第三章 三角恒等变换 单元测试(人教A版必修4)
第三章测试
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．sin105°cos105°的值为( ) A.14 B ．－14 C.34
D ．－3
4
解析 原式＝12sin210°＝－12sin30°＝－1
4. 答案 B
2．若sin2α＝14，π4<α<π
2，则cos α－sin α的值是( ) A.32 B ．－3
2 C.34
D ．－34
解析 (cos α－sin α)2
＝1－sin2α＝1－14＝3
4. 又π4<α<π2，
∴cos α 2. 答案 B 3．已知180°<α<270°，且sin(270°＋α)＝45，则tan α 2＝( ) A ．3 B ．2 C ．－2 D ．－3 4．在△ABC 中，∠A ＝15°，则 3sin A －cos(B ＋C )的值为( ) A. 2 B.22 C.32 D. 2 解析 在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝π， 3sin A －cos(B ＋C ) ＝3sin A ＋cos A ＝2(32sin A ＋1 2cos A ) ＝2cos(60°－A )＝2cos45°＝ 2. 答案 A 5．已知tan θ＝13，则cos 2θ＋1 2sin2θ等于( ) A ．－65 B ．－45 C.45 D.65 解析 原式＝cos 2θ＋sin θcos θcos 2θ＋sin 2θ＝1＋tan θ1＋tan 2θ＝6 5. 答案 D 6．在△ABC 中，已知sin A cos A ＝sin B cos B ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 解析 ∵sin2A ＝sin2B ，∴∠A ＝∠B ，或∠A ＋∠B ＝π2. 7．设a＝ 2 2(sin17°＋cos17°)，b＝2cos 213°－1，c＝3 2，则() A．c 解析a＝ 2 2sin17°＋ 2 2cos17°＝cos(45°－17°)＝cos28°， b＝2cos213°－1＝cos26°， c＝ 3 2＝cos30°， ∵y＝cos x在(0,90°)内是减函数， ∴cos26°>cos28°>cos30°，即b>a>c. 答案 A 8．三角形ABC中，若∠C>90°，则tan A·tan B与1的大小关系为() A．tan A·tan B>1 B. tan A·tan B<1 C．tan A·tan B＝1 D．不能确定 解析在三角形ABC中，∵∠C>90°，∴∠A，∠B分别都为锐角． 则有tan A>0，tan B>0，tan C<0. 又∵∠C＝π－(∠A＋∠B)， ∴tan C＝－tan(A＋B)＝－tan A＋tan B 1－tan A·tan B <0，易知1－tan A·tan B>0， 即tan A·tan B<1. 答案 B 9．函数f (x )＝sin 2? ? ???x ＋π4－sin 2? ?? ??x －π4是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为2π的奇函数 D ．周期为2π的偶函数 解析 f (x )＝sin 2? ? ???x ＋π4－sin 2? ????x －π4 ＝cos 2? ????π4－x －sin 2? ? ???x －π4 ＝cos 2? ?? ??x －π4－sin 2? ? ? ??x －π4 ＝cos ? ? ???2x －π2 ＝sin2x . 答案 A 10．y ＝cos x (cos x ＋sin x )的值域是( ) A ．[－2,2] B.?????? 1＋22，2 C.???? ??1－22，1＋22 D.???? ??－12，32 解析 y ＝cos 2 x ＋cos x sin x ＝1＋cos2x 2 ＋1 2sin2x ＝12＋22? ?? ??22sin2x ＋2 2cos2x ＝12＋22sin(2x ＋π 4)．∵x ∈R ， ∴当sin ? ? ? ??2x ＋π4＝1时，y 有最大值1＋22； 当sin ? ? ? ??2x ＋π4＝－1时，y 有最小值1－22. ∴值域为???? ??1－22，1＋22. 答案 C 11.2cos10°－sin20°sin70°的值是( ) A.12 B.32 C. 3 D. 2 解析 原式＝2cos (30°－20°)－sin20° sin70° ＝2(cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°)－sin20°sin70° ＝3cos20° cos20°＝ 3. 答案 C 12．若α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝3 5，则cos α的值为( ) A.5665 B.1665 C.5665或1665 D ．以上都不对 解析 ∵0<α＋β<π，cos(α＋β)＝12 13>0， ∴0<α＋β<π2，sin(α＋β)＝5 13. ∵0<2α＋β<π，cos(2α＋β)＝3 5>0， ∴0<2α＋β<π2，sin(2α＋β)＝4 5. ∴cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)] ＝cos(2α＋β)cos(α＋β)＋sin(2α＋β)sin(α＋β) ＝35×1213＋45×513＝5665. 答案 A 二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上) 13．已知α，β为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________. 解析 ∵cos(α＋β)＝sin(α－β)， ∴cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β. ∴cos α(sin β＋cos β)＝sin α(sin β＋cos β)． ∵β为锐角，∴sin β＋cos β≠0，∴cos α＝sin α，∴tan α＝1. 答案 1 14．已知cos2α＝1 3，则sin 4α＋cos 4α＝________. 解析 ∵cos2α＝1 3， ∴sin 2 2α＝8 9. ∴sin 4α＋cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)2－2sin 2αcos 2α ＝1－12sin 22α＝1－12×89＝59. 答案 59 15.sin (α＋30°)＋cos (α＋60°)2cos α ＝________. 解析 ∵sin(α＋30°)＋cos(α＋60°)＝sin αcos30°＋cos αsin30°＋ cos αcos60°－sin αsin60°＝cos α， ∴原式＝cos α2cos α＝1 2. 答案 12 16．关于函数f (x )＝cos(2x －π3)＋cos(2x ＋π 6)，则下列命题： ①y ＝f (x )的最大值为2； ②y ＝f (x )最小正周期是π； ③y ＝f (x )在区间? ??? ?? π24，13π24上是减函数； ④将函数y ＝2cos2x 的图象向右平移π 24个单位后，将与已知函数的图象重合． 其中正确命题的序号是________． 解析 f (x )＝cos ? ????2x －π3＋cos ? ????2x ＋π6 ＝cos ? ? ???2x －π3＋sin ??????