计量经济学精要习题参考答案(第四版)

计量经济学（第四版）

习题参考答案

第一章 绪论

1.1 一般说来，计量经济分析按照以下步骤进行：

（1）陈述理论（或假说） （2）建立计量经济模型 （3）收集数据 （4）估计参数 （5）假设检验 （6）预测和政策分析

1.2 我们在计量经济模型中列出了影响因变量的解释变量，但它（它们）仅是影响因变量的主要因素，还有很多对因变量有影响的因素，它们相对而言不那么重要，因而未被包括在模型中。为了使模型更现实，我们有必要在模型中引进扰动项u 来代表所有影响因变量的其它因素，这些因素包括相对而言不重要因而未被引入模型的变量，以及纯粹的随机因素。 1.3时间序列数据是按时间周期（即按固定的时间间隔）收集的数据，如年度或季度的国民生产总值、就业、货币供给、财政赤字或某人一生中每年的收入都是时间序列的例子。 横截面数据是在同一时点收集的不同个体（如个人、公司、国家等）的数据。如人口普查数据、世界各国2000年国民生产总值、全班学生计量经济学成绩等都是横截面数据的例子。

1.4 估计量是指一个公式或方法，它告诉人们怎样用手中样本所提供的信息去估计总体参数。在一项应用中，依据估计量算出的一个具体的数值，称为估计值。如Y 就是一个估计

量，1

n

i

i Y

Y n

==

∑。现有一样本，共4个数，100，104，96，130，则根据这个样本的数据运用

均值估计量得出的均值估计值为

5.1074

130

96104100=+++。

第二章 计量经济分析的统计学基础

2.1 略，参考教材。 2.2 N

S S x =

=

4

5

=1.25 用α=0.05，N-1=15个自由度查表得005.0t =2.947，故99%置信限为 x S t X 005.0± =174±2.947×1.25=174±3.684

也就是说，根据样本，我们有99%的把握说，北京男高中生的平均身高在170.316至177.684厘米之间。

2.3 原假设 120:0=μH

备择假设 120:1≠μH 检验统计量

()

10/25X

X μσ-Z ==

==

查表96.1025

.0=Z 因为Z= 5 >96.1025.0=Z ,故拒绝原假设, 即

此样本不是取自一个均值为120元、标准差为10元的正态总体。 2.4 原假设 : 2500:0=μH

备择假设 : 2500:1≠μH

()00)

100/1200

.83?X X t μσ-=

=== 查表得 131.2)116(025.0=-t 因为t = 0.83 < 131.2=c t , 故接受原假 设,即从上次调查以来，平均月销售额没有发生变化。

第三章 双变量线性回归模型

3.1 判断题（说明对错；如果错误，则予以更正） （1）对 （2）对 （3）错

只要线性回归模型满足假设条件（1）～（4），OLS 估计量就是BLUE 。 （4）对 （5）错

R 2 =ESS/TSS 。 （6）对

（7）错。我们可以说的是，手头的数据不允许我们拒绝原假设。

（8）错。因为∑=

2

2

)?(t

x Var σβ

，只有当

∑2

t

x 保持恒定时，上述说法才正确。

3.2 证明：

2222

2

222

??()??i i

i i

i i YX

XY

i

i

i

i i YX XY i i x y y x x y

x

y

y

x y x y

r x y ββββ===

??

?===∑∑∑∑∑∑∑∑∑

3.3 （1）

，得

两边除以，＝n ?0?)

?(?∑∑∑∑∑∑∑∑=

∴+=

?+=?+=t

t

t

t t

t t t

t t t t Y

Y

e e Y Y e Y

Y e Y Y

Y n

Y n Y ==∑∑?，即Y 的真实值和拟合值有共同的均值。 （2）

的拟合值与残差无关。，＝，即因此，（教材中已证明），

由于Y 0?

?),?(0?0,0e ??)??(?2

2

t

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑====+=+=t

t

t

t t

t

t

t t

t t

t t

t

t

t

t e

Y e Y e Y Cov e Y

e X e X e e X e Y βαβα 3.4 （1）

22222

222

2

2211122

2

2

22

2

??,??()???2u()()?()

2()()()()

?2

()()?2

()i

i

t t

t

i n n n t i

i j i i

i j i j

i j i j

t

Y X Y X u u X u X X u u x u

X X n

n x

u u u x u x u X X n

n x u

u u x u

x x u u X n

n x α

βαβα

αββααβ

ββββ

ββ

ββ

β≠≠=+=++-=---=--+-=-??+-+

+

=

-?+-+++=

-?+-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑（）2X

222

222

222

2

2

2

22

22

()??2E()1(()2())()2i i j i i i j i j i j i j t i i j i j i i j i j i i i j i j i j

t u u u x u x x u u E E XE X n n x u u u E E u E u u n n n n

x u x x u u XE n x ααββσ

σ≠≠≠≠≠????+++ ???-=-

??? ????

