三角函数与解三角形 三年高考 数学(理)真题
三年高考（2014-2016）数学（理）试题分项版解析
第四章 三角函数与解三角形
一、选择题
1. 【2016高考新课标1卷】已知函数()sin()(0),2
4
f x x+x π
π
ω?ω?
=>≤
=-
， 为()f x 的零点,4
x π
=
为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ??
???
，单调,则ω的最大值为( ) （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【答案】B
考点：三角函数的性质
【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:①
()()()sin 0,0f x A x A ω?ω=+≠≠的单调区间长度是半个周期;②若
()()()sin 0,0f x A x A ω?ω=+≠≠的图像关于直线0x x = 对称,则()0f x A = 或()0f x A =-.
2. 【2016年高考四川理数】为了得到函数πsin(2)3
y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的
点( )
（A ）向左平行移动π
3个单位长度 （B ）向右平行移动π
3个单位长度 （C ）向左平行移动π
6
个单位长度 （D ）向右平行移动
π
6
个单位长度 【答案】D 【解析】
试题分析：由题意，为了得到函数sin(2)sin[2()]3
6
y x x π
π
=-
=-
，只需把函数sin 2y x =的图像上所有
点向右移
6
π
个单位，故选D.
考点：三角函数图像的平移.
【名师点睛】本题考查三角函数的图象平移，在函数()sin()f x A ωx φ=+的图象平移变换中要注意人“ω”的影响，变换有两种顺序：一种y sin x =的图象向左平移φ个单位得sin()y x φ=+，再把横坐标变为原来
的
1ω倍，纵坐标不变，得sin()y ωx φ=+的图象，另一种是把y sin x =的图象横坐标变为原来的1
ω
倍，纵坐标不变，得sin y ωx =的图象，向左平移φ
ω
个单位得sin()y ωx φ=+的图象．
3. 【 2014湖南9】已知函数()sin(),f x x ?=-且230
()0,f x dx π=?
则函数()f x 的图象的一条对称轴是
( ) A.56x π=
B.712x π=
C.3x π=
D.6
x π= 【答案】A
【考点定位】三角函数图像 辅助角公式 定积分
【名师点睛】有关定积分的题目主要是根据定积分的有关公式结合定积分的几何性质进行正确求解即可，有关三角函数对称轴的求解主要是根据整体方法求解对称轴，三角函数辅助角公式化简三角函数问题是主要是根据有关辅助角具体形式进行恰当的变换即可.
4. 【2016高考新课标3理数】在ABC △中，π4B =
，BC 边上的高等于1
3
BC ,则cos A =（ ） （A ）
31010 （B ）1010 （C ）1010- （D ）310
10
- 【答案】C 【解析】
试题分析：设BC 边上的高线为
AD ，则3BC AD =，所以
225AC AD DC AD =+=，
2AB AD =．由余弦定理，知22222225910
cos 210225AB AC BC AD AD AD A AB AC AD AD
+-+-=
==-???，故选C ． 考点：余弦定理．
【方法点拨】在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，常常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形，然后选用正弦定理与余弦定理求解．
5.【2015高考山东，理3】要得到函数sin 43
y x π??=- ??
?
的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ）
（A ）向左平移
12
π
个单位 （B ）向右平移
12
π
个单位
（C ）向左平移3
π
个单位 （D ）向右平移
3
π
个单位
【答案】B
【解析】因为sin 4sin 4312y x x ππ????=-
=- ? ??
??? ，所以要得到函数sin 43y x π??=- ??
? 的图象，只需将函数sin 4y x = 的图象向右平移
12
π
个单位.故选B. 【考点定位】三角函数的图象变换.
【名师点睛】本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.
6. 【2016高考新课标2理数】若3cos()4
5
πα-=，则sin 2α=（ ）
（A ）
725 （B ）15 （C ）15- （D ）725
- 【答案】D 【解析】
试题分析：2
237cos 22cos 1214
4525ππαα????????-=--=?-=- ? ? ??????????? ，
且cos 2cos 2sin 24
2ππααα??????
-=-=
???????????，故选D.
考点：三角恒等变换.
