第九章第2讲两直线的位置关系

第2讲两直线的位置关系

1．两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行：

a ．对于两条不重合的直线l 1、l 2，若其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2?k 1＝k 2.

b ．当直线l 1、l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. ②两条直线垂直：

a ．如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则有l 1⊥l 2?k 1·k 2＝－1.

b ．当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 12(2)两条直线的交点

直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组?

????

A 1x ＋

B 1y ＋

C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． 2．几种距离

(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2

(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0

(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|

A 2＋

B 2

1．一般地，与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0；与之垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋n ＝0.

2．过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.

3．l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0. 则l 1∥l 2?A 1B 2－A 2B 1＝0，A 1C 2－A 2C 1≠0. l 1⊥l 2?A 1A 2＋B 1B 2＝0.

1．(必修2 P 87例3改编)已知A (2,3)，B (－4,0)，P (－3,1)，Q (－m ，m ＋1)，若直线AB ∥PQ ，则m 的值为( )

A ．－1

B ．0

C ．1

D ．2 解析：选C.∵AB ∥PQ ，

∴k AB ＝k PQ ，即0－3－4－2＝m ＋1－1

－m －(－3)

，

解得m ＝1，故选C.

2．(必修2 P 89例6改编)已知A (5，－1)，B (m ，m )，C (2,3)，若△ABC 为直角三角形且

AC 边最长．则整数m 的值为( )

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1 解析：选D.由题意得B ＝90°，即AB ⊥BC ，k AB ·k BC ＝－1， ∴m ＋1m －5·3－m 2－m

＝－1. 解得m ＝1或m ＝7

，故整数m 的值为1，故选D.

3．(必修2 P 101A 组T 10(2)改编)经过点P (2，－3)且平行于过点M (1,2)和N (－1，－4)的直线，分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，则|AB |＝________.

解析：∵k MN ＝－4－2

－1－1

＝3.

∴所求的直线的斜率为k ＝k MN ＝3.

则所求的直线方程为y －(－3)＝3(x －2)．即3x －y －9＝0.

故A (3,0)，B (0，－9)，

∴|AB |＝32＋(－9)2＝310. 答案：310

4．(必修2 P 110A 组T 10改编)两平行直线x －2y －1＝0与x －2y ＋m ＝0的距离为5，则m ＝________.

解析：由平行线间的距离公式得 |－1－m |

12＋(－2)2＝5，

即|m ＋1|＝5，

∴m ＝4或m ＝－6. 答案：4或－6 5．(必修2 P 107例6改编)已知三点O (0,0)，A (1,3)，B (3,1)，则△OAB 的面积为________．解析：∵|AB |＝(1－3)2＋(3－1)2＝2 2. AB 所在的直线方程为 y －31－3＝x －1

3－1，即x ＋y －4＝0.

∴O 到AB 的距离d ＝|－4|

＝2 2.

∴S △OAB ＝12|AB |·d ＝1

×22×22＝4.

答案：4

两直线平行与垂直

(1)[两直线平行与垂直的判断]已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2

－1＝0.

①试判断l 1与l 2是否平行； ②当l 1⊥l 2时，求a 的值．

(2)[两直线平行与垂直的应用]已知A (1,2)，B (5,0)，在直线l ：x ＋y －1＝0上是否存在点

M 使得△MAB 为直角三角形，若存在，求出M 点坐标，若不存在，说明理由．

[解] (1)①法一：当a ＝1时，直线l 1的方程为x ＋2y ＋6＝0，

直线l 2的方程为x ＝0，l 1不平行于l 2；

当a ＝0时，直线l 1的方程为y ＝－3，直线l 2的方程为x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；

当a ≠1且a ≠0时，两直线的方程可化为l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝1

1－a x －(a ＋1)，由l 1

∥l 2??????

－a 2＝11－a ，

－3≠－(a ＋1)，

解得a ＝－1.

综上可知，a ＝－1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行．法二：由A 1B 2－A 2B 1＝0，得a (a －1)－1×2＝0；由A 1C 2－A 2C 1≠0，得a (a 2－1)－1×6≠0，

因此l 1∥l 2??

????

a (a －1)－1×2＝0，

a (a 2－1)－1×6≠0，

????

a 2

－a －2＝0a (a 2－1)≠6?a ＝－1，故当a ＝－1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行．

②法一：当a ＝1时，直线l 1的方程为x ＋2y ＋6＝0，直线l 2的方程为x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不成立．

当a ＝0时，直线l 1的方程为y ＝－3，直线l 2的方程为x －y －1＝0，l 1不垂直于l 2.

当a ≠1且a ≠0时，直线l 1的方程为y ＝－a 2x －3，直线l 2的方程为y ＝1

1－a

x －(a ＋1)，

由(－a 2)·11－a ＝－1?a ＝23

法二：由A 1A 2＋B 1B 2＝0，得a ＋2(a －1)＝0.

∴a ＝23

(2)假设存在满足条件的点M ，设M (m ，n )． ①若∠AMB ＝90°.(如图)

则m ＋n －1＝0，(※1)

a ．当m ＝1时，n ＝0，即M (1,0)，此时AM ⊥MB 满足条件．

b ．当m ≠1时，由题意得 k MA ·k MB ＝－1，即n －2m －1·n －0m －5

＝－1，(※2) 由(※1)(※2)解得m ＝2，n ＝－1.

即在l 上存在点M (1,0)或M (2，－1)使∠AMB ＝90°，即△ABM 为直角三角形．

②若∠MAB ＝90°，因为k AB ＝0－25－1

＝－1

2，

∴k MA ＝

n －2

m －1

＝2，即n ＝2m .(※3) 又M (m ，n )在直线l ：x ＋y －1＝0上，∴m ＋n －1＝0.(※4)

由(※3)(※4)解得m ＝13，n ＝23，此时M 的坐标为(13，2

)．

③若∠MBA ＝90°，因为k AB ＝－1

2，∴k MB ＝n －0m －5

＝2，即n ＝2m －10.(※5)

由(※4)(※5)解得m ＝113，n ＝－8

此时M 的坐标为(113，－8

3)．

综上，存在M 点使△MAB 为直角三角形，M 点的坐标为(1,0)或(2，－1)或(13，23)或(11

3，

－8

)．

(1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．(3)根据垂直或平行关系将相关的问题转化与化归或应用方程思想是解决直线与直线垂直或平行问题的关键．

1．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝________.

解析：由题意可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，于是?????

3＋n 2

＝2×7＋m

2－3，n －3m －7＝－1

2，

解得???

m ＝35

，

n ＝31

5，

故m ＋n ＝34

答案：345

2．已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．

解：依题意知：k AC ＝－2，A (5,1)， ∴l AC 为2x ＋y －11＝0，

联立l AC ，l CM 得?

????

2x ＋y －11＝0，

2x －y －5＝0，∴C (4,3)．

设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为????

x 0＋52，y 0＋12，代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0， ∴?

????

2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0， ∴B (－1，－3)，∴k BC ＝65，∴直线BC 的方程为y －3＝6

(x －4)，即6x －5y －9＝0.

两直线相交与对称问题

(1)[两直线相交]求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂

直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程．

(2)[对称问题]已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求： ①点P (4,5)关于直线l 的对称点；

②直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程．

[解] (1)法一：先解方程组?

????

3x ＋2y －1＝0，

5x ＋2y ＋1＝0，

得l 1，l 2的交点坐标为(－1,2)，

再由l 3的斜率35求出l 的斜率为－5

，

于是由直线的点斜式方程求出l ：

y －2＝－5

(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0.

法二：由于l ⊥l 3，

故l 是直线系5x ＋3y ＋C ＝0中的一条，而l 过l 1，l 2的交点(－1,2)，

故5×(－1)＋3×2＋C ＝0，由此求出C ＝－1，故l 的方程为5x ＋3y －1＝0. 法三：由于l 过l 1，l 2的交点，

故l 是直线系3x ＋2y －1＋λ(5x ＋2y ＋1)＝0中的一条，将其整理，得(3＋5λ)x ＋(2＋2λ)y ＋(－1＋λ)＝0.

其斜率为－3＋5λ2＋2λ

＝－53；解得λ＝1

5，

代入直线系方程得l 的方程为5x ＋3y －1＝0.

