条件下,设直线y=x+2与y轴交于点D,在射线CB上有一点E,如果以点A、C、E所组成得三角形与△ACD相似,且相似比不为1,求点E得坐标、 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“15宝山嘉定24”,拖动点E在射线CB上运动,可以体验到, △ACE与△ACD相似,存在两种情况。 思路点拨 1、直线AD//BC,与坐标轴得夹角为45°. 2.求△ABC得面积,一般用割补法. 3。讨论△ACE与△ACD相似,先寻找一组等角,再根据对应边成比例分两种情况列方程. 满分解答 (1)将点A(2, m)代入y=x+2,得m=4.所以点A得坐标为(2,4). 将点A(2, 4)代入,得k=8。 (2)将点B(n, 2),代入,得n=4。 所以点B得坐标为(4, 2)、 设直线BC为y=x+b,代入点B(4, 2),得b=—2. 所以点C得坐标为(0,—2). 由A(2, 4) 、B(4, 2) 、C(0,-2),可知A、B两点间得水平距离 与竖直距离都就是2,B、C两点间得水平距离与竖直距离都就是4. 所以AB=,BC=,∠ABC=90°.

图2 所以S△ABC===8、 (3)由A(2, 4)、D(0, 2) 、C(0,—2),得AD=,AC=、 由于∠DAC+∠ACD=45°,∠ACE+∠ACD=45°,所以∠DAC=∠ACE。 所以△ACE与△ACD相似,分两种情况: ①如图3,当时,CE=AD=. 此时△ACD≌△CAE,相似比为1. ②如图4,当时,、解得CE=.此时C、E两点间得水平距离与竖直距离都就是10,所以E(10, 8)、 图3 图4 考点伸展 第(2)题我们在计算△ABC得面积时,恰好△ABC就是直角三角形、 一般情况下,在坐标平面内计算图形得面积,用割补法、 如图5,作△ABC得外接矩形HCNM,MN//y轴. 由S矩形HCNM=24,S△AHC=6,S△AMB=2,S△BCN=8,得S△ABC=8. 图5 例22014年武汉市中考第24题 如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6 cm,BC=8cm,动点P从点B出发,在BA边上以每秒5cm得速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4 cm得速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0

相似三角形解题方法学生版

相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析 一、相似、全等的关系 全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面,全等形是相似比为1的特殊相似形,相似形则是全等形的推广.因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别;相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础. 二、相似三角形 (1)三角形相似的条件: ① ;② ;③ . 三、两个三角形相似的六种图形: 只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形,并能根据问题需要舔加适当的辅助线,构造出基本图形,从而使问题得以解决. 四、三角形相似的证题思路:判定两个三角形相似思路: 1)先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线),因为这个条件最简单; 2)再而先找一对内角对应相等,且看夹角的两边是否对应成比例; 3)若无对应角相等,则只考虑三组对应边是否成比例; 找另一角 两角对应相等,两三角形相似 找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似 找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似 找第三边也对应成比例 三边对应成比例,两三角形相似 找另一角 两角对应相等,两三角形相似 找两边对应成比例 判定定理1或判定定理4 找顶角对应相等 判定定理1 找底角对应相等 判定定理1 找底和腰对应成比例 判定定理3 e)相似形的传递性 若△1∽△2,△2∽△3,则△1∽△3 五、“三点定形法”,即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是:先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形,若能,则只要证明这两个三角形相似就可以了,这叫做“横定”;若不能,再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形,则只要证明这两个三角形相似就行了,这叫做“竖定”。 例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC. 求证: BA AC AF AE (判断“横定”还是“竖定”? ) a)已知一对等 b)己知两边对应成比 c)己知一个直角 d)有等腰关系

初中数学相似三角形的存在性问题(word版+详解答案)