【名师点睛】三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示： (1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．
(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系．
7. 【2014高考陕西版理第2题】函数()cos(2)6
f x x π=-的最小正周期是（ ）
.2
A π
.B π .2C π .4D π 【答案】B 【解析】
试题分析：由周期公式2T w π=
，又2w =,所以函数()cos(2)6f x x π=-的周期22
T ππ==，故选B . 考点：三角函数的最小正周期.
【名师点晴】本题主要考查的是余弦函数的最小正周期，属于容易题.解题时只要正确记忆正弦函数、预先函数的最小正周期周期公式2T w
π
=
，就不会出现错误 8. 【2015
高考陕西，理3】如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数
3sin(
)6
y x k π
?=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）
A ．5
B ．6
C ．8
D ．10
【答案】C
【考点定位】三角函数的图象与性质．
【名师点晴】本题主要考查的是三角函数的图象与性质，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“最大值”，否则很容易出现错误．解三角函数求最值的试题时，我们经常使用的是整体法．本题从图象中可知
sin 16x π???+=- ???时，y 取得最小值，进而求出k 的值，当sin 16x π???
+= ???
时，y 取得最大值．
9. 【2016高考新课标2理数】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12
π
个单位长度，则平移后图象的对
称轴为（ ）
（A ）()26k x k Z ππ=-∈ （B ）()26k x k Z ππ=+∈ （C ）()212k x k Z ππ=-∈ （D ）()212
k x k Z ππ
=+∈
【答案】B 【解析】
试题分析：由题意，将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位得2sin 2()2sin(2)126
y x x ππ
=+=+，则平移后函数的对称轴为2,62x k k Z πππ+=+∈，即,62
k x k Z ππ
=+∈，故选B.
考点： 三角函数的图象变换与对称性.
【名师点睛】平移变换和伸缩变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．
10. 【2014新课标，理4】钝角三角形ABC 的面积是12
，AB=1，BC=
2 ，则AC=( )
A. 5
B. 5
C. 2
D. 1
【答案】B
【名师点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，本题属于基础题，解决本题的关健在于公式的准确与熟练，注意题目条件：三角形是钝角三角形.
11. 【2016高考新课标3理数】若3tan 4
α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ）
(A)
6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625
【答案】A 【解析】
试题分析：由3tan 4α=
，得34sin ,cos 55αα==或34
sin ,cos 55
αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525
αα+=
+?=，故选A ．
考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．
【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．
12. 【2014四川，理3】 为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点
（ ） A ．向左平行移动
12个单位长度 B ．向右平行移动1
2
个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度 【答案】A 【解析】
试题分析：1
sin(21)sin 2()2y x x =+=+，所以只需把sin 2y x =的图象上所有的点向左平移1
2
个单位.选A.
【考点定位】三角函数图象的变换.
【名师点睛】本题考查三角函数图象变换、性质、辅助角公式和诱导公式等基础知识，纵向伸缩或平移是对于
y 而言，即 ()()g x kg x →或()()g x g x k →+；横向伸缩或平移是相对于x 而言，即()()
g x g x ω→（纵坐标不变，横坐标变为原来的1
ω
倍），()()g x g x a →+(0a >时，向左平移a 个单位；0a <时，向右
平移
a 个单位)．
13. 【2015高考四川，理4】下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（ ）
()cos(2)2
A y x π
=+
()sin(2)2
B y x π
=+
()sin 2cos 2C y x x =+ ()sin cos D y x x =+
【答案】A
【解析】对于选项A ，因为2sin 2,2
y x T π
π=-==，且图象关于原点对称，故选A. 【考点定位】三角函数的性质.
【名师点睛】本题不是直接据条件求结果，而是从4个选项中找出符合条件的一项，故一般是逐项检验，但这类题常常可采用排除法.很明显，C 、D 选项中的函数既不是奇函数也不是偶函数，而B 选项中的函数是偶函数，故均可排除，所以选A.
14.【2015高考新课标1，理2】o o o o sin 20cos10cos160sin10- =( )
（A ）32-
（B ）32 （C ）12- （D ）12
【答案】D
【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin 30=1
2
，故选D. 【考点定位】三角函数求值.
