2.2《双曲线的几何性质》教案(新人教选修2-1))

2.3 双曲线的简单几何性质

一、教学目标

知识与技能：1、使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质，并能根据方程求出双曲线的渐近线、离心率等。

2、理解离心率和双曲线形状间的变化关系。

过程与方法：通过启发和引导，让学生明确双曲线性质的研究过程和研究方法，培养学生类比、分析归纳、猜想、数形结合等能力和数学思想。

情感、态度与价值观：通过对问题的探究，培养学生对待知识的科学态度，并能用运动的、变化的观点分析事物。

二、教学重点、难点

重点：双曲线的几何性质及初步运用。

难点：双曲线的渐近线。

三、教学过程

(一)复习提问引入新课

1．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？

2．双曲线的两种标准方程是什么？

(二)讲授新课

下面我们研究双曲线的几何性质：

1、运用几何画板演示得到双曲线

22

1

169

x y

-=的范围：

44,

x x y R ≤-≥∈

或

进一步归纳出22

221x y a b

-=的范围。 2、结合几何画板演示得到双曲线是轴对称图形，也是中心对称图形。

3、类比椭圆的顶点，得到双曲线的顶点坐标。

4、借助于双曲线的顶点，画出以渐近线为对角直线的矩形，得到渐近线的一般表达式，再结合几何画板说明渐近线的特征：逐渐靠近，永不相交。

5、说明离心率与双曲线开口程度的关系。

由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的直观意义也就容易掌握了，为此，介绍一下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响：

1）双曲线焦距与实轴的比c

e a =叫做双曲线的离心率，且1c e a

=>。 2） 2222

2

2221c a b b e a a a +===+ 所以离心率越大，渐近线的斜率越大，渐近线变得越开阔。

例1求双曲线22169144x y -=的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、离心率、

渐近线方程．

分析：由双曲线的标准方程，容易求出,,a b c ．引导学生用双曲线的实轴长、虚轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在y 轴上的渐近线是a y x b

=±．

解：把方程化为标准方程 22

22143

x y -= 由此可知：半实轴长4a =，半虚轴长3b =，5c

=。

焦点坐标F 1(-5,0), F 2(5,0)

离心率：

5

4

c

e

a

==

渐近线：

3

4 y x =±

课堂小结：总结双曲线的几何性质。课堂练习P61 练习1 ,2.

作业布置：P61，A组3,4.