(2)设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)．

∵k PP ′·k l ＝－1，即y ′－y

x ′－x

×3＝－1.(ⅰ)

又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上，

∴3×x ′＋x 2－y ′＋y 2

＋3＝0.(ⅱ)

由(ⅰ)(ⅱ)得???

x ′＝－4x ＋3y －9

y ′＝3x ＋4y ＋3

.(ⅲ)

①把x ＝4，y ＝5代入方程组(ⅲ)，得x ′＝－2，y ′＝7，∴P (4,5)关于直线l 的对称点

P ′的坐标为(－2,7)．

②将方程组(ⅲ)分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于直线l 对称的直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋3

－2＝0，化简得7x ＋y ＋22＝

(1)两直线交点的求法：求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点．

(2)关于轴对称问题的处理方法： ①点关于直线的对称

求已知点A (m ，n )关于已知直线l ：y ＝kx ＋b 的对称点A ′(x 0，y 0)的坐标，一般方法是依据l 是线段AA ′的垂直平分线，列出关于x 0，y 0的方程组，由“垂直”得一方程，由“平

分”得一方程．

②直线关于直线的对称

此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．

1．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0 D ．x ＋2y －3＝0

解析：选D.由题意得直线x －2y ＋1＝0与直线x ＝1的交点坐标为(1,1)．

又取直线x －2y ＋1＝0上的一点(－1,0)关于直线x ＝1的对称点为(3,0)，所以由直线方

程的两点式，得y －01－0＝x －3

1－3

，即x ＋2y －3＝0.

2．已知点A (1,3)关于直线y ＝kx ＋b 对称的点是B (－2,1)，则直线y ＝kx ＋b 在x 轴上的截距是________．

解析：由题意得线段AB 的中点(－1

2，2)在直线y ＝kx ＋b 上，故???

3－1

1＋2·k ＝－12＝k ·(－1

)＋b ，解

得k ＝－32，b ＝54，所以直线方程为y ＝－32x ＋54.令y ＝0，即－32x ＋54＝0，解得x ＝5

，故直线

y ＝kx ＋b 在x 轴上的截距为5

答案：56

3．若直线l 过点A (1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点，且|AB |＝5，求直线l 的方程．

解：过点A (1，－1)与y 轴平行的直线为x ＝1.

解方程组????

x ＝1，2x ＋y －6＝0，

求得B 点坐标为(1,4)，此时|AB |＝5，即x ＝1为所求．

设过A (1，－1)且与y 轴不平行的直线为y ＋1＝k (x －1)，解方程组????

2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k (x －1)，

得两直线交点为????

x ＝k ＋7k ＋2

，y ＝4k －2

k ＋2.

(k ≠－2，否则与已知直线平行)．

则B 点坐标为(k ＋7k ＋2，4k －2

k ＋2

)．

由已知(k ＋7k ＋2－1)2＋(4k －2

k ＋2＋1)2＝52，

解得k ＝－34，∴y ＋1＝－3

(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0.综上可知，所求直线的方程为x ＝1

或3x ＋4y ＋1＝0.

距离及其应用

(1)[点到直线的距离]已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a

的取值范围是( )

A ．[－10,10]

B ．[－10,5]

C ．[－5,5]

D ．[0,10]

(2)[平行线间的距离]已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )

A ．0

B ．2 C.1

D ．4 (3)[距离的综合应用]正方形的中心为点C (－1,0)，一条边所在的直线方程是x ＋3y －5＝0，求其他三边所在直线的方程．

[解] (1)由题意得，点P 到直线的距离为 |4×4－3×a －1|5＝|15－3a |

又|15－3a |5

≤3，即|15－3a |≤15，

解得0≤a ≤10，所以a 的取值范围是[0,10]．选D.

(2)∵63＝m 4≠－14

，∴m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0.

可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之间的距离d ＝|－3－7|

32＋42

＝2.选B.

(3)点C 到直线x ＋3y －5＝0的距离 d ＝|－1－5|1＋9

＝3105.

设与x ＋3y －5＝0平行的一边所在直线的方程是x ＋3y ＋m ＝0(m ≠－5)，则点C 到直线x ＋3y ＋m ＝0的距离 d ＝|－1＋m |1＋9

＝3105，

解得m ＝－5(舍去)或m ＝7，所以与x ＋3y －5＝0平行的边所在直线的方程是x ＋3y ＋7＝0.

设与x ＋3y －5＝0垂直的边所在直线的方程是3x －y ＋n ＝0，则点C 到直线3x －y ＋n ＝0的距离 d ＝|－3＋n |1＋9

＝3105，

解得n ＝－3或n ＝9，所以与x ＋3y －5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x －y －3＝0和3x －y ＋9＝0.

距离的求法：

①直接用两点间的距离公式列式求解； ②点到直线的距离：可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．

③两平行直线间的距离

a ．利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．

b ．利用两平行线间的距离公式．

1．已知直线l ：x ＋my －2m －1＝0(m ∈R )，则原点到l 的距离的最大值为( ) A ．2 B. 5 C ．4 D ．2 5 解析：选B.法一：原点O 到l 的距离

d ＝

|2m ＋1|

m 2

＋1

，即(d 2－4)m 2－4m ＋d 2－1＝0，当d 2－4＝0，即d ＝2时，

m ＝3

∈R .

当d 2－4≠0时，∵m ∈R .

∴Δ＝(－4)2－4(d 2－4)(d 2－1)≥0,0≤d 2≤5，∴d max ＝5，故选B. 法二：由x ＋my －2m －1＝0得(x －1)＋(y －2)m ＝0. 则直线l 恒过定点(1,2)，

如图，当OA ⊥l 时，原点到直线l 的距离的最大值即为|OA |＝12＋22＝ 5.故选B. 2．已知P 是直线2x －3y ＋6＝0上一点，O 为坐标原点，且点A 的坐标为(－1,1)，若|PO |＝|P A |，则P 点的坐标为________．

解析：法一：设P (a ，b )，则 ???

2a －3b ＋6＝0，

a 2＋

b 2

＝(a ＋1)2＋(b －1)2

，解得a ＝3，b ＝4.∴P 的坐标为(3,4)．

法二：线段OA 的中垂线方程为x －y ＋1＝0，

则由?

????

2x －3y ＋6＝0，x －y ＋1＝0.

解得?

????

x ＝3y ＝4，则P 的坐标为 (3,4)．填(3,4)，

答案：(3,4)

3．已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使|P A |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2.

解：设点P 的坐标为(a ，b )． ∵A (4，－3)，B (2，－1)，

∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)．

而AB 的斜率k AB ＝－3＋1

4－2

＝－1，

∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0. ∵点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上， ∴a －b －5＝0.①

又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2， ∴|4a ＋3b －2|5

＝2，

即4a ＋3b －2＝±10，②

由①②联立可得?

????

a ＝1

b ＝－4或?

a ＝277，

b ＝－87.

∴所求点P 的坐标为(1，－4)或(277，－8

)．

一、选择题

1．(必修2 P 110B 组T 4改编)若A (3,4)，B (6,3)两点到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则a 等于( )

A.13

B ．－1

C ．1

D ．－1或1

解析：选D.依题意，|3a ＋4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|

a 2＋1，

解得a ＝－1或a ＝1

.故选D.

2．(必修2 P 114A 组T 10改编)若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2之间的距离为( )

A.423 B ．4 2

C.823

D ．2 2 解析：选C.∵l 1∥l 2，得1a －2＝a 3≠6

，

解得a ＝－1，

∴l 1与l 2的方程分别为l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋2

＝0，

∴l 1与l 2的距离d ＝|6－23|

＝8

3 2.

3．(必修2 P 105例3改编)已知点A (－1,2)，B (3,4)．P 是x 轴上一点，且|P A |＝|PB |，则△P AB 的面积为( )

A ．15 B.55

C ．6 5 D.15

解析：选D.AB 的中点坐标为M (1,3)，

k AB ＝4－23－(－1)＝1

，

∴AB 的中垂线方程为y －3＝－2(x －1)．即2x ＋y －5＝0.

令y ＝0，则x ＝52，即P 点的坐标为(5

2，0)，

|AB |＝(－1－3)2＋(2－4)2＝2 5.

P 到AB 的距离为|PM |＝(1－52)2＋32＝35

∴S △P AB ＝12|AB |·|PM |＝12×25×352＝15

二、填空题

4．(必修2 P 115B 组T 4改编)与直线l 1：3x ＋2y －6＝0和直线l 2：6x ＋4y －3＝0等距离的直线方程是________．

解析：l 2：6x ＋4y －3＝0化为3x ＋2y －3

2＝0，所以l 1与l 2平行，设与l 1，l 2等距离的直

线l 的方程为3x ＋2y ＋c ＝0，则：|c ＋6|＝|c ＋32|，解得c ＝－15

，所以l 的方程为12x ＋8y －

15＝0.