【名师点睛】本题解题的关键在于观察到20°与160°之间的联系，会用诱导公式将不同角化为同角，再用两角和与差的三角公式化为一个角的三角函数，利用特殊角的三角函数值即可求出值，注意要准确记忆公式和灵活运用公式.
15. 【2014课标Ⅰ，理6】如图，图O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线
OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数)(x f ，则],0[)(π在x f y =的图像大致为（ ）
【答案】C
【解析】如图所示，当02
x π
≤≤
时，在Rt OPM ?中，cos cos OM OP x x ==．在Rt OMD ?中，MD =
sin OM x 1cos sin sin 22
x x x ==；当2
x ππ<≤时，在Rt OPM ?中，cos()cos OM OP x x π=-=-，
在Rt OMD ?中，MD =sin()OM x π-1
cos sin sin 22
x x x =-=-，所以当0x π≤≤时，()y f x =的图象大致为C ．
P O
A
M D P
O
A
M D
【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质和二倍角公式的运用，正确表示函数的表达式是解题的关键，本题很好的考查了考生的利用数形结合综合分析问题的能力，和计算能力.
16. 【2014课标Ⅰ，理8】设(0,),(0,),2
2
ππαβ∈∈且1sin tan ,cos β
αβ
+=
则（ ）
（A ） 32
π
αβ-= （B ）32
π
αβ+=
（C ）22
π
αβ-=
（D ）22
π
αβ+=
【答案】
C
【名师点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式以及诱导公式的应用，本题在解答过程中一定要注意2
2
π
π
αβ-
<-<
， 02
2
π
π
α<
-<
，本题考查了考生的对公式的记忆能力，以及运算能力.
17.【2015高考新课标1，理8】函数()f x =cos()x ω?+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间
为( )
(A)13(,),44k k k Z ππ-+∈ (B)13
(2,2),44
k k k Z ππ-+∈ (C)13(,),44k k k Z -
+∈ (D)13
(2,2),44
k k k Z -+∈
【答案】D
【解析】由五点作图知，1
+4253+42
πω?π
ω??=????=??，解得=ωπ，
=4π?，所以()cos()4f x x ππ=+，令
22,4
k x k k Z π
ππππ<+
<+∈，
解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，3
24
k +）
，k Z ∈，故选D.
【考点定位】三角函数图像与性质
【名师点睛】本题考查函数cos()y A x ω?=+的图像与性质，先利用五点作图法列出关于ω?，方程，求
出ω?，，或利用利用图像先求出周期，用周期公式求出ω，利用特殊点求出?，再利用复合函数单调性求其单调递减区间，是中档题，正确求ω?，使解题的关键.
18.【2014年.浙江卷.理4】为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像
（ ） A.向右平移4
π
个单位 B.向左平移
4
π
个单位
C.向右平移12π个单位
D.向左平移12
π
个单位 答案：Ｄ
解析：sin 3cos32sin 34y x x x π?
?=+=
+ ??
?，故只需将2sin3y x =向左平移4π个单位．
考点：三角函数化简,图像平移.
【名师点睛】三角函数图象变换法：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”平移变换和伸缩变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．
19. 【2016高考浙江理数】设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期（ ）
A ．与b 有关，且与c 有关
B ．与b 有关，但与c 无关
C ．与b 无关，且与c 无关
D ．与b 无关，但与c 有关 【答案】B 【解析】
试题分析：21cos 2cos 21
()sin sin sin sin 222
-=++=++=-+++x x f x x b x c b x c b x c ，
其中当0=b 时，cos 21
()22
=-
++x f x c ，此时周期是π；当0≠b 时，周期为2π，而c 不影响周期．故选B ． 考点：1、降幂公式；2、三角函数的最小正周期． 【思路点睛】先利用三角恒等变换（降幂公式）化简函数()f x ，再判断b 和c 的取值是否影响函数()f x 的
最小正周期．
20. 【2016年高考北京理数】将函数sin(2)3
y x π=-图象上的点(,)4
P t π向左平移s （0s >） 个单位长
度得到点'P ，若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ）
A.12t =
，s 的最小值为6πB.32t = ，s 的最小值为6
π
C.12t =
，s 的最小值为3πD.32t =，s 的最小值为3
π
【答案】A 【解析】
试题分析：由题意得，1sin(2)4
3
2t π
π
=?-
=
，故此时'P 所对应的点为1(,)122π，此时向左平移-4126
πππ
=
个单位，故选A. 考点：三角函数图象平移
【名师点睛】三角函数的图象变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意平移变换时，当自变量x 的系数不为1时，要将系数先提出．翻折变换要注意翻折的方向；三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换
21. 【2016高考山东理数】函数f （x ）=（3sin x +cos x ）（3cos x –sin x ）的最小正周期是（ ）
（A ）
2
π
（B ）π （C ）
2
3π
（D ）2π
【答案】B 【解析】
试题分析：()2sin 2cos 2sin 2663f x x x x πππ??????=+?+=+ ? ? ?
