3.2抛物线的简单几何性质讲义

抛物线的简单几何性质讲义

知能点全解：

一、范围：因为p ＞0，由方程()022

>=p px y 可知，这条抛物线上的点M 的坐标(x ，y)满足不等式x ≥0，

所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．二、对称性：以－y 代y ，方程()022

>=p px y 不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的对称

轴叫做抛物线的轴．

三、顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程()022

>=p px y 中，当y=0时，x=0，因此抛

物线()022

>=p px y 的顶点就是坐标原点．

四、离心率：抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示．由抛物线的定义可知，e=1．

对于其它几种形式的方程，列表如下：

注意：1、强调p 的几何意义：是焦点到准线的距离

2、抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线

五、抛物线的焦半径及其应用：

1、定义：抛物线上任意一点M 与抛物线焦点F 的连线段，叫做抛物线的焦半径

六、直线与抛物线：

1、位置关系：相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）

2、相交弦长：弦长公式：21k a

d +?

，其中a 和?分别是02=++c bx ax （*）中二次项系数和判别式，k 为直线b kx y l +=:的斜率

3、焦点弦：

（1）定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。

（2）焦点弦公式：设两交点),(),(2211y x B y x A ，可以通过两次焦半径公式得到：当抛物线焦点在x 轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关： a 、抛物线)0(22

>=p px y ， (21x x p AB ++=

b 、抛物线)0(22

>-=p px y ， (21x x p AB +-=

当抛物线焦点在y 轴上时，焦点弦只和两焦点的纵坐标有关： a 、抛物线)0(22

>=p py x ， (21y y p AB ++=b 、抛物线)0(22

>-=p py x ，(21y y p AB +-=

4、通径：

（1）定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦

（2）直接应用抛物线定义，得到通径：d 2=

5、若已知过焦点的直线倾斜角θ

则?????

=-=px y p x k y 2)2(20222=--?p y k p y ?????-==+?2

212

12p

y y k p y y θsin 2442

221p p k

p y y =+=-?θθ221sin 2sin 1p y y AB =-=? 6、常用结论：

?????

=-=px

y p x k y 2)2(2

022

2=--

?p y k p y 和04)2(22222=++-p k x p p k x k 221p y y -=?和4

21x x =

题型讲解：

例1 已知抛物线关于x 轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点)22,2(-M ，求它的标准方程．

例2 过抛物线px y 22

=的焦点F 任作一条直线m ，交这抛物线于A 、B 两点，求证：以AB 为直径的圆和这抛物线的准线相切．

例 3 正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线)0(22

>=p px y 上，求这个正三角形的边长．

随堂演练：

1、过抛物线x y 42

=的焦点作直线交抛物线于()11,y x A ，()22,y x B 两点，如果621=+x x ，那么||AB =（）

A 、10

B 、8

C 、6

D 、4

2、已知M 为抛物线x y 42

=上一动点，F 为抛物线的焦点，

定点()1,3P ，则||||MF MP +的最小值为（） A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 3、过抛物线()02

>=a ax y 的焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 、QF 的长分别是p 、q ，

则

p 1

1+=（） A 、a 2 B 、

a 21 C 、a 4 D 、a

4 2

5、定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线x y =2

上移动，求AB 中点M 到y 轴距离的最小值，并求出此时AB 中点M 的坐标

6、根据下列条件，求抛物线的方程。

（1）顶点在原点，对称轴是x 轴，顶点到焦点的距离等于8．（2）顶点在原点，焦点在y 轴上，且过P （4，2）点．

（3）顶点在原点，焦点在y 轴上，其上点P （m ，－3）到焦点距离为5．

7、过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 在准线上的射影是A 2，B 2，则∠A 2FB 2等于

8、抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y 轴垂直的弦长为16，求抛物线方程．

9、以椭圆15

=+y x 的右焦点，F 为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆在准线所得的弦长．

10、有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米，当水面下降1米时，水面宽是多少米？

11、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线()022

>=p px y 上，求这个正三角形的边

长

12、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线()022

>=p px y 上，求正三角形外接圆的

方程

13、已知ABC ?的三个顶点是圆092

=-+x y x 与抛物线()022

>=p px y 的交点，且ABC ?的垂心恰好

是抛物线的焦点，求抛物线的方程

14、已知直角OAB ?的直角顶点O 为原点，A 、B 在抛物线()022

>=p px y 上，

（1）分别求A 、B 两点的横坐标之积，纵坐标之积；

（2）直线AB 是否经过一个定点，若经过，求出该定点坐标，若不经过，说明理由；（3）求O 点在线段AB 上的射影M 的轨迹方程

15、已知直角OAB ?的直角顶点O 为原点，A 、B 在抛物线()022

>=p px y 上，原点在直线AB 上的射

影为()1,2D ，求抛物线的方程

16、已知抛物线()022

>=p px y 与直线1+-=x y 相交于A 、B 两点，以弦长AB 为直径的圆恰好过原点，

求此抛物线的方程

抛物线的简单几何性质教案 (1)