π2－? ????2x ＋π6 ＝cos ? ?? ??2x －π3－sin ? ? ? ??2x －π3 ＝2·??????22 cos ? ????2x －π3－22sin ? ????2x －π3 ＝2cos ? ? ???2x －π3＋π4 ＝2cos ? ?? ??2x －π12， ∴y ＝f (x )的最大值为2，最小正周期为π，故①，②正确． 又当x ∈??????π24，13π24时，2x －π 12∈[0，π]，∴y ＝f (x )在???? ??π24，13π24上 是减函数，故③正确． 由④得y ＝2cos2? ????x －π24＝2cos ? ????2x －π12，故④正确． 答案 ①②③④ 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知向量m ＝? ????cos α－2 3，－1，n ＝(sin x,1)，m 与n 为共线向量，且α∈???? ?? －π2，0. (1)求sin α＋cos α的值； (2)求sin2α sin α－cos α的值． 解 (1)∵m 与n 为共线向量， ∴? ???? cos α－23×1－(－1)×sin α＝0， 即sin α＋cos α＝2 3. (2)∵1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2 ＝2 9， ∴sin2α＝－7 9. ∴(sin α－cos α)2 ＝1－sin2α＝16 9. 又∵α∈???? ??－π2，0，∴sin α－cos α<0. ∴sin α－cos α＝－4 3. ∴ sin2αsin α－cos α ＝7 12. 18．(12分)求证： 2－2sin ? ????α＋3π4cos ? ?? ??α＋π4cos 4α－sin 4α ＝1＋tan α 1－tan α . 证明 左边＝2－2sin ? ? ???α＋π4＋π2cos ? ?? ??α＋π4(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α) ＝ 2－2cos 2? ? ? ??α＋π4cos 2α－sin 2α ＝ 1－cos ? ? ?? ?2α＋π2cos 2α－sin 2α ＝1＋sin2αcos 2α－sin 2α＝(sin α＋cos α)2 cos 2α－sin 2α ＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α. ∴原等式成立． 19．(12分)已知cos ? ????x －π4＝210，x ∈? ????π2，3π4. (1)求sin x 的值； (2)求sin ? ? ? ??2x ＋π3的值． 解 (1)解法1：∵x ∈? ?? ?? π2，3π4， ∴x －π4∈? ???? π4，π2， 于是sin ? ? ? ??x －π4＝ 1－cos 2? ? ? ??x －π4＝7210. sin x ＝sin ???? ??? ? ? ??x －π4＋π4 ＝sin ? ?? ??x －π4cos π4＋cos ? ? ? ??x －π4sin π4 ＝7210×22＋210×22 ＝45. 解法2：由题设得 22cos x ＋22sin x ＝210， 即cos x ＋sin x ＝1 5. 又sin 2x ＋cos 2x ＝1， 从而25sin 2x －5sin x －12＝0， 解得sin x ＝45，或sin x ＝－3 5， 因为x ∈? ????π2，3π4，所以sin x ＝4 5. (2)∵x ∈? ?? ?? π2，3π4，故 cos x ＝－1－sin 2 x ＝－1－? ?? ??452＝－35. sin2x ＝2sin x cos x ＝－24 25. cos2x ＝2cos 2 x －1＝－7 25. ∴sin ? ????2x ＋π3 ＝sin2x cos π3＋cos2x sin π3 ＝－24＋7350. 20．(12分)已知向量a ＝? ????cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝? ? ? ??cos x 2，－sin x 2，c ＝ (3，－1)，其中x ∈R . (1)当a ⊥b 时，求x 值的集合； (2)求|a －c |的最大值． 解 (1)由a ⊥b 得a ·b ＝0， 即cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x 2＝0， 则cos2x ＝0，得x ＝k π2＋π 4(k ∈Z )， ∴x 值的集合是???? ??x ??? x ＝k π2＋π 4，k ∈Z . (2)|a －c |2 ＝? ????cos 3x 2－32＋? ?? ??sin 3x 2＋12 ＝cos 23x 2－23cos 3x 2＋3＋sin 23x 2＋2sin 3x 2＋1 ＝5＋2sin 3x 2－23cos 3x 2＝5＋4sin ? ?? ??3x 2－π3， 则|a －c |2的最大值为9. ∴|a －c |的最大值为3. 21．(12分)某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 cm ，求割出的长方形桌面的最大面积(如图)． 解 连接OC ，设∠COB ＝θ，则0°<θ<45°，OC ＝1. ∵AB ＝OB －OA ＝cos θ－AD ＝cos θ－sin θ， ∴S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝(cos θ－sin θ)·sin θ ＝－sin 2θ＋sin θcos θ＝－12(1－cos2θ)＋1 2sin2θ ＝12(sin2θ＋cos2θ)－12 ＝22cos ? ?? ??2θ－π4－12. 当2θ－π4＝0，即θ＝π 8时，S max ＝2－12(m 2)． ∴割出的长方形桌面的最大面积为2－12 m 2 . 22．(12分)已知函数f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值； (2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的1 2，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间??? ???0，π16上的最小 值． 解 (1)因为f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx . 所以f (x )＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos2ωx 2 ＝12sin2ωx ＋12cos2ωx ＋12 ＝22sin ? ? ? ??2ωx ＋π4＋12. 由于ω>0，依题意得2π 2ω＝π.所以ω＝1. (2)由(1)知f (x )＝22sin ? ? ???2x ＋π4＋12. 所以g (x )＝f (2x )＝22sin ? ????4x ＋π4＋12. 当0≤x ≤π16，π4≤4x ＋π4≤π 2. 所以2 2≤sin ? ????4x ＋π4≤1. 因此1≤g (x )≤1＋2 2. 故g (x )在区间? ?? ? ??0，π16上的最小值为1. 高中数学 正切函数的图像与性质学案 新人教A 版必修4 【学习目标】掌握正切函数的图象和性质。 【重点难点】能正确应用正切函数的图象性质解决有关问题。 【学习内容】 问题情境导学 一、正切函数图像的画法 复习1、正、余弦函数的图象是通过什么方法作出的？ 复习2、正、余弦函数的基本性质包括哪些内容？ 