??????
,故最小正周期22T ππ==,故选B. 考点：1.和差倍半的三角函数；2.三角函数的图象和性质.
【名师点睛】本题主要考查和差倍半的三角函数、三角函数的图象和性质.此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题较易，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.
22. 【2014重庆10】已知ABC ?的内角2
1)sin()sin(2sin ,+--=+-+B A C C B A A C B A 满足，，面
积S 满足
C B A c b a S ,,,,21分别为，记≤≤所对的边，则下列不等式一定成立的是( ) A.8)(>+c b bc B.()162ac a b +> C.126≤≤abc D.1224abc ≤≤
【答案】A 【解析】
考点：1、两角和与差的三角函数；2、正弦定理；3、三角形的面积公式.
【名师点睛】本题考查了综合应用正弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的三角函数，属于难题，根据题目条件熟练运用正弦定理将三角形的边与角互化是解决问题的关键.
23. 【2015高考重庆，理9】若tan 2tan 5
πα=，则
3cos()
10sin()
5
παπα-
=-（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 【答案】C 【解析】
由已知，
3cos()10sin()5παπα-=-33cos cos sin sin 1010sin cos cos sin 55ππααππαα+-33cos tan sin 1010tan cos sin 55ππαππα+=-33cos 2tan sin 105102tan cos sin
555
ππππππ
+=- 33cos cos
2sin sin 5
10510sin cos 55π
πππππ+=
＝155(cos cos )(cos cos )21010101012sin 25πππππ++-3cos 103cos
10
ππ==，选C . 【考点定位】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换. 【名师点晴】三角恒等变换的主要题目类型是求值，在求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合适的公式计算即可．本例应用两角和与差的正弦（余弦）公式化解所求式子，利用同角关系式使得已知条件可代入后再化简，求解过程中注意公式的顺用和逆用．
24.【2015
高考安徽，理10】已知函数
()()sin f x x ω?=A +（A ，ω，?均为正的常数）的最小正
周期为π，当23
x π
=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ） （A ）()()()220f f f <-< （B ）()()()022f f f <<- （C ）
()()()202f f f -<< （D ）()()()202f f f <<-
【答案】A
【解析】由题意，
()()sin (0,0,0)f x x A ω?ω?=A +>>>，22||T πππωω
=
==，所以2ω=，则()()sin 2f x x ?=A +，而当23
x π=时，2322,3
2
k k Z ππ?π?+=+∈，解得2,6
k k Z π?π=+∈，
所以
()sin 2(0)6f x x A π?
?=A +> ??
?，则当2262x k πππ+=+，即,6x k k Z ππ=+∈时，()f x 取得最
大值.要比较
()()()2,2,0f f f -的大小，只需判断2,2,0-与最近的最高点处对称轴的距离大小，距离
越大，值越小，易知0,2与
6π
比较近，
2-与56π-比较近，所以，当0k =时，6x π=，
此时|0|0.526
π
-，|2| 1.476π-，当1k =-时，56x π=-，此时5|2()|0.66
π
---，所以(2)(2)(0)f f f <-<，故
选A.
【考点定位】1.三角函数的图象与应用；2.函数值的大小比较.