抛物线的简单几何性质; ●教学目标 1.掌握抛物线的几何性质; 2.能根据几何性质确定抛物线的标准方程; 3.能利用工具作出抛物线的图形. ●教学重点抛物线的几何性质 ●教学难点几何性质的应用 ●教学方法学导式 ●教具准备三角板 ●教学过程 Ⅰ.复习回顾简要回顾抛物线定义及标准方程的四种形式(要求学生回答) 师:这一节,我们根据抛物线的标准方程)0(22 p px y = ①来研究它的几何性质 Ⅱ.讲授新课 1. 范围当x 的值增大时,y 也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.(但应让学生注意与双曲线一支的区别,无渐近线). 2.对称性抛物线关于x 轴对称. 我们把抛物线的对称轴叫抛物线的轴. 3.顶点抛物线和它的轴的交点叫抛物线的顶点.即坐标原点. 4.离心率抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫抛物线的离心率,用e 表示.由抛物线定义可知,e =1. 说明:对于其余三种形式的抛物线方程,要求自己得出它们的几何性质,这样,有助于学生掌握抛物线四种标准方程. 师:下面,大家通过问题来进一步熟悉抛物线的几何性质. 例1.已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在原点,并且经过点M (2,-22),求它的标准方程,并用描点法画出图形. 师:由已知条件求抛物线的标准方程时,首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型,再求出方程中的参数P . 解:因为抛物线关于x 轴对称,它的顶点在原点,并且经过点M (2,-22),所以可设它的标准方程为: )0(22 p px y =

因为点M 在抛物线上，所以22)22(2?=-p ，即2=p 因此所求方程是.42x y = 下面列表、描点、作图：说明：①利用抛物线的对称性可以简化作图步骤； ②抛物线没有渐近线； ③抛物线的标准方程)0(22 p px y =中p 2的几何意义：抛物线的通径，即连结通过焦点而垂直于x 轴直线与抛物线两交点的线段. 师:下面我们通过练习进一步熟悉并掌握抛物线的标准方程. Ⅲ.课堂练习课本P 122练习1,2. ●课堂小结师:通过本节学习,要求大家掌握抛物线的几何性质,并在具体应用时注意区分抛物线标准方程的四种形式. ●课后作业习题8.6 1,2,5. ●板书设计 ●教学后记

抛物线专题复习总结模板计划模板讲义及重点学习的练习.doc

抛物线专题复习讲义及练习 ★知识梳理 ★ 1. 抛物线的标准方程、类型及其几何性质 ( p 0 ) ：标准方程 y 2 2 px y 2 2 px x 2 2 py x 22py 图形 ▲ ▲ y ▲ ▲ y y y x x x x O O O O 焦点 p p ,0) F ( 0, p F (0, p F ( ,0) F ( ) ) 2 2 2 2 准线 p p p p x x y y 2 2 2 2 范围 x 0, y R x 0, y R x R, y 0 x R, y 0 对称轴 x 轴 y 轴顶点（0， 0）离心率 e 1 2. 抛物线的焦半径、焦点弦 ① y 2 2 px( p 0) 的焦半径 PF x P ; x 2 2 p y( p 0) 的焦半径 PF y P ； 2 2 ② 过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径 . 其长度为 2p. ③ AB 为抛物线 y 2 2 px 的焦点弦，则 x A x B p 2 ， y A y B p 2 ， | AB |= x A x B p 4 ★重难点突破 ★ 重点 :掌握抛物线的定义和标准方程，会运用定义和会求抛物线的标准方程，能通过方程研究抛物线的几何性质难点 : 与焦点有关的计算与论证重难点 :围绕焦半径、焦点弦，运用数形结合和代数方法研究抛物线的性质 1.要有用定义的意识问题 1：抛物线 y=4 x 2 上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标是 ( ) A. 17 B. 15 C. 7 D. 0 16 16 8 点拨：抛物线的标准方程为 x 2 1 y ，准线方程为 y 1 , 由定义知，点 M 到准线的距离 4 16

高中数学抛物线的简单几何性质教案

《抛物线的简单几何性质》教案《抛物线的简单几何性质》教案及教材分析教材:《全日制高级中学课本(必修)数学》第二册(上) 一. 教学理念 “数学教师不能充当数学知识的施舍者，没有人能教会学生,数学素质是学生在数学活动中自己获得的。”因此,教师的责任关键在于在教学过程中创设一个”数学活动”环境,让学生通过这个环境的相互作用,利用自身的知识和经验构建自己的理解,获得知识，从而培养自己的数学素质,培养自己的能力。数学源于生活,高于生活,学习数学的最终目的是应用于生活(回归生活),通过平时教学,注意这方面的渗透,培养学生解决实际问题的能力。二. 教材分析 1、本节教材的地位本节通过类比椭圆、双曲线的几何性质,结合抛物线的标准方程讨论研究抛物线的几何性质,让学生再一次体会用曲线的方程研究曲线性质的方法,学生不难掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等性质,对于抛物线几何性质的应用是学生学习的难点，教学中应强调几何模型与数学问题的转换。例1的设计，在于让学生通过作图感知p 的大小对抛物线开口的影响，引出通径的定义。例2的设计旨在利用抛物线的几何性质数学地解决实际问题即作抛物线的草图。本节是第一课时,在数学思想和方法上可与椭圆、双曲线的性质对比进行,着重指出它们的联系和区别，从而培养学生分析、归纳、推理等能力。 2、教学目标 (1) 知识目标： ⅰ 抛物线的几何性质、范围、对称性、定点、离心率。. ⅱ 抛物线的通径及画法。 (2) 能力目标：. ⅰ 使学生掌握抛物线的几何性质，根据给出条件求抛物线的标准方程。 ⅱ 掌握抛物线的画法。 (3) 情感目标： ⅰ 培养学生数形结合及方程的思想。 ) 0(22>=p px y