???

??

+ ?=+=

=

?

?

?

?

++∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑两边取期望值，有：（）－＋等式右端三项分别推导如下：

22

2

2

222

22

22222

2

222

22

212(()()())200?E()()?[]0i

i i i j i j i

i j

t t t t t

t t

t x X

x E u x x E u u X

x n x n x X X x x nX X X E n x n x n x σσββσσσσαα≠?? ? ?

??

?

=++==-=

+-=-+==∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑（

＝）

因此

（）∑∑=2

2

2)?(t

t x n X Var σα

即

（2）

222

2

??,??()??????(,)[()][(())()]??[(()][()]?0()01?()t Y X Y X u u X Cov E E u X E u XE XE XVar X x α

βαβα

αββαβααβ

ββββββ

ββββββ

σ=+=++-=--=--=---=---=--=-=-

∑（）（第一项为的证明见本题（））

3.5（1）X Y 2

1??ββ-=，注意到 n

x n x x x n x Var x n X Var Y x Y x x X X x i

i i i i

i i i i 2

2

2

22

2

212

2

2121)

()?()?(??,0,0,σσσα

σβαα=

=

-==-==-=∑∑∑∑∑∑∑＝＝则我们有从而

由上述结果，可以看到，无论是两个截距的估计量还是它们的方差都不相同。 （2）

∑∑∑∑∑∑∑==---==222

22

2

222

)?()?()())((?,?i

i

i

i

i

i

i

i

i

i x

Var Var x

y

x x x Y Y x x x

y

x σαβα

β＝容易验证，

这表明，两个斜率的估计量和方差都相同。

3.6（1）斜率的值 －

4.318表明，在1980－1994期间，相对价格每上升一个单位，（GM/$）汇率下降约4.32个单位。也就是说，美元贬值。截距项6.682的含义是，如果相对价格为0，1美元可兑换6.682马克。当然，这一解释没有经济意义。

（2）斜率系数为负符合经济理论和常识，因为如果美国价格上升快于德国，则美国消费者将倾向于买德国货，这就增大了对马克的需求，导致马克的升值。

（3）在这种情况下，斜率系数被预期为正数，因为，德国CPI 相对于美国CPI 越高，德国相对的通货膨胀就越高，这将导致美元对马克升值。 3.7（1）

78.16982.187*31.126.76?86.13998.164*31.126.76?49.15667.177*31.126.76?=+-==+-==+-=eight W

eight W

eight W

（2）99.481.3*31.1*31.1?==?=?height eight W

6.910/96===∑Y Y t 810/80===∑n X X t

75.028/21?2===∑∑t t

t x y x β 6.38*75.06.9*??=-=-=X Y βα

估计方程为: t

t X Y 75.06.3?+= （2）

222??(2)()(2)(30.40.75*21)/8 1.83125

t t t t

e n y x y n σβ=-=--=-=∑∑∑

934.2??)?(/?2===∑t

x

Se t σ

βββ

β

733.1??)?(/?2

2===∑∑t

t

x n X Se t σ

α

αα

α

518.0)4.30*28/21()(222

2

2===∑∑∑t t

t t y x y x R

回归结果为（括号中数字为t 值）：

t

t X Y 75.06.3?+= R 2=0.518 (1.73) (2.93)

说明：

X t 的系数符号为正，符合理论预期，0.75表明劳动工时增加一个单位,产量增加0.75个单位,

拟合情况。 R 2

为0.518，作为横截面数据，拟合情况还可以.

系数的显著性。斜率系数的t 值为2.93，表明该系数显著异于0，即X t 对Y t 有影响. (3) 原假设 : 0.1:0

=βH

备择假设 : 0.1:1

≠βH

检验统计量 ??( 1.0)/()(0.75 1.0)/0.25560.978t Se β

β=-=-=- 查t 表, 0.025(8) 2.306c

t t == ,因为│t │= 0.978 < 2.306 ,

故接受原假设:0.1=β。

3.9

对于x 0=250 ，点预测值 0?y

=10+0.90*250=235.0 0?y

的95%置信区间为

: 00.025?(122)*y

t σ±-

2352350.29=±=±

即 234.71 － 235.29。也就是说,我们有95%的把握预测0y 将位于234.71 至235.29 之间.