答案：12x ＋8y －15＝0

5．(必修2 P 114A 组T 8改编)以点A (4,1)，B (1,5)，C (－3,2)，D (0，－2)为顶点的四边形ABCD 的面积为________．

解析：k AB ＝5－11－4

＝－4

3，

k DC ＝2－(－2)－3－0

＝－43.

k AD ＝－2－10－4＝34，k BC ＝2－5－3－1＝34

则k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ，所以四边形ABCD 为平行四边形．又k AD ·k AB ＝－1，即AD ⊥AB ，故四边形ABCD 为矩形．故面积S ＝|AB |·|AD |＝(1－4)2＋(5－1)2×(0－4)2＋(－2－1)2＝25. 答案：25 三、解答题

6．(必修2 P 110B 组T 8改编)已知点P 在平面直角坐标系内，求M 到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和最小值及此时点M 的坐标．

解：如图，因为|MA |＋|MC |≥|AC |，当且仅当A ，M ，C 共线时取等号，

同理|MB |＋|MD |≥|BD |，当且仅当B ，M ，D 共线时取等号，连接AC ，BD 交于一点M ，若|MA |＋|MC |＋|MB |＋|MD |最小，则点M 为所求．

又k AC ＝6－2

3－1

＝2，

∴直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.①

又k BD ＝5－(－1)

1－7

＝－1，

∴直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)，即x ＋y －6＝0.②

由①②得????? 2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，∴?

????

x ＝2，y ＝4，∴M (2,4)．此时 |MA |＋|MB |＋|MC |＋|MD |的最小值为

|AC |＋|BD |＝(3－1)2＋(6－2)2＋(7－1)2＋(－1－5)2＝25＋6 2.

即当M (2,4)时，M 到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和取得最小值25＋6 2.

一、选择题

1．已知直线l 1：ax ＋3y ＋1＝0，l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0互相平行，则a 的值是( ) A ．－3 B ．2

C ．3或2

D ．3或－2 [导学号03350707] 解析：选A.根据题意，得?

????

a (a ＋1)－2×3＝0，

a ·1≠2，

解得a ＝－3.故选A.

2．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0垂直的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0

[导学号03350708] 解析：选C.因为直线x －2y －2＝0的斜率为1

，所以所求直线的斜

率k ＝－2.所以所求直线的方程为y －0＝－2(x －1)，即2x ＋y －2＝0.故选C.

3．“a ＝－1”是“直线ax ＋y ＋1＝0与直线x ＋ay ＋2＝0平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件

C ．既不充分也不必要条件

D ．充要条件

[导学号03350709] 解析：选A.由直线ax ＋y ＋1＝0与直线x ＋ay ＋2＝0平行，得a ＝－1或1，所以“a ＝－1”是“直线ax ＋y ＋1＝0与直线x ＋ay ＋2＝0平行”的充分不必要条件．故选A.

4．已知过点A (－2，m )和点B (m,4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为( )

A ．－10

B ．－2

C ．0

D ．8 [导学号03350710] 解析：选A.∵l 1∥l 2，

∴k AB ＝4－m

m ＋2

＝－2，解得m ＝－8.

又∵l 2⊥l 3，∴???

?－1

n ×(－2)＝－1，解得n ＝－2，∴m ＋n ＝－10.

5．已知b >0，直线(b 2＋1)x ＋ay ＋2＝0与直线x －b 2y －1＝0互相垂直，则ab 的最小值为( )

A ．1

B ．2

C ．2 2

D ．2 3

[导学号03350711] 解析：选B.由已知两直线垂直得(b 2＋1)－ab 2＝0，即ab 2＝b 2＋1.

两边同除以b ，得ab ＝b 2＋1b ＝b ＋1

由基本不等式，得ab ＝b 2

＋1b ＝b ＋1b ≥2b ·1

＝2，

当且仅当b ＝1时等号成立，故选B.

6．已知曲线y ＝4

在点P (1,4)处的切线与直线l 平行且距离为17，则直线l 的方程为

( )

A ．4x －y ＋9＝0或4x －y ＋25＝0

B ．4x －y ＋9＝0

C ．4x ＋y ＋9＝0或4x ＋y －25＝0

D ．以上都不对

[导学号03350712] 解析：选C.因为曲线y ＝4x ，所以y ′＝－4

2，所以曲线在点P (1,4)

处的切线的斜率为－4，

方程为4x ＋y －8＝0.

设直线l 的方程为4x ＋y ＋c ＝0，则|c ＋8|

＝17，所以c ＝9或－25，因此直线l 的方程

为4x ＋y ＋9＝0或4x ＋y －25＝0，故选C.

7．已知直线l 的倾斜角为3

π，直线l 1经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线

l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于( )

A ．－4

B ．－2

C ．0

D ．2

[导学号03350713] 解析：选B.∵直线l 的斜率为－1， ∴直线l 1的斜率为1，

∴k AB ＝2－(－1)

3－a

＝1，解得a ＝0.

∵l 1∥l 2，∴－2

＝1，解得b ＝－2.

∴a ＋b ＝－2.

8．点P 到点A ′(1,0)和到直线x ＝－1的距离相等，且P 到直线y ＝x 的距离等于2

，

这样的点P 共有( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

[导学号03350714] 解析：选C.设P (x ，y )，由题意知(x －1)2＋y 2＝|x ＋1|且|x －y |2

＝2

2，

所以?

????

y 2＝4x ，|x －y |＝1，

即?????

y 2＝4x ，x －y ＝1，①或?????

y 2

＝4x ，x －y ＝－1.

② 解得①有两根，②有一根．符合题意的点P 共有3个．故选C.

9．若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为213

，则c 的值为( )

A ．2或6

B ．2或－6

C ．－2或6

D ．－2或－6

[导学号03350715] 解析：选B.由题意得，36＝－2a ≠－1

，所以a ＝－4且c ≠－2，

则6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c

2＝0，

由平行线间的距离公式得，21313＝|c 2

＋1|

，

解得c ＝2或c ＝－6.故选B.

10．已知线段PQ 两端点的坐标分别为P (－1,1)和Q (2,2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，则实数m 的取值范围是( )

A.????－∞，12∪????2

3，＋∞ B.????－23，12 C.????－12，23 D.???

?－23，12 [导学号03350716] 解析：选D.因为P (－1,1)和Q (2,2)在直线l ：x ＋my ＋m ＝0的两侧

或在直线上，所以(－1＋m ＋m )(2＋2m ＋m )≤0，解得－23≤m ≤1

，所以实数m 的取值范围

是－23≤m ≤1

2.故选D.

二、填空题

11．若曲线y ＝2x －x 3在横坐标为－1的点处的切线为l ，则点P (3,2)到直线l 的距离为________．

[导学号03350717] 解析：由题意得切点坐标为(－1，－1)．切线斜率为k ＝y ′|x ＝－1＝2－3×(－1)2＝－1，故切线l 的方程为y －(－1)＝－1·[x －(－1)]，整理得x ＋y ＋2＝0.由点

到直线的距离公式，得点P (3,2)到直线l 的距离为|3＋2＋2|12＋12

＝72

答案：722

12．直线l ：mx －2y ＋3m ＋4＝0(m ∈R )恒过定点为M ，则|OM |＝________. [导学号03350718] 解析：由mx －2y ＋3m ＋4＝0，得(x ＋3)m ＋(－2y ＋4)＝0. 令????? x ＋3＝0，－2y ＋4＝0，得?

????

x ＝－3，y ＝2，即l 恒过定点(－3,2)，∴|OM |＝(－3)2＋22＝13. 答案：13

13．若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°.

其中正确答案的序号是________(写出所有正确答案的序号)．

[导学号03350719] 解析：记直线m 的倾斜角是θ.由题意知直线l 1，l 2间的距离为2

＝

2.又直线m 被直线l 1，l 2所截得的线段的长是22，因此直线m 与直线l 1的夹角的正弦值为222＝12

，直线m 与直线l 1的夹角是30°，又直线l 1的倾斜角是45°，因此θ＝15°或θ＝75°，故正确答案的序号是①⑤.

答案：①⑤

14．已知a ≠0，直线ax ＋(b ＋2)y ＋4＝0与直线ax ＋(b －2)y －3＝0互相垂直，则ab 的最大值为________．

[导学号03350720] 解析：若b ＝2，则两直线方程为y ＝－a 4x －1和x ＝3

，此时两直线

相交但不垂直．若b ＝－2，则两直线方程为x ＝－4a 和y ＝a 4x －3

，此时两直线相交但不垂直．若

b ≠±2，则两直线方程为y ＝

－a b ＋2x －4b ＋2和y ＝－a b －2x ＋3b －2，此时两直线的斜率分别为－a b ＋2，－a b －2

，所以由－a b ＋2·?

