特殊四边形的折叠问题(肖启星)
特殊四边形的折叠问题
深圳市宝安中学 肖启星
日常生活中，我们常见到有人将纸折叠成各种美丽的图案。用数学的眼光看，折纸过程中蕴含着丰富的数学知识。而折叠问题的解决过程也是综合运用多种数学思想方法的过程。 近年来，以特殊四边形为背景的折叠问题，在各类考试中屡见不鲜，对于特殊四边形的折叠问题，很多同学往往感到无从下手。事实上，要解决好这类问题，关键是要弄清“折痕”的特点，认识到折痕两边的部分是全等的，还要抓住以下几点：
1.牢记对称的性质：（1）关于一条直线对称的两个图形全等；（2）对应点间的所连线段被对称轴垂直平分。
2.综合运用三角形、四边形和全等的基本性质。
3.注意隐含的折叠前后的位置关系和数量关系。
4.适当添加辅助线，有时还需要借助代数中的方程思想、勾股定理，进行有关线段、角度、面积的计算。
下面通过不同的折叠方式进行分类，通过例题来对折叠问题进行解决。希望对同学们有所裨益：
一、沿着特殊四边形的对角线的折叠
例1 如图，已知矩形ABCD 中，BD 是对角线，∠ABD=30°，将ΔA 落在E 处，则∠CDE=( ) A.30° B.60° C.45° D.75解答：∵将ΔABD 沿BD 折叠，∠ABD=30°∴△ABD ≌△EBD ∴∠ABD=∠EBD=30°∠A=∠E=90° ∴∠BDE=60° 又∵在矩形ABCD 中，AB ∥CD ∴∠ABD=∠BDC=30°∴∠CDE=60°-30°=30°
分析：折叠前后两个三角形全等，利用三角形全等的性质，对应角相等。再结合在矩形中，对边平行得到内错角相等，即可以求出我们所要求的角度。
二、沿着特殊四边形的对角顶点重合的折叠
例2 如图，矩形OABC 中，AB = 8，OA = 4，把矩形OABC 对折，使点B 与点O 重合， 点C 移到点F 位置，折痕为DE 。
（1）求OD 的长；（2）连接BE ，四边形OEBD 是什么特殊四边形？请运用所学知识进行说明。 解答：（1）∵把矩形OABC 对折，使点B 与点O 重合。 ∴△ODE ≌△BDE ∴BD=OD ∴在Rt △ADO 中，设AD=x ，OD=BD=8-x ，
AO=4，根据勾股定理：()22248x x +=-，解得：AD=3 （2）∵△ODE ≌△BDE ∴∠BDE=∠ODE 又∵在矩形AOCB 中，AB ∥OC ∴∠BDE=∠OED 即：∠ODE=∠OED ∴OD=OE 又△ODE ≌△BDE 则BD=OD,BE=OE ∴BD=DO=OE=BE ∴四边形OEBD 为菱形。 分析：运用数形结合的思想，将几何图形中长度的问题通过勾股定理转化为代数中的解方程问题，是几何问题的重要方法。
三、使特殊四边形一顶点落在其一边上(或其一条对角线上)的折叠
例3 如图，折叠矩形纸片ABCD ，使点C 落在AB 上的点F 处，折痕为DE 。已知AB=10,BC=8， 则EC 的长为多少？
解答：由折叠知，Rt DCE Rt DFE △≌△ ∴CE=FE ，DF=DC
.设EC=x ，则BE=8-x ，在Rt △ADF 中，由勾股定理得： D F A B
C
O E
B 2222222
10836
AF DF AD DC AD
=-=-=-=则AF=6，从而
BF=10-6=4。又在Rt△BEF中，由勾股定理得：222
EF BE BF
=+，即()2
22
84
x x
=-+
解得：5
x=，即EC=5
分析：折叠使得顶点在一条线上面的题目，基本上都要选取其中一个直角三角形，通过勾股定理建立方程。
四、折两次的折叠
例4 将一个长方形纸片按图所示的方式折叠两次，BC、BD为折痕，则∠CBD的大小为（）
A.60°
B.75°
C.90°
D.95°
解答：由折叠结合对称性可知，∠ABC=∠A’BC, ∠EBD=∠E’BD。
显然有∠CBD=
180
90
2
=
点评：求角度时，要注意折叠前后的两图形对应角相等，再结合平角为180°，即可得出正确答案。
练习：
1.将一个面积为4的正方形按图中顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线（中位线）剪去上方的小三角形，将剩余部分展开所得图形的面积是（）
A．1 B．2 C．3 D．
1
2
2.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝3，则BC的长为（）
A．1B．2
C
D
3.如图，正方形ABCD的边长为a，AE平分∠DAC，EF⊥AC交于F，则EF= 。
4.如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分的面积是 .