相似三角形的存在性问题 【考题研究】 相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题.解相似三角形的存在性问题,一般分三步走,第一步寻找分类标准,第二步列方程,第三步解方程并验根。难点在于寻找分类标准,分类标准寻找的恰当,可以使得解的个数不重复不遗漏,也可以使得列方程和解方程又好又快. 【解题攻略】 相似三角形的判定定理有3个,其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件,因此探求两个三角形相似的动态问题,一般情况下首先寻找一组对应角相等. 判定定理2是最常用的解题依据,一般分三步:寻找一组等角,分两种情况列比例方程,解方程并检验。 应用判定定理1解题,先寻找一组等角,再分两种情况讨论另外两组对应角相等. 应用判定定理3解题不多见,根据三边对应成比例列连比式解方程(组). 【解题类型及其思路】 相似三角形存在性问题需要注意的问题: 1、若题目中问题为△ABC ∽△DEF ,则对应线段已经确定。 2、若题目中为△ABC 与 △DEF 相似,则没有确定对应线段,此时有三种情况:①△ABC ∽△DEF , ②△ABC ∽△FDE 、 ③△ABC ∽△EFD 、 3、若题目中为△ABC 与 △DEF 并且有 ∠A 、 ∠D (或为90°),则确定了一条对应的线段,此时有二种情况:①、△ABC ∽△DEF ,②、△ABC ∽△DFE 需要分类讨论上述的各种情况。 【典例指引】 类型一 【确定符合相似三角形的点的坐标】 典例指引1.(2019·贵州中考真题)如图,抛物线212 y x bx c = ++与直线1 32y x =+分别相交于A ,B 两 点,且此抛物线与x 轴的一个交点为C ,连接AC ,BC .已知(0,3)A ,(3,0)C -.

最新九年级数学专题复习 相似三角形解题技巧及口诀

F 相似三角形解题技巧及口诀 A 字形,A ’形,8 旋转形 双垂直结论:射影定理:①直角三角形中, 斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项.②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项 ⑴△ACD ∽△CDB →AD:CD=CD:BD →CD2=AD ?BD ⑵△ACD ∽△ABC →AC:AB=AD:AC →AC2=AD ?AB ⑶△CDB ∽△ABC →BC:AC=BD:BC →BC2=BD ?AB 结论:⑵÷⑶得AC2:BC2=AD:BD 结论:面积法得AB ?CD=AC ?BC →比例式 证明等积式(比例式)策略 直接法:找同一三角形两条边 变化:等号同侧两边同一三角形 三点定形法 2、间接法: ⑴3种代换 ①等线段代换; ②等比代换; ③等积代换; ⑵创造条件 ①添加平行线——创造“A ”字型、“8”字型 ②先证其它三角形相似——创造边、角条件 相似判定条件:两边成比夹角等、两角对应三边比 相似终极策略: 遇等积,化比例,同侧三点找相似; 四共线,无等边,射影平行用等比; 四共线,有等边,必有一条可转换; 两共线,上下比,过端平行条件边。 彼相似,我角等,两边成比边代换。 (3)等比代换:若是四条线段,欲证,可先证得 ( 是两 条线段)然后证,这 里把叫做中间比。 ①∠ABC=∠ADE .求证:AB ·AE=AC ·AD ②△ABC 中,AB=AC ,△DEF 是等边三角形 求证: BD?CN=BM?CE . ③等边三角形ABC 中,P 为BC 上任一点,AP 的垂直平分线交AB 、AC 于M 、N 两点。 求证:BP ?PC=BM ?CN ?有射影,或平行,等比传递我看行 ①在Rt △ABC 中,∠BAC=90°,AD ⊥BC 于D ,E 为AC 的中点,求证:AB ?AF=AC ?DF

相似三角形法分析动态平衡问题

静力学解题方法2——相似三角形法 (非常好的方法,仔细分析例题,静力学受力分析三大方法之一) (1)相似三角形:正确作出力的三角形后,如能判定力的三角形与图形中已知长度的三角形(几何三角形)相似,则可用相似三角形对应边成比例求出三角形中力的比例关系,从而达到求未知量的目的。 (2)往往涉及三个力,其中一个力为恒力,另两个力的大小和方向均发生变化,则此时用相似三角形分析。相似三角形法是解平衡问题时常遇到的一种方法,解题的关键是正确的受力分析,寻找力三角形和结构三角形相似。 例1、半径为R 的球形物体固定在水平地面上,球心正上方有一光滑的小滑轮,滑轮到球面B 的距离为h ,轻绳的一端系一小球,靠放在半球上的A 点,另一端绕过定滑轮后用力拉住,使小球静止,如图1-1所示,现缓慢地拉绳,在使小球由A 到B 的过程中,半球对小球的支持力N 和绳对小球的拉力T 的大小变化的情况是( ) A 、N 变大,T 变小 B 、N 变小,T 变大 C 、N 变小,T 先变小后变大 D 、N 不变,T 变小 解析:如图1-2所示,对小球:受力平衡,由于缓慢地拉绳,所以小球运动缓慢视为始终处于平衡状态,其中重力mg 不变,支持力N ,绳子的拉力T 一直在改变,但是总形成封闭的动态三角形(图1-2中小阴影三角形)。由于在这个三角形中有四个变量:支持力N 的大小和方向、绳子的拉力T 的大小和方向,所以还要利用其它条件。实物(小球、绳、球面的球心)形成的三角形也是一个动态的封闭三角形(图1-2中大阴影三角形),并且始终与三力形成的封闭三角形相似,则有如下比例式: R N R h mg L T =+= 可得:mg R h L T += 运动过程中L 变小,T 变小。 mg R h R N += 运动中各量均为定值,支持力N 不变。正确答案D 。 例2、如图2-1所示,竖直绝缘墙壁上的Q 处由一固定的质点A ,在Q 的正上方的P 点用细线悬挂一质点B ,A 、B 两点因为带电而相互排斥,致使悬线与竖直方向成θ角,由于漏电使A 、B 两质点的电量逐渐减小,在电荷漏空之前 悬线对悬点P 的拉力T 大小( ) A 、T 变小 B 、T 变大 C 、T 不变 D 、T 无法确定