??－a b －2＝－1得a 2＋b 2＝4.因为a 2＋b 2＝4≥2ab ，所以ab ≤2，则ab 的最大值是

答案：2 三、解答题 15．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．

(1)求P 0的坐标；

(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程．

[导学号03350721] 解：(1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1.由直线l 1平行于直线4x －y －1＝0，得3x 2＋1＝4，解得x ＝±1.

当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.

又∵点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4)． (2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，

∴直线l 的斜率为－1

∵直线l 过切点P 0(－1，－4)，

∴直线l 的方程为y ＋4＝－1

(x ＋1)，

即x ＋4y ＋17＝0.

16．如图所示，函数f (x )＝x ＋2

的定义域为(0，＋∞)．设点P 是函数图象上任意一点，

过点P 分别作直线y ＝x 和y 轴的垂线，垂足分别为M ，N .

(1)证明：|PM |·|PN |为定值；

(2)O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值．

[导学号03350722] 解：(1)证明：设P ???

x 0，x 0＋

2x 0(x 0>0)，

则|PN |＝x 0，|PM |＝

???

?2x 02

＝1x 0，因此|PM |·|PN |＝1.

(2)连接OP (图略)，直线PM 的方程为

y －x 0－2x 0＝－(x －x 0)，即y ＝－x ＋2x 0＋2

x 0

解方程组?????

y ＝x ，y ＝－x ＋2x 0＋2x 0，

得x ＝y ＝x 0＋2

2x 0

，所以|OM |＝2x 0＋1

x 0

S 四边形OMPN ＝S △NPO ＋S △OPM ＝12|PN |·|ON |＋12

|PM |·|OM | ＝12x 0????x 0＋2

x 0＋12x 0?

???2x 0＋1x 0 ＝2＋12???

x 20＋1x 20≥2＋1，当且仅当x 0＝1

x 0

，即x 0＝1时等号成立．因此，四边形OMPN 面积的最小值为2＋1.

两条直线的位置关系教案

课题：7.3两条直线的位置关系（二）垂直教学目的： 1．熟练掌握两条直线垂直的条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． 2．通过研究两直线垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力． 3．通过对两直线垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的兴趣．教学重点：两条直线垂直的条件王新敞教学难点：两直线的垂直问题转化与两直线的斜率的关系问题王新敞教学过程：一、复习引入： 1、在平面几何中，两条直线垂直垂直的判定定理与性质定理是怎么描述的？ 2、问题：在直角坐标系中，怎样根据直线方程的特征判断两条直线垂直？二、讲解新课：问题：如果两条直线的斜率分别是 1 k和 2 k，则这两条直线垂直时斜率之间有怎样的关系？用倾斜角的关系推导：如果 2 1 l l⊥，这时 2 1 α α≠，否则两直线平行王新敞设2 1 α α>，甲图的特征是 1 l与 2 l的交点在x轴上方；乙图的特征是 1 l与 2 l的交点在x轴下方；丙图的特征是 1 l与 2 l的交点在x轴上，无论哪种情况下都有2 1 90α α+ =．因为 1 l和 2 l的斜率为 1 k和 2 k，即0 1 90 ≠ α，所以0 2 ≠ α王新敞 2 2 1tan 1 ) 90 tan( tan α α α- = + =，即 2 1 1 k k- =或1 2 1 - = k k王新敞

反过来，如果2 11 k k - =或121-=k k ?20190αα+=?21l l ⊥．两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直，即 21l l ⊥?2 11 k k - =?121-=k k 王新敞一般性结论：21l l ⊥?121-=k k 王新敞或一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0 特殊情况下的两直线垂直．当两条直线中有一条直线没有斜率时：当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直王新敞一般性结论：21l l ⊥?121-=k k 王新敞或一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0 三、例题讲解：例1 判断下列两直线是否垂直，并说明理由：（1）121 :42,:5;4 l y x l y x =+=- + （2）1:536,:355;l x y l x y +=-= （3）12:5,:8.l y l x == 例2 求过点A （3，2）且垂直于直线4580x y +-=的直线方程例3 已知直线03)1()2(=--++y a x a 与02)32()1(=+++-y a x a 互相垂直，求a 的值．解： ∵21+=a A ，12-=a A ，a B -=11，322+=a B 且两直线互相垂直 ∴0)32)(1()1)(2(=+-+-+a a a a ，解之得1±=a 王新敞

空间直线与直线的位置关系(教学案)

青岛市中等职业学校信息化教学设计比赛教学案参赛人: 王立广参赛单位: 青岛幼儿师范学校

课题：10.2空间两条直线的位置关系学习目标： 1、知识与技能（1）理解空间两条直线的位置关系。（2）会用平面衬托来画异面直线。（3）掌握并会应用平行公理。（4）会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角。 2、过程与方法在直线的位置关系的判断过程中，掌握借助平面判断空间两条直线的位置关系的方法； 3、情感态度与价值观 (1).让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。 (2).增强动态意识，培养学生观察、对比、分析的思维，通过平移转化渗透数学中的化归及辩证唯物主义思想。 (3).通过探究增强学生的合作意识、动脑意识和动手能力。学习重点：异面直线的判断；学习难点：异面直线所成角的推证与求解。教具准备：学生学案一份、多媒体、合作探究配套教学模型（正方体）、手工制作模型一、课前导学平面内两条直线的位置关系有：、。其中相交直线有个公共点；平行直线公共点。【问题引导】在同一个平面内，两条直线要么平行，要么相交，不平行的两直线一定相交，在空间内任意两条直线这个结论是否还成立？【实例观察】观察下列两个图形，螺母与十字路口----立交桥，AB, CD所在直线平行吗？相交吗？）二、新课导学A B D

1.异面直线的定义: 我们把叫做异面直线。【问题引导】你认为异面直线的定义中，关键字有哪些？为什么？ 2.空间两直线的位置关系按平面基本性质分?? ???? ?????? 不同在任何平面内在同一平面内按公共点个数分?? ? ? ?? ??????没有公共点有一个公共点【合作探究】 1.在正方体ABCD －EFGH 中，和AE 相交、平行、异面的直线分别有哪些？（学生快速对照模型寻找答案，然后收起模型，看图回答。） 2.如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体, 那么 AB , CD , EF , GH 这四条线段所在直线是异面直线的有对? （学生以小组为单位，对照课前准备好的正方体模型，进行合作讨论，找出异面直线。教师通过几何画板展示此图还原的过程，与学生一起订正他们的答案）【问题引导】你是怎么判断直线的位置关系的？怎么判断两直线是否是异面直线的？ 3．异面直线的判断经过一点和一点的直线，和的直线是异面直线。【问题引导】异面直线的判断需要平面的辅助，怎么寻找辅助的平面呢？ 4.异面直线的画法说明：画异面直线时，为了体现它们不共面的特点。常借助一个或两个平面来衬托。下列三 A D C B E G H C

空间中直线与直线之间的位置关系(附答案)

空间中直线与直线之间的位置关系 [学习目标] 1.会判断空间两直线的位置关系.2.理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角.3.能用公理4解决一些简单的相关问题. 知识点一空间中两条直线的位置关系 1.异面直线 (1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 要点分析：①异面直线的定义表明：异面直线不具备确定平面的条件.异面直线既不相交，也不平行. ②不能误认为分别在不同平面内的两条直线为异面直线.如图中，虽然有a?α，b?β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O，所以a与b不是异面直线. (2)画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行也不相交，即不共面的特点，常常需要画一个或两个辅助平面作为衬托，以加强直观性、立体感.如图所示，a与b为异面直线. (3)判断方法方法内容定义法依据定义判断两直线不可能在同一平面内定理法过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线为异面直线(此结论可作为定理使用) 反证法假设这两条直线不是异面直线，那么它们是共面直线(即假设两条直线相交或平行)，结合原题中的条件，经正确地推理，得出矛盾，从而判定假设“两条直线不

是异面直线”是错误的，进而得出结论：这两条直线是异面直线 2.空间中两条直线位置关系的分类 (1)按两条直线是否共面分类 ?? ? 共面直线??? ?? 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点平行直线：同一平面内，没有公共点异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 (2)按两条直线是否有公共点分类 ??? 有且仅有一个公共点——相交直线无公共点? ?? ?? 平行直线异面直线思考 (1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？ (2)两条垂直的直线必相交吗？答 (1)不一定.可能相交、平行或异面. (2)不一定.可能相交垂直，也可能异面垂直. 知识点二公理4(平行公理) 文字语言平行于同一条直线的两条直线互相平行，这一性质叫做空间平行线的传递性符号语言 ? ??? ?a ∥c b ∥c ?a ∥b 图形语言知识点三空间等角定理 1.定理

