湖北省部分重点中学2018届高三第一次联考 数学(理)试卷

湖北省部分重点中学2018届高三第一次联考

高三数学（理）试卷

命题学校：武汉六中 命题教师：黄圣然 审题教师：田传奎

考试时间：2017年11月9日上午9:00——11:00 试卷满分：150分

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (1) 12i

z

i =+已知

＋,则复数z = （ ） （A ）-1+3i (B)-1-3i (C)1+3i (D)1-3i

(2) 已知集合113|A x Z x

=∈??-??

， {}2|230B x x x =-<-，则A B = （ ）

(A) {}|-1

(3) 已知向量a =（0，1），b =（1，2），则向量b 在向量a

方向上的投影为（ ）

(A) （0,1） (B) （0,2） (C) 1 (D) 2

(4)为应对我国人口老龄化问题，某研究院设计了延迟退休方案。第一步：2017年女职工退休年龄统一规定为55岁；第二步：从2018年开始，女性退休年龄每3年延迟1岁，至2045年时，退休年龄统一规定为65岁。小明母亲是出生于1964年，据此方案，她退休的年份是 （ ） （A ）2019 (B) 2020 (C) 2021 (D) 2022 （5）若无穷等差数列{}n a 的首项10a >，公差0d <，{}n a 的前n 项和为n S ， 则下列说法正确的是 （ ） （A ）{}n S 单调递减 （B ）{}n S 单调递增（C ）n S 有最大值 （D ）n S 有最小值 (6)函数y=Asin(ωx+?)(ω>0，2

||π

?<

，x ∈R)的部分图象如图所示，则函数表达

式为 ( ) (A) )4

8

sin(

4π

π

+

-=x y

(B) )4

8

sin(

4π

π

-

=x y

(C) )4

8

sin(

4π

π

-

-=x y

(D) )4

8

sin(

4π

π

+

=x y

(7) 已知102

7)4sin(=-πα，2572cos =α，则cos α= （ ）

(A)45- (B) 35- (C) 35± (D) 4

5

±

(8) 对于任意实数a ，b ，2()a b kab +≥均成立，则实数k 的取值范围是（ ）

(A) [)4,+∞ (B) []0,4 (C) (],4-∞ (D) (][),04,-∞?+∞ (9)

{}{}{}

222|2017,|2018,|2000170

A x x ax

B x x ax

C x x x b =++=+>+>=-+>设集合{}

2|2018b R 0D x x x b =-+>∈，其中a ，，下列说法正确的是 （ ）

()a R A B b R C A D ?∈?∈对，是的子集；对，不是的子集

()a R A B b R C B D ?∈?∈对，是的子集；，是的子集

()a R A B b R C C D ?∈?∈，不是的子集；对，不是的子集

()a R A b R C D ?∈?∈，不是B 的子集；，是D 的子集

（10）若2

11

2

S dx x =?，

221ln S xdx =?，211(1)S x dx =-?，则123,,S S S 的大小关系为

（ ）

（A ）132S S S << （B ）312S S S <<（C ）321S S S <<（D ）231S S S <<

（11）若x ，y 满足121

,210

y

x x y x y ?≥??

+≥??++≥??

则3z x y =-的最小值为 （ ）

（A ）23

-

（B ）12

-

（C ）-4

（D ）不存在最小值 （12）已知函数55()(1)12f x x x =-+-，2

(21)2

()x g x e

--

=，()0h x =，则上述三个函

函数图像所有交点的横坐标之和等于 （ ） （A ） 1 （B ）2 （C ）4 （D ）8

第II 卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)-(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)-(23)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分. （13）2017

cos

3

π= （14） 已知圆心为O ，半径为1的圆上有三个点A 、B 、C ，

20

A O

B O

C ++= ,

则BC

=

（15） 111x y z 235x y z

??????== ? ? ???????

若，，满足

① 523z x y >> ②235x y z >> ③532z y x >>

④532z y x ==

上述关系中可能成立的序号是 .（把符合要求的序号都填上） （16）在单调递增数列{}n a 中，已知12a =，24a =，且21n a -，2n a ，21n a +成等差数列，2n a ，21n a +，22n a +成等比数列，1,2,3,n = .那么，100a =_________. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（17）（本大题满分12

分）已知函数2()2sin 24f x x x ??