预习1、正切函数tan y x = 的最小正周期为______ 2、正切函数tan y x =的定义域为____________；值域为 _____________。 3、正切函数tan y x =在每一个开区间________ __内为增函 数。 4、正切函数tan y x =为___________函数。（填：奇或偶） ？想一想（1）我们知道做周期函数的图像一般先做出长度为一个周 期的区间上的图像，然后向左、右扩展，这样就可以得到它在整个定义域上的图像，那我们先选择哪一个区间来研究正切函数呢？ （2）我们用五点法能简便地画出正弦、余弦函数的图像的简图，你 能类似地画出函数tan y x =，)2,2(π π-∈x 的简图吗？ 看一看（1）正切函数tan y x =，)2,2(π π-∈x 的图像画法 ①作出直角坐标系，并在直角坐标系y 轴左侧作单位圆。 ②把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线。 ③描点（横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应正切线） ④连线。 （2）函数tan y x =，z k k x R x ∈+≠∈,2,π π的图像画法 ①根据正切函数的周期性，只要把上述图像向左、右扩展，就得到正切函数tan y x =，z k k x R x ∈+≠∈,2,π π的图像，我们把它叫做正切曲线。 ②正切函数的简图可以用三点两线法，这里的三点分别为（)0,πk ，（)1,4ππ+k ，)1,4(--ππk ，两线为2 π π±=k x ， x y π23- π 2π- 2π π2 3 0 y x 2π- 2π 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 自主学习 知识梳理 1．正弦曲线、余弦曲线 (1)定义：正弦函数y ＝sin x (x ∈R )和余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图象分别叫做__________曲线和________曲线． (2)图象：如图所示． 2．“五点法”画图 步骤： (1)列表： x 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 cos x 1 －1 1 (2)描点： 画正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是________________________；画余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是__________________________________． (3)用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正、余弦曲线的简图． 3．正、余弦曲线的联系 依据诱导公式cos x ＝sin ????x ＋π2，要得到y ＝cos x 的图象， 只需把y ＝sin x 的图象向______平移π 2 个单位长度即可． 自主探究 已知0≤x ≤2π，结合正、余弦曲线试探究sin x 与cos x 的大小关系． 对点讲练 知识点一 利用“五点法”作正、余弦函数的图象 例1 利用“五点法”画函数y ＝－sin x ＋1(0≤x ≤2π)的简图． 回顾归纳作正弦、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即y＝sin x或y＝cos x的图象在一个最小正周期内的最高点、最低点和与x轴的交点．“五点法”是作简图的常用方法． 变式训练1利用“五点法”画函数y＝－1－cos x，x∈[0,2π]的简图． 知识点二利用三角函数图象求定义域 例2求函数f(x)＝lg sin x＋16－x2的定义域． 回顾归纳一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍． 变式训练2求函数f(x)＝cos x＋lg(8x－x2)的定义域． 知识点三利用三角函数的图象判断方程解的个数 例3在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图象，根据图象判断出方程sin x ＝lg x的解的个数． 回顾归纳三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用． 变式训练3求方程x2＝cos x的实数解的个数． 1.1.1任意角 课前预习学案 一、预习目标 1、认识角扩充的必要性，了解任意角的概念，与过去学习过的一些容易混淆的概念相区分； 2、能用集合和数学符号表示终边相同的角，体会终边相同角的周期性； 3、能用集合和数学符号表示象限角； 4、能用集合和数学符号表示终边满足一定条件的角. 二、预习内容 1．回忆：初中是任何定义角的？ 一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α。旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点。 在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720o”（即转体2周），“转体1080o”（即转体3周）；再如时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了5分钟，又该如何校正？ 2.角的概念的推广： 3．正角、负角、零角概念 4.象限角 思考三个问题： 1.定义中说：角的始边与x轴的非负半轴重合，如果改为与x轴的正半轴重合行不行，为什么？ 2.定义中有个小括号，内容是：除端点外，请问课本为什么要加这四个字？ 3.是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？ 4.已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？ （1）4200；（2）-750；（3）8550；（4）-5100. 5.终边相同的角的表示 三、提出疑惑 课内探究学案 一、学习目标 （1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义； （2）理解任意角以及象限角的概念； （3）掌握所有与角a 终边相同的角（包括角a ）的表示方法； 学习重难点： 重点：理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法及判断。 难点: 把终边相同的角用集合和数学符号语言表示出来。 二、学习过程 例1. 例1在0360? ? ~范围内，找出与95012'?－角终边相同的角，并判定它是第几象 限角.（注：0360?? －是指0360β? ? ≤<） 例2.写出终边在y 轴上的角的集合. 例3.写出终边直线在y x =上的角的集合S ,并把S 中适合不等式360α? -≤ 720?<的元素β写出来. （三）【回顾小结】 第三章 三角恒等变换 1.三角恒等变换中角的变换的技巧 三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变换离不开角之间的变换.观察条件及目标式中角度间联系，立足消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变换的一种常用技巧. 一、利用条件中的角表示目标中的角 例1.已知cos ? ????π6＋α＝33，求cos ? ??? ?5π6－α的值. 分析.