【名师点睛】对于三角函数中比较大小的问题，一般的步骤是：第一步，根据题中所给的条件写出三角函
数解析式，如本题通过周期判断出ω，通过最值判断出?，从而得出三角函数解析式；第二步，需要比较大小的函数值代入解析式或者通过函数图象进行判断，本题中代入函数值计算不太方便，故可以根据函数图象的特征进行判断即可.
25. 【2016高考天津理数】在△ABC 中，若=
13AB ,BC=3，120C ∠= ,则AC = （ ）
（A ）1
（B ）2
（C ）3
（D ）4
【答案】A 【解析】
试题分析：由余弦定理得213931AC AC AC =++?=,选A. 考点：余弦定理
【名师点睛】1.正、余弦定理可以处理四大类解三角形问题，其中已知两边及其一边的对角，既可以用正
弦定理求解也可以用余弦定理求解．
2．利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的．
29．【2014辽宁理9】将函数3sin(2)3
y x π=+的图象向右平移
2
π
个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A ．在区间7[
,
]1212
ππ
上单调递减
B ．在区间7[,]1212
ππ
上单调递增
C ．在区间[,]63
ππ
-上单调递减 D ．在区间[,]63
ππ
-上单调递增 【答案】B
考点：函数sin()y A x ω?=+的性质.
【名师点睛】本题考查三角函数图象的变换、三角函数图象和性质、复合函数的单调性.其易错点是平移方向与“+、-”混淆.
本题是一道基础题，重点考查三角函数图象的变换、三角函数图象和性质等基础知识，同时考查考生的计算能力. 本题是教科书及教辅材料常见题型，能使考生心理更稳定，利于正常发挥.
30. 【2015湖南理2】将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2
π
??<<个单位后得到函数()g x 的图像，
若对满足12()()2f x g x -=的1x ，2x ，有12min 3
x x π-=，则?=（ ）
A.
512π B.3π C.4π D.6
π
【答案】D. 【解析】
试题分析：向右平移?个单位后，得到)22sin()(?-=x x g ，又∵2|)()(|21=-x g x f ，∴不妨
ππ
k x 22
21+=
，ππ
?m x 22
222+-
=-，∴π?π
)(2
21m k x x -+-=
-，又∵12
min
3
x x π
-=
，
∴
6
3
2
π
?π
?π
=
?=
-，故选D.
【考点定位】三角函数的图象和性质.
【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以
)sin()(?ω+=x A x f 为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三
角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等.
31. 【2015陕西理6】“sin cos αα=”是“cos 20α=”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】A
【考点定位】1、二倍角的余弦公式；2、充分条件与必要条件．
【名师点晴】本题主要考查的是二倍角的余弦公式和充分条件与必要条件，属于容易题．解题时一定要注意p q ?时，
p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件，否则很容易出现错误．充分、必要条件的判断即判
断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化．
二、填空题.
1. 【2014高考北京理第14题】设函数()sin()f x A x ω?=+（,,A ω?是常数，0,0A ω>>）.若()f x 在
区间[
,
]62ππ
上具有单调性，且2()()()236
f f f πππ
==-，则()f x 的最小正周期为 . 【答案】π 【解析】
试题分析：由)(x f 在区间]2,
6[
π
π上具有单调性，且)6()2(ππf f -=知，函数)(x f 的对称中心为)0,3
(π
，
由)32()2(ππf f =知函数)(x f 的对称轴为直线127)322(21πππ=
+=x ，设函数)(x f 的最小正周期为T ， 所以，6221ππ-≥T ，即32π≥T ，所以4
3127T
=-ππ，解得π=T .
考点：函数)sin()(?ω+=x A x f 的对称性、周期性，容易题.
【名师点睛】本题考查三角函数图象与性质，本题属于中等难度选填题，有关三角函数图象与性质及三角函数图像变换问题常在高考题目中出现，但本题重点考查函数图像的对称轴和对称中心以及对称轴和对称
中心与周期性的关系，这样的考法并不多见，事实上，函数图象有两轴、两心、或一轴一心都会联想到函数的周期性，备考模拟题经常见到，但高考题偶尔遇到，不是很多.