35/15===∑n Y Y t 115/55===∑n X X t

365

.074/27?2

===∑∑t

t

t x

y x β015.111*365.03*??-=-=-=X Y βα

我们有：t t

X Y 365.0015.1?+-=

(2)

048.03/)27*365.010()2()?()2(222=-=--=-=∑∑∑n y x y n e t

t t t βσ 985

.0)10*74/27()(222

2

2===∑∑∑t t

t t y x y x R

(3) 对于0X =10 ,点预测值 0

?Y =-1.015+0.365*10=2.635 0Y 的95%置信区间为:

∑-++-±2

20025.00)(/11?*)25(?x

X X n t Y σ

=770.0635.274/)1110(5/11*048.0*182.3635.22

±=-++± 即 1.895 －3.099,也就是说,我们有95%的把握预测0Y 将位于1.865 至3.405 之间. 3.11 问题可化为“预测误差是否显著地大？”

当X 0 =20时，285.620365.0015.1?0

=?+-=Y

预测误差

335.1285.662.7?0

00=-=-=Y Y e 原假设0H ：0)

(0=e E

备择假设1H ：0)(0≠e E

检验：

若0H 为真，则

021.4332

.0335

.174

)1120(511048.00335.1)(11?)(2

2

2

000==

-+

+-=

-++-=

∑x X X n e E e t σ

对于5-2=3个自由度，查表得5%显著性水平检验的t 临界值为：

182.3=c t

结论：

由于 4.021 3.182t =>

故拒绝原假设0H ，接受备则假设H 1，即新观测值与样本观测值来自不同的总体。 3.12 （1）原假设 0:0=βH 备择假设 0:1≠βH

检验统计量 5.6)?()0?(=-=

β

β

Se t 查t 表,在5%显著水平下 11.2)1119(025.0=--t ,因为t=6.5>2.11 故拒绝原假设,即0≠β，说明收入对消费有显著的影响。 （2）由回归结果，立即可得：

556.57

.215)?(==α

Se 125.05

.681.0)?(==β

Se

（3）β的95％置信区间为：

。

括所以在这个区间中不包之间在％的把握说也就是说有即为0,074.1~546.095,074.1~546.0264.081.0125.0*11.281.0)?(?2

βββα

±=±=±Se t

3.13 回归之前先对数据进行处理。把名义数据转换为实际数据，公式如下：

人均消费C ＝C/P*100(价格指数)

人均可支配收入Y ＝[Yr*rpop/100+Yu*(1-rpop/100)]/P*100 农村人均消费Cr ＝Cr/Pr*100 城镇人均消费Cu ＝Cu/Pu*100

农村人均纯收入Yr ＝Yr/Pr*100 城镇人均可支配收入Yu ＝Y u/Pu*100 处理好的数据如下表所示：

根据表中的数据用软件回归结果如下：

∧

t C = 90.93 + 0.692t Y R 2=0.997

t ： (11.45) (74.82) DW=1.15

农村：∧

t Cr = 106.41 + 0.60t Yr R 2=0.979

t ： (8.82) (28.42) DW=0.76

城镇：∧t Cu = 106.41 + 0.71t Yu R 2=0.998

t ： (13.74) (91.06) DW=2.02

从回归结果来看，三个方程的R 2都很高，说明人均可支配收入较好地解释了人均消费支出。

三个消费模型中，可支配收入对人均消费的影响均是显著的，并且都大于0小于1，符合经济理论。而斜率系数最大的是城镇的斜率系数，其次是全国平均的斜率，最小的是农村的斜率。说明城镇居民的边际消费倾向高于农村居民。

第四章 多元线性回归模型

4.1 应采用（1），因为由（2）和（3）的回归结果可知，除X 1外，其余解释变量的系数均不显著。（检验过程略） 4.2 (1) 斜率系数含义如下:

0.273: 年净收益的土地投入弹性, 即土地投入每上升1%, 资金投入不变的情况

下, 引起年净收益上升0.273%.

0.733: 年净收益的资金投入弹性, 即资金投入每上升1%, 土地投入不变的情况

下, 引起年净收益上升0.733%.

拟合情况: 92.01

29)

94.01(*811)1)(1(122

=----=-----=k n R n R ,表明模型拟合

程度较高.

(2) 原假设 0:0=αH

备择假设 0:1≠αH

检验统计量 022.2135.0/273.0)?(?===α

α

Se t

查表，447.2)6(025.0=t 因为t=2.022<)6(025.0t ,故接受原假设,即α不显著异于0, 表明土地投入变动对年净收益变动没有显著的影响. 原假设 0:0=βH

备择假设 0:1≠βH

检验统计量 864.5125.0/733.0)?(?===

β

βSe t 查表，447.2)6(025.0=t 因为t=5.864>)6(025.0t ,故拒绝原假设,即β显著异于0,表明资金投入变动对年净收益变动有显著的影响. （3） 原假设 0:0==βαH

备择假设 1H : 原假设不成立 检验统计量

47)

129/()94.01(2

/94.0)1/()1(/2

2=---=---=k n R k R F 查表，在5%显著水平下14.5)6,2(=F 因为F=47>5.14，故拒绝原假设。

结论,：土地投入和资金投入变动作为一个整体对年净收益变动有影响.