将π6＋α看作一个整体，观察π6＋α与5π 6 －α的关系. 解.∵? ????π6＋α＋? ?? ? ?5π6－α＝π， ∴ 5π6－α＝π－? ?? ??π6 ＋α. ∴cos ? ????5π6－α＝cos ???? ? ?π－? ????π6＋α ＝－cos ? ????π6＋α＝－33，即cos ? ?? ??5π 6－α ＝－33. 二、利用目标中的角表示条件中的角 例 2.设 α 为第四象限角，若sin 3α sin α ＝13 5 ，则tan 2α＝ _______________________________. 分析.要求tan 2α的值，注意到sin 3α＝sin(2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α，代入到sin 3αsin α＝13 5中，首先求出cos 2α的值后，再由同角三角函数之间的关系求出tan 2α. 解析.由sin 3αsin α＝sin (2α＋α)sin α＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α sin α ＝2cos 2 α＋cos 2α＝135 . ∵2cos 2 α＋cos 2α＝1＋2cos 2α＝135.∴cos 2α＝45. ∵α为第四象限角，∴2k π＋3π 2<α<2k π＋2π(k ∈Z )， ∴4k π＋3π<2α<4k π＋4π(k ∈Z )， 任 意 角 高中数学 1.1.1任意角导学案新人教A版必修4 一、学习目标：1.理解并掌握任意角、象限角、终边相同的角的定义。2.会写终边相同的角的集合并且会利用终边相同的角的集合判断任意角所在的象限。 二、重点、难点：任意角、象限角、终边相同的角的定义是本节课的重点，用集合和符号来表示终边相同的角是本节课的难点 三、知识链接： 1.初中是如何定义角的？ 2.什么是周角，平角，直角，锐角，钝角？ 四、学习过程: （一）阅读课本1-3页解决下列问题。 问题1、按方向旋转形成的角叫做正角，按 - 方向旋转形成的角叫做负角，如果一条射线没有作____旋转，我们称它形成了一个零角。零角的与重合。如果α是零角，那么α= 。 问题2、 问题3、象限角与象限界角 为了讨论问题的方便，我们总是把任意大小的角放到平面直角坐标系内加以讨论，具体做法是：（1）使角的顶点和坐标重合；（2）使角的始边和x轴重合.这时，角的终边落在第几象限，就说这个角是的角（有时也称这个角属于第几象限）；如果这个角的终边落在坐标轴上，那么这个角就叫做，这个角不属于任何一个象限。 问题4、在平面直角坐标系中作出下列各角并指出它们是第几象限角： （1）420o （2） -75o（3） 855o（4） -510o 问题6、以上各角的终边有什么关系？这些有相同的始边和终边的角，叫做 。 把与-32o 角终边相同的所有角都表示为 ，所有与角α 终边相同的角，连同角α 在内可构成集合为 .。即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α 与整数个周角的和。 例1. 在0?～360?之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别指出它们是第几象限角： （１）?480； （２）?-760； （３）03932'?. 变式练习 1、 在0?～360?之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别指出它们是第几象限角： (1)420 o (2)—54 o18′ （3）395o 8 ′ (4)—1190o 30′ 2、写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式-720 o β≤＜360o 的元素 写出来： （1）1303o 18， （2）--225o 问题8、(1)写出终边在x 轴上角的集合 (2) 写出终边在y 轴上角的集合 变式练习 写出终边在直线y ＝x 上角的集合s,并把s 中适合不等式-360 ≤β＜720o 元素β写出来。 第二章 平面向量 1.向量和差作图全攻略 两个非零向量的和差作图，对同学们是一个难点，这里对其作图方法作出细致分析，以求尽快掌握. 一、向量a 、b 共线 例1.如图，已知共线向量a 、b ，求作a ＋b . (1)a 、b 同向； (2)a 、b 反向，且|a |＞|b |； (3)a 、b 反向，且|a |＜|b |. 作法.在与a 平行的同一条直线上作出三个向量OA →＝a ，AB →＝b ，OB → ＝a ＋b ，具体作法是：当a 与b 方向相同时，a ＋b 与a 、b 的方向相同，长度为|a |＋|b |；当a 与b 方向相反时，a ＋b 与a 、b 中长度长的向量方向相同，长度为||a |－|b ||.为了直观，将三个向量中绝对值最大的向量沿与a 垂直的方向稍加平移，然后分别标上a ，b ，a ＋b .作图如下： 例2.如图，已知共线向量a 、b ，求作a －b . (1)a 、b 同向，且|a |＞|b |； (2)a 、b 同向，且|a |＜|b |； (3)a 、b 反向. 作法.在平面上任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA → ＝a －b .事实上a －b 可看作是a ＋(－ b )，按照这个理解和a ＋b 的作图方法不难作出a －b ，作图如下： 二、向量a 、b 不共线 如果向量不共线，可以应用三角形法则或平行四边形法则作图. 例3.如图，已知向量a 、b . 求作：(1)a ＋b ；(2)a －b . 作法1.(应用三角形法则) (1)一般情况下，应在两已知向量所在的位置之外任取一点O . 第一步：作OA → ＝a ，方法是将一个三角板的直角边与a 重合，再将直尺一边与三角板的另一直角边重合，最后将三角板拿开，放到一直角边过点O ，一直角边与直尺的一边重合的位置，在此基础上取|OA →|＝|a |，并使OA → 与a 同向. 第二步：同第一步方法作出AB →＝b ，一定要保证方向相同且长度相等.(此处最易错的是把AB → 作成与b 的方向相反.) 第三步：作OB →，即连接OB ，在B 处打上箭头，OB → 即为a ＋b . 作图如下： (2)第一步：在平面上a ，b 位置之外任取一点O ； 第二步：依照前面方法过O 作OA →＝a ，OB → ＝b ； 第三步：连接AB ，在A 处加上箭头，向量BA → 即为a －b . 作图如下： 点评.向量加法作图的特点是“首尾相接，首尾连”；向量减法作图的特点是“共起点，连终点，箭头指被减”. 作法2.(应用平行四边形法则) 在平面上任取一点A ，以点A 为起点作AB → ＝a ， AD → ＝b ，以AB ，AD 为邻边作?ABCD ，则AC →＝a ＋b ，DB → ＝a －b .作图如下： 1.1.2 弧度制 自主学习 知识梳理 1．角的单位制 (1)角度制：规定周角的________为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． (2)弧度制：把长度等于__________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作________． (3)角的弧度数求法：如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么l ，α，r 之间存在的关系是：__________；这里α的正负由角α的____________________决定．正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个________，零角的弧度数是______． 