高中数学双曲线及抛物线

双曲线及抛物线（讲义）知识点睛一、双曲线 1. 双曲线的标准方程我们把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数(小于12||F F )的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．设()M x y ，是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2(0)c c >，那么焦点1F ，2F 的坐标分别为(0)c -，，(0)c ，．又设M 与1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数2a ． 12{|||||||2}P M MF MF a =-=．因为12|| ||MF MF == 所以 2a =±． ① 类比建立椭圆标准方程的化简过程，化简①，得 22222222()()c a x a y a c a --=-，两边同除以222()a c a -，得 22 2221x y a c a -=-．由双曲线的定义可知，22220c a c a c a >>->，即，所以．类比椭圆标准方程的建立过程，我们令222c a b -=，其中0b >，代入上式，得 22 221(00)x y a b a b -=>>，．双曲线的标准方程：22 221(0 0)x y a b a b ， -=>>．

2.双曲线的几何性质二、抛物线 1.抛物线的标准方程我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的

轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．设||(0)KF p p =>，那么焦点F 的坐标为(0)2p ，，准线l 的方程为2 p x =-．设()M x y ，d ．由抛物线的定义，抛物线就是点的集合 {|||}P M MF d ==．因为||||2 p MF d x == +，所以 ||2 p x =+．将上式两边平方并化简，得 22(0)y px p =>．抛物线的标准方程：22(0)y px p =>． 2. 抛物线的几何性质

3.3.2 抛物线的简单几何性质

3.3.2抛物线的简单几何性质基础过关练题组一抛物线的几何性质及其运用 1.已知抛物线x2=2py(p>0)的准线经过点(-1,-1),则抛物线的焦点坐标为() A.(-1,0) B.(0,-1) C.(1,0) D.(0,1) 2.已知点P(6,y)在抛物线y2=2px(p>0)上,若点P到抛物线焦点F的距离等于8,则焦点F到抛物线准线的距离等于() A.2 B.1 C.4 D.8 3.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为() B.1 C.2 D.4 A.1 2 4.已知点A是抛物线y2=2px(p>0)上一点,F为抛物线的焦点,O为坐标原点,当 |AF|=4时,∠OFA=120°,则抛物线的准线方程是() A.x=-1 B.y=-1 C.x=-2 D.y=-2 5.抛物线y2=4x的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,当 △FPM为等边三角形时,其面积为() A.2√3 B.4 C.6 D.4√3 6.一条光线从抛物线y2=2px(p>0)的焦点F射出,经抛物线上一点B反射后,反射光线经过点A(5,4),若|AB|+|FB|=6,则抛物线的标准方程为.

题组二直线与抛物线的位置关系 7.已知直线l:y=x-1与抛物线C:y2=4x相交于A、B两点,则|AB|为() A.5 B.6 C.7 D.8 8.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则() A.直线与抛物线有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点 C.直线与抛物线有一个或两个公共点 D.直线与抛物线可能没有公共点 9.过点(0,1)且与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线有() A.1条 B.2条 C.3条 D.0条 10.(2020山东菏泽高二上期末)已知斜率为k的直线l与抛物线C:y2=4x交于A、B 两点,线段AB的中点为M(2,1),则直线l的方程为() A.2x-y-3=0 B.2x-y-5=0 C.x-2y=0 D.x-y-1=0 11.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l:y=x-2与抛物线C交于A,B两点. (1)求弦AB的长; (2)求△FAB的面积.

高考数学讲义抛物线之对称与比例问题

2014年二轮复习抛物线之对称与比例问题

内容明细内容要求层次了解理解掌握圆锥曲线椭圆的定义与标准方程 √ 椭圆的简单几何意义 √ 抛物线的定义及其标准方程 √ 抛物线的简单几何意义 √ 双曲线的定义及标准方程 √ 双曲线的简单几何性质 √ 直线与圆锥曲线的位置关系 √ 北京三年高考两年模拟统计中点弦垂直角度弦长面积范围定点定值共线比例其它高考试题 4 1 1 模拟试题 7 8 11 14 4 4 共计 7 8 15 14 5 5 抛物线之对称与比例高考大纲自检自查必考点

抛物线22y px =与直线y kx m =+联立 2 2y kx m y px =+???=?? 消去x ，得22y y k m p =?+ 2 02k y y m p -+= 设1122(,),(,)A x y B x y ，则 12 12 210(*)22km p p y y k pm y y k ?=->?? ? +=?? ?=?? V 推出2 2221 2 12222( ) 22(2)pm y y m k x x p p p k =?== 题型一：对称问题圆锥曲线上存在关于某条直线对称的两个点求参数取值范围的问题，充分运用“垂直平分”这两个特征：（1）连线段的中点在对称轴上；（2）两点的斜率与对称轴的斜率互为负倒数；有以下四种解法： 1. 判别式法设1122(,),(,)P x y Q x y 是曲线C 上关于直线:l y kx m =+对称的两点，又设PQ 的方程为：1 'y x m k =-+，代入曲线C 的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，其中,P Q 点的坐标即为方程的根，利用韦达定理和PQ 方程求得PQ 中点M 的坐标，由M 在l 上，得到一个关系式代回曲线方程，0>V 可求得参数的取值范围。 2. 点差法设1122(,),(,)P x y Q x y 是曲线C 上关于直线:l y kx m =+对称的两点，00(,)M x y 是PQ 的中点，用“点差法”（或弦中点斜率公式）并结合M 在l 上，求出PQ 中点坐标（含所求参数），再利用点斜式写出PQ 的方程，代入曲线C 的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，由0>V 可求得参数的取值范围。（或：若能求得此一元二次方程的实数根，说明曲线C 上存在对称的两个点；若无实数根，说明不存在对称的两个点）。 3. 内部法同上用“点差法”结合中点在对称轴上求出PQ 中点的坐标。由弦中点须在曲线内部（指包含焦点的区域）得出关于参数的不等式，解此不等式求出参数的取值范围。 4. 求对称曲线法求出曲线C 关于直线l 的对称曲线'C 的方程，若C 和'C 有两个不同的交点，这两个交点关于直线l 对称，问题转化为确定两曲线C 与'C 有两个不同的交点问题（联立方程组应有两个不同的实数解），此法运算较繁，当对称轴为较特殊直线时可考虑用此法。自检自查必考点 O y x B A