4.3 检验两个时期是否有显著结构变化,可分别检验方程中D 和D ?X 的系数是否显著异于0.

(1) 原假设 0:20=βH 备择假设 0:21≠βH

检验统计量

155.34704.0/4839.1)?(?2

2

===ββSe t 查表145.2)418(025.0=-t 因为t=3.155>)14(025.0t , 故拒绝原假设, 即2β显著异于0。

(2) 原假设 0:40=βH 备择假设 0:41≠βH

检验统计量

115.30332.0/1034.0)

?(?44

-=-==ββSe t

查表145.2)418(025.0=-t 因为|t|=3.155>)14(025.0t , 故拒绝原假设, 即4β显著异于0。 结论：两个时期有显著的结构性变化。

4.4 （1），模型可线性化。参数线性，变量非线性

则模型转换为设,1

,1221x

z x z ==

u z z y +++=22110βββ （2）变量、参数皆非线性，无法将模型转化为线性模型。

（3）变量、参数皆非线性，但可转化为线性模型。

取倒数得：)

(1011u x e y

++-+=ββ

把1移到左边，取对数为：u x y y ++=-101ln

ββ，令则有,1ln y

y z -= u x z ++=10ββ

4.5 （1）截距项为-58.9，在此没有什么意义。X 1的系数表明在其它条件不变时，个人年消

费量增加1百万美元，某国对进口的需求平均增加20万美元。X 2的系数表明在其它条件不变时，进口商品与国内商品的比价增加1单位，某国对进口的需求平均减少10万美元。 （2）Y 的总变差中被回归方程解释的部分为96%，未被回归方程解释的部分为4%。 （3）检验全部斜率系数均为0的原假设。

)1/(/)1/()1(/2

2--=---=k n RSS k

ESS k n R k R F =19216

/04.02/96.0= 由于F ＝192 > F 0.05(2,16)=3.63，故拒绝原假设，回归方程很好地解释了应变量Y 。 （4） A. 原假设H 0：β1= 0 备择假设H 1：β 1 ≠0

11?0.221.74?0.0092()

t S ββ=== > t 0.025(16)=2.12，

故拒绝原假设，β1显著异于零，说明个人消费支出（X 1）对进口需求有解释作用，这个

变量应该留在模型中。

B. 原假设H 0：β2=0 备择假设H 1：β 2 ≠0

22?0.1 1.19?0.084()

t S ββ-===

不能拒绝原假设，接受β2=0，说明进口商品与国内商品的比价（X 2）对进口需求地解释

作用不强，这个变量是否应该留在模型中，需进一步研究。

4.6（1）弹性为-1.34，它统计上异于0，因为在弹性系数真值为0的原假设下的t 值为：

469.432

.034

.1-=-=

t 得到这样一个t 值的概率（P 值）极低。可是，该弹性系数不显著异于-1，因为在弹性真值为-1的原假设下，t 值为：

06.132

.0)1(34.1-=---=t

这个t 值在统计上是不显著的。

（2）收入弹性虽然为正，但并非统计上异于0，因为t 值小于1（85.020.017.0==t ）。

（3）由1

1)

1(122-----=k n n R R ，可推出 2

211(1)

1n k R R n --=--- 本题中，2

R ＝0.27，n ＝46，k ＝2，代入上式，得2

R ＝0.3026。

4.7 （1）薪金和每个解释变量之间应是正相关的，因而各解释变量系数都应为正，估计结

果确实如此。

系数0.280的含义是，其它变量不变的情况下，CEO 薪金关于销售额的弹性为0.28； 系数0.0174的含义是，其它变量不变的情况下，如果股本收益率上升一个百分点（注意，不是1％），CEO 薪金的上升约为1.07％；

与此类似，其它变量不变的情况下，公司股票收益上升一个单位，CEO 薪金上升0.024％。 （2）用回归结果中的各系数估计值分别除以相应的标准误差，得到4个系数的t 值分别为：13.5、8、4.25和0.44。用经验法则容易看出，前三个系数是统计上高度显著的，而最后一个是不显著的。

（3）R 2＝0.283，拟合不理想，即便是横截面数据，也不理想。 4.8 （1）2.4％。

（2）因为D t 和（D t ?t ）的系数都是高度显著的，因而两时期人口的水平和增长率都不相同。1972－1977年间增长率为1.5％，1978－1992年间增长率为2.6％（＝1.5％＋1.1％）。 4.9 原假设H 0: β1 =β2，β 3 =1.0