2 3. 我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公式，请根据“一周角(即360°)的弧度数为2π”这一事实化简上述公式．(设半径为r ，圆心角弧度数为α)． 对点讲练 知识点一 角度制与弧度制的换算 例1 (1)把112°30′化成弧度；(2)把－7π 12 化成角度． 回顾归纳 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad ＝180° 即可解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以180° π 即可． 变式训练1 将下列角按要求转化： (1)300°＝________rad ；(2)－22°30′＝________rad ； (3)8π 5＝________度． 知识点二 利用弧度制表示终边相同的角 例2 把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角： (1)－1 500°； (2)23π 6 ； (3)－4. 回顾归纳 在同一问题中，单位制度要统一．角度制与弧度制不能混用． 变式训练2 将－1 485°化为2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式是________． 知识点三 弧长、扇形面积的有关问题 例3 已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ 回顾归纳 灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数的最值问题． 变式训练3 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． 1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应． 2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad ”这一关系式． 易知：度数×π 180 rad ＝弧度数，弧度数×????180π°＝度数． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度. 课时作业 一、选择题 1．与30°角终边相同的角的集合是( ) A.???? ?? α|α＝k ·360°＋π6，k ∈Z B ．{α|α＝2k π＋30°，k ∈Z } C ．{α|α＝2k ·360°＋30°，k ∈Z } D.???? ?? α|α＝2k π＋π6，k ∈Z 2．集合A ＝???? ??α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝{α|α＝2k π±π 2，k ∈Z }的关系是( ) A ．A ＝ B B ．A ?B C ．B ?A D ．以上都不对 3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( ) 第一章三角函数 §1.1任意角和弧度制 1.1.1任意角 自主学习 知识梳理 1．角的概念 (1)角的概念：角可以看成平面内________________绕着________从一个位置________到另一个位置所成的图形． 2.象限角 角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是______________．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 3．终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝____________}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与____________的和． 4 自主探究 知识点一终边相同的角与象限角 例1在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角． (1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′. 回顾归纳 解答本题可先利用终边相同的角的关系：β＝α＋k ·360°，k ∈Z ，把所给的角化归到0°～360°范围内，然后利用0°～360°范围内的角分析该角是第几象限角． 变式训练1 判断下列角的终边落在第几象限内： (1)1 400°； (2)－2 010°. 知识点二 终边相同的角的应用 例2 已知，如图所示， (1)写出终边落在射线OA ，OB 上的角的集合； (2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合． 回顾归纳 解答此类题目应先在0°～360°上写出角的集合，再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简． 变式训练2 如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合． 知识点三 角的象限的判断 例3 已知α是第二象限角，试确定2α，α 2 的终边所在的位置． 云南省曲靖市麒麟区第七中学高中数学 1-1任意角和弧度制学案 新人教A 版必修4 1.下列说法中，正确的是（ ） A ．第一象限的角是锐角 B.锐角是第一象限的角 C ．小于90°的角是锐角 D.0°到90°的角是第一象限的角 2.已知α是锐角，那么2α是（ ） A ．第一象限角 B. 第二象限角 C. 小于180°的正角 D. 第一或第二象限角 3.下面4个命题，其中真命题的个数是 （ ） （1）终边相同的角一定相等；（2）相等的角的终边一定相同； （3）终边相同的角有无限多个；（4）终边相同的角有有限多个. A ．0个 B.1个 C.2个 D.3个 4.终边在第二象限的角的集合可以表示为： （ ） A ．｛α∣90°<α<180°｝ B ．｛α∣90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k ∈Z ｝ C ．｛α∣－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k ∈Z ｝ D ．｛α∣－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k ∈Z ｝ 5.把 411π - 表示成)(2z k k ∈+πθ的形式，使||θ最小的θ为（ ） A.43π- B.4π C.43π D.4π- 6.与1991°终边相同的最小正角是_________,绝对值最小的角是_______________． 7.在直角坐标系中，若角α和角β的终边互相垂直，则角α和角β之间的关系是 （ ） A.β=α+90° B.β=k ·360°+90°+α(k ∈z) C.β=α+90° D.β=k ·360°+90°+α(k ∈z) 8.（1）若角α的终边为第二象限的角平分线，则角α集合是 . （2）若角α的终边为第一、三象限的角平分线，则角α集合是 . 9.角α，β的终边关于0=+y x 对称，且α=-60°，求角β. 10.角α的终边落在区间（－3π,－5 2 π）内,则角α所在象限是 （ ） 第二章 平面向量 1 向量和差作图全攻略 两个非零向量的和差作图，对同学们是一个难点，这里对其作图方法作出细致分析，以求尽快掌握. 