抛物线的简单几何性质练习题

课时作业(十三) [学业水平层次] 一、选择题 1．已知点P (6，y )在抛物线y 2＝2px (p >0)上，若点P 到抛物线焦点F 的距离等于8，则焦点F 到抛物线准线的距离等于( ) A ．2 B ．1 C ．4 D ．8 【解析】抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p 2，因为P (6，y ) 为抛物线上的点，所以点P 到焦点F 的距离等于它到准线的距离，所以6＋p 2＝8，所以p ＝4，即焦点F 到抛物线的距离等于4，故选C. 【答案】 C 2．(2014·成都高二检测)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，其面积为( ) A ．2 3 B ．4 C ．6 D ．43 【解析】据题意知，△FPM 为等边三角形，|PF |＝|PM |＝|FM |， ∴PM ⊥抛物线的准线．设P ? ?? ??m 24，m ，则M (－1，m )，等边三角形边长为1＋m 24，又由F (1,0)，|PM |＝|FM |，得1＋m 24＝1＋12＋m 2，得m ＝23，∴等边三角形的边长为4，其面积为43，故选D. 【答案】 D 3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准

线方程为( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2 D ．x ＝－2 【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线方程得：????? y 21＝2px 1， ①y 22＝2px 2， ② ①－②得， (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2p (x 1－x 2)．又∵y 1＋y 2＝4，∴y 1－y 2x 1－x 2＝2p 4＝p 2 ＝k ＝1，∴p ＝2. ∴所求抛物线的准线方程为x ＝－1. 【答案】 B 4．(2014·课标Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( ) B ．6 C ．12 D ．73 【解析】焦点F 的坐标为? ?? ??34，0，直线AB 的斜率为33，所以直线AB 的方程为y ＝33? ?? ??x －34，即y ＝33x －34，代入y 2＝3x ，得13x 2－72x ＋316＝0，

圆锥曲线讲义(带答案)

个性化辅导授课教案学员姓名：辅导类型（1对1、小班）：年级：辅导科目：学科教师：课题圆锥曲线专题课型 □ 预习课 □ 同步课 □ 复习课 □ 习题课授课日期及时段年月日时间段教学内容圆锥曲线知识点总结 1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程 ()22 2210x y a b a b +=>> ()22 2210y x a b a b +=>> 范围 a x a -≤≤且 b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长短轴的长2b = 长轴的长2a = 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 焦距 ()222122F F c c a b ==- 对称性关于x 轴、y 轴、原点对称离心率 ()2 2101c b e e a a ==-<< 3、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12 F F ）的点的轨迹称为双曲线．即：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。

抛物线专题复习讲义及练习

抛物线专题复习讲义及练习 ★知识梳理★ 1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 (0>p )： ①)0(22≠=p px y 的焦半径PF )0(22≠=p py x 的焦半径PF ② 过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p. ③ AB 为抛物线px y 22 =的焦点弦，则=B A x x 4 2p ，=B A y y 2 p -，||AB =p x x B A ++ ★重难点突破★ 重点:掌握抛物线的定义和标准方程，会运用定义和会求抛物线的标准方程，能通过方程研究抛物线的几何性质难点: 与焦点有关的计算与论证重难点:围绕焦半径、焦点弦，运用数形结合和代数方法研究抛物线的性质 1.要有用定义的意识问题1：抛物线y=42 x 上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A. 1617 B. 16 15 C.87 D. 0 点拨：抛物线的标准方程为y x 412 = ，准线方程为16 1 -=y ,由定义知，点M 到准线的距离

为1，所以点M 的纵坐标是 16 15 2.求标准方程要注意焦点位置和开口方向问题2：顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点（3，2）的抛物线的条数有点拨：抛物线的类型一共有4种，经过第一象限的抛物线有2种，故满足条件的抛物线有2条 3.研究几何性质，要具备数形结合思想，“两条腿走路” 问题3：证明：以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切点拨：设AB 为抛物线的焦点弦，F 为抛物线的焦点，点''、B A 分别是点B A 、在准线上的射影，弦AB 的中点为M ，则''BB AA BF AF AB +=+=，点M 到准线的距离为 AB BB AA 2 1 )''(21=+，∴以抛物线焦点弦为直径的圆总与抛物线的准线相切 ★热点考点题型探析★ 考点1 抛物线的定义题型利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换 [例1 ]已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为【解题思路】将点P 到焦点的距离转化为点P 到准线的距离 [解析]过点P 作准线的垂线l 交准线于点R ，由抛物线的定义知，PR PQ PF PQ +=+，当P 点为抛物线与垂线l 的交点时，PR PQ +取得最小值，最小值为点Q 到准线的距离 ,因准线方程为x=-1,故最小值为3 【名师指引】灵活利用抛物线的定义，就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换，一般来说,用定义问题都与焦半径问题相关【新题导练】 1.已知抛物线2 2(0)y px p =>的焦点为F ，点11 1222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且||1F P 、||2F P 、||3F P 成等差数列，则有（） A ．321x x x =+ B ． 3 21y y y =+ C ．2312x x x =+ D. 2312y y y =+ ［解析］C 由抛物线定义，2132()()(),222 p p p x x x + =+++即：2312x x x =+． 2. 已知点),4,3(A F 是抛物线x y 82 =的焦点,M 是抛物线上的动点,当MF MA +最小时, M 点坐标是 ( ) A. )0,0( B. )62,3( C. )4,2( D. )62,3(-