备择假设H 1: H 0不成立

若H 0成立，则正确的模型是：

u

X X X ββY ++++=32110)(

据此进行有约束回归，得到残差平方和R S 。 若H 1为真，则正确的模型是原模型：

u

X βX βX ββY ++++=3322110

据此进行无约束回归（全回归），得到残差平方和S 。 检验统计量是： ()

)

1---=

K n S g

S S F R ～F(g,n-K-1)

用自由度（2，n-3-1）查F 分布表，5%显著性水平下，得到F C ， 如果F< F C , 则接受原假设H 0，即β1 =β2，β 3 =0；

如果F> F C , 则拒绝原假设H 0，接受备择假设H 1。 4.10 （1）2个，111200D D ??==??

??大型企业中型企业

其他其他

（2）4个，

111112340000D D D D ????====????

????小学初中大学

高中其他其他其他其他

4.11

0123(),019791,

1979

t t t t y D x D x u D t D t ββββ=+++?+=≤=>其中

4.12 对数据处理如下：

lngdp ＝ln （gdp/p ） lnk=ln （k/p ） lnL=ln （L/P ） 对模型两边取对数，则有 lnY ＝lnA ＋αlnK ＋βlnL ＋lnv

用处理后的数据回归，结果如下：

l k dp g

ln 18.0ln 96.026.0?ln ++-= 97.02=R t ：(－0.95) (16.46) (3.13) 由修正决定系数可知，方程的拟合程度很高；资本和劳动力的斜率系数均显著（t c =2.048）, 资本投入增加1％，gdp 增加0.96%，劳动投入增加1％，gdp 增加0.18%，产出的资本弹性是产出的劳动弹性的5.33倍。

第五章 模型的建立与估计中的问题及对策

5.1

（1）对 （2）对 （3）错

即使解释变量两两之间的相关系数都低，也不能排除存在多重共线性的可能性。 （4）对 （5）错

在扰动项自相关的情况下OLS 估计量仍为无偏估计量，但不再具有最小方差的性质，即不是BLUE 。 （6）对 （7）错

模型中包括无关的解释变量，参数估计量仍无偏，但会增大估计量的方差，即增大误差。 （8）错。

在多重共线性的情况下，尽管全部“斜率”系数各自经t 检验都不显著， R 2值仍可能高。

（9）错。

存在异方差的情况下，OLS 法通常会高估系数估计量的标准误差，但不总是。 （10）错。

异方差性是关于扰动项的方差，而不是关于解释变量的方差。 5.2 对模型两边取对数，有

lnY t =lnY 0+t*ln(1+r)+lnu t ,

令L Y ＝lnY t ，a ＝lnY 0，b ＝ln(1+r)，v ＝lnu t ，模型线性化为： L Y ＝a ＋bt ＋v

估计出b 之后，就可以求出样本期内的年均增长率r 了。 5.3（1）DW=0.81，查表（n=21,k=3,α=5%）得d L =1.026。

DW=0.81＜1.026 结论：存在正自相关。

（2）DW=2.25，则DW ′=4 – 2.25 = 1.75

查表（n=15, k=2, α=5%）得d u =1.543。 1.543＜DW ′= 1.75 ＜2 结论：无自相关。

（3）DW= 1.56，查表（n=30, k=5, α=5%）得d L =1.071, d u =1.833。 1.071＜DW= 1.56 ＜1.833

结论：无法判断是否存在自相关。

5.4

(1) 横截面数据.

(2) 不能采用OLS 法进行估计，由于各个县经济实力差距大，可能存在异方差性。 (3) GLS 法或WLS 法。 5.5

（1）可能存在多重共线性。因为①X 3的系数符号不符合实际.②R 2很高,但解释变量的t 值低：t 2=0.9415/0.8229=1.144, t 3=0.0424/0.0807=0.525.

解决方法：可考虑增加观测值或去掉解释变量X 3. （2）DW=0.8252, 查表(n=16,k=1,α=5%)得d L =1.106.

DW=0.8252< d L =1.106 结论：存在自相关.

单纯消除自相关，可考虑用科克伦－奥克特法或希尔德雷斯－卢法；进一步研究，由于此模型拟合度不高,结合实际,模型自相关有可能由模型误设定引起,即可能漏掉了相关的解释变量，可增加相关解释变量来消除自相关。

5.6 存在完全多重共线性问题。因为年龄、学龄与工龄之间大致存在如下的关系：A i ＝7＋S i ＋E i

解决办法：从模型中去掉解释变量A ，就消除了完全多重共线性问题。

5.7 （1）若采用普通最小二乘法估计销售量对广告宣传费用的回归方程，则系数的估计量是无偏的，但不再是有效的，也不是一致的。

（2）应用GLS 法。设原模型为

i i i u x y ++=10ββ （1）

由于已知该行业中有一半的公司比另一半公司大，且已假定大公司的误差项方差是小公司误差项方差的两倍，则有2

22

i i λσσ=，其中??

