2017-2018学年河南省洛阳市高二上学期期末考试数学(理)试题

河南省洛阳市17-18学年高二上学期期末考试

数学（理）试卷

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合}034|{},3|{2>+-=≥=x x x B x x A ，则=B A （ ）

A ．R

B ．}3{

C ．1|{

D ．}31|{≤

2．命题“任意一个无理数，它的平方不是有理数”的否定是（ ）

A ．存在一个有理数，它的平方是无理数

B ．任意一个无理数，它的平方是有理数

C ．任意一个有理数，它的平方是有理数

D ．存在一个无理数，它的平方是有理数

3．抛物线23

2x y -

=的准线方程为（ ） A ．83=y B ．83=x C ．83-=y D ．4

3=y 4．在ABC ?中，已知2,30,30===c A b ，则=a

A sin （ ） A ．41

B ．21

C ．1

D ．2 5．等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知320161162=+---a a a a a ，则21S 的值为（ ）

A ．63

B ．21-

C ．63-

D ．21

6．在正方体1111D C B A ABCD -中，E 为棱AB 的中点，F 是棱1BB 上的点，且

3:1:1=FB BF ，则异面直线EF 与1AD 所成角的余弦值为（ ）

A ．1010

B ．515

C ．10103

D ．3

15 7．若正数b a ,满足02=--b a ab ，则ab 的最小值为（ ）

A ．22

B ．4

C ．8

D ．9

8．“3>k ”是“方程12

32

2=---k y k x 表示图形为双曲线”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也

不必要条件

9．在中，角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，若0sin cos =++B A y bx 与

0cos cos =++B B y ax 平行，则ABC ?一定是（ ）

A ．等腰直角三角形

B ．直角三角形

C ．等腰或直角三角形

D ．等腰三角形

10．已知平行六面体1111D C B A ABCD -中，底面是边长为2的正方形，11=AA ，011120=∠=∠AD A AB A ，则1AC 与底面ABCD 所成角的正弦值为（ ）

A ．10103

B ．2

2 C ．1010 D ．31 11．椭圆15

92

2=+y x 的焦点分别为21,F F ，弦AB 过1F ，若2ABF ?的内切圆面积为π，B A ,两点的坐标分别为),(11y x 和),(22y x ，则||21x x -的值为（ ）

A ．6

B ．23

C ．2

9 D ．3 12．已知数列}{n a 满足41=a 且121+=+++n n a a a a ，设n n a b 2log =，则

322111b b b b +2018

20171b b ++ 的值是（ ） A ．40382017 B ．40363025 C ．20182017 D ．2017

2016 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．各项为正数的等比数列}{n a 中，2a 与9a 的等比中项为22，则

=+++844434log log log a a a .

14．若命题“a 满足11

12≤+-a a ”为真命题，则实数a 的取值范围是 . 15．若双曲线122

22=-b

y a x )0,0(>>b a 的渐近线方程是x y 21±=，则双曲线的离心率为 .

16．下列命题：

（1）已知)1,5,(x x a +-=，)2,2,3(x b -=，且a 与的夹角为钝角，则x 的取值范围是

)5

4,(-∞； （2）已知向量在基底},,{下的坐标是)3,1,2(，则向量在基底},,{--+下的坐标为)1,2,3(-；

（3）在三棱锥BCD A -中，各条棱长均相等，E 是BC 的中点，那么?

（4）已知三棱锥BCD A -，各条棱长均相等，则其内切球与外接球的体积之比为27:1. 其中真命题是 .（填序号）

三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．已知c b a ,,分别是ABC ?的三个内角C B A ,,的对边，S 是ABC ?的面积，22)(4c b a S --=，且6=+c b .

（1）求角A 的大小；

（2）求ABC ?的面积S 的最大值.

18．已知动点P 在抛物线y x 22=上，过点P 作x 轴的垂线，垂足为H ，动点Q 满足PH PQ 3

1=. （1）求动点Q 的轨迹E 的方程；

（2）过点)1,0(M 的直线l 交轨迹E 于B A ,两点，设直线OB OA ,的斜率为21,k k ，求21k k ?的值.

19．已知数列}{n a 中，11=a ，)(4

*1N n a a a n n n ∈+=+. （1）求证：}3

11{+n a 是等比数列，并求}{n a d 通项公式n a ； （2）数列}{n b 满足n n n n a n b ?+?-=3

1)14(，求数列}{n b 的前n 项和n T . 20．精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障.某地政府在对某乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品进行二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量w 万件（生产量与销售量相等）与推广促销费x

万元之间的函数关系为23+=

x w （其中推广促销费不能超过5千元）.已知加工此农产品还要投入成本)3(3w

w +万元（不包括推广促销费用），若加工后的每件成品的销售价格定为)304(w

+元/件. （1）试将该批产品的利润y 万元表示为推广促销费x 万元的函数；（利润=销售额-成本-推广促销费）

（2）当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？

21.在三棱锥ABC P -中，AC AB =，D 为BC 的中点，⊥PO 平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知1,2,3,4====OD AO PO BC .

（1）证明：BC AP ⊥；

（2）在线段AP 上是否存在一点M ，使得二面角B MC A --为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由.

22．设圆032422=--+x y x 的圆心为A ，直线l 过点)0,2(-B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于D C ,两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .

（1）证明：||||EB EA +为定值，并写出点E 的轨迹方程；

（2）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于N M ,两点，O 为坐标原点，求OMN ?面积的取值范围.

试卷答案

一、选择题

1-5：CDABC 6-10：ACADC 11-12：DB

二、填空题

13．2

9 14．]2,1(- 6 15．5 16．（2）（4） 三、解答题

17．解：（1）已知22)(4c b a S --= ∴bc c b a A bc 2sin 2222+--= 由余弦定理A bc c b a cos 2222-+= 得A bc bc A bc cos 22sin 2-= ∴1cos sin =+A A

∴090=A ，即A 的大小为090.

（2）由（1）知bc S 21=

∵6=+c b ， ∴2

9)2(21212=+?≤=c b bc S 当且仅当3==c b 时，ABC ?面积的最大值为29.