抛物线讲义(备课)

抛物线的标准方程知识要点： 1. 定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线。点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。 2. 标准方程 ①坐标系：使坐标轴经过点F且垂直于直线l于K，并使原点与线段KF 的中点重合。 ②设|KF|=p（p>0），则抛物线的标准方程及焦点坐标、准线方程如下表： 3. 几何性质：以抛物线y2=2px（p>0）为例。（1）范围。x≥0，|y|随x增大而增大，但无渐近线。（2）对称性。关于x轴对称。（对称轴与准线垂直）（3）顶点。对称轴与抛物线的交点。（4）离心率。同椭圆、双曲线离心率定义。e=1（注e与抛物线开口大小无关，开口大小由p值确定，画特征草图时，先画出通径（2p）过焦点且与对称轴垂直的弦）。 4. 几个重要的解析结果：（1）平行抛物线对称轴的直线和抛物线只有一个交点。（2）焦点弦两端点的纵坐标乘积为常数即y1y2=－p2（p>0）（3）焦半径公式：（4）焦点弦长公式：|AB|=x1+x2+p（x1、x2分别为A、B的横坐标），由此可知，通径长为焦点长的最小值：例题：例1 在抛物线y2=12x上，求与焦点的距离等于9的点的坐标. 例2 已知顶点在原点、焦点在坐标轴上的抛物线被直线l:y=2x+1截得的弦长为，求抛物线方程：例3 如果抛物线y2=px和圆(x-2)2+y2=3相交，它们在x轴上方的交点为A、B，那么当p为何值时，线段AB的中点M在直线y=x上?

例4 过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F，引两条相互垂直的弦AC、BD，求四边形ABCD面积的最小值. 例5 直线l1和l2相交于M，l1⊥l2，点N∈l1，以A，B为端点的曲线段C上任一点到l2的距离与到点N的距离相等，若△AMN为锐角三角形，｜AM ｜=，｜AN｜=3，且｜BN｜=6，建立适当坐标系，求曲线段C的方程. 例6 已知抛物线y2=2px(p＞0).过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，｜AB｜≤2p. (Ⅰ)求a的取值范围. (Ⅱ)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求Rt△NAB面积的最大值.习题练习： A级一、选择题 1.抛物线y=-x2的准线方程是( ) A.x= B.x= C.y=2 D.y=4 2.直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A、B两点，若AB中点的横坐标为2，则k等于( ) A.0 B.1 C.2 D.3

抛物线.板块二.抛物线的几何性质.教师版普通高中数学复习讲义Word版

【例1】抛物线24y x =上点M 的横坐标为1，则点M 到该抛物线的焦点的距离为（） A ．3 B ．2 C ．1.5 D ．1 【考点】抛物线的几何性质【难度】1星【题型】选择【关键字】无【解析】B ；【答案】B ；【考点】抛物线的几何性质【难度】2星【题型】选择【关键字】2010年，辽宁高考【解析】B ；【答案】B ；【例3】抛物线24x y =-与过焦点且垂直于对称轴的直线交于A ，B 两点，则（） A ．84ABO A B S ==△， B ．82AOB AB S ==△， C ．42AOB AB S ==△， D ．44AOB AB S ==△，【考点】抛物线的几何性质【难度】2星【题型】选择【关键字】无【解析】抛物线24x y =-的焦点为(01)-，，对称轴为y 轴，故点A ，B 的纵坐标为1-，典例分析板块二.抛物线的几何性质

代入得其横坐标分别为22-，，故4AB =，1 4122 ABC S ?=??-=，故选C ；【答案】C ；【例4】过点(12)M ，且以y 轴为准线的抛物线的焦点的轨迹为（） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线【考点】抛物线的几何性质【难度】星【题型】选择【关键字】无【解析】设焦点为F ，则由抛物线的性质，||1FM =．【答案】A ；【例5】设O 为坐标原点，F 为抛物线24y x =的焦点，A 是抛物线上一点，若4OA AF ?=-，则点A 的坐标是（） A ．(2,± B ．(2, C ．(1,2)± D ．(1,2) 【考点】抛物线的几何性质【难度】2星【题型】选择【关键字】无【解析】(1,0)F ，不妨设11(,)A x y ，于是有221111111(,)(1,)4x y x y x x y ?--=-=--，又 2114y x =，故有211340x x +-=，从而14x =-（舍去）或11x =．此时12y =±．【答案】C ；【例6】抛物线24y x =的弦AB 过定点(20)，，则AOB ∠是（） A ．锐角 B ．直角 C ．钝角 D ．以上都可能【考点】抛物线的几何性质【难度】2星【题型】选择【关键字】无【解析】若AB 过点(40)，，则AOB ∠为直角，点(20)，在点(40)，左侧，故为钝角．【答案】C ；【例7】已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点(21)Q -，的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（） A ．114??- ???， B ．114?? ???， C ．(12)， D ．(12)-，【考点】抛物线的几何性质

