高中数学(人教A版选修1-2)作业2.2.2反证法

技能演练

基 础 强 化

1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用( )

①结论相反的判断，即假设 ②原命题的条件 ③公理、定理、定义等 ④原结论

A ．①②

B ．①②④

C ．①②③

D ．②③

答案 C

2．如果两个实数之和为正数，则这两个数( )

A ．一个是正数，一个是负数

B ．两个都是正数

C ．两个都是非负数

D ．至少有一个是正数

答案 D

3．已知a ＋b ＋c >0，ab ＋bc ＋ca >0，abc >0，用反证法求证a >0，b >0，c >0时的假设为( )

A ．a <0，b <0，c >0

B ．a ≤0，b >0，c >0

C ．a ，b ，c 不全是正数

D ．abc <0 答案 C

4．否定“至多有两个解”的说法中，正确的是( )

A ．有一个解

B ．有两个解

C ．至少有两个解

D ．至少有三个解 答案 D

5．设a ，b ，c 都是正数，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a ( )

A．都大于2

B．至少有一个大于2 C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2 解析∵a>0，b>0，c>0，

∴a＋1

b＋b＋

1

c＋c＋

1

a

＝(a＋1

a)＋(b＋

1

b)＋(c＋

1

c)

≥2＋2＋2＝6.

由此可断定三个数a＋1

b，b＋

1

c，c＋

1

a至少有一个不小于2.

答案 C

6．命题“在△ABC中，A＞B则a>b”，用反证法证明时，假设是________．

解析命题的结论是a>b，假设应是“a≤b”．

答案a≤b

7．命题“a，b∈R，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为________．

答案a≠1，或b≠1

8．如果函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．

证明假设方程f(x)＝0在[a，b]上至少有两个实根α，β，即f(α)＝f(β)＝0，

∵α≠β，不妨设α>β，

又∵f(x)在[a，b]上单调递增，

∴f(α)>f(β)，这与f(α)＝f(β)＝0矛盾．

∴f (x )＝0在[a ，b ]上至多有一个实根．

能 力 提 升

9．若下列方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范围．

解 设三个方程均无实根，则有

????? Δ1＝16a 2－4(－4a ＋3)<0，Δ2＝(a －1)2－4a 2<0，Δ3＝4a 2－4(－2a )<0，

解得????? －3213，－2

∴－32

10．如果非零实数a ，b ，c 两两不相等，且2b ＝a ＋c .

证明：2b ＝1a ＋1c 不成立．

证明 假设2b ＝1a ＋1c 成立，则2b ＝a ＋c ac ＝2b ac ，

∴b 2＝ac .

又∵b ＝a ＋c 2，∴(a ＋c 2)2＝ac ，即a 2＋c 2＝2ac ，

即(a －c )2＝0，

∴a ＝c ，这与a ，b ，c 两两不相等矛盾，

∴2b ＝1a ＋1c 不成立．