一、向量a 、b 共线 例1 如图，已知共线向量a 、b ，求作a ＋b . (1)a 、b 同向； (2)a 、b 反向，且|a |＞|b |； (3)a 、b 反向，且|a |＜|b |. 作法 在与a 平行的同一条直线上作出三个向量OA →＝a ，AB →＝b ，OB → ＝a ＋b ，具体作法是：当 a 与 b 方向相同时，a ＋b 与a 、b 的方向相同，长度为|a |＋|b |；当a 与b 方向相反时，a ＋b 与a 、b 中长度长的向量方向相同，长度为||a |－|b ||.为了直观，将三个向量中绝对值最 大的向量沿与a 垂直的方向稍加平移，然后分别标上a ，b ，a ＋b .作图如下： 例2 如图，已知共线向量a 、b ，求作a －b . (1)a 、b 同向，且|a |＞|b |； (2)a 、b 同向，且|a |＜|b |； (3)a 、b 反向. 作法 在平面上任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA → ＝a －b .事实上a －b 可看作是a ＋(－ b )，按照这个理解和a ＋b 的作图方法不难作出a －b ，作图如下： 二、向量a 、b 不共线 如果向量不共线，可以应用三角形法则或平行四边形法则作图. 例3 如图，已知向量a 、b . 求作：(1)a ＋b ；(2)a －b . 作法1 (应用三角形法则) (1)一般情况下，应在两已知向量所在的位置之外任取一点O . 第一步：作OA → ＝a ，方法是将一个三角板的直角边与a 重合，再将直尺一边与三角板的另一直角边重合，最后将三角板拿开，放到一直角边过点O ，一直角边与直尺的一边重合的位置，在此基础上取|OA →|＝|a |，并使OA → 与a 同向. 第二步：同第一步方法作出AB →＝b ，一定要保证方向相同且长度相等.(此处最易错的是把AB → 作成与b 的方向相反.) 第三步：作OB →，即连接OB ，在B 处打上箭头，OB → 即为a ＋b . 作图如下： (2)第一步：在平面上a ，b 位置之外任取一点O ； 第二步：依照前面方法过O 作OA →＝a ，OB → ＝b ； 第三步：连接AB ，在A 处加上箭头，向量BA → 即为a －b . 作图如下： 点评 向量加法作图的特点是“首尾相接，首尾连”；向量减法作图的特点是“共起点，连终点，箭头指被减”. 作法2 (应用平行四边形法则) 在平面上任取一点A ，以点A 为起点作AB → ＝a ， AD → ＝b ，以AB ，AD 为邻边作?ABCD ，则AC →＝a ＋b ，DB → ＝a －b .作图如下： 1.1.2 弧度制 Q 情景引入ing jing yin ru 炎炎夏日，用纸扇驱走闷热，无疑是一种好办法．扇子在美观设计上，可考虑用料、图案和形状．若从数学角度看，我们能否用黄金比例(0.618)去设计一把富有美感的纸扇？要探索这个问题首先要认识一种新的角度单位——弧度． X 新知导学in zhi dao xue 1．弧度制 (1)定义：以__弧度__为单位度量角的单位制叫做弧度制． (2)度量方法：长度等于__半径长__的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．如图所示，圆O 的半径为r ，AB ︵ 的长等于r ，∠AOB 就是1弧度的角． [知识点拨] 一定大小的圆心角α的弧度数是所对弧长与半径的比值，是唯一确定的，与半径大小无关． (3)记法：弧度单位用符号__rad__表示，或用“弧度”两个字表示．在用弧度制表示角时，单位通常省略不写． 2．弧度数 一般地，正角的弧度数是一个__正__数，负角的弧度数是一个__负__数，零角的弧度数是__0__. 如果半径为r 的圆的圆心角α 所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝__l r __. [知识点拨] 对于角度制和弧度制，在具体的应用中，两者可混用吗？如何书写才是规范的？ 角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混用，例如α＝k ·360°＋π 6(k ∈ Z )，β＝2k π＋60°(k ∈Z )等写法都是不规范的，应写为α＝k ·360°＋30°(k ∈Z )，β＝2k π＋π 3 (k ∈Z )． 3．弧度与角度的换算公式 (1)周角的弧度数是2π，而在角度制下的度数是360，于是360°＝2π rad ，即 根据以上关系式就可以进行弧度与角度的换算了． 弧度与角度的换算公式如下： 若一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝(180απ)°，n °＝n ·π180 rad. (2)常用特殊角的弧度数 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 0 __π 6 __ __π4 __ __π3 __ π2 __2π3 __ __3π4 __ __5π6 __ π __3π 2 __ __2π__ __一一对应__每一个角都有唯一的一个__实数__(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，任一个实数也都有唯一的一个__角__(即弧度数等于这个实数的角)与它对应． [知识点拨]角度制与弧度制是两种不同的度量单位，在表示角时，二者不可混用. 角度制 用度作为单位来度量角的单位制 角的大小与半径无关 单位“°”不能省略 角的正负与 方向有关 六十进制 弧度制 用弧度作为单位来度量角的单位制 角的大小与半径无关 单位“rad ”可以省略 角的正负与 方向有关 十进制 (1)弧长公式 在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对的圆心角大小为α，则|α|＝l r ，变形可得l ＝__|α|r __， 此公式称为弧长公式，其中α的单位是弧度． (2)扇形面积公式 由圆心角为1 rad 的扇形面积为πr 22π＝12r 2，而弧长为l 的扇形的圆心角大小为l r rad ，故其 面积为S ＝l r ×r 22＝12lr ，将l ＝|α|r 代入上式可得S ＝12lr ＝1 2 |α|r 2，此公式称为扇形面积公式． §2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2．3.1 平面向量基本定理 自主学习 知识梳理 1．平面向量基本定理 (1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个__________向量，那么对于这一平面内的________向量a ，____________实数λ1，λ2，使a ＝________________. (2)基底：把__________的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内________向量的一组基底． 2. 两向量的夹角与垂直 (1)夹角：已知两个______________a 和b ，作OA →＝a ，OB → ＝b ，则__________＝θ (0°≤θ≤180°)，叫做向量a 与b 的夹角． ①范围：向量a 与b 的夹角的范围是__________． ②当θ＝0°时，a 与b ________. ③当θ＝180°时，a 与b ________. (2)垂直：如果a 与b 的夹角是________，则称a 与b 垂直，记作________． 自主探究 设e 1、e 2是同一平面内两个不共线的向量，a 是这一平面内的任一向量．