数学分析教学大纲刘玉莲.doc

包头师范学院“数学分析”课程教学大纲《数学分析》教学大纲课程编号：课程性质：基础必修课适用专业：数学与应用数学专业（本科）选用教材：《数学分析讲义》（第五版）刘玉琏等编著高等教育出版社2008年10月包头师范学院数学科学学院函数论教研室

数学分析课程教学大纲课程编号：课程类型：基础必修课总学时：352 总学分：20 适用专业：数学与应用数学先修课程：高中数学使用教材：刘玉琏、傅沛仁编著《数学分析讲义》（第四版），高等教育出版社，2002年10月。参考书：陈传璋等编著《数学分析》（第二版），高等教育出版社，1983年7月。 1987年获全国优秀教材一等奖。华东师大编《数学分析》，面向21世纪课程教材一、课程性质、目的和任务本课程是包头师范学院数学科学学院数学与应用数学专业(信息与计算科学专业)的一门重要基础课。本课程一方面为后继课程提供所需的基础，同时还为培养学生的独立工作能力提供必要的训练。通过本课程的学习学会分析方法、培养学生的运算能力、抽象思维能力以及处理实际问题的综合应用能力。学生学好这门课程的基本内容和方法，对今后的学习、研究和应用都具有关键性的作用。二、教学基本要求在教学中，应注意本课程的整体结构，各部分知识的内在联系，以及与初等数学和后继课程的联系。要求学生熟练掌握本课程的基本概念、基本理论、基本运算及方法。通过课堂教学及进行大量的习题训练，使得学生做到概念清晰、推理严谨、运算准确，能综合应用所学知识解决实际问题，并且了解分析学的基本概念及物理、几何意义，学会应用这些基本理论和方法去处理和解决物理、几何等领域中的实际问题。三、教学内容及要求依据《2001年包头师范学院数学与应用数学专业本科培养计划》，本课程教学在第1、2、3、4学期进行，分别称为《数学分析Ⅰ》、《数学分析Ⅱ》、《数学分析Ⅲ》和《数学分析Ⅳ》。《数学分析Ⅰ》第一章函数 §1.1.函数一、函数概念，二、函数的四则运算，三、函数的图象四、数列 §1.2. 四类具有特殊性质的函数一、有界函数，二、单调函数三、奇函数与偶函数四、周期函数 §1.3.复合函数与反函数一、复合函数二、反函数三、初等函数重点掌握：函数的概念，函数的表示，函数的复合运算和具有特殊性质的函数。第二章极限 §2.1. 数列极限

抛物线的简单几何性质教学设计

第二章圆锥曲线与方程第 2.4.2 抛物线的简单几何性质（4课时）主备教师陈本川一、内容及其解析学的内容是抛物线的一些基本性质，其核心内容是抛物线的离心率及准线，理解它关键是先让学生认识抛物线的图形，从中概括出抛物线的性质。学生已经学过抛物线线概念和标准形式，本节课的内容抛物线的基本性质就是在其基础上的发展。由于它还与椭圆、双曲线等圆锥曲线有密切的联系，并有参照对比的作用。是抛物线的核心内容。教学重点是抛物线的性质及范围，解决重点的关键是引导学生动手、动脑，从图形的直观得到抛物线性质的准确刻画。二、目标及其解析 1、目标定位（1）了解抛物线的基本性质及基本线段的概念。（2）能够根据抛物线的标准方程及性质进行简单的运算。 2、目标解析（1）是指：抛物线的基本线段范围及概念，对称性，离心率，准线表示。（2）是指：能够根据抛物线中准线与焦点之间的关系能求出抛物线的标准方程。三、问题诊断分析在本节抛物线性质的教学中，学生可能遇到的问题是抛物线的一些基本概念会与其它圆锥曲线的概念产生混淆，产生这一问题的原因是学生对各种曲线的概念把握不清。要解决这一问题，就要类比着其它圆锥曲线的概念及性质学习，其中关键是借助图形直观类比。四、教学支持条件分析在本节课双曲线的性质教学中，准备使用多媒体辅助教学。因为使用多媒体辅助教学有利于学生对抛物线性质从直观到具体的把握。五、教学设计过程问题一：抛物线性质有哪些？观察抛物线的标准方程)0(22>=p px y 的形状，设计意图：推导、识记抛物线的性质，并能够熟练的应用问题1你能从图中看出它的范围吗？问题2它具有怎样的对称性？

2.4.2抛物线的简单几何性质(1) (2)

§2.4.2 抛物线的简单几何性质（1）学习目标 1．掌握抛物线的几何性质； 2．根据几何性质确定抛物线的标准方程．学习过程一、课前准备 6870，文P 60~ P 61找出疑惑之处）复习1：准线方程为x=2的抛物线的标准方程是．复习2：双曲线22 1169 x y -=有哪些几何性质？二、新课导学 ※ 学习探究探究1：类比椭圆、双曲线的几何性质，抛物线又会有怎样的几何性质？新知：抛物线的几何性质图形标准方程焦点 (0,)2p - 准线 2p y =- 顶点 (0,0)(0,0) 对称轴 x 轴离心率试试：画出抛物线28y x =的图形，顶点坐标（）、焦点坐标（）、准线方程、对称轴、离心率．