两条直线的位置关系说课稿

《两条直线的位置关系》说课稿一、关于教材分析 1、教材的地位和作用直线是最常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有广泛的应用.初中几何对直线的基本性质作了比较系统的研究.初中代数研究了一次函数的图象和性质，高一数学研究了平面向量、三角函数.直线的方程是以上述知识为基础的，同时是平面解析几何学的基础知识，是进一步学习圆锥曲线以及其它曲线方程的基础，也是学习导数、微分、积分等的基础王新敞 “两条直线的位置关系”是在学生学习直线方程的基础上，进一步研究两直线位置关系的一节内容，我们知道两条直线垂直在生活中应用事例非常多，在诸多求解角度、面积、长度等方面都要用到两直线的垂直关系，因此，找到两条直线垂直的充要条件，尤其是两直线垂直与方程中系数的关系成为急需解决的问题。另外，学生已经具备直线的有关知识（如垂直定义、向量垂直、方向向量、法向量、直线方程等），这样探索两直线垂直的充要条件成为可能，通过探索两直线垂直的充要条件，可以培养学生分析问题、解决问题的能力。 2、教学目标分析我确定教学目标的依据有以下三条：（1）教学大纲、考试大纲的要求（2）新教材的特点

（3）所教学生的实际情况教学目标包括：知识、能力、情感等方面的内容． “两条直线的位置关系”是平面解析几何重要的基础知识，也是教学大纲和考试大纲要求掌握的一个知识点．按照大纲“在传授知识的同时，渗透数学思想方法，培养学生数学能力”的教学要求，结合新教材向量的引入，又根据所带班级学生的情况，我把本节课的教学目标确定为： 1．熟练掌握两条直线垂直的充要条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．能够根据两条直线的位置关系求直线的方程 2．通过研究两直线垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力． 3．通过对两直线垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的兴趣．教学重点：两条直线垂直的充要条件教学难点：两直线垂直问题的转化与两直线的系数关系二、关于教学方法和教学用具的说明 1、教学方法的选择（1）指导思想：在“以生为本”理念的指导下，充分体现“教师为主导，学生为主体”．（2）教学方法：观察---探索——归纳---应用本节课的任务主要是两条直线垂直的充要条件及应用．我选

两条直线的位置关系

2.1两条直线的位置关系（第2课时）一、教学目标： 1.知识与技能： (1)会用符号表示两直线垂直，并能借助三角板、直尺和方格纸画垂线。 (2)通过折纸、动手操作等活动探究归纳垂直的有关性质，会进行简单的应用。 (3)初步尝试进行简单的推理。 2. 过程与方法：经历从生活中提炼、动手操作、观察交流、猜想验证、简单说理等活动，进一步发展学生的空间观念、推理能力和有条理表达的能力。善于举一反三，学会运用类比、数形结合等思想方法解决新知识。 3．情感与态度：激发学生学习数学的兴趣，体会“数学来源于生活反之又服务于生活”的道理，在解决实际问题的过程中了解数学的价值，通过“简单说理”体会数学的抽象性、严谨性。二、教学过程 1、创设情境引入新课观察生活中的图片，你能找出其中相交的直线吗？他们有什么特殊的位置关系？设计意图：数学来源于生活，从生活中的图形中抽象出几何图形。在比较中发现新知，加深了学生对垂直和平行的感性认识，感受垂直“无处不在”；使学生充分体验到现实世界的美来源于数学的美，在美的享受中进入新知识的殿堂.激发学生的学习兴趣。 2、总结归纳讲授新知定义：两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直（perpendicular），其中的一条直线叫做另一条直线的垂线。它们的交点叫做垂足。说明：两条线段垂直是指它们所在的直线垂直。表示：通常用“⊥”表示两直线垂直。直线AB与直线CD垂直，记作AB⊥CD；直线l 与直线m垂直，记作l⊥m．其中，点O是垂足．设计意图：强调知识内容的准确性，加深对概念的理解。 3、动手实践探究新知动手画一画1：你能画出两条互相垂直的直线吗？你有哪些方法？小组交流，相互点评。 1．你能借助三角尺在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？

两条直线位置关系判断方法

两条直线的位置关系判断方法设平面上两条直线的方程分别为1 1 1 1 2 2 2 2 :0,:0 l a x b y c l a x b y c ++=++= 一．行列式法记系数行列式为112 2 ,a b D a b =112 2 ,x c b D c b -= -112 2 y a c D a c -= - 1 l 和相交?0D ≠ 1 221b a b a ≠? 1 l 和2 l 平行?0,0x D D =≠或0,0y D D =≠ 1 l 和重合?0===x y D D D 二．比值法 1 l 和相交2 12 1 b b a a ≠ ()0b ,a 2 2≠； 1 l 和垂直?0b a b a 2 21 1=+； 1 l 和平行2 1 212 1 c c b b a a ≠= () 0c ,b ,a 222≠； 1 l 和重合2 1 212 1 c c b b a a == ()0c ,b ,a 222≠ 三．斜率法

1 1 1 2 2 2 :y 0.:y 0l k x b l k x b =+==+=（条件：两直线斜率都存在，则可化成点斜式） 12l l ?与相交2 1k k ≠ ； 1 2 l l ?与平行2 121 b b k k ≠=， 12l l ?与重合2 121b b k k ==，； 12l l ?与垂直-1 .=21k k ; 特别提醒：在具体判断两条直线的位置关系时，先考虑比值法，但要注意前提条件(分母不为零)；再考虑斜率法，但也有条件(两条直线的斜率都存在)，最后选择行列式(无条件)；注：（1）两直线平行是它们的法向量（方向向量）平行的充分非必要条件；（2）两直线垂直是它们的法向量（方向向量）垂直的充要条件；（3）两条直线平行?它们的斜率均存在且相等或者均不存在；（4）两条直线垂直?他们的斜率均存在且乘积为-1，或者一个存在另一个不存在；

两条直线的位置关系及其判定

两条直线的位置关系及其判定教学目标 (1)熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系. (2)理解一条直线到另一条直线的角的概念，掌握两条直线的夹角. (3)能够根据两条直线的方程求出它们的交点坐标. (4)掌握点到直线距离公式的推导和应用. (5)进一步掌握求直线方程的方法. (6)进一步理解直线方程的概念，理解运用直线的方程讨论两条直线位置关系的思想方法. (7)通过点到直线距离公式的多种推导方法的探求，培养学生发散思维能力，理解数形结合的思想方法. 教学建议一、教材分析 1.知识结构 2.重点、难点分析重点是两条直线的平行与垂直的判断;两条直线的夹角;点到直线的距离. 难点是两条直线垂直条件的推导;一条直线到另一条直线的角的概念和点到直线距离公式的推导. 页 1 第本节内容与后边内容联系十分紧密，两条直线平行与垂

直的条件和点到直线的距离公式在圆锥曲线中都有广泛的应用，因此非常重要. (1)平行与垂直 ①平行在讨论两条直线平行的问题时，教材先假定了两条直线有斜截式方程，根据倾斜角与斜率的对应关系，将初中学过的两直线平行的充要条件(即判定定理和性质定理)转化为坐标系中的语言，用斜率和截距重新加以刻画，教学中应注意斜率不存在的情况. ②垂直教材上将直线的斜率转化成方向向量，然后利用向量垂直的条件推出两条直线垂直的条件.结合斜率不存在的情况，两条直线垂直的充要条件可叙述为：或一个为0，另一个不存在. (2)夹角①应正确区分直线到的角、直线到的角、直线和的夹角这三个概念. 到的角是带方向的角，它是指按逆时针方向旋转到与重合时所转的角，它与到的角是不同的，如果设前者是，后者是，则+ = . 与所夹的不大于的角成为和的夹角，夹角不带方向. 页 2 第