第2题第3题第4题
5.如图，矩形OABC中，AB=8，OA=4，把矩形OABC折叠，使点B与点O重合，点C移到点F 位置，折痕为DE。
（1）求OD的长；
（2）请判断△OED的形状，并说明理由；
（3）如图2，以O点为坐标原点，OC、OA所在的直线分别为x轴、y轴，建立直角坐标系，求直线DE的函数表达式，并判断点B关于x轴对称的点B′是否在直线DE上？
经典特殊的平行四边形讲义
特殊 的平行四边形 一、知识回顾 矩形、菱形、正方形 1、菱形的性质：①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角． ③具有平行四边形所有性质． 2．菱形的判定：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形．②一组邻边相等的平行四边形是菱形． ③四条边都相等的四边形是菱形． 3．矩形的性质：①矩形的四个角都是直角．②矩形的对角线相等．③矩形具有平行四边形的所有性质． 4．矩形的判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的平行四边形是矩形． ③有三个角是直角的四边形是矩形． 5．正方形的性质：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等． ②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． 6．正方形的判定：①有一个角是直角的柳是正方形．②有一组邻边相等的矩形是正方形． ③对角线相等的菱形是正方形．④对角线互相垂直的矩形是正方形． 课前练习: 1．已知平行四边形ABCD 的周长是28cm ，CD-AD=2cm ，那么AB=______cm ，BC=______cm ． 2．菱形的两条对角线分别是6cm ，8cm ，则菱形的边长为_____，一组对边的距离为_____ 3．在菱形ABCD 中，∠ADC=120°，则BD ：AC 等于________ 4．已知正方形的边长为a ，则正方形内任意一点到四边的距离之和为_____． 5．矩形ABCD 被两条对角线分成的四个小三角形的周长之和是86cm ，对角线长是13cm ， 则矩形ABCD 的周长是_____________ 6．如图，有一张面积为1的正方形纸片ABCD ，M ，N 分别是AD ，BC 边的中点， 将C 点折叠至MN 上，落在P 点的位置，折痕为BQ ，连结PQ ，则PQ 二、例题讲解 矩形 例1．如图，已知矩形ABCD 的纸片沿对角线BD 折叠，使C 落在C ’处，BC ’边交AD 于E ，AD=4，CD=2 （1）求AE 的长 （2）△BED 的面积 巩固练习： 1．如图，矩形ABCD 中，AD=9，AB=3，将其折叠，使其点D 与点B 重合，折痕为 EF,求DE 和EF 的长。 2．如图，已知将矩形ABCD 沿EF 所在直线翻折，使点A 与C 重合，AB=6，AD=8,求折痕EF 的长 Ｍ Ｄ Ｑ ＢＡC ’ D A B C E F D A B C E C ’ E A D
专题训练(4) 特殊平行四边形中的五种折叠方式
专题训练(四)特殊平行四边形中的五种折叠方式 ?方式一把一个顶点折叠到一边上 1．如图4－ZT－1，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC上的点F处．若AE＝5，BF＝3，则CD的长是() A．7 B．8 C．9 D．10 图4－ZT－1 2．如图4－ZT－2，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E，F分别在边AB，BC上，△BEF沿EF折叠得到△GEF，且点G在边AD上．若EG⊥AC，AB＝6 2，则FG的长为 ________． 图4－ZT－2 3．如图4－ZT－3，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D 落在边BC上的点F处，过点F作FG∥CD，交AE于点G，连接DG. (1)求证：四边形DEFG为菱形； (2)若CD＝8，CF＝4，求CE DE的值． 图4－ZT－3 ?方式二把一个顶点折叠到对角线上 4．如图4－ZT－4所示，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使点B落在对角线AC上的点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为() A．3 B．4 C．5 D．6
图4－ZT －4 5．如图4－ZT －5所示，将长方形纸片ABCD 折叠，使边DC 落在对角线AC 上，折痕为CE ，且点D 落在对角线上的点D ′处．若AB ＝3，AD ＝4，则ED 的长为( ) A.32 B ．3 C ．1 D.43 图4－ZT －5 ? 方式三 把一个顶点折叠到另一个顶点上 6．把一张矩形纸片ABCD 按图4－ZT －6所示方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ，若AB ＝3 cm ，BC ＝5 cm ，则重叠部分△DEF 的面积为______cm 2. 图4－ZT －6 7．如图4－ZT －7所示，将矩形ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 与点A 重合，折痕交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接CE . (1)求证：四边形AFCE 为菱形； (2)设AE ＝a ，ED ＝b ，DC ＝c ，请写出a ，b ，c 三者之间的数量关系，并说明理由． 图4－ZT －7 ? 方式四 把一个顶点折叠到图形外或图形内 8．如图4－ZT －8，已知正方形ABCD 的对角线长为2 2，将正方形ABCD 沿直线EF 折叠，则图中阴影部分的周长为( ) A ．8 2 B ．4 2 C ．8 D ．6 图4－ZT －8 9．如图4－ZT －9，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6，E 是AB 边的中点，F 是线段BC 上的动点，将△EBF 沿EF 所在直线折叠得到△EB ′F ，连接B ′D ，则B ′D 的最小值是( ) A ．2 10－2 B ．6 C ．2 13－2 D ．4
特殊平行四边形折叠问题
折叠问题 1．如图所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AED ′为 度． 2．如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C ′处，折痕为EF ，若∠ABE ＝20°，那么∠EFC ′的度数为 度． 3．如图,把一个长方形纸片对折两次,然后剪下一个角.为了得到一个正方形,剪刀与折痕所成的角的度数应为 度． 4．如图，已知矩形纸片ABCD ，点E 是AB 的中点，点G 是BC 上的一点，? >∠60BEG ，现沿直线EG 将纸片折叠，使点B 落在约片上的点H 处，连接AH ，则与BEG ∠相等的角有 个。 A.4 B. 3 C.2 D.1 E D B C′ F C D ′ A