?===小公司

大公司i i i ,1,22

λ。则模型可变换为

i

i i i i i

i

u

x y λλβλβλ++=

10 （2） 此模型的扰动项已满足同方差性的条件，因而可以应用OLS 法进行估计。

（3）可以。对变换后的模型（2）用戈德弗尔德－匡特检验法进行异方差性检验。如果模型没有异方差性，则表明对原扰动项的方差的假定是正确的；如果模型还有异方差性，则表明对原扰动项的方差的假定是错误的，应重新设定。 5.8（1）不能。因为第3个解释变量（1--t t M M ）是t M 和1-t M 的线性组合，存在完全

多重共线性问题。 （2）重新设定模型为

t

t t t

t t t u M M u M M GNP +++=+-+++=--1210132310)()(ααββββββ

我们可以估计出210ααβ和、，但无法估计出321βββ和、。

（3）所有参数都可以估计，因为不再存在完全共线性。 （4）同（3）。

5.9（1）R 2很高，logK 的符号不对，其 t 值也偏低，这意味着可能存在多重共线性。

（2）logK 系数的预期符号为正，因为资本应该对产出有正向影响。但这里估计出的符号为负，是多重共线性所致。

（3）时间趋势变量常常被用于代表技术进步。（1）式中，0.047的含义是，在样本期内，平均而言，实际产出的年增长率大约为4.7％。

（4）此方程隐含着规模收益不变的约束，即α＋β＝1，这样变换模型，旨在减缓多重共线性问题。

（5）资本－劳动比率的系数统计上不显著，看起来多重共线性问题仍没有得到解决。 （6）两式中R 2是不可比的，因为两式中因变量不同。

5.10（1）所作的假定是：扰动项的方差与GNP 的平方成正比。模型的估计者应该是对数据进行研究后观察到这种关系的，也可能用格里瑟法对异方差性形式进行了实验。

（2）结果基本相同。第二个模型三个参数中的两个的标准误差比第一个模型低，可以认为是改善了第一个模型存在的异方差性问题。 5.11 我们有

25

140

1?25

55

1?33231121=

--==

--=k n RSS k n RSS σ

σ

原假设H 0：2

3

2

1σσ= 备则假设H 1：2

3

2

1σσ≠

检验统计量为：

5454.2255525140??2123===σ

σF

用自由度（25，25）查F 表，5％显著性水平下，临界值为：Fc ＝1.97。 因为F ＝2.5454>Fc ＝1.97，故拒绝原假设原假设H 0：2

3

2

1

σσ=。

结论：存在异方差性。 5.12 将模型变换为：

)2()()1(221112102211t

t t t t t t X X X Y Y Y ερρβρρβρρ+--+--=------

若1ρ、2ρ为已知，则可直接估计（2）式。一般情况下，1ρ、2ρ为未知，因此需要先估计它们。首先用OLS 法估计原模型(1)式，得到残差e t ，然后估计：

t t t t e e e υρρ++=--2211

其中t υ为误差项。用得到的1ρ和2ρ的估计值1?ρ

和2?ρ生成 2211??--*

--=t t t t Y Y Y Y ρρ

2211??--*

--=t t t t X X X X ρρ

令)1(210ρρβα

--=，用OLS 法估计

t t t X Y εβα++=*

*

1

即可得到α?和1?β，从而得到原模型（1）的系数估计值0?β和1

?β。

5.13 （1）全国居民人均消费支出方程：

∧

t C = 90.93 + 0.692t Y R 2=0.997

t ： (11.45) (74.82) DW=1.15

DW=1.15，查表（n=19,k=1,α=5%）得d L =1.18。 DW=1.15＜1.18

结论：存在正自相关。可对原模型进行如下变换： C t -ρC t-1 = α(1-ρ)+β(Y t -ρY t-1)+（u t -ρu t -1）

由??1/20.425DW ρ

ρ≈-有＝ 令：C 't = C t –0.425C t-1 ， Y 't = Y t -0.425Y t-1 ，α’=0.575α 然后估计 C 't =α'+βY 't + εt ，结果如下：