空间两条直线的位置关系

空间两条直线的位置关系知识点一空间两条直线的位置关系 1．异面直线 ⑴定义：不同在任何一个平面内的两直线叫做异面直线。 ⑵特点：既不相交，也不平行。 ⑶理解：①“不同在任何一个平面内”，指这两条直线永不具备确定平面的条件，因此，异面直线既不相交，也不平行，要注意把握异面直线的不共面性。 ②“不同在任……”也可以理解为“任何一个平面都不可能同时经过这两条直线”。 ③不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线．也就是说，在两个不同平面内的直线，它们既可以是平行直线，也可以是相交直线． 2．空间两条直线的位置关系 ⑴相交——在同一平面内，有且只有一个公共点； ⑵平行——在同一平面内，没有公共点； ⑶异面——不同在任何个平面内，没有公共点．例1、正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论： ①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线； ③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论的序号都填上) 答案：③④ 例2、异面直线是指____． ①空间中两条不相交的直线；②分别位于两个不同平面内的两条直线； ③平面内的一条直线与平面外的一条直线；④不同在任何一个平面内的两条直线．变式1、一个正方体中共有对异面直线．

变式1、如图E 、F 、G 、H 是平面四边形ABCD 四边中点，四边形EFGH 的形状是平行四边形吗？为什么？如果将ABCD 沿着对角线BD 折起就形成空间四边形ABCD ，那么四边形 EFGH 的形状还是平行四边形吗？知识点三异面直线 1、异面直线的画法：为了充分显示出它们既不平行又不相交的特点，常常需要以辅助平面作为衬托，以加强直观性，如下图(l)，若画成如下图(2)的情形，就分不开了，千万不能画成(2)的图形。画平面衬托时，通常画成下图中的情形。 2、异面直线的判定 ⑴异面直线判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线． ⑵判定两条直线为异面直线的常用方法有： ①定义法：不同在任一平面内的两条直线． ②定理法：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线为异面直线． ③推论法：一条异面直线上两点与另一条异面直线上两点所连成的两条直线为异面直线． ④反证法：反证法是证明立体几何问题的一种重要方法，证明步骤有三步：一是提出与结论相反的假设；二是由此假设推出与题目条件或某一公理、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾结果；三是推翻假设，从而肯定与假设相反的结论，即命题的结论成立， 3、异面直线所成的角 a 与 b 是异面直线，经过空间任意一点O ，作直线a′∥a ，b ′//b ，直线a′和b ′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a ，b 所成的角．如下图所示． A B D E F G H A B C D E F G H 折

两条直线位置关系判断方法

两条直线的位置关系判断方法设平面上两条直线的方程分别为11112222:0,:0 l a x b y c l a x b y c ++=++= 一．行列式法记系数行列式为1 122,a b D a b = 和相交?0D ≠1221b a b a ≠? 1l 和2l 平行?0,0x D D =≠或0,0y D D =≠ 和重合?0 ===x y D D D 二．比值法和相交()0b ,a 22≠；和垂直?0b a b a 2211=+；和平行()0c ,b ,a 222≠；和重合()0c ,b ,a 222≠ 三．斜率法 111222:y 0.:y 0l k x b l k x b =+==+=（条件：两直线斜率都存在，则可化成点斜式） 12l l ?与相交21k k ≠； 2121b b k k ≠=， 2121b b k k ==，； -1.=21k k ; 特别提醒：在具体判断两条直线的位置关系时，先考虑比值法，但要注意前提条件(分母不为零)；再考虑斜率法，但也有条件(两条直线的斜率都存在)，最后选择行列式(无条件)；注：（1）两直线平行是它们的法向量（方向向量）平行的充分非必要条件；（2）两直线垂直是它们的法向量（方向向量）垂直的充要条件；（3）两条直线平行?它们的斜率均存在且相等或者均不存在；（4）两条直线垂直?他们的斜率均存在且乘积为-1，或者一个存在另一个不存在； 1122,x c b D c b -=-1122y a c D a c -=-1l 2l 1l 2l 1l 2l ?2 121b b a a ≠1l 2l 1l 2l ?21212 1c c b b a a ≠=1l 2l ?2 12121c c b b a a ==12l l ?与平行12l l ?与重合12l l ?与垂直

2.1两条直线的位置关系(二)教学设计

第二章相交线与平行线《两条直线的位置关系》共分两课时，我们在第一课时已经学习了在同一平面内两条直线的位置关系、对顶角、余角、补角的定义及其性质；今天我们将要学习第二课时，主要内容是掌握垂直的定义及其表示方法，会借助有关工具画垂线，掌握垂线的有关性质并会简单应用。一、学生起点分析学生的知识技能基础：学生的知识技能基础：学生在小学已经认识了平行线、相交线、角；在七年级上册中，已经对角及其分类有了一定的认识；上一节课又进一步学习了两直线的位置关系、两角互补、互余等概念，这些知识储备为本节课的学习奠定了良好的基础，使学生具备了掌握本节知识的基本技能。学生活动经验基础：在上一节课，通过引导学生走进生活，从身边熟悉的情境出发，使学生经历了从现实生活中抽象出数学模型的过程；让学生通过直观和大量的操作活动，引导学生积极动手、动口、动脑来进行归纳整理；鉴于学生已有充分的知识储备，本课时将继续延续还课堂于学生，在开放的前提下，让学生经历动手画图（或者操作）、合作交流的过程，给学生一个充分发表见解的舞台，激发学生的创新精神，提高学生的自信力，打造高效课堂！二、教学任务分析根据七年学生好奇的心理，首先应引导学生走进现实世界，用一双慧眼去发现有关垂直的情境，借助视觉思维的直观性，复习旧知识，提炼新知识，让学生在主动“探索发现”的过程中增进对数学知识的理解，激发他们的创造力，在无形中培养学生的推理能力！根据学生已经具备的知识储备和能力，特制定目标如下： 1.知识与技能： (1)会用符号表示两直线垂直，并能借助三角板、直尺和方格纸画垂线。 (2)通过折纸、动手操作等活动探究归纳垂直的有关性质，会进行简单的应用。 (3)初步尝试进行简单的推理。 2. 过程与方法：经历从生活中提炼、动手操作、观察交流、猜想验证、简单说理等活动，进一步发展学生的空间观念、推理能力和有条理表达的能力。善于举一反三，学会运用类比、数形结合等思想方法解决新知识。 3．情感与态度：激发学生学习数学的兴趣，体会“数学来源于生活反之又服务于生活”

两条直线的位置关系习题

两条直线的位置关系（1）习题一、选择题 1、下列说法中，正确的个数是（） ①在同一个平面内不相交的两条线段必平行 ②在同一个平面内不相交的两条直线必平行 ③在同一个平面内不平行的两条线段必相交 ④在同一个平面内不平行的两条直线必相交 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 2、下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是（） 3下列说法正确的是（） A 、一个角的补角一定比这个角大 B 、锐角大于它的余角 C 、两个角都与一个角互余，则这两个角一定相等 D 、互为余角、互为补角的关系必须在同一个图形中 4、已知∠A = 40°，则∠A 的余角的补角是（） A 、50° B 、150° C 、40° D 、130° 5、如果∠1 + ∠2 = 90°，∠2+ ∠3= 90°，则（） A 、 ∠1 =∠2 B 、 ∠1 = ∠3 C 、 ∠2 =∠3 D 、 ∠1 = ∠2 = ∠3 6、∠1与∠2互补且相等， ∠3与∠2是对顶角，则∠3的一半是（） A 、45° B 、80° C 、75° D 、30° 7、若互为余角的两个角之差为40°，则较大的角为（） A 、40° B 、50° C 、65° D 、75° 8、若∠α+ ∠β = 90°，∠β与∠γ互为余角，则∠α与∠γ的关系是（） A 、互余 B 、互补 C 、相等 D 、不确定 9、三条线相交于一点，所成的小于平角的对顶角有（） A 、3对 B 、4对 C 、5对 D 、6对 2 A 2 B 2 D 2 C

10、∠1的对顶角是∠2，∠2的邻补角是∠3，若∠3=75°，则∠1的度数是（） A、75° B、105° C、90° D、75°或105° 二、填空题 11、∠1与∠2是对顶角，∠1=38°，则∠1= ； 12、右图所示，一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角是度，你的根据是； 13、如图1，是由两个相同的直角三角形ABC和FDE 拼成的，则图中与∠A相等的角有个，分别是； ∠1与∠A关系是；∠2与∠1的关系是； 14、∠α=25°，则∠α的余角= ；∠α的补角= ； 15、已知：∠1与∠2是对顶角，∠1与∠3互补，则∠2+∠3= ； 16、互为补角的两个角的度数之比为2:7，则这两个角分别是= ； 17、已知∠α的补角是∠α的4倍，则∠α=；三、解答题： 16、如图，已知：直线AB与CD相交于点O，∠1=50度．求：∠2和∠3的度数． 17、直线AB，CD，EF相交于点O，且∠AOD=100°，∠1=30°，求∠2的度数．

两条直线的位置关系及其判定

教学目标 (1)熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系. (2)理解一条直线到另一条直线的角的概念，掌握两条直线的夹角. (3)能够根据两条直线的方程求出它们的交点坐标. (4)掌握点到直线距离公式的推导和应用. (5)进一步掌握求直线方程的方法. (6)进一步理解直线方程的概念，理解运用直线的方程讨论两条直线位置关系的思想方法. (7)通过点到直线距离公式的多种推导方法的探求，培养学生发散思维能力，理解数形结合的思想方法. 教学建议一、教材分析 1.知识结构 2.重点、难点分析重点是两条直线的平行与垂直的判断;两条直线的夹角;点到直线的距离. 难点是两条直线垂直条件的推导;一条直线到另一条直线的角的概念和点到直线距离公式的推导.