5．如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B '处，点A 对应点为A '，且C B '=3，则AM 的长是 6.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝2，AB ＝3，BC ＝6，沿AE?翻折梯形ABCD ，使点B 落在AD 的延长线上，记为B ′，连结B ′E 交CD 于F ，则DE:FC= A. 13 B. 14 C. 15 D. 1 6 7.如图，在梯形ABCD 中，∠DCB ＝90°，AB ∥CD ，AB ＝25，BC ＝24. 将该梯形折叠，点A 恰好与点D 重合，BE 为折痕，那么AD 的长度为_______． 8．如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形.则展开后三角形的周长是 . 9.如图2是一张矩形纸片ABCD ，AD =10cm ，若将纸片沿DE 折叠，使DC 落在DA 上，点C 的对应点为点F ，若BE =6cm ，则CD 的长是 A B C D M N A ' B ' F E D B A C ① ② 3 4
八年级数学下册小专题四边形中的折叠问题练习人教版
小专题(五) 四边形中的折叠问题 1．(2017·广州)如图，E，F分别是?ABCD的边AD，BC上的点，EF＝6，∠DEF＝60°，将四边形EFCD 沿EF翻折，得到EFC′D′，ED′交BC于点G，则△GEF的周长为(C) A．6 B．12 C．18 D．24 2．(2017·舟山)一张矩形纸片ABCD，已知AB＝3，AD＝2，小明按下图步骤折叠纸片，则线段DG长为(A) A.2B．2 2 C．1 D．2
3．(2017·南宁)如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝2，BD＝23，将菱形按如图方式折叠，使点B与点O重合，折痕为EF，则五边形AEFCD的周长为7． 4．如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C 在y轴的正半轴上，OA＝5，OC＝4.在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处．求D，E两点的坐标． 解：在Rt△AB E中，AE＝OA＝5，AB＝4， ∴BE＝3.∴CE＝2. ∴E点坐标为(2，4)． 在Rt△DCE中，DC2＋CE2＝DE2， 又∵DE＝OD，
∴(4－OD)2＋22＝OD 2 .解得OD ＝52. ∴D 点坐标为(0，5 2 )． 5．(2017·鄂州)如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点F 处，FC 交AD 于E. (1)求证：△AFE≌△CDE； (2)若AB ＝4，BC ＝8，求图中阴影部分的面积． 解：(1)证明：由翻折的性质可得AF ＝AB ，∠F ＝∠B＝90°. ∵四边形ABCD 为矩形， ∴AB ＝CD ，∠B ＝∠D ＝90°. ∴AF ＝CD ，∠F ＝∠D . 又∵∠AEF ＝∠CED ， ∴△AFE ≌△CDE (AAS). (2)∵△AFE ≌△CDE ，∴AE ＝CE . 根据翻折的性质可知FC ＝BC ＝8. 在Rt △AFE 中，AE 2 ＝AF 2 ＋EF 2 ， 即(8－EF )2 ＝42 ＋EF 2， 解得EF ＝3.∴AE ＝5. ∴S 阴影＝12EC ·AF ＝1 2 ×5×4＝10. 6．(2017·济宁)(教材P 64“活动1”的变式)实验探究： (1)如图1，对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平；再次折叠纸片，
特殊的平行四边形知识梳理+典型例题
特殊的平行四边形 知识点一：矩形 1、概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 2、性质定理（1）矩形的四个角是直角 （2）矩形的对角线相等且互相平分 （3）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形 直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 特殊运用：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 3、判定定理 （1）有一个角为直角的平行四边形叫矩形 （2）对角线相等平行四边形为矩形 （3）有三个角是直角的四边形是矩形 推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 归纳补充： 1、矩形是对称图形，对称中心是，矩形又是对称图形，对称轴有条 2、矩形中常见题目是对角线相交成600或1200角时，利用直角三角形、等边三角形等图形的性质解决问题 3、矩形的面积S矩形=长×宽=ab
知识点二：菱形 1、定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2、性质定理： （1）菱形的四条边都相等 （2）菱形的对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角 （3）菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是都是它的对称轴 菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心 2、判定定理： （1）一组邻边相等的平行四边形是菱形 （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 （3）四条边都相等的四边形是菱形 ※注意：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，对角线互相垂直平分的四边形才是菱形 归纳补充: 1、菱形被对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形 2、菱形的面积可以用平行四边形面积公式计算，也可以用两对角线积的来计算 3、菱形常见题目是内角为1200或600时，利用等边三角形或直角三角形的相关知识解决题目知识点三：正方形 1、定义：有一组邻边相等的矩形叫正方形 2、性质定理 （1）正方形的四条边都相等，四个角是直角。 （2）正方形的两条对角线相等且互相垂直平分，每一组对角线平分一组对角 （3）正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形 3、判定定理 （1）有一组邻边相等的矩形是正方形 （2）对角线相互垂直的矩形是正方形 （3）对角线相等的菱形是正方形 （4）有一个角是直角的菱形是正方形 方法总结： （1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种： 先证它是矩形，再证有一组邻边相等。先证它是菱形，再证有一个角是直角。
初中绝招数学-四边形中的折叠问题