相似三角形解题方法、步骤教师

相似三角形解题方法、步骤(教师版)

作者: 日期: 2

-4 - 9上( 5)相似三角形解题方法、技巧、步骤 相似三角形解题方法、技巧、步骤「 一、 相似、全等的关系 全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面,全等 形是相似比为1的特殊相似形,相似形则是全等形的推广?因而 学习相似形要随时与全等形作比较、 明确它们之间的联系与区别; 相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础. 二、 相似三角形 (1)三角形相似的条件: ①;②;③. 三、 两个三角形相似的六种图形: ^1过上的高 求证 只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形,并能根据问题需要舔 加适当的辅助线,构造出基本图形,从而使问题得以解决 四、三角形相似的证题思路:判定两个三角形相似思路: 1 )先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线),因为这个条件 最简单; 2) 再而先找一对内角对应相等, 且看夹角的两边是否对应成比例; 3) 若无对应角相等,则只考虑三组对应边是否成比例; 找另一角两角对应相等,两三角形相似 找夹边对应 成比例两边对应成比例且夹角 相等,两三角形相似 a )已知{ 找夹角相等两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似 找第三边也对应成比例三边对_ 知 两边 成比例,两三角形相似 上』边对应成比例,两个直角三角形相似 「找另一角两角对应相等,两三角形相似 c ) P 己知] 找两边对应成比例判定定—或判定定理 戋 顶角对应相等判定定_ 找底角对应相等判定定_ 找底和腰对应成比例判定定_3 △ sA 2,3,则 dsA 3 ) g 似形的传 有 若 五、“三点定形法” 定三角形的方法。具体做法是:先看比例式前项和后项所代 表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形, 若能,则只要证明这两个三角形相似就可以了,这叫做“横 定”;若不能,再看每个比的前后两项的两条线段的两条线 段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形,则只要证明 这两个三角形相似就行了,这叫做“竖定” 。 有些学生在寻找条件遇到困难时,往往放弃了基本规律而 去乱碰乱撞,乱添辅助线,这样反而使问题复杂化,效果并 不好, 例1、 求证: ,即由有关线段的三个不同的端点来确 应当运用基本规律去解决问题。 已知:如图,△ ABC 中 ,CE 丄AB,BF 丄 AC. AE AC AF " BA (判断“横定”还是“竖定”?) 例2、如图,CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高,/ BAC 的 平分线分别交 BC 、CD 于点E 、F ,AC - AE=AF - AB 吗? 说明理由。 分析方法: 1 )先将积式 2) ______ (“横定”还是“竖定”?) 例1、 已知:如图,△ ABC 中,/ ACB=9(0,AB 的垂直平分线交AB 于D, 交BC 延长线于F 。 CD=DE ? DF O 分析方法: 1 )先将积式 2) ______ (“横定”还是“竖定”?) 六、过渡法(或叫代换法) 有些习题无论如何也构造不出相似三角形,这就要考虑灵活 地运用 过渡”,其主要类型有三种,下面分情况说明. 1、等量过渡法(等线段代换法) 遇到三点定形法无法解决欲证的问题时,即如果线段比例式 中的四条线段都在图形中的同一条直线上,不能组成三角 形,或四条线段虽然组成两个三角形,但这两个三角形并不 相似,那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等 的一条线段来代替这条线段,如果没有,可考虑添加简单的 辅助线。然后再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换 得当,问题往往可以得到解决。当然,还要注意最后将代换 的线段再代换回来。 例1 :如图3,△ABC 中,AD 平分/ BAC , AD 的垂直平 分线FE 交BC 的延长线于 E .求证:DE 2 = BE-CE . 分析: 2、等比过渡法(等比代换法) 当用三点定形法不能确定三角形,同时也无等线段代换 时,可以考虑用等比代换法即考虑利用第三组线段的 比为比例式搭桥,也就是i 分析,找到与求证的结论 换,然后再用三点定形 过对已知条件或图形的深入 某 个比相目等的比,并进行代 形。 例2:如图4,在 BAC=9C ° , AD 丄 BC ,E 是 AC 的中 点, ED 交AB 的延长线于点F . 求证: =AB AC