本节内容与后边内容联系十分紧密，两条直线平行与垂直的条件和点到直线的距离公式在圆锥曲线中都有广泛的应用，因此非常重要. (1)平行与垂直 ①平行在讨论两条直线平行的问题时，教材先假定了两条直线有斜截式方程，根据倾斜角与斜率的对应关系，将初中学过的两直线平行的充要条件(即判定定理和性质定理)转化为坐标系中的语言，用斜率和截距重新加以刻画，教学中应注意斜率不存在的情况. ②垂直教材上将直线的斜率转化成方向向量，然后利用向量垂直的条件推出两条直线垂直的条件.结合斜率不存在的情况，两条直线垂直的充要条件可叙述为：或一个为0，另一个不存在. (2)夹角 ①应正确区分直线到的角、直线到的角、直线和的夹角这三个概念. 到的角是带方向的角，它是指按逆时针方向旋转到与重合时所转的角，它与到的角是不同的，如果设前者是，后者是，则 + = . 与所夹的不大于的角成为和的夹角，夹角不带方向. 当到的角为锐角时，则和的夹角也是 ;当到的角为钝角时，则和的夹角也是 . ②在求直线到的角时，应注意分析图形的几何性质，找出与，的倾斜角，关系，得出或，然后由，联想差角的正切公式，便可把图形的几何性质转化为坐标语言来表示，推导出. 再由与的夹角与到的角之间的关系，而得出夹角计算公式

两条直线的位置关系教案(七年级下册)

2.1 两条直线的位置关系教学分析教学目标： 1、在具体的现实情境中，了解同一平面内两条直线的位置关系是平行和相交，理解对顶角、余角、补角等概念。 2、探索并掌握对顶角相等、同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等的性质。 3、进一步提高学生的抽象概括能力，发展空间观念和知识运用能力，学会简单的逻辑推理，并能对问题的结论进行合理的猜想。 4、体会观察、归纳、推理对数学知识中获取数学猜想和论证的重要作用，初步数学中推理的严谨性和结论的确定性，能在独立思考和小组交流中获益。教学重难点重点：余角、补角、对顶角的性质及其应用。难点：通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并能用规范的语言描述性质。教学准备实物图片、ppt课件。我的思考本节内容首先介绍平行线、相交线，在初中数学中起到承上启下的作用。在小学，学生已对平行、相交有了初步的了解，已经在形象上知晓了，本节内容在学生已有的基础上让学生自行探索平行、相交的概念，为即将要学习的“探索直线平行的条件”、“探索平行线的性质”等打基础。本课又是继“角”及“角的大小比较”之后的内容，是进一步认识角，并认识两角之间的关系，并为寻找角之间的数量关系打下基础.同时也为以后的学习做好铺垫. 从知识的准备上，学生已认识了角，有了这个基础，对于本课认识做好了铺垫；从难度上，难度不大，学生也能学会；从知识呈现体系，也是很恰当地；从应用上，学生经常找角的数量关系，应用价值很大. 教学设计教学过程一、创设情境，引入新课教师活动：向同学们展示一些生活中的图片：双杠、铁轨、比萨斜塔等，让学生观察生活中的两条直线之间的位置关系。【设计意图：让学生观察图片，不但可以体会到几何来源于生活，激发学生学习的兴趣，还可以为下面的分类提供依据，为了解平行线、相交线的概念打下基础。】二、建立模型，探索新知互动探究一、平行线、相交线的概念：师生活动： 1、请各组同学每人拿出两支笔，用它们代表两条直线，随意移动笔，观察笔与笔有几种位置关系？各种位置关系，分别叫做什么？（选取一个小组的代表上黑板上演示给大家看）(板书：①平行、②相交、③重合，并给出相交线的定义) 若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线。 2、凡未作特别说明，我们只研究不重合的情形，则去掉重合这种情况，在同一平面上两条直线有几种位置关系？（板书：去掉③重合，并总结出同一平面内的两条直线的位置关系）

空间直线与直线的位置关系(教案).

课题： 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系桓台一中数学组尹朔教材版本：新课标：人教版A版《数学必修2》设计思想：空间中直线与直线的位置关系是学生在已经学习了平面的基本概念的基础上进行学习的。在立体几何初步的内容中，位置关系主要包括直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系。而空间中直线与直线的位置关系是以上各种位置关系中最重要、最基本的一种，是我们研究的重点。其中，等角定理解决了角在空间中的平移问题，在平移变换下角的大小不变，它是两条异面直线所成角的依据，也是以后学习研究二面角几角有关内容的理论依据，它提供了一个研究角之间关系的重要方法。教材在编写时注意从平面到空间的变化，通过观察实物，直观感知，抽象概括出定义及定理培养学生的观察能力和分析问题的能力，通过联系和比较，理解定义、定理，以利于正确的进行运用。教材分析：直线与直线问题是高考考查的重点之一，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象力和逻辑推理能力。教学目标： 1、知识与技能（1）.掌握异面直线的定义，会用异面直线的定义判断两直线的位置关系。（2）.会用平面衬托来画异面直线。（3）.掌握并会应用平行公理和等角定理。（4）.会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角。 2、过程与方法（1）自主合作探究、师生的共同讨论与讲授法相结合；（2）让学生在学习过程不断探究归纳整理所学知识。 3、情感态度与价值观 (1).让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。 (2).增强动态意识，培养学生观察、对比、分析的思维，通过平移转化渗透数学中的化归及辩证唯物主义思想。 (3).通过探究增强学生的合作意识、动脑意识和动手能力。教学重点：异面直线的定义；异面直线所成的角的定义。教学难点：异面直线所成角的推证与求解。教具准备:学生学案一份、多媒体、合作探究配套教学模型（正方体）教学模式问题——自主、合作——探究

两条直线的位置关系

2.1两条直线的位置关系教学目标： 1、在具体的现实情境中，了解同一平面内两条直线的位置关系是平行和相交，理解对顶角、余角、补角等概念。 2、探索并掌握对顶角相等、同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等的性质。 3、进一步提高学生的抽象概括能力，发展空间观念和知识运用能力，学会简单的逻辑推理，并能对问题的结论进行合理的猜想。 4、体会观察、归纳、推理对数学知识中获取数学猜想和论证的重要作用，初步数学中推理的严谨性和结论的确定性，能在独立思考和小组交流中获益。教学重难点重点：余角、补角、对顶角的性质及其应用。难点：通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并能用规范的语言描述性质。教学准备实物图片、ppt课件。我的思考本节内容首先介绍平行线、相交线，在初中数学中起到承上启下的作用。在小学，学生已对平行、相交有了初步的了解，已经在形象上知晓了，本节内容在学生已有的基础上让学生自行探索平行、相交的概念，为即将要学习的“探索直线平行的条件”、“探索平行线的性质”等打基础。本课又是继“角”及“角的大小比较”之后的内容，是进一步认识角，并认识两角之间的关系，并为寻找角之间的数量关系打下基础.同时也为以后的学习做好铺垫. 从知识的准备上，学生已认识了角，有了这个基础，对于本课认识做好了铺垫；从难度上，难度不大，学生也能学会；从知识呈现体系，也是很恰当地；从应用上，学生经常找角的数量关系，应用价值很大. 教学设计教学过程一、创设情境，引入新课教师活动：向同学们展示一些生活中的图片：双杠、铁轨、比萨斜塔等，让学生观察生活中的两条直线之间的位置关系。【设计意图：让学生观察图片，不但可以体会到几何来源于生活，激发学生学习的兴趣，还可以为下面的分类提供依据，为了解平行线、相交线的概念打下基础。】二、建立模型，探索新知互动探究一、平行线、相交线的概念：师生活动： 1、请各组同学每人拿出两支笔，用它们代表两条直线，随意移动笔，观察笔与笔有几种位置关系？各种位置关系，分别叫做什么？（选取一个小组的代表上黑板上演示给大家看）(板书：①平行、②相交、③重合，并给出相交线的定义) 若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线。