四边形中的折叠问题 折叠可以带来全等图形，在平行四边形中，对角线把它分成全等的三角形，因此在四边 形中经常会遇到折叠问题。解决此类问题的关键是要注意观察折叠前后的图形，发现它们之间的关系，找到边、角中的变量和不变量，寻找全等三角形，同时还会经常综合运用到四边形的有关知识。 一、例题讲解 例1 如图，将一张对边平行的纸条先沿EF 折叠，点A 、B 分别落在'A 、'B 处，线段FB '与AD 交于点M ，再将纸条的另一部分CFMD 沿MN 折叠，点C 、D 分别落在'C 、'D 处，且使MD '经过点F ． （1）求证：四边形MNFE 是平行四边形； （2）当翻折角BFE =∠ 度时， 四边形MNFE 是菱形．（将答案直接 填写在横线上） （1）证明：由题意可知21∠=∠， ∵AD ∥BC , ∴31∠=∠. ∴32∠=∠. ∴MF ME = 同理 FM FN =. ∴FN ME =. 又∵ME ∥FN , ∴四边形MNFE 是平行四边形. （2）60 例2 如图，把矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 落在点E 处，EC 与AD 相交于点F. （1）求证：△FAC 是等腰三角形； （2）若AB=4，BC=6，求△FAC 的周长和面积. （1）证明：由题意可知△AB C ≌△ACD ≌△ACE, 所以∠DAC=∠ACE,所以△FAC 是等腰三角形； （2）解：设CF=AF=x ，且AD=BC=6,CD=AB=4 Rt △CDF 中，DF=AD-AF=6-x 由勾股定理得，2 2 2 4(6)x x +-= 133 x = A B C D A B C D
6-x= 5 3 Rt △ABC 中， AC=△FAC 的周长= 26 3 +△FAC 的面积=△ACD 的面积-△CDF 的面积= 263 例3如图，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上F 点处，已知 cm CE 6=，cm AB 16=，求BF 的长． 解：由题意可知△ADE ≌△AFE . ∴AF AD =，FE DE =. 在矩形ABCD 中， 16==AB CD ，CB AD =，?=∠=∠=∠90D C B , ∵6=CE , ∴10=-==CE CD DE EF . 在Rt △CEF 中，822=-= CE EF FC . 设x BF =，则x BF FC BC +=+=8, ∴x BC AD AF +===8. 在Rt △ABF 中，22 2 AF BF AB =+, 即22 2 )8(16x x +=+, 解得 12=x ，即12=BF （cm ）. 例4 在梯形纸片ABCD 中，AD BC ∥，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C '处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '． （1）求证：四边形CDC E '是菱形； （2）若BC CD AD =+，试判断四边形ABED 的形状， 并加以证明． （1）证明：根据题意可知CDE C DE '△≌△， C D C D C D E C D E C E C '''∴===，，∠∠． A D B C ∥，C DE CED '∴=∠∠． C D E C E ∴=∠∠．CD CE ∴=． C D C D C E ''∴===． ∴四边形CDC E '为菱形． （2）解：当BC CD AD =+时，四边形ABED 为平行四边形． 证明：由（1）知CE CD =． 又BC CD AD =+ ，BE AD ∴=． 又AD BE ∥，∴四边形ABED 为平行四边形． F E D C B A
特殊四边形经典例题
特殊四边形经典例题 ①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形； ②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形； ③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形； 于点M，N．给出下列结论： ①△ABM≌△CDN；②AM=AC；③DN=2NF；④S四边形BFNM=S平行四边形ABCD． 其中正确的结论有（） MNQP，分别内接于△BCD和△ABD，设矩形EFCH，MNQP的周长分别为m1，m2，则 m1，m2的大小关系为（） 6．如图，已知AD是三角形纸片ABC的高，将纸片沿直线EF折叠，使点A与点D重合，给出下列判断： ①EF是△ABC的中位线； ②△DEF的周长等于△ABC周长的一半； ③若四边形AEDF是菱形，则AB=AC； ④若∠BAC是直角，则四边形AEDF是矩形， 其中正确的是（）
7．如图，已知A1，A2，A3，…A n是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=A n﹣1A n=1，分别过点A1，A2，A3，…A n作x轴的垂线交反比例函数y=（x＞0）的图象于点B1，B2，B3，…B n， 过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1，过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2…，记△B1P1B2的面积为S1，△B2P2B3的面积为S2…，△B n P n B n+1的面积为S n，则S1+S2+S3+…+S n=_________．8．如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作内接正方形A1B1D1C1；在等腰直角三角形OA1B1中作内接正方形A2B2D2C2；在等腰直角三角形OA2B2中作内接正方形 A3B3D3C3；…；依次做下去，则第n个正方形A n B n D n C n的边长是_________． 9．已知如图，在线段BG同侧作正方形ABCD和正方形CEFG，其中BG=10，BC：CG=2：3，则S△ECG=_________，S△AEG=_________． 10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始，沿边AC向点C 以每秒1个单位长度的速度运动，动点D从点A开始，沿边AB向点B以每秒个单位长 度的速度运动，且恰好能始终保持连结两动点的直线PD⊥AC，动点Q从点C开始，沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，连结PQ．点P，D，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）． （1）当t为何值时，四边形BQPD的面积为△ABC面积的？ （2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； （3）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q 的速度．
四边形中的折叠问题2
平行四边形复习 基础知识：如图，平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，则图中全等的三角形有 ， 面积相等的三角形有 ___________ ，相等的线段有 相等的角有 1,6,8,t ABC AC cm BC cm ?==.在R 中将此直角三角形折叠,使直角边AC 落在斜边AB 上, 点C 与点D 重合,折痕为AE,则BE 的长为 2.如图，把一张平行四边形纸片ABCD 沿BD 对折，使C 点落在E 点处，BE 与AD 相交于点O ，若∠DBC=15°，则∠BOD= 150° . 3已知，如图，将平行四边形ABCD 沿对角线AC 折叠， 点B 落在点B1处，CB1交AD 于点M.求证：MB1=MD M B1 A D B C 4将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF ．若AB=3，则BC 的长为（ ） A O C D D A C B C B O A E D