初中数学专题03相似三角形的存在性问题(原卷版)

专题三 相似三角形的存在性问题 【考题研究】 相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题.解相似三角形的存在性问题,一般分三步走,第一步寻找分类标准,第二步列方程,第三步解方程并验根。难点在于寻找分类标准,分类标准寻找的恰当,可以使得解的个数不重复不遗漏,也可以使得列方程和解方程又好又快. 【解题攻略】 相似三角形的判定定理有3个,其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件,因此探求两个三角形相似的动态问题,一般情况下首先寻找一组对应角相等. 判定定理2是最常用的解题依据,一般分三步:寻找一组等角,分两种情况列比例方程,解方程并检验。 应用判定定理1解题,先寻找一组等角,再分两种情况讨论另外两组对应角相等. 应用判定定理3解题不多见,根据三边对应成比例列连比式解方程(组). 【解题类型及其思路】 相似三角形存在性问题需要注意的问题: 1、若题目中问题为△ABC ∽△DEF ,则对应线段已经确定。 2、若题目中为△ABC 与 △DEF 相似,则没有确定对应线段,此时有三种情况:①△ABC ∽△DEF , ②△ABC ∽△FDE 、 ③△ABC ∽△EFD 、 3、若题目中为△ABC 与 △DEF 并且有 ∠A 、 ∠D (或为90°),则确定了一条对应的线段,此时有二种情况:①、△ABC ∽△DEF ,②、△ABC ∽△DFE 需要分类讨论上述的各种情况。 【典例指引】 类型一 【确定符合相似三角形的点的坐标】 典例指引1.(2019·贵州中考真题)如图,抛物线212 y x bx c = ++与直线1 32y x =+分别相交于A ,B 两 点,且此抛物线与x 轴的一个交点为C ,连接AC ,BC .已知(0,3)A ,(3,0)C -.

(完整版)相似三角形知识点及典型例题

相似三角形知识点及典型例题 知识点归纳: 1、三角形相似的判定方法 (1)定义法:对应角相等,对应边成比例的两个三角形相似。 (2)平行法:平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角 形与原三角形相似。 (3)判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两 个三角形相似。简述为:两角对应相等,两三角形相似。 (4)判定定理2:如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似。简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似。 (5)判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。简述为:三边对应成比例,两三角形相似。 (6)判定直角三角形相似的方法: ①以上各种判定均适用。 ②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例, 那么这两个直角三角形相似。 ③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。 #直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。 每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高, 则有射影定理如下: (1)(AD)2=BD·DC,(2)(AB)2=BD·BC , (3)(AC)2=CD·BC 。 注:由上述射影定理还可以证明勾股定理。即(AB)2+(AC)2=(BC)2。