2. 【2015高考北京，理12】在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin A C
=
．
【答案】1
【解析】222sin 22sin cos 2sin sin 2A A A a b c a C C c bc +-==?24253616
16256
?+-=?=??
考点定位：本题考点为正弦定理、余弦定理的应用及二倍角公式，灵活使用正弦定理、余弦定理进行边化角、角化边.
【名师点睛】本题考查二倍角公式及正弦定理和余弦定理，本题属于基础题，题目所求分式的分子为二倍角正弦，应用二倍角的正弦公式进行恒等变形，变形后为角的正弦、余弦式，灵活运用正弦定理和余弦定理进行角化边，再把边长代入求值.
3. 【2014高考广东卷.理.12】在ABC ?中，角A .B .C 所对应的边分别为a .b .c ，已知
b B
c C b 2cos cos =+，则=b
a .
【答案】2. 【解析】cos cos 2b C c B b +=，由边角互化得sin cos sin cos 2sin B C C B B +=，
即()sin
2sin B C B +=，即sin 2sin A B =，所以22a a b b
=?=.
【考点定位】本题考查正弦定理中的边角互化思想的应用以及两角和的三角函数，属于中等题. 【名师点晴】本题主要考查的是正弦定理和两角和的正弦公式，属于中等题．解题时要弄清楚是求边还是求角， 否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是正弦定理、两角和的正弦公式和三角函数的诱导公式，即
2R sin sin sin C
a b c
===A B （其中R 为C ?AB 外接圆的半径）
，()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+，()sin sin παα-=．
4. 【2015高考广东，理11】设ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =
，
1
sin 2
B =，6
C =
π
，则b = . 【答案】1． 【解析】因为1sin 2B =
且()0,B π∈，所以6B π=或56B π=，又6C π=，所以6
B π=，
23
A B C π
π=--=，又3a =，由正弦定理得
sin sin a b A B =
即32sin sin
3
6
b ππ=解得1b =，故应填入1． 【考点定位】三角形的内角和定理，正弦定理应用．
【名师点睛】本题主要考查三角形的内角和定理、运用正弦定理解三角形，属于容易题，解答此题要注意由1sin 2B =
得出6B π=或56B π=时，结合三角形内角和定理舍去56
B π
=． 5. 【2016高考江苏卷】在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是
▲ . 【答案】
8.
考点：三角恒等变换，切的性质应用
【名师点睛】消元与降次是高中数学主旋律，利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口，斜三角形ABC 中恒有tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++，这类同于正余弦定理，是一个关于切的等量关系，平时多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识
6. 【2014江苏，理5】已知函数cos y x =与函数sin(2)(0)y x φφπ=+≤<，它们的图像有一个横坐标
为
3
π
的交点，则?的值是 .
【答案】
6
π
．
【解析】由题意cos
sin(2)3
3
π
π
?=?
+，即21sin(
)32π?+=，2(1)36
k k ππ
?π+=+-?，()k Z ∈，因为0?π≤<，所以6
π
?=
．
【名师点晴】从交点得到等量关系：关于?的复角的三角函数式的值．由于值是特殊角的三角函数值，所以本题“给值求角”，根据角的范围，确定角．
7. 【2015江苏高考，8】已知tan 2α=-，()1tan 7
αβ+=，则tan β的值为_______.
【答案】3[]
【解析】12
tan()tan 7tan tan() 3.21tan()tan 17
αβαβαβααβα++-=+-===++-
【考点定位】两角差正切公式
【名师点晴】善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，完成统一角和角与角转换的目的是三角函数式的求值的常用方法. 三角函数求值有三类(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．
8. 【2014江苏，理14】若ABC ?的内角满足sin 2sin 2sin A B C +
=，则cos C 的最小值是 .
【答案】
62
4
-．
【名师点晴】如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．利用基本不等式求最值，需注意一正二定三相等的条件.
9. 【2014新课标，理14】函数()()()sin 22sin cos f x x x ???=+-+的最大值为_________.