空间中直线与直线之间的位置关系教案

空间中直线与直线之间的位置关系教案一、教学目标： 1、知识与技能（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角定理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。 2、过程与方法（1）师生的共同讨论与讲授法相结合；（2）让学生在学习过程不断归纳整理所学知识。 3、情感与价值让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。二、教学重点、难点重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理。难点：异面直线所成角的计算。三、学法与教学用具 1、学法：学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成本节课的教学目标。 2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型、三角板四、教学思想（一）创设情景、导入课题 1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题）（二）讲授新课 1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如下图： 2、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？组织学生思考：长方体ABCD-A'B'C'D'中， BB'∥AA'，DD'∥AA'， BB'与DD'平行吗？共面直线

两条直线的位置关系

两条直线的位置关系 A 卷一、选择题 1、直线A 1x + B 1y + C 1 = 0，(A 1B 1≠0)与直线A 2x + B 2y + C 2 = 0，(A 2B 2≠0)垂直的充要条件是( ) A 、C 1 C 2≠0 B 、A 1B 1+ A 2B 2 = 0 C 、A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0 D 、A 1 B 2－A 2 B 1 = 0 2、两直线斜率相等是两直线平行的( ) A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充分必要条件 D 、即不充分也不必要条件 3、直线l 1：x + my + 6 = 0和直线l 2：(m －2)x + 3y + 2m = 0互相平行，则m 的取值为( ) A 、－1或3 B 、－1 C 、－3 D 、－1或－3 4、点A(a ，b) 关于直线l ：x －y = 0的对称点是( ) A 、(－a ，－b) B 、(a ，－b) C 、(b ，a) D 、(－b ，－a) 5、点M(3，－2)到直线2x + 3y +5 = 0的距离是( ) A 、5 B 、 13 5 C 、5 D 、 13 10 6、两直线x 2－xy －6y 2 = 0所夹的锐角是( ) A 、300 B 、450 C 、600 D 、1350 7、两条直线3x+ 2y + n = 0和2x －3y + 1 = 0的位置关系是( ) A 、平行 B 、垂直 C 、相交但不垂直 D 、与n 的值有关二、填空题 8、已知直线x + ky + 2 = 0经过两直线3x + 2y －9 = 0和x －1 = 0的交点，则k 的值等于。 9、两条平行线3x + 4y －12 = 0和6x + 8y + 11 = 0的距离是。 10、过原点的直线与直线083=+-y x 的夹角为300，则其方程是。 11、直线ax + by + 4 = 0过(－1，1)且与直线(a －1)x + y + b = 0垂直，则a = ， b = 。 12、直线x + my + 6 = 0与(m －2)x + 3y + m = 0相交，则m 的范围是。 13、直线mx + 10y = 3与3x + (n －1)y = －1 重合，则m = ，n = 。三、解答题 14、求垂直于3x －4y = 7且与两坐标轴围成的三角形周长为10的直线方程。 15、求经过点A (－2，2)且在第二象限与两坐标轴围成的三角形面积最小时的直线方程。 16、两平行线l 1，l 2分别过P 1(1，0)与P 2(0，5)，若l 1与l 2的距离为5，求两条直线的方程。 17、已知二次方程x 2 + xy －6y 2－20x －20y + k = 0表示两条直线，试求k 的值与两条直线的方程。

高一必修二《空间两直线的位置关系》练习题

高一必修二《空间两直线的位置关系》练习题【小编寄语】查字典数学网小编给大家整理了高一必修二《空间两直线的位置关系》练习题，希望能给大家带来帮助! 重难点：理解异面直线的概念，能计算异面直线所成角;掌握公理4及等角定理. 经典例题：如图，直线a,b是异面直线，A、B、C为直线a上三点,D、E、F是直线b上三点，A、BC、D、E分别为AD、DB、BE、EC、CF的中点. 求证：(1) (2)A、B、C、D、E 共面. 当堂练习： 1.若a ,b是异面直线, b, c是异面直线, 则a ,c的位置关系是( ) A.相交、平行或异面 B. 相交或平行 C.异面 D.平行或异面 2.分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( ) A.异面 B. 相交 C.平行 D.异面或相交 3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有( )

A.3条 B. 4条 C. 6条 D. 8条 4.已知a ，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c 与b() A. 一定是异面直线 B.一定是相交直线 C. 不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 5.下面命题中，正确结论有() 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等; 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等; 如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补; ④如果两条直线同平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个 6.下列命题中正确命题的个数是( ) 两条直线和第三条直线等角，则这两条直线平行; 平行移动两条异面直线中的任何一条，它们所成的角不变; 过空间四边形ABCD的顶点A引CD的平行线段AE, 则BAE是异面直线AB与CD所成的角; ④四边相等, 且四个角也相等的四边形是正方形.

1.2.2 空间两直线的位置关系

1.2.2 空间两直线的位置关系重难点：理解异面直线的概念，能计算异面直线所成角；掌握公理4及等角定理．经典例题：如图，直线a,b是异面直线，A、B、C为直线a上三点,D、E、F是直线b上三点，A、B、 C、D、E分别为AD、DB、BE、EC、CF的中点．求证：（1）=；（2）A、B、C、D、E共面．当堂练习： 1．若a ,b是异面直线, b, c是异面直线, 则a ,c的位置关系是（） A．相交、平行或异面B．相交或平行C．异面D．平行或异面2．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是（） A．异面B．相交C．平行D．异面或相交 3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有（） A．3条B．4条C．6条D．8条 4．已知a ，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b（） A．一定是异面直线B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线 5．下面命题中，正确结论有（）如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等；如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补； ④如果两条直线同平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行． A．1个B．2个C．3个D．4个6．下列命题中正确命题的个数是（）两条直线和第三条直线等角，则这两条直线平行；平行移动两条异面直线中的任何一条，它们所成的角不变；过空间四边形ABCD的顶点A引CD的平行线段AE, 则BAE是异面直线AB与CD所成的角; ④四边相等, 且四个角也相等的四边形是正方形. A．0B．1C．2D． 3

初中数学《两条直线的位置关系》教案

初中数学《两条直线的位置关系》教案 4.13两条直线的位置关系教学目标： 1、初步理解垂直与平行是同一平面内两直线的特殊位置关系，初步认识垂线和平行线。 2、在〝演示操作验证解释应用〞的过程中，发展学生的空间观念，渗透猜想、与验证的数学思想方法。教学重点、难点：正确理解〝相交〞、〝互相平行〞、〝互相垂直〞等概念，发展学生的空间想象力。教学过程：【一】平面内两直线位置关系 1、操作：请每位同学在一张纸上画两条直线，这两条直线的位置关系会出现哪些情况？ 2、分类：根据学生想象，出示以下图〔网格〕：师：老师课前也绘制了这样6幅图，想一想，按两条直线的不同位置关系，你可以分成哪几类？说说你的分类依据。 3、讨论交流，揭示平面内两条直线的位置关系。小结：两条直线，除了〝相交〞和〝不相交〞，还可能存在其他的位置关系吗？

板书：相交两条直线的位置关系不相交【二】探究一：垂直 1、平面内两直线相交构成的4个角的特点。师：首先来研究平面内两条直线〝相交〞这一情况。师：平面内直线a和直线b相交与点O，1=60，谁能马上求出2、3、4的度数？你是怎么想的？ 2、平面内两直线相交的特殊情况。提问：这4个角的度数有什么特点？固定点O，旋转后，情况还是一样吗？〔旋转至垂直〕师：现在两条直线相交成直角了。继续旋转呢？除了相交成直角以外，其余的情况，都是任意相交的。板书：任意相交相交平面内两条直线的位置关系相交成直角不相交 3、练习：以下图形中哪两条直线相交成直角。 ○1 ○2 ○3

4、揭示概念。〔媒体出示〕板书：任意相交相交平面内两条直线的位置关系相交成直角垂直不相交 5、平面图形中的垂直现象。下面图形中哪些角是直角？在图上用直角记号标出。哪些线段互相垂直？用垂直符号表示。 ○1 ○2 ○3 记作：记作：记作： 6、动手操作。【三】探究二：平行 1、提问：长方形中，如果把相对的两条边无限延长，是否会在某一点相交？ 2、揭示概念板书：任意相交相交平面内两条直线的位置关系相交成直角垂直不相交平行 3、平面图中的平行现象 4、练习〔1〕说说以下哪些直线互相垂直？哪些互相平行？