典型例题: 例1 如图,已知等腰△ABC 中,AB =AC ,AD ⊥BC 于D ,CG ‖AB ,BG 分别交AD ,AC 于E 、 F ,求证:BE 2=EF·EG 证明:如图,连结EC ,∵AB =AC ,AD ⊥BC , ∴∠ABC =∠ACB ,AD 垂直平分BC ∴BE =EC ,∠1=∠2,∴∠ABC-∠1=∠ACB-∠2, 即∠3=∠4,又CG ∥AB ,∴∠G =∠3,∴∠4=∠G 又∵∠CEG =∠CEF ,∴△CEF ∽△GEC ,∴EG CE =CE EF ∴EC 2=EG· EF ,故EB 2=EF·EG 【解题技巧点拨】 本题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质,线段的垂直平分线的性质和相似三角形的基本图形来得到证明.而其中利用线段的垂直平分线的性质得到BE=EC ,把原来处在同一条直线上的三条线段BE ,EF ,EC 转换到相似三角形的基本图形中是证明本题的关键。 例2 已知:如图,AD 是Rt △ABC 斜BC 上的高,E 是AC 的中点,ED 与AB 的延长线相交于F ,求证:BA FB =AC FD 证法一:如图,在Rt △ABC 中,∵∠BAC =Rt ∠,AD ⊥BC , ∴∠3=∠C ,又E 是Rt △ADC 的斜边AC 上的中点, ∴ED=21 AC =EC ,∴∠2=∠C ,又∠1=∠2,∴∠1=∠3, ∴∠DFB =∠AFD ,∴△DFB ∽△AFD ,∴FD FB =AD BD (1) 又AD 是Rt △ABC 的斜边BC 上的高,∴Rt △ABD ∽Rt △CAD ,∴AD BD =AC BA (2) 由(1)(2)两式得FD FB =AC BA ,故BA FB =AC FD 证法二:过点A 作AG ∥EF 交CB 延长线于点G ,则BA FB =AG FD (1) ∵E 是AC 的中点,ED ∥AC ,∴D 是GC 的中点,又AD ⊥GC ,∴AD 是线段GC 的垂直平分线,∴AG =AC (2) 由(1)(2)两式得:BA FB =AC FD ,证毕。 【解题技巧点拨】

相似三角形存在性探究

相似三角形存在性探究 如图,点D 在△ABC 的边上. (1)要判断△ADB 与△ABC 相似, 添加一个条件是 (2)要判断△ADB 与△ABC 相似,AB =4、AD =2. 则AC = (3)通过(1)(2)的解答,你能说出相似三角形哪些知识? 例1如图,在△ABC 的边AB 上有一点E ,AB =4cm AE =1cm AC =3cm 。在AC 边上是否存在点F ,使得△AEF 和△ABC 相似?若存在,求出AF 的长。 变式 如图, 点E 在AB 边上从点A 向点B 运动,速度为2cm/s , 点F 同时从点C 向点A 运动,速度为1cm/s,设运动时间为t 秒,问是否存在t 的值,使得△AEF 和△ABC 相似?若存在,试求出t 的值,若不存在,请说明理由。 C A D B C E F B E F

例2如图,在平面点直角坐标系xoy中,A(1,0)、B(3,0)、C(0,-3)、P(2,1)请问在x轴上是 否存在点Q,使以P,B,Q为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由。 变式如图,在平面点直角坐标系xoy中,A(1,0)、B(3,0)、C(0,-3)、P(2,1) (1)求过A、B、C三点的抛物线解析式 (2)请问在x轴下方的抛物线上是否存在点M,过M作 M N⊥x轴于点N,使以A,M,N为顶点的 三角形与△BCP相似?若存在,求出点M的坐标,若不存在,请说明理由。

做一做 如图,抛物线 与x 轴交于A ,B 两点(A 点在B 点左侧)与y 轴交于点C ,动直线EF (EF //x 轴)从点C 出发,以每秒1个单位长度的速度沿y 轴负方向平移,且分别交y 轴、线段BC 于E 、F 两点,动点P 同时从点B 出发,在线段OB 上以每秒2个单位长度的速度向原点O 运动,是否存在t 的值,使△BPF 与△ABC 相似?若存在试求出t 的值,若不存在,请说明理由。 42 3812+-=x x y

相似三角形解题技巧及口诀

相似三角形解题技巧及口诀 常见相似类型: A 字形,斜A 字形,8字形、斜8字形(或称X 型),双垂直(母子型),,旋转形 【双垂直结论,即直角三角形射影定理】: 【1】直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项; 【2】 每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 (1)ACD ∽△CDB →AD:CD=CD:BD →CD 2=AD ?BD ⑵ △ACD ∽△ABC →AC:AB=AD:AC →AC 2=AD ?AB (3)CDB ∽△ABC →BC:AC=BD:BC →BC 2=BD ?AB 结论:⑵÷⑶得AC 2:BC 2=AD:BD 结论:面积法得AB ?CD=AC ?BC →比例式 【证明等积式(比例式)策略】: 1、直接法:找同一三角形两条边 变化:等号同侧两边同一三角形, 三点定形法 2、间接法: 对线段比例式或等积式的证明:常用等线段替换法、中间比过渡法、面积法等.若比例式或等积式所涉及的线段在同一直线上时,应将线段比“转移”(必要时需添辅助线),使其分别构成两个相似三角形来证明. ⑴3种代换 ①等线段代换; ②等比代换; ③等积代换; ⑵创造条件 ①添加平行线——创造“A ”字型、“8”字型 ②先证其它三角形相似——创造边、角条件 相似判定条件:两边成比夹角等、两角对应三边比 【口诀】: 遇等积,化比例,同侧三点找相似;四共线,无等边,射影平行用等比; 四共线,有等边,必有一条可转换; 两共线,上下比,过端平行条件边; 彼相似,我角等,两边成比边代换。 或: 遇等积,改等比,横看竖看找关系;遇等积,化比例:横找竖找定相似; 不相似,不用急:等线等比来代替;三点定形用相似,三点共线取平截; 平行线,转比例,等线等比来代替; ?遇等积,改等比,横看竖看找关系 ①△ABC 中,AB=AC ,△DEF 是等边三角形,求证:BD?CN=BM?CE . ②等边三角形ABC 中,P 为BC 上任一点,AP 的垂直平分线交AB 、AC 于M 、N 两 点。求证:BP ?PC=BM ?CN B C A D E