5:①如图，将矩形纸片ABCD 沿AE 折叠，使点B 落在直角梯形AECD 的中位线FG 上，若 AE 的长为( )． A B C D E F G B' 6.将一个边长分别为8,16的长方形纸片ABCD 折叠,使C 点与A 点重合,则折痕EF 的长是 7矩形ABCD 沿对角线AC 折叠,点B 落在点B /处,B /C 与AD 相交于点M, (1) 求证 △MAC 是等腰三角形 (2) 若AB=4,BC=6,求△MAC 的周长和面积 8. （2008年江西省）如图，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B ′处，点A 落在点A ′处，(1)求证：B ′E=BF ；(2)设AE=a ，AB=b, BF=c,试猜想a 、b 、c 之间有何等量关系，并给予证明. 9如图，用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm,长BC 为10cm.当折叠时顶点D 落在BC 边上的点F 处，折痕为AE ，求EC 的长。 A B C D E F A ′ B ′ A /B
(完整版)平行四边形及特殊平行四边形知识点(经典完整版)
平行四边形矩形菱形正方形图形 性质①对边且； ②对角；邻角； ③对角线； ④对称性：平行四边形不是轴对称图形. ①对边且； ②对角且四个角都是； ③对角线； ④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直 线，2条）． ①对边且四条边都； ②对角； ③对角线且每条对角 线； ④对称性：轴对称图形（对角线所在直线，2 条） ①对边且四条边都； ②对角且四个角都是； ③对角线且每条对角线 （即与边的夹角 度）； ④对称性：轴对称图形（4条） 判定方法 ①的 四边形是平行四边形； ②的 四边形是平行四边形； ③的 四边形是平行四边形； ④的 四边形是平行四边形； ⑤的 四边形是平行四边形； ①是矩形； ②是矩形； ③是矩形； ①是菱形； ②是菱形； ③是菱形； ①有一组的矩形是正方形； ②对角线的矩形是正方形； ③有一个角是的菱形是正方形； ④对角线的菱形是正方形.； ⑤有一组且有一个角是的 平行四边形是正方形； ⑥对角线且的 平行四边形是正方形.?????? 正方形的判定方法很多，所有以平行四边形， 矩形，菱形三者的判定作为条件的四边形都是 正方形. 面积
一、本章知识框架图 正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的关系有怎样的包含关系？请填入下图中. 平行四边形 二、几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析 （1）判定矩形的常用方法（3种） ①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的有一个角为直角． ②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等． ③说明四边形ABCD的三个角是直角． （2）判定菱形的常用方法（3种）
苏教版八下数学第九章平行四边形--折叠、动点问题
折叠问题 【矩形折叠问题】 1、矩形折叠问题：如图所示，把一张矩形纸片沿对角线折叠，重合部分是什么图形，试说明理由． 2、（1）若AB=4，BC=8，求AF ． 3、（2）若对折使C 在AD 上，AB=6，BC=10，求AE ，DF 的长． 2、在矩形ABCD 中，AB=4，BC=8，将图形沿着AC 对折，如图所示： （1）请说明△ABF ≌△CEF （2）求CEF S 3、在矩形ABCD 中，AB=3，BC=5，将图形沿着EF 对折，使得B 点与D 点重合。 （1）说明DE=DF （2）、求DEG S △ （3）求EF 的长度。 4、如图①，将边长为4cm 的正方形纸片ABCD 沿EF 折叠（点E 、F 分别在边AB 、CD 上），使点B 落在AD 边上的点M 处，点C 落在点N 处，MN 与CD 交于点P ，连接EP ． （1）如图②，若M 为AD 边的中点， ①△AEM 的周长= cm ；②求证：EP=AE+DP ； （2）随着落点M 在AD 边上取遍所有的位置（点M 不与A 、D 重合），△PDM 的周长是否发生变化？请说明理由．
能力训练 1、如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形。则展开后三角形的周长是。 2、如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG＞60°．现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与∠BEG相等的角的个数为。 3、如图所示，把一长方形纸片MN折叠，点D、C分别落在D′，C′的位置。若∠AMD′=36°，则∠NFD′= 。 4、如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，记与点A重合的点为A′，则△A′BG的面积与该矩形面积的比为。 5、如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B'处，点A对应点为A′，且B′C=3，则AM的长是（） A．1.5 B．2 C．2.25 D．2.5 6、如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=6cm，点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A′、D′处，则整个阴影部分图形的周长为（） A．18cm B．36cm C．40cm D．72cm 7、如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN长是（） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 8、小明尝试着将矩形ABCD（如图①，AD＞CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M 处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，那么矩形ABCD长与宽的比值为。
经典特殊的平行四边形讲义