∧

't C = 55.57 + 0.688'

t Y R 2=0.994

t ：(11.45) (74.82) DW=1.97

DW=1.97，查表（n=19,k=1,α=5%）得d u =1.401。 DW=1.97>1.18，故模型已不存在自相关。 （2）农村居民人均消费支出模型：

农村：∧

t Cr = 106.41 + 0.60t Yr R 2=0.979

t ： (8.82) (28.42) DW=0.76

DW=0.76，查表（n=19,k=1,α=5%）得d L =1.18。

DW=0.76＜1.18，故存在自相关。 解决方法与（1）同，略。

（3）城镇：

t Cu = 106.41 + 0.71t Yu R 2=0.998 t ： (13.74) (91.06) DW=2.02

DW=2.02，非常接近2，无自相关。

5.14 （1）用表中的数据回归，得到如下结果：

Y

? =54.19 + 0.061X1 + 1.98*X2 + 0.03X3 - 0.06X4 R 2＝0.91 t: (1.41) (1.58) (3.81) (1.14) (-1.78)

根据t c (α=0.05,n-k-1=26)=2.056，只有X2的系数显著。

（2）理论上看，有效灌溉面积、农作物总播种面积是农业总产值的重要正向影响因素。在一定范围内，随着有效灌溉面积、播种面积的增加，农业总产值会相应增加。受灾面积与农业总产值呈反向关系，也应有一定的影响。而从模型看，这些因素都没显著影响。这是为什么呢？

这是因为变量有效灌溉面积、施肥量与播种面积间有较强的相关性，所以方程存在多重共线性。现在我们看看各解释变量间的相关性，相关系数矩阵如下：

X1 X2 X3 X4 X1 X2 X3 X4

表中r 12＝0.896，r 13＝0.895，说明施肥量与有效灌溉面积和播种面积间高度相关。 我们可以通过对变量X2的变换来消除多重共线性。令X22＝X2/X3（公斤/亩），这样就大大降低了施肥量与面积之间的相关性，用变量X22代替X2，对模型重新回归，结果如下：

Y

? =－233.62 + 0.088X1 + 13.66*X2 + 0.096X3 - 0.099X4 R 2＝0.91 t: (-3.10) (2.48) (3.91) (4.77) (-3.19)

从回归结果的t 值可以看出，现在各个变量都已通过显著性检验，说明多重共线性问题基本得到解决。

第六章 动态经济模型：自回归模型和分布滞后模型

6.1（1）错。使用横截面数据的模型就不是动态模型。 （2）对。

（3）错。估计量既不是无偏的，又不是一致的。 （4）对。

（5）错。将产生一致估计量，但是在小样本情况下，得到的估计量是有偏的。 （6）对。

6.2 对于科克模型和适应预期模型，应用OLS 法不仅得不到无偏估计量，而且也得不到一致估计量。

1 0.896 0.880 0.715 0.896 1 0.895 0.685 0.880 0.895 1 0.883 0.715 0.685 0.883 1

但是，部分调整模型不同，用OLS 法直接估计部分调整模型，将产生一致估计值，虽然估计值通常是有偏的（在小样本情况下）。

6.3 科克方法简单地假定解释变量的各滞后值的系数（有时称为权数）按几何级数递减，即：

Y t =α+βX t +βλX t-1 +βλ2X t-2 +…+ u t 其中 0<λ<1。

这实际上是假设无限滞后分布，由于0<λ<1， X 的逐次滞后值对Y 的影响是逐渐递减的。

而阿尔蒙方法的基本假设是，如果Y 依赖于X 的现期值和若干期滞后值，则权数由一个多项式分布给出。由于这个原因，阿尔蒙滞后也称为多项式分布滞后。即在分布滞后模型

中，假定：

其中p 为多项式的阶数。也就是用一个p 阶多项式来拟合分布滞后，该多项式曲线通过滞后分布的所有点。

6.4 （1）估计的Y 值是非随机变量X 1和X 2的线性函数，与扰动项v 无关。 （2）与利维顿方法相比，本方法造成多重共线性的风险要小一些。 6.5（1）

的函数。

和、是其中2102211212211211

212221121110])()([)()()1()1()1()1(γγαβγγγγγγγγγγβγβγγβγββ------++-+-++---+---+=t t t t t t t t t t u u u M M R R Y Y M

（2） 第（1）问中得到的模型高度参数非线性，它的参数需采用非线性回归技术来估计。 6.6

2210i i i αααβ++=

2

12104004016400

0αααααβαβ-=?=++?==?=

因此，变换模型为：

t

i t i t t

i i t t i i t t

i i t i t u X i X i u X i i u X i i u X Y ++-+=++++=++++=++=--=-=-=-∑∑∑∑∑]4[)()(2