※ 典型例题例1已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点(2,M -，求它的标准方程．变式：顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点(2,M -的抛物线有几条？求出它们的标准方程．小结：一般，过一点的抛物线会有两条，根据其开口方向，用待定系数法求解．例2斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．变式：过点(2,0)M 作斜率为1的直线l ，交抛物线24y x =于A ，B 两点，求AB ．

小结：求过抛物线焦点的弦长：可用弦长公式，也可利用抛物线的定义求解． ※动手试试练1. 求适合下列条件的抛物线的标准方程： ⑴顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点 (5 M，4) -； ⑵顶点在原点，焦点是(0,5) F； ⑶焦点是(0,8) F-，准线是8 y=．三、总结提升 ※学习小结 1．抛物线的几何性质； 2．求过一点的抛物线方程； 3．求抛物线的弦长． ※知识拓展抛物线的通径：过抛物线的焦点且与对称轴垂直的直线，与抛物线相交所得的弦叫抛物线的通径．其长为2p． ※自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1．下列抛物线中，开口最大的是（）． A．21 2 y x =B．2y x =

抛物线的简单几何性质(参赛教案)

2.4.2 抛物线的简单几何性质一、本节课内容分析与学情分析 1、教材的内容和地位本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书A版《数学》选修2—1第二章第四节的内容。它是在学习了抛物线的定义及其标准方程的基础上，系统地按照抛物线方程来研究抛物线的简单几何性质，是高中数学的重要内容。本节内容的学习，是对前面所学知识的深化、拓展和总结，可使学生对圆锥曲线形成一个系统的认识，同时也是一个培养学生数学思维和让学生体会数学思想的良好机会。 2、学生情况分析在此内容之前，学生已经比较熟练的掌握了椭圆、双曲线的标准方程和简单几何性质，以及研究问题的基本方法。本节课，学生有能力通过类比椭圆、双曲线的几何性质，结合抛物线的标准方程去探索抛物线的几何性质。可培养学生的自主学习能力和创新能力。二、教学目标 1、知识与技能：（1）理解并掌握抛物线的几何性质。（2）能够运用抛物线的方程探索抛物线的几何性质。 2、过程和方法：注重对研究方法的思想渗透，掌握研究曲线性质的一般方法；培养运用数形结合思想解决问题的能力。 3、情感态度价值观：通过对几何性质的探索活动，亲历知识的构建过程，使学生领悟其中所蕴含的数学思想，数学方法，体会新知识探索过程中带来的快乐和成就感。让学生养成自主学习，合作探究的习惯。三、重难点分析

教学重点：探索和掌握抛物线的简单几何性质。教学难点：抛物线的几何性质在各种条件下的灵活运用。四、教法、学法分析教法：本节课以启发式教学为主，综合运用演示法、讲授法、讨论法等教学方法。“以学生的活动为主线，将问题抛给学生，用问题启发学生思考和探索，让学生在参与问题的提出、讨论和解决过程中，达到掌握知识、提高能力的目的。学法：结合我校学生的特点，本节课主要采用“类比——探索——应用——思考——再探索”的探究式学习方法，使学生在掌握知识，形成技能的同时，培养学生的理性思维能力，增强学生学习的自信心。五、教学过程 *情景引入前面我们已经学习了椭圆与双曲线，根据他们的标准方程，得到了它们的简单几何性质。上一节课，我们学习了抛物线的定义和标准方程，本节课，我们根据抛物线的标准方程来探索它的几何性质。师生活动【教师】开门见山点明本节要学内容。【学生】思考前面如何由椭圆双曲线得到它们的相应的几何性质。设计意图：通过类比前面所学的椭圆和双曲线，来得到抛物线的性质，来激发学生的学习兴趣，使学生快速进入课堂。复习回顾抛物线的定义和标准方程。师生活动【教师】利用多媒体投影，引导学生回顾抛物线的定义和标准方程。【学生】复习巩固抛物线的定义的标准方程，一名学生回答定义和标准方程。设计意图：为后期的探索奠定基础，使学生坚定用方程探索性质的信念。 *新课讲授类比椭圆和双曲线，以22(0)px p =>y 为例探索抛物线的简单几何性质，它的主要性质如下：（1）范围：0,x y R ≥∈ （2）对称性：关于x 轴对称

重点高中数学必修2-1抛物线教学讲义(精品)

精心整理 03-抛物线【知识点】一、抛物线的标准方程、类型及其几何性质()：轴轴 1.的弦，若，则 (1)+，，－ (3)弦长,，即当 (4)若，则= （5）+= 2.通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦。过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p. 3.的参数方程为（为参数），的参数方程为（为参数）. 4、弦长公式：三、抛物线问题的基本方法 1.直线与抛物线的位置关系

2.直线，抛物线， 3.，消y得： 4.（1）当k=0时，直线与抛物线的对称轴平行，有一个交点； 5.（2）当k≠0时， Δ＞0，直线与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0，直线与抛物线相切，一个切点； Δ＜0 （3 6. 直线： ① 设交点求出， a. 或 b.中点,， ② 设交点坐标为，，代入抛物线方程，得 a.在涉及斜率问题时， b.在涉及中点轨迹问题时，设线段的中点为，，即，