【答案】1 【解析】由题意知：()()()sin 22sin cos f x x x ???=+-+=()()sin[]2sin cos x x ????++-+
=()sin cos x ??++()cos sin x ??+-()2sin cos x ??+=()cos sin x ??+-()sin cos x ??+
=()sin[
]x ??+-=sin x ，即()sin f x x =，因为x R ∈，所以()f x 的最大值为1.
【名师点睛】本题考查了三角恒等变形公式，三角函数sin()y A x B ωφ=++的性质，属于基础题目，根据三角恒等变形公式将已知函数的解析式化为sin()y A x B ωφ=++的形式即可.
10. 【2016
高考江苏卷】定义在区间[0,3]π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点个数是
▲ . 【答案】7
【解析】由1sin 2cos cos 0sin 2x x x x =?==或，因为[0,3]x π∈，所以3551317,,,,,,,2226666
x πππππππ=共7个
考点：三角函数图像
【名师点睛】求函数图像交点个数，可选用两个角度：一是直接求解，如本题，解一个简单的三角方程，此方法立足于易于求解，二是数形结合，分别画出函数图像，数交点个数，此法直观，但对画图要求较高，必须准确，尤其明确增长幅度.
11 .【2016高考新课标3理数】函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数sin 3cos y x x =+的图像至少
向右平移_____________个单位长度得到． 【答案】
3
2π
考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．
【误区警示】在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．
12. 【2014四川，理13】如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67
，30，此
时气球的高是46m ，则河流的宽度BC 约等于 m .（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：
sin 670.92≈，cos 670.39≈，sin 370.60≈，cos 370.80≈，
3 1.73≈）
【答案】60 【解析】
试题分析：92AC =，46cos 67
AB =，sin 37,60sin 30sin 37sin 30AB BC AB BC =∴=≈. 【考点定位】解三角形.
【名师点睛】在三角形中，已知两角一边时可以使用正弦定理解三角形.
13. 【2015高考四川，理12】=+ 75sin 15sin .
【答案】
6
2
.
【考点定位】三角恒等变换及特殊角的三角函数值. 有22sin cos sin()a b a b ααα?+=
++.第二种方法是直接凑为特殊角，利用特殊角的三角函数值求解.
【名师点睛】这是一个来自于课本的题，这告诉我们一定要立足于课本.首先将两个角统一为一个角，然后再化为一个三角函数一般地，有22sin cos sin()a b a b ααα?+=++.第二种方法是直接凑为特殊角，利
用特殊角的三角函数值求解.
14. 【2014
课标Ⅰ，理16】已知c b a ,,分别为ABC ?三个内角C B A ,,的对边，2=a ，且
()C b c B A b sin )()sin (sin 2-=-+，则ABC ?面积的最大值为____________．
【答案】
3
【解析】由2=a ，且()C b c B A b sin )()sin (sin 2-=-+，故(a b)(sinA sinB)(c b)sinC +-=-，又根据
正弦定理，得(a b)()(c b)a b c +-=-，化简得，222b c a bc +-=，故222b c a 1
cosA 2bc 2
+-=
=，所以0A 60=，
又22b c 4bc bc +-=≥，故1
S bcsinA 32
BAC ?=
≤． 【名师点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，以及基本不等式的应用，熟练掌握正弦定理和余弦定理的应用，以及基本不等式的应用是解决这类问题的关键，本题主要考查考生的计算能力.
15.【2015高考新课标1，理16】在平面四边形ABCD 中，∠A =∠B =∠C =75°，BC =2，则AB 的取值范围
是 . 【答案】（
62-，6+2）
【考点定位】正余弦定理；数形结合思想
【名师点睛】本题考查正弦定理及三角公式，作出四边形，发现四个为定值，四边形的形状固定，边BC 长定，平移AD ，当AD 重合时，AB 最长，当CD 重合时AB 最短，再利用正弦定理求出两种极限位置是AB 的长，即可求出AB 的范围，作出图形，分析图形的特点是找到解题思路的关键.
16. 【2014年.浙江卷.理17】如图，某人在垂直于水平地面
的墙面前的点处进行射击训练.已知点
到墙面的距离为
，某目标点沿墙面的射击线
移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点
的仰角的大小.若
则
的最大值