=+ ???π

（1）当π0,f x =2x ??

∈????，求方程（）0的实根，

（2）已知p ：ππ42x ??

∈????

， , q: ()1f x m -<,若p 是q 的充分条件，求m 的取值

范围

（18）（本大题满分12分）在ABC ?中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，

c ，向量p =（sinA+sinC ，sinB ），向量q =（a-c ，b-a ）且满足p q ⊥

B

（1） C ABC ?求的内角的值

（2） 若c=2,2sin2A+sin （2B+C ）=sinC,求ABC ?的面积 （19）（本大题满分12分）设等比数列{}n a 的首项2

1

1=

a ，前n 项和为n S ，且0)12(21020103010=++-S S S

（1）若等比数列{}n a 的公比q<0,求{}n a 的通项； （2）若{}n a 为正项数列,求{}n nS 的前n 项和n T （20）（本大题满分12分）四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD 已知45ABC = ∠，SAB ?为正三角形

（1）证明SA BC ⊥；

（2）若BC =,AB SA SB ===D SA B --小的余弦值

（21）（本大题满分12分）已知函数2()(21)x f x e ax bx -=++,其中,a b R ∈，

2.71828e = 为自然对数的底数.

（1）当0,0b a =≥，讨论()f x 的单调性;

（2）若(1)1f =，且关于x 的方程()1f x =在（0,1）内有解，求实数a 的取值范

围.

请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 （22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，如果一个圆C 的方程ρ=3cos θ+4sin θ， （1） 求过圆心C 且与极轴平行的直线的极坐标方程？ （2） 若圆C 与曲线ρ=1交于A ，B 两点，求线段AB 的长 （23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数122)(+--=x x x f

（1）在答题卡第（23）题图中画出y=f(x)的图像； （2 ）求不等式()1f x ->的解集．

答案

一．选择 DBDBC AABBD AB

二．填空1

2

②③④ 2601

三．解答

（17

）2π()2sin 24f x x x ??

=+ ??

?π1cos 222x x ????=-+ ??????

?

(1sin 2)x x =+

πsin 2212sin 213x x x ?

?=+=-+ ??

?．

（1）由()0f x =即π1

sin 232

x ?

?-

=- ?

?

? π02x ??

∈????∵，∴ππ2π2333x ??-∈-????，，ππ236x -=-∴．

π

12

x =

∴ （2）依题意得，对任意的ππ42x ??

∈????，，

()1f x m -<恒成立

min

max m 1()()1m 1()m+1,m + 1>f(x)f x f x m f x -

?

不等式等价为即， ππ42x ??∈????∵，，ππ2π2363x ??-∈????，，π22sin 2133x ?

?-+ ??

?∴≤≤．

∴m 12

13m -?

∴ 23m <<

（18）（1）由题意p q ⊥

所以(a-c)(sinA+sinC)+(b-a)sinB=0

222+b -c =ab 由正弦定理可得(a-c)(a+c)+(b-a)b=0,即a ，

222+b -c 1cosC=2ab 2

a 由余弦定理可得= 又()πC 0,π,C=3∈所以

（2）由2sin2A+sin （2B+C ）=sinC 可得π- A 4sinAcosA+sin(B+)=sin(B+A)

整理得A 4sinAcosA=sin(B-)+sin(B+A)=2sinBcosA

当ππ,233=

cosA=0时,A=此时b=2cot

1ABC =2所以三角形的面积S 当22b +b -4=ab,≠cosA 0时,2sinA=sinB,由正弦定理可得=2a,又a 解得

a b =

=1ABC =2所以三角形的面积S

ABC 综上所述三角形

（19）解：由 0)12(21020103010=++-S S S 得 ,)(21020203010S S S S -=-

即,)(220121*********a a a a a a +++=+++

可得.)(22012112012111010a a a a a a q +++=+++?

即 210q 10=1 或a 11+a 12+…+a 20=0

所以 1

-12q q =±

=或 （1）

{}1n 11

0--1,,a 22

q q q <===由可知或又a 则数列的通项公式为 1

111222n n

n a -??

??

=-=-- ?

???

??