24022104

022104

0ααααααααααβα

用此式可估计出

α和2?α

，即可得到21?4?αα-=，然后可得到诸β的估计值。 6.7 （1）设备利用对通货膨胀的短期影响是X t 的系数：0.141；从长期看，在忽略扰动项

t

m t m t t t u X X X Y ++???+++=--βββα110p

p i i a i a i a a +???+++=2210β

的情况下，如果Y t 趋向于某一均衡水平Y ,则X t 和X t-1也将趋向于某一均衡水平X ：

X

Y X X Y 377.012.30236.0141.012.30+-=++-=即

所以，设备利用对通货膨胀的长期影响是X t 和X t －1的系数之和：0.377。 （2）对模型的回归参数的显著性检验：

原假设：H 0: β 1 =0 备择假设：H 1: β 1 ≠0

从回归结果可知，检验统计量=1

βt 2.60

根据n-k-1=15,a=5%,查临界值表得t c ＝2.131。 由于t ＝2.60> t c ＝2.131

故拒绝原假设，即X t 对y 有显著影响。

原假设：H 0: β 2 =0 备择假设：H 1: β 2 ≠0

从回归结果可知，检验统计量=2

βt 4.26

根据n-k-1=15,a=5%,查临界值表得t c ＝2.131。 由于t ＝4.26> t c ＝2.131

故拒绝原假设，即X t －1对y 有显著影响。

综上所述，所有的斜率系数均显著异于0，即设备利用和滞后一期的设备利用对通货膨胀都有显著的影响。

（3）对此回归方程而言，检验两个斜率系数为零，等于检验回归方程的显著性，可用F 检验。

原假设：H 0: β 1 =β 2 =0 备择假设：H 1:原假设不成立 检验统计量

973.19)

1218/()727.01(2

/727.0)1()1(22=---=---=K n R K R F

根据k=2,n-k-1=15,a=5%,查临界值表得Fc ＝3.68。 由于F ＝19.973>Fc=3.68

故拒绝原假设，即X t 、X t －1至少有一个变量对y 有显著影响，表明方程总体是显著的。 6.8模型的滞后周期m=3,模型有6个参数,用二次多项式进行拟合,即p=2,得

我们有：

代入原模型，得

2

210i a i a a W i ++=β0

0a W =β2101a a a W ++=β210242a a a W ++=β2

10393a a a W ++=βt

i i t i t U

X W Y ++=∑=-3

βα∑-++++=3

2

2

10)(t

i t U X i

a i a a α

2210???i a i a a W i ++=β(7))2

t X 2λ1t λX t λ)(X (1e

1t X ???+-+-+-=+)9(1)1()221

)(1(t

u t Y t X

t X t X t Y +--+???+-+-+-=δλλλδβ)

10(1

2)1()322

1)(1(1-+--+???+-+-+--=-t u t Y t X

t X t X t Y δλλλδβ12)1(1)1()1(1--+-----+-=--t u t u t Y t Y t X t Y t Y λδλδλδβλ)

11(12

)1(1)1()1(--+----+-+-=t u t u t Y t Y t X t Y λδλλδλδβ)(1')

2t X 2λ1t λX t λ)(X (1*t

Y ???+-+-+-=β

令：Z 0t =∑X t-i , Z 1t =∑iX t-i , Z 2t =∑i 2X t-i

显然，Z 0t ,Z 1t 和Z 2t 可以从现有观测数据中得出，使得我们可用OLS 法估计下式：

估计出α，α0,α1, α2的值之后，我们可以转换为 βW i 的估计值,公式为：

Y t * = βX t+1

e (1) 6.9 Y t -Y t-1 = δ(Y t * - Y t-1) + u t (2)

X t+1e - X t e = (1-λ)( X t - X t e )；t=1，2，…，n (3) 变换(3),得

X t+1e = (1-λ)X t +λX t e (4)

因为X t+1e 无法表示成仅由可观测变量组成的表达式。但如果(4)式成立，则对于t 期，它也成立，即：

X t e = (1-λ)X t-1 +λX t-1e (5) (5)代入(4),得:

X t+1e =(1-λ)X t + (1-λ)λX t-1 +λ2X t-1e (6) 我们可以用类似的方法，消掉（6）式中的,1e

t X - 这一过程可无限重复下去，最后得到：

将(7)代入(1), 得：

变换(2)得:

Y t = δY t * - (1-δ)Y t-1 + u t (8)

将(1’)代入(8), 得:

（9）式两端

取一期滞后，得：

(9)- λ(10),得:

整理得:

该式不能直接采用OLS 法进行估计, 因为存在Y t-1、Y t-2等随机解释变量，它们与扰动项相关, 并且扰动项存在序列相关。若采用OLS 法, 得到的估计量既不是无偏的, 也不是一致的。可采用工具变量法或极大似然法进行估计。

t i i t i i t i i t U X i a iX a X a ++++=∑

∑∑=-=-=-30

2

2301300αt t t t t u Z a Z a Z a Y ++++=221100α