三角形计算四大模型

D

C

B

A

G F E

D

C

B

A

“铅笔头模型”

例（1）如图①，AB ∥CD ，则∠A+∠C= 。 如图②，AB ∥CD ，则∠A ＋∠E ＋∠C= 。 如图③，AB ∥CD ，则∠A ＋∠E ＋∠F+∠C= 。 如图④，AB ∥CD ，则∠A ＋∠E ＋∠F+∠G+∠C= 。 （2）如图⑤，AB ∥CD ，则∠A ＋∠E ＋∠F+…+∠C= 。

（3）利用上述结论解决问题：如图已知AB ∥CD ，∠BAE 和∠DCE 的平分线相交于F ，∠E=140°，求∠AFC 的度数。

图① 图②

图

③

图

④

“锯齿模型”

例3.如图，AB ∥CD ，猜想∠BED 与∠B 、∠D 的大小关系，并说明理由。

如图，已知AB ∥EF ，BC ⊥CD 于点C ，若∠ABC ＝30°，∠DEF ＝45°，则∠CDE 等于( )

E

D

C

B

A

E

D

C

B

A

F

E D

C

B

A

F D

如图，直线AB 平行CD ，∠EFA=30，∠FGH=90，∠HMN=30，∠CNP=50，则∠GHM 的大小是多少（ ）

2.如图，已知AB ∥CD ，∠EAF ＝

41∠EAB ，∠ECF ＝4

1

∠ECD ，试∠AEC 与∠AFC 之间的关系式。

“8字型”

如图，俩直线AB,CD 平行，则，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=

“飞镖模型”

例1.如图2，40,15,35,B C A B C D ∠=?∠=?∠=?∠=则_________;

F

E

D

C B

A C

A

B

D

变式训练：

1.如图，已知?=∠27A ，?=∠96CBE ，?=∠30C . 求：ADE ∠的大小.

2.如图，五角星ABCDE ，求E D C B A ∠+∠+∠+∠+∠的度数.

变式训练：

1.探索三角形的内角和外角角平分线（平分三角形外角的射线角外角角平分线，如图（2），AEC ∠是ABC ?的外角，CO 平分ACE ∠,那么射线CO 就是外角平分线）

（1）如图（1），在ABC ?中，两内角角平分线BO,CO 相交于点O ，若 50=∠A ,则=∠BOC ___________；此时A ∠与BOC ∠有怎样的关系？

（2）如图（2），在ABC ?中，一内角平分线BO 与一外角平分线CO 相交于点O ， 50=∠A ，则=∠BOC ___________；此时A ∠与BOC ∠有怎样的关系？ （3）如图（3），在ABC ?中，两外角EBC ∠、FCB ∠的平分线，BO,CO 相交于点O ，若

50=∠A ,则=∠BOC ___________；此时A ∠与BOC ∠有怎样的关系？

练习题

1．如图，在直角三角形ABC 中，AC ≠AB ，AD 是斜边上的高，

DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，则图中与∠C （∠C 除外）相等的角的个数是（ ）

2．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于O ， 则∠AOC+∠DOB=（ ）

3. 如图，一块三角形玻璃打碎成三块，小明只需带上第_______块就可配到与原来一样的三角形玻璃．

4.如图 a ，已知长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF 折叠成图案b ，再沿BF 折叠成图案c ，则c 中的∠CFE 的度数是__________。

二、证明题

1.在等腰△ABC 中，∠A=90°，∠B 的平分线交AC 与点D ，从C 向BD 作垂线，交BD 延长线于E 。求证：BD=2CE.

2.如图：在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,D 是BC 上一点,EC ⊥BC 于点C ，且EC=BD 。又已知DF=EF 。求证：（1）； (2)；

ACE ABD ???DE AF ⊥

3：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．∠AEF=90°，且EF 交正方形外角

的平行线CF 于点F ，求证：AE=EF ．

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM=EC ，易证，所以． 在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

DCG ∠ECF AME ???EF AE

=

4、如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)，作60

∠=?，

DMN ∠外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系?

射线MN与DBA

D

N

E

A

M

B