特殊的平行四边形 一、知识回顾 矩形、菱形、正方形 1、菱形的性质：①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角． ③具有平行四边形所有性质． 2．菱形的判定：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形．②一组邻边相等的平行四边形是菱形． ③四条边都相等的四边形是菱形． 3．矩形的性质：①矩形的四个角都是直角．②矩形的对角线相等．③矩形具有平行四边形的所有性质．4．矩形的判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的平行四边形是矩形． ③有三个角是直角的四边形是矩形． 5．正方形的性质：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等． ②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．6．正方形的判定：①有一个角是直角的柳是正方形．②有一组邻边相等的矩形是正方形． ③对角线相等的菱形是正方形．④对角线互相垂直的矩形是正方形． 课前练习: 1．已知平行四边形ABCD的周长是28cm，CD-AD=2cm，那么AB=______cm，BC=______cm．2．菱形的两条对角线分别是6cm，8cm，则菱形的边长为_____，一组对边的距离为_____ 3．在菱形ABCD中，∠ADC=120°，则BD：AC等于________ 4．已知正方形的边长为a，则正方形内任意一点到四边的距离之和为_____． 5．矩形ABCD被两条对角线分成的四个小三角形的周长之和是86cm，对角线长是13cm， 则矩形ABCD的周长是_____________ Ｍ Ｄ Ｑ
6．如图，有一张面积为1的正方形纸片ABCD ，M ，N 分别是AD ，BC 边的中点，将C 点折叠至MN 上，落在P 点的位置，折痕为BQ ，连结PQ ，则PQ 二、例题讲解 矩形 例1．如图，已知矩形ABCD 的纸片沿对角线BD 折叠，使C 落在C ’处，BC ’边交AD 于E ，AD=4，CD=2 2．如图，已知将矩形ABCD 沿EF 所在直线翻折，使点A 与C 重合，AB=6，AD=8,求折痕EF 的长 巩固练习 1．矩形的相邻两边的长分别是12㎝和5㎝，则矩形的对角线的长是 。 2．若矩形的面积是36 3 cm 2，两条对角线相交成60o锐角，则此矩形的两邻边长分别是 ㎝和 ______ ㎝。 F D A B C E C ’ E F A B C D
第18章平行四边形中的折叠问题
平行四边形与特殊平行四边形中的折叠型问题 折叠型问题就是把一个图形一部分沿某条直线折叠后， 所形成的图形问题。这类问题既是对称问题的应用， 又可考查空间想象能力。此类问题可以涵盖三角形的全等、三角形的性质、勾股定理、图形变换、垂直、平行等很多知识。今天我们就一起学习折叠型问题在平行四边形与特殊平行四边形中的应用。 一、平行四边形中的折叠问题 1．如图1，把一张平行四边形纸片ABCD 沿BD 对折，使C 点落在E 处。BE 与AD 相交于点O ，若∠DBC=15°,则∠BOD=________. 2．如图2，平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕，将△ABE 向上翻折，点A 正好落在CD 上的点F 处，若△FDE 的周长为8，△FCB 的周长为22，则FC 的长为_________. 二、矩形中的折叠问题 3．如图3，把矩形纸条ABCD 沿EF ，GH 同时折叠，B ，C 两点恰好落在AD 边的P 点处，若∠FPH＝90°，PF ＝8，PH ＝6，则矩形ABCD 的边BC 长为（ ） Ａ．20 Ｂ．22 Ｃ．24 Ｄ．30 4．如图4，将一张矩形纸片ABCD 的角C 沿着GF 折叠（F 在BC 边上，不与B 、C 重合）使得C 点落在矩形ABCD 内部的E 处，FH 平分∠BFE，则∠GFH 的度数为_________度 三、正方形中的折叠问题 5．如图5，四边形ABCD 为正方形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若 CD ＝8，则CF 等于（ ） A ．3 B ．5 C ．4 D ．8 6．如图6，已知正方形纸片ABCD ，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，把BC 边向上翻折，使点C 恰好落在MN 上的P 点处，BQ 为折痕，则∠PBQ=_____度。 O E A B D C
四边形中的折叠问题+动点问题
F E D A B C 四边形中的折叠问题 折叠可以带来全等图形，在平行四边形中，对角线把它分成全等的三角形，因此在四边形中经常会遇到折叠问题。解决此类问题的关键是要注意观察折叠前后的图形，发现它们之间的关系，找到边、角中的变量和不变量，寻找全等三角形，同时还会经常综合运用到四边形的有关知识。 一、例题讲解 例1 如图，将一张对边平行的纸条先沿EF 折叠，点A 、B 分别落在'A 、'B 处，线段FB '与AD 交于点M ，再将纸条的另一部分CFMD 沿MN 折叠，点C 、D 分别落在'C 、'D 处，且使MD '经过点F ． （1）求证：四边形MNFE 是平行四边形； （2）当翻折角BFE =∠ 度时， 四边形MNFE 是菱形．（将答案直接 填写在横线上） 例2 如图，把矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 落在点E 处，EC 与AD 相交于点F. （1）求证：△FAC 是等腰三角形； （2）若AB=4，BC=6，求△FAC 的周长和面积. 例3如图，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上F 点处，已知 cm CE 6=，cm AB 16=，求BF 的长． 例4 在梯形纸片ABCD 中，AD BC ∥，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C '处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '． （1）求证：四边形CDC E '是菱形； （2）若BC CD AD =+，试判断四边形ABED 的形状， 并加以证明 N E F M D' A' B' C' A B C D F E D C B A
16．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝3 cm，BC＝4 cm．现将A，C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，试求AF的长和重叠部分△AEF的面积． 18．如图，E是矩形ABCD的边AD上一点，且BE＝ED，P是对角线BD上任意一点，PF ⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为F、G．求证：PF＋PG＝AB． 动点问题 一、所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想数形结合思想转化思想 类型： 1.利用图形想到三角形全等，相似及三角函数 2.分析题目，了解有几个动点，动点的路程，速度（动点怎么动） 3.结合图形和题目，得出已知或能间接求出的数据 4.分情况讨论，把每种可能情况列出来，不要漏 5.动点一般在中考都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路 6.动点类题目一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示，就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论
中考特殊平行四边形证明及计算经典习题及答案.