相似三角形的存在性问题

相似三角形的存在性问题 【真题典藏】 1.(2008年上海市第25题)(本题满分14分,第(1)小题满分5分,第(2)小题满分4分,第(3)小题满分5分)已知AB=2,AD=4,∠DAB=90°,AD//BC(如图13).E是射线BC上的动点(点E与点B不重合),M是线段DE的中点. (1)设BE=x,△ABM的面积为y,求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域; (2)如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切,求线段BE的长; (3)联结BD,交线段AM于点N,如果以A、N、D为顶点的三角形与△BME相似,求线段BE的长. 图1 备用图 2.(2009年闸北区第25题)如图2,△ABC中,AB=5,AC=3,c os A= 3 10 .D为射线BA上的点(点 D不与点B重合),作DE//BC交射线CA于点E.. (1) 若CE=x,BD=y,求y与x的函数关系式,并写出函数的定义域; (2) 当分别以线段BD,CE为直径的两圆相切时,求DE的长度; (3) 当点D在AB边上时,BC边上是否存在点F,使△ABC与△DEF相似?若存在,请求出线段BF的长;若不存在,请说明理由. 图2 备用图备用图 【满分攻略】 我们先来解读第1题(2008年上海市第25题)的第(3)题,学习相似三角形的存在性问题:

第一步,把两个三角形涂上颜色或者画上阴影(如图6),寻找分类标准与分类方法. 一般来讲,不论用相似三角形的判定定理1,还是判定定理2,至少有一组角是相等的. 我们可以看到,∠ADN 的大小是确定不动的,∠AND 是钝角,∠ADN =∠DBE >∠MBE ,因此按照与∠AND 相等,分两种情况①∠ADN =∠BME ;②∠ADN =∠BEM . 第二步,拿起三角尺,按照分类情况反复比划,画两个比较准确的示意图(如图7,图8),把相等的角都标记出来. 第三步,具体情况具体分析. ① 如图7,当∠ADN =∠BME 时, 经过等量代换,∠DBE =∠BME ,这时△DBE 与△BME 就是我们熟悉的相似三角形的典型图“A 字形”,那么2 21 2 EB EM ED ED =?=,这样问题就转化为如何用含有x 的式子表示ED 的长. 已知直角梯形的两底和直腰,你说怎样求斜腰ED 呢? ②如图8,当∠ADN =∠BEM 时,经过等量代换,∠DBE =∠BEM ,这时△DBE 是等腰三角形,BC =2AD =8. 图6 图7 图8 还需要提醒的是,备用图暗示要分类讨论,合理利用试卷和答题纸上的备用图,不要急于乱画,先分好类,再反复比划,后落笔.图7不可能画准确,但是要接近,这样好观察图形间的关系. 示范一下书写,注意用标志性的语句引领书写的层次性和阅卷老师的眼球. (2)①当∠ADN =∠BME 时,∠DBE =∠BME ,这时△DBE ∽△BME . ∴2 212EB EM ED ED =?= . ∴222 12(4)2 x x ??=+-??. ∴122,10x x ==-(舍去负值). ②当∠ADN =∠BEM 时,∠DBE =∠BEM ,这时△DBE 是等腰三角形,BC =2AD =8. 综上所述,当△ADN 与△BME 相似时,BE 的长为2或8. 我们再来解读第2题(2009年闸北区第25题)的第(3)题, 求等腰三角形DEF 的存在性. 由第(1)、(3)题知,在△BDG 中,645,,cos 55 BD x DG x BDG =-=∠=. 第一步,寻找分类标准与分类方法.

相关文档
最新文档