通过作图法可以证明：一定存在一组实数(λ1，λ2)使a ＝λ1e 1＋λ2e 2成立，并且(λ1，λ2)是唯一的，请你根据图1和图2叙述这一过程． 对点讲练 知识点一 对基底概念的理解 例1 如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( ) ①λe 1＋μe 2(λ、μ∈R )可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1 ＋μ2e 2)； ④若存在实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．② 回顾归纳 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来． 变式训练1 设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量： ①e 1与e 1＋e 2； ②e 1－2e 2与e 2－2e 1； ③e 1－2e 2与4e 2－2e 1； ④e 1＋e 2与e 1－e 2. 其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是________．(写出所有满足条件的序号) 知识点二 用基底表示向量 高中数学弧度制学案新人教A版必修4 【学习目标】理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算； 【重点难点】理解弧度制定义，弧度制的运用. 【学习内容】 问题情境导学 实例：（1）测量人的身高用米、厘米为单位进行度量，家庭购买水果常用千克、斤为单位进行度量。 （2）在初中平面几何中，我们曾用角度量过角的大小，并规定周角1为1度。 的 360 一、弧度制的定义 ？想一想1. 从度量长度和重量上，我们可以看出不同的单位制，能给我们解决问题带来方便，那么角的度量是否也能用不同单位制呢？填一填（1）1弧度的角：长度等于_______的弧所对的_______叫做1弧度的角，用符号_____来表示，读作_____ （2）弧度制：以_____为单位来度量角的制度 思考1：（1）一弧度的角与所选取的圆的半径大小有无关系？ （2）任意角的弧度数与实数有怎样的对应关系？ 二、角的弧度制的计算 填一填2：如果一个半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是_______ 三、角度与弧度的换算 ？想一想3：既然角度制和弧度制都是角的度量制，那么它们之间如何换算？ 填一填3：角度化弧度：o 360=_______，=o 180_______ =o 1_______≈_______。弧度化角度：=rad π2_______ =rad π_______，=rad 1_______≈_______ 思考2：（1）角度制和弧度制有什么区别和联系？ （2）在弧度制下，与角α终边相同的角β如何表示？角的集合与实数集R 之间有怎样的对应关系？ 四、弧度制下的扇形的弧长和面积公式 填一填4：设扇形的半径为R ，圆心角为α，则弧长为l =_______面积=S _______=_______ 课堂互动探究 类型一、弧度制的概念 例1有关角的度量给出以下说法： ①o 1的角是周角的3601，rad 1的角是周角的π 21； ②rad 1的角等于o 1的角；③o 180的角一定等于rad π的角； ④度和弧度是度量角的两种不同的度量单位。其中正确的说法是_______ 3.2 简单的三角恒等变换 自主学习 知识梳理 1．半角公式 (1)S α2：sin α2＝__________；(2)C α2：cos α2 ＝________； (3)T α2：tan α2 ＝________________＝________________＝__________(有理形式)． 2．辅助角公式： a sin x ＋ b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，cos φ＝__________，sin φ＝______________ 其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由________决定． 自主探究 1．试用cos α表示sin 2α2、cos 2α2、tan 2α2 . 2．证明：tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α . 对点讲练 知识点一 半角公式的应用 例1 已知sin θ＝45，且5π2<θ<3π，求cos θ2和tan θ2 的值． 回顾归纳 在运用半角公式时，要注意根号前符号的选取，不能确定时，根号前应保持正、负两个符号． 变式训练1 已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝45，sin β＝1213，求cos α－β2 . 知识点二 利用辅助角公式研究函数性质 例2 已知函数f (x )＝3sin ????2x －π6＋2sin 2??? ?x －π12 (x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合． 回顾归纳 研究形如f (x )＝a sin 2ωx ＋b sin ωx cos ωx ＋c cos 2ωx 的性质时，先化成f (x )＝A sin(ω′x ＋φ)＋B 的形式后，再解答．这是一个基本题型，许多题目化简后都化归为该题型． 变式训练2 已知函数f (x )＝sin(x ＋π6 )＋sin ????x －π6＋cos x ＋a (a ∈R )． (1)求函数y ＝f (x )的单调增区间； (2)若函数f (x )在??? ?－π2，π2上的最大值与最小值的和为3，求实数a 的值． 知识点三 三角函数在实际问题中的应用 例3 如图所示，已知OPQ 是半径为1，圆心角为π3 的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形．记∠COP ＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积． 回顾归纳 利用三角函数知识解决实际问题，关键是目标函数的构建，自变量常常选取一个恰当的角度，要注意结合实际问题确定自变量的范围． 变式训练3 某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m ，求割出的长方形桌面的最大面积(如图所示)． 第二章平面向量 2.1 向量的概念及表示 【学习目标】 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量； 2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别； 3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力。【学习重难点】 重点：平行向量的概念和向量的几何表示； 难点：区分平行向量、相等向量和共线向量； 【自主学习】 1.向量的定义：__________________________________________________________; 2.向量的表示： （1）图形表示： （2）字母表示： 3.