DSE 金牌数学专题系列经典专题系列 初中数学中考特殊四边形证明及计算 一．解答题 1．（1）如图①，?ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F． 求证：AE=CF． （2）如图②，将?ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I． 求证：EI=FG． 考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）． 分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，OA=OC，又由平行线的性质，可得∠1=∠2，继而利用ASA，即可证得△AOE≌△COF，则可证得AE=CF． （2）根据平行四边形的性质与折叠性质，易得A1E=CF，∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，继而可证 得△A1IE≌△CGF，即可证得EI=FG． 解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，OA=OC， ∴∠1=∠2， 在△AOE和△COF中， ，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF； （2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D，由（1）得AE=CF， 由折叠的性质可得：AE=A1E，∠A1=∠A，∠B1=∠B， ∴A1E=CF，∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，又∵∠1=∠2，∴∠3=∠4，∵∠5=∠3，∠4=∠6， ∴∠5=∠6，在△A1IE与△CGF中， ，∴△A1IE≌△CGF（AAS），∴EI=FG． 点评：此题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．
平行四边形与特殊平行四边形中的折叠型问题
(7题图) A B C D F E 平行四边形与特殊平行四边形中的折叠型问题 折叠型问题就是把一个图形一部分沿某条直线折叠后，所形成的问题。这类问题既是对称问题的应用，又可考查空间想象能力。此类问题可以涵盖三角形的全等、三角形的性质、勾股定理、图形变换、垂直、平行等很多知识。今天我们就一起学习折叠型问题在平行四边形与特殊平行四边形中的应用。 一、平行四边形中的折叠问题 例1：如图1，把一张平行四边形纸片ABCD 沿BD 对折，使C 点落在E 处。BE 与AD 相交于点O ，若∠DBC=15°,则∠BOD=________. 图1 图2 例2：如图2，平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕，将△ABE 向上翻折，点A 正好落在CD 上的点F 处，若△FDE 的周长为8，△FCB 的周长为22，则FC 的长为_________. 二、矩形中的折叠问题 例3 ：如图3，把矩形纸条ABCD 沿EF ，GH 同时折叠，B ，C 两点恰好落在AD 边的P 点处，若∠FPH ＝90°，PF ＝8，PH ＝6，则矩形 ABCD 的边BC 长为（ ）Ａ．20 Ｂ．22 Ｃ．24 Ｄ．30? 例4：如图4，将一张矩形纸片ABCD 的角C 沿着GF 折叠（F 在BC 边上，不与B 、C 重合）使得C 点落在矩形ABCD 内部的E 处，FH 平分∠BFE ，则∠GFH 的度数为_________度 图4 三、正方形中的折叠问题 例5 ：如图5，四边形ABCD 为正方形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD ＝8，则CF 等于（ ）A ．3 B ．5 C ．4 D ．8 图5 图6 例6：如图6，已知正方形纸片ABCD ，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，把BC 边向上翻折，使点C 恰好落在MN 上的P 点处，BQ 为折痕，则∠PBQ=_____度。 四、直角坐标系中关于特殊平行边形的折叠问题 例7：将一矩形纸片OABC 放在直角坐标系中，O 为原点，C 在x 轴上，OA=6，OC=10。如图7，在OA 上取一点E ，将△EOC 沿EC 折叠，使O 点落在AB 边上的D 点，求E 点的坐标； 图7 图8 例8:图8在直角坐标系中，将矩形OABC 沿OB 对折，使点A 落在点A 1处，已知OA=3，AB=1，则点A 1的坐标是（ ） A. 13(, )22 B.3(,3)2 C.33(,)22 D. 33 (,)22 小 结：1．对称点的连线被对称轴垂直平分，连结两对称点既可以得到相等的线段，也可以构造直角三角形, 从而把折叠问题转化为轴对称问题， 2．利用三角形（或多边形）全等可以得到对应线段、对应角相等，要善于挖掘翻折前后所提供的相等线段与角度，从而将所给条件进行转移（集中在一起）。 3．利用勾股定理既可以计算线段的长度，又可以将已知、未知结合一起列出方程来求解（方程思想）。 检测题： 1．把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点C ，D 分别落在C′，D′的位置上，EC′交AD 于点G ．则△EFG 为 三角形． 2．如图长方形纸片ABCD 中,AD=9,AB=3,将其折叠,使其点D 与点B 重合,点C 至点C′, 折痕为EF.求AE 的长. 3如图，将边长为8㎝的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中 点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（ ） A ．3cm B ．4cm C ．5cm D ．6cm 4如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD =8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF =3，则AB 的长为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 O E A B D C N M E A （第7题
初中数学基础测试专项训练： 特殊四边形相关的折叠问题(含答案)
特殊四边形相关的折叠问题 一、选择题 1. 如图，将?ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在B ′处，若∠1=∠2=44°，则∠B 为（ ） A ．66° B ．104° C ．114° D ．124° 2．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=5，点E 在边CD 上，连接BE ，将△BCE 沿BE 折叠，若点C 恰好落在AD 边上的点F 处，则CE 的长为（ ） A. 53 B. 35 C. 43 D.3 4 3．如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH ．若BE ：EC=2：1，则线段CH 的长是（ ） A.3 B. 4 C. 5 D.6 二、填空题 4． 如图，折叠矩形纸片ABCD ，得折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DF ．若AB=4，BC=2，则AF= _________． 5. 如图，长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为________ cm 2．