或()1112n n a -=-

（2）因为a n >0，所以q>0 即q=

,因而 a n =a 1q n-1= (II)因为{a n }是首项a 1=

、公比q=的等比数列，故 S n =2

11)

21

1(21--n =1-，nS n =n-. 则数列{nS n }的前n 项和 T n =(1+2+…+n)-(

+222+…+n n 2

)，

(1+2+…+n)-(221+322+…+12

21++-n n n

n ). 21n 2

1212

1

n 21n n 221212=n T

前两式相减，得

(1+2+…+n)-(++…+n 21)+12

+n n

=4)1(+n n -2

11)

211(21--n +1

2+n n , 即 T n =

.22

212)1(1-+++-n n n

n n （20）

（1）作S O B C ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥

底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD 因为SA SB =，所以AO BO =，

又45ABC = ∠，故AOB △为等腰直角三角形，AO BO ⊥，

由三垂线定理，得SA BC ⊥

（2）由（1）知SO 、OA 、OB 两两垂直，如图，以O 为坐标原点，建立直角坐标

系O xyz -， 则00)A ，，(00)B ，(0D ，(00S ，取SA 中点E ，连接BE ， 则E ，所以DA = ， BE = 因为SAB △为正三角形，所以BE SA ⊥

又由（1）可知SA BC ⊥， ABCD 且为平行四边形，所以DA SA ⊥

所以

cos ,3DA BE DA BE DA BE

==- ， 所以，二面角D SA B --的大小的余弦值为 （21）（1）20()(21)x b f x e ax -==+当时， 2()(241)x f x e ax ax -'=--+此时

212=n T 21221

21,21212120()0,()R 1

041=8a 2a-10()R 21=8a 2a-10 , ()0x =x )2()-x x +x x a f x f x a ax f x a f x x f x '=<<<-+?≤'>?=<∞∞当时，所以在上单减

当时，g(x)=2ax 的（），所以在上单减

当时，（）>设的两根为则在（，），（，）上单调递减，在（，）上单调递增

（2）方程2()1210x f x ax bx =---=等价为e

2h()=21x x ax bx ---设e ，由(1)1f =?210e a b ---=?21b e a =--，

若要满足()1f x =在（0,1）内有解即要满足h()=0x 在（0,1）内有解，(1)1h =又，

(0)1h =，则函数()h x 在区间(0,1)内至少有三个单调区间

当(0,1)x ∈，()4,()4(14,4)x

x

x e ax b x e a a e a =--=-∈--h'h''

1

h''(x)0,h'(x)4a ≤≥若，在（0,1）单调递增, h(x)在区间(0,1)不可能至少有三个单调区间

h''(x)0,h'(x)4

e

a ≥≤若，在（0,1）单调递减，h(x)在区间(0,1)不可能至少有三个单调区间

0001h''(x)=0x =ln 4a h'(x)44

e

a ≤若 <，令得（），则在（0,x ）单减,在（x ，1）单增

所以要满足h(x)在区间(0,1)至少有三个单调区间即要满足 '(0)0'(ln(4))0'(1)0h h a h >??

?

其中'(ln(4))0h a ）

令3

()ln 12s x x x x e =--+（1x e <<） 则1

'()ln 2

s x x =-，所以()s x

在区间

上单增，在区间)e 上单减

max ()110s x s e e ==--+=-+<即'(ln(4))0h a <恒成立

所以解不等式组得

21

22

e a -<<

综上，a 的取值范围为21

(

,)22

e - （22） （1）由ρ=3cos θ+4sin θ可得ρ2=3ρcos θ+4ρsin θ 转化为直角坐标方程为

2222325

34y (2)24

x y x y +=++-=

配方可得(x-)32 即圆心C(,2) 所以过圆心C 且与极轴平行的直线的方程为y=2，其极坐标为ρsin θ=2

（2）曲线ρ=1转化为直角坐标方程为221x y +=， 由图像知两圆相交，所以线段AB 的长即为相交两圆的公共弦长

222234y 1x y x x y +=++=把两圆方程和相减得:3410AB l x y +-=

圆心O

15=

，则AB ==

(23)(1) 13,21()13,2,23,2x x f x x x x x ?+≤-??

?

=--≤≤??

--≥???

图像略

（2）0()1(x)1,-x f x f ≤->>当时，即为由（1）图像可知解集为（2,0） y=()()1-20f x f x --> 又因为函数为偶函数,所以不等式解集为（，）（0,2）