向量的相关概念： （1）向量的长度（向量的模）：_______________________记作：______________ （2）零向量：___________________，记作：_____________________ （3）单位向量：________________________________ （4）平行向量：________________________________ （5）共线向量：________________________________ （6）相等向量与相反向量：_________________________ 思考： （1）平面直角坐标系中，起点是原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？____ （2）平行向量与共线向量的关系：____________________________________________ （3）向量“共线”与几何中“共线”有何区别：__________________________________ 【典型例题】 例1.判断下例说法是否正确，若不正确请改正： （1）零向量是唯一没有方向的向量； （2）平面内的向量单位只有一个； （3）方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是相反向量； b c，则a和c是方向相同的向量； （4）向量a和b是共线向量，// 1．1.1任意角 明目标、知重点 1.了解角的概念.2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角． 1．角的概念 (1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类 类型定义图示 正角按逆时针方向旋转形成的角 负角按顺时针方向旋转形成的角 零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角 2. 角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 3．终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． [情境导学]过去我们学习了0°～360°范围的角，但在实际问题中还会遇到其他角．如在体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中，常常听到“转体1 080°”、“踺子后手翻转体180°接前直空翻540°”等这样的解说．因此，仅有0°～360°范围内的角是不够的，我们必须将角的概念进行推广. 探究点一角的概念的推广 思考1我们在初中已经学习过角的概念，角可以看作从同一点出发的两条射线组成的平面图形．这种定义限制了角的范围，也不能表示具有相反意义的旋转量．那么，从“旋转”的角度，对角如何重新定义？正角、负角、零角是怎样规定的？ 答一条射线OA绕着端点O旋转到OB的位置所形成的图形叫做角，射线OA叫角的始边，OB叫角的终边，O叫角的顶点． 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角，如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角． 思考2 如图，已知角α＝120°，根据角的定义，则β、－α、－β、γ分别等于多少度？ 答－240°；－120°；240°；480°. 思考3经过10小时，分别写出时针和分针各自旋转所形成的角． 答经过10小时，时针旋转形成的角是－300°，分针旋转形成的角是－3 600°. 探究点二象限角与终边落在坐标轴上的角 思考1象限角定义中说：角的始边与x轴的非负半轴重合，如果改为与x轴的正半轴重合行不行，为什么？ 答不行，因为始边包括端点(原点)． 思考2是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？终边落在坐标轴上的角经常用到，下表是终边落在x轴、y轴各半轴上的角，请完成下表． 答不是，因为一些特殊角终边可能落在坐标轴上；如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限. 终边所在的位置角的集合 x轴正半轴{α|α＝k·360°，k∈Z} x轴负半轴{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z} 1.2.2 同角三角函数的基本关系 自主学习 知识梳理 1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：____________________. (2)商数关系：____________________. 2．同角三角函数基本关系式的变形 (1)sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式： sin 2α＝__________；cos 2α＝__________； (sin α＋cos α)2＝__________； (sin α－cos α)2＝____________； (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝________； sin α·cos α＝____________＝____________. (2)tan α＝sin αcos α 的变形公式：sin α＝____________； cos α＝____________. 自主探究 1．利用任意角三角函数的定义推导平方关系． 2．已知tan α＝2，求下列代数式的值． (1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α ； (2)14sin 2α＋13sin αcos α＋12 cos 2α. 对点讲练 知识点一 已知某一个三角函数值，求同角的其余三角函数值 例1 已知cos α＝－817 ，求sin α、tan α. 回顾归纳 同角三角函数的基本关系式揭示了同角之间的三角函数关系，其最基本的应用是“知一求二”，要注意这个角所在的象限，由此来决定所求的是一解还是两解，同时应体会方程思想的应用． 变式训练1 已知tan α＝43 ，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值． 知识点二 利用同角的三角函数基本关系式化简 例2 化简：1cos α1＋tan 2α＋1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α. 回顾归纳 解答此类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系．化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解． 变式训练2 化简：1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α . 知识点三 利用同角的三角函数基本关系式证明恒等式 例3 求证：cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α . 回顾归纳 证明三角恒等式的实质是清除等式两端的差异，有目的地进行化简． 证明三角恒等式的基本原则：由繁到简． 常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右同时证． 常用技巧：切化弦、整体代换． 变式训练3 求证：1－2sin 2x cos 2x cos 22x －sin 22x ＝1－tan 2x 1＋tan 2x .新人教A版必修4高中数学正切函数的图像与性质学案
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