6.如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE=1，F 为AB上的一点，AF=2，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为_______. 三、解答题 7．在平行四边形ABCD中，将△BCD沿BD翻折，使点C落在点E处，BE和AD相交于点O. 求证：OA=OE 8.如图，将□ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点'D处，折痕l交CD边于点E，连接BE （1）求证：四边形' BCED是平行四边形 （2）若BE平分∠ABC，求证：2 2 2BE AE AB+ = 9．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边 CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处。 （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积。 10．将矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕交BC于E，交AD于F， （1）求证：四边形AECF为菱形； （2）若AB=4，BC=8， ①求菱形的边长； A B C D E O
新课标人教版八年级数学下平行四边形及特殊的平行四边形知识点总结及经典习题(精品)教案资料
《四边形》的基本知识、主要考点、配套试题全章知识脉络：
平行四边形 ◆考点1．平行四边形的两组对边分别平行且相等 推论：平行四边形一组邻边的和为周长的一半 对边平行 内错角相等（有“角平分线”会产生“等腰三角形” ） 1．□ABCD 的周长为34cm ，且AB=7cm ，则BC= cm 。 2．□ABCD 的周长为26cm ，相邻两边相差3cm ，则AB= cm 。 3、如果ABCD 的周长为28cm ，且AB ：BC=2∶5，那么AB= cm ，BC= cm ，CD=_____cm ， 4、如图，□ABCD 中，CE 平分∠BCD ，BG 平分∠ABC ，BG 与CE 交于点F 。(1)求证：AB=AG ；(2)求证：AE=DG ；(3)求证：CE ⊥BG 。 ◆考点2．平行四边形的两组对角分别相等 推论：平行四边形的邻角互补 1．平行四边形的一个角为50度，则其余三个角分别为 。 2．平行四边形相邻两个角相差40度，则相邻两角度数分别为 。 3、□ABCD 中两邻角∠A ：∠B=1：2，则∠C=_______度 D A G E F
4、在□ABCD 中，若∠A-∠B=70°，则∠A=______，∠B=______，∠C=______，∠D=______． ◆考点3．平行四边形的对角线互相平分 推论1：经过平行四边形对角线交点的直线具备双重平分作用： ①该直线平分平行四边形的面积； ②该直线在平行四边形内的部分被对角线平分。 1．如图，□ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，△AOB 与△BOC 的周长相差2， 且AB=5，则BC= 。 2．如图△ABC 中，AB=3，AC=5，则BC 边上的中线AD 长度的取值范 围是 。 3．平行四边形的一条对角线长为10，则它的两边可能长为（ ） A ．5和5 B ．3和9 C ．4和15 D ．10和20 4．平行四边形的两条对角线长分别6和10，则它的边长不可能是（ ） A ．3 B ．4 C ．7 D ．8 5．平行四边形的一条边长为8，则它两条对角线可以是（ ） A ．6 和12 B ．6和10 C ．6 和8 D ．6 和6 6．如图，□ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，过点O 作OE ⊥AC 交AD 于E ， 连接CE ，若△CDE 的周长为12，则□ABCD 的周长为 。 C B C B
将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠
1将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D ′ 处，折痕为EF ．（1）求证：△ABE ≌△AD ′F ； （2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论． 2．如图，ABCD 是矩形，cm AD cm AB 3,4==，把矩形沿直线AC 折叠，点B 落在E 处，连结DE 。四边形ACDE 是什么图形？为什么？它的面积是多少？周长呢？ 3. 如图，已知：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD ，E 、F 、G 、H 分别是AD 、BC 、BE 、CE 的中点. （1）求证：△ABE ≌△DCE （2）四边形EGFH 是什么特殊四边形？并证明你的结论． （3）连接EF ,当四边形EGFH 是正方形时，线段EF 与BC 有什么关系？请说明理由.
4如图，在直角梯形ABCD 中，,8,24,90,//0cm AB cm AD B BC AD ===∠ cm BC 26=，动点P 从A 开始沿AD 边向D 以s cm /1的速度运动；动点Q 从点C 开始沿CB 边向B 以s cm /3的速度运动。P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts 。 （1）当t 为何值时，四边形PQCD 为平行四边形？ （2）当t 为何值时，四边形PQCD 为等腰梯形？ （3）当t 为何值时，四边形PQCD 为直角梯形？ 5、某市从今年1月1日起调整居民用水每立方米的价格，每立方米价格上涨13，小丽家去年12月份的水费是15元，而今年5月份的水费是30元，已知小丽家今年5月份的用水量比去年12月份的用水量多5立方米，求该市去年和今年居民用水每立方米的价格各是多少？ 6.如图，AD ∥FE ，点B 、C 在AD 上，∠1＝∠2，BF ＝BC ⑴求证：四边形BCEF 是菱形 ⑵若AB ＝BC ＝CD ，求证：△ACF ≌△BDE 7.为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图所示AB 所在的直线上建一图书室，该社区有两所学校所在的位置在点C 和点D 处，CA ⊥AB 于A ，DB ⊥AB 于B ，已知AB = 25km ，CA = 15 km ，DB = 10km ，试问：图书室E 应该建在距点A 多少km 处，才能使它到两所学校的距离相等?