同理，对于抛物线，若直线与抛物线相交于两点，点是弦的中点，则有（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）【典型例题】考点1抛物线的定义题型利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换 [例1]已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之 [解析]由抛物线的定义知，，点为抛 x=-1,故1.，点，在抛物线上，且、 A． C．由抛物线定义，即： 2.已知点F是抛物线的焦点 M A. B. C. D. [解析] ，选C 考点2抛物线的标准方程题型:求抛物线的标准方程 [例2]求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： (1)过点(-3,2)(2)焦点在直线上 [解析](1)设所求的抛物线的方程为或,

抛物线的简单几何性质习题一(附答案)

一、选择题 2.抛物线y 2=10x 的焦点到准线的距离是( ) A.2.5 B.5 C.7.5 D.10 3.已知原点为顶点，x 轴为对称轴的抛物线的焦点在直线2x-4y+11=0上，则此抛物线的方程是( ) A.y 2=11x B.y 2=-11x C.y 2=22x D.y 2=-22x 5.以抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦半径｜PF ｜为直径的圆与y 轴位置关系为( ) A.相交 B.相离 C.相切 D.不确定二、填空题 6.圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的圆的方程是 . 7.若以曲线252x +16 2 y =1的中心为顶点，左准线为准线的抛物线与已知曲线右准线交于A 、B 两点，则｜AB ｜= . 8.若顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y=2x+1所得的弦长为15，则此抛物线的方程是 . 一、选择题 1.经过抛物线y 2=2px(p ＞0)的所有焦点弦中，弦长的最小值为( ) A.p B.2p C.4p D.不确定 2.直线y=kx-2交抛物线y 2=8x 于A 、B 两点，若AB 的中点横坐标为2，则｜AB ｜为( ) A.15 B.415 C.215 D.42 3.曲线2x 2-5xy+2y 2=1( ) A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于原点对称，但不关于y=x 对称 D.关于直线y=x 对称也关于直线y=-x 对称 4.若抛物线y 2=2px(p ＞0)的弦PQ 的中点为(x 0,y 0)(y ≠0)，则弦PQ 的斜率为( ) A.-0x p B.0y p C.px - D.-px 0 5.已知抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则 2 121x x y y 的值一定等于( ) A.4 B.-4 C.p 2 D.-p 2 二、填空题 6.抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB 的长为43，则焦点到AB 的距离

高中数学全套讲义选修1-1 抛物线初步基础教师版

目录考点一：抛物线定义及标准方程 (2) 题型一：抛物线定义 (2) 题型二：抛物线标准方程 (3) 考点二：抛物线的几何性质 (4) 题型三：抛物线几何性质 (5) 课后综合巩固练习 (7)

考点一：抛物线定义及标准方程 1．平面内与一个定点F 和一条定直线l ()F l ?的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程：22(0)y px p =>，焦点在x 轴正半轴上，坐标是(0)2 p ，，准线方程是2 p x =- ，其中p 是焦点到准线的距离．题型一：抛物线定义 1．（2017秋?埇桥区期末）到直线2x =-与到定点(2,0)P 的距离相等的点的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．圆 C ．抛物线 D ．直线【分析】确定M 的轨迹是以点P 为焦点，直线l 为准线的抛物线，即可得出结论．【解答】解：动点M 到定点(2,0)P 的距离与到定直线:2l x =-的距离相等，所以M 的轨迹是以点P 为焦点，直线l 为准线的抛物线，故选：C ．【点评】本题主要考查了抛物线的定义，考查学生的计算能力，比较基础 2．（2018秋?商丘期末）AB 是抛物线22y x =的一条焦点弦，||4AB =，则AB 中点C 的横坐标是( ) A ．2 B ． 1 2 C ． 32 D ． 52 【分析】先设出A ，B 的坐标，进而根据抛物线的定义可知12||AB x x p =++求得12x x +的值，进而求得AB 的中点的横坐标．【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 根据抛物线的定义可知 1212||14AB x x p x x =++=++=，故选：C ．【点评】本题主要考查了抛物线的定义．在涉及抛物线的焦点弦问题时，常需要借助抛物线的定义来解决．

备战2019高考数学苏教版1-1提素能高效演练讲义：第2章圆锥曲线与方程章末复习 Word版含答案

章末复习学习目标 1.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其应用，会用定义求标准方程.2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其求法.3.掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，会利用几何性质解决相关问题.4.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法 . 1.椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点F 1， F 2的距离的和等于常数(大于F 1F 2)的点的轨迹平面内与两个定点F 1，F 2距离的差的绝对值等于常数(小于F 1F 2的正数)的点的轨迹平面内到一个定点F 和一条定直线l (F 不在l 上)的距离相等的点的轨迹标准方程 x 2 a 2＋y 2 b 2＝1或y 2 a 2＋x 2 b 2＝1(a >b >0) x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2 b 2＝1(a >0，b >0) y 2＝2px 或y 2＝－2px 或x 2＝2py 或x 2＝－2py (p >0) 关系式 a 2－b 2＝c 2 a 2＋b 2＝c 2 图形封闭图形无限延展，但有渐近线y ＝±b a x 或y ＝±a b x 无限延展，没有渐近线变量范围 |x |≤a ，|y |≤b 或|y |≤a ，|x |≤b |x |≥a 或|y |≥a x ≥0或x ≤0或y ≥0或y ≤0 对称性对称中心为原点无对称中心两条对称轴一条对称轴顶点四个两个一个离心率 e ＝c a ，且01 e ＝1 决定形状的因素 e 决定扁平程度 e 决定开口大小 2p 决定开口大小 2.求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤. (1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.