2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示

§2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示

编制人：使用时间：2011年月日姓名：班级：学习目标：

1.知识与技能：理解向量坐标的定义，并能正确用坐标表示坐标平面上的向量，对起点不在原点的平面向量能利用向量相等的关系来用坐标表示。

2.过程与方法：(1)通过在直角坐标系中求向量的坐标,让学生体会向量正交分解的几何意义;(2)通过本节学习,使学生能够解决具体问题,知道学有所用。

3.情感、态度与价值观：通过本节学习,培养学生的理性与探索精神. 学习重点:平面向量的正交分解及坐标表示学习难点：对平面向量坐标表示的理解．学习过程

复习旧知1.平面向量基本定理，以及基底的概念？

2.分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量 ,i j

能否作为基底？

探索新知

1.平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个向量，叫做把向量正交分解。

2.思考：我们知道在直角坐标系内，平面内的每一个点都可以用一对有序实数来表示，且点与坐标是一一对应的。既然向量的起点和终点的坐标是确定的，那么向量也可以用一对实数来表示吗？

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有

一对实数x 、y ，使得 y x +=…………○

1 我们把叫做向量a 的（直角）坐标，记作 ),(y x =…………○

2 其中叫做在x 轴上的坐标，叫做在y 轴上的坐标，○

2式叫做向量的坐标表示。

=i ，=j ，=0 概念深化：

1、以原点O 为起点作向量OA =a

，点A 的位置是否唯一确定？

2、点A 的坐标与向量OA

的坐标有什么关系？

3、两个向量相等的充要条件利用坐标如何表示？

例1：用基底i 、j 分别表示向量a 、b 、c 、d

，并求出它们的坐标。

这节课我的收获是：

当堂检测：

1、在平面直角坐标系中，已知点A 时坐标为（2，3），点B 的坐标为（6，5），则 OA =_______________，

OB =__________________。

2、下列说法正确的有（）个

（1）向量的坐标即此向量终点的坐标（2）位置不同的向量其坐标可能相同

（3）一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标（4）相等的向量坐标一定相同

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

3、已知A （-1，5）和向量(2,3)a =

，若3AB a = ，则点B 的坐标为___（5，4）_______。

4、若M(3， -2) N(-5， -1) 且 2

，求P 点的坐标

正交分解的一般步骤知识分享

正交分解的一般步骤

精品文档收集于网络，如有侵权请联系管理员删除正交分解的一般步骤： 1.对物体进行受力分析。 2.根据物体受力的特点，以力的作用点为原点建立xOy 直角坐标系。注意要让尽可能多的力在坐标轴上，这样需要分解的力会减少，从而使问题简单些。 3.将不在坐标轴力依次向x 轴和y 轴上分解为y x F F 11,； y x F F 22,；。。。。。。，这样做的目的就是要让不共线的几个力变的共线，从而方便求解合力。 4.分别求出x 轴和y 轴上的合力F x 、F y 。注意用正方向的力减去负方向的力，求出合力。合力的正负表示合力的方向。 4.根据x 、y 轴上的合力F x 、F y ，求出最终的合力F ，大小22y x F F F += 方向x y F F = θtan 例1、如图所示，重力为500N 的人通过跨过定滑轮的轻绳牵引重200N 的物体，当绳与水平面成60°角时，物体静止。不计滑轮与绳的摩擦，求地面对人的支持力和摩擦力。例2、大小均为F 的三个力共同作用在O 点，如图，F 1与F 2、F 2与F 3之间的夹角均为60o，求这三个力的合力。例3、如图所示：将重力为G 的光滑圆球用细绳拴在竖直墙壁上，如图则（1）求绳对球的拉力T 和墙对球的弹力N （2）当把绳的长度增长，绳对球的拉力T 和墙对球的弹力N 是增大还是减小。正交分解的一般步骤： 1.对物体进行受力分析。 2.根据物体受力的特点，以力的作用点为原点建立xOy 直角坐标系。注意要让尽可能多的力在坐标轴上，这样需要分解的力会减少，从而使问题简单些。 3.将不在坐标轴力依次向x 轴和y 轴上分解为y x F F 11,； y x F F 22,；。。。。。。，这样做的目的就是要让不共线的几个力变的共线，从而方便求解合力。 4.分别求出x 轴和y 轴上的合力F x 、F y 。注意用正方向的力减去负方向的力，求出合力。合力的正负表示合力的方向。 4.根据x 、y 轴上的合力F x 、F y ，求出最终的合力F ，大小22y x F F F += 方向x y F F = θ tan 例1、如图所示，重力为500N 的人通过跨过定滑轮的轻绳牵引重200N 的物体，当绳与水平面成60°角时，物体静止。不计滑轮与绳的摩擦，求地面对人的支持力和摩擦力。例2、大小均为F 的三个力共同作用在O 点，如图，F 1与F 2、F 2与F 3之间的夹角均为60o，求这三个力的合力。例3、如图所示：将重力为G 的光滑圆球用细绳拴在竖直墙壁上，如图则（1）求绳对球的拉力T 和墙对球的弹力N （2）当把绳的长度增长，绳对球的拉力T 和墙对球的弹力N 是增大还是减小。正交分解的一般步骤： 1.对物体进行受力分析。 2.根据物体受力的特点，以力的作用点为原点建立xOy 直角坐标系。注意要让尽可能多的力在坐标轴上，这样需要分解的力会减少，从而使问题简单些。 3.将不在坐标轴力依次向x 轴和y 轴上分解为y x F F 11,； y x F F 22,；。。。。。。，这样做的目的就是要让不共线的几个力变的共线，从而方便求解合力。 4.分别求出x 轴和y 轴上的合力F x 、F y 。注意用正方向的力减去负方向的力，求出合力。合力的正负表示合力的方向。 4.根据x 、y 轴上的合力F x 、F y ，求出最终的合力F ，大小2 2y x F F F += 方向x y F F = θ tan 例1、如图所示，重力为500N 的人通过跨过定滑轮的轻绳牵引重200N 的物体，当绳与水平面成60°角时，物体静止。不计滑轮与绳的摩擦，求地面对人的支持力和摩擦力。例2、大小均为F 的三个力共同作用在O 点，如图，F 1与F 2、F 2与F 3之间的夹角均为60o，求这三个力的合力。

向量的坐标表示及其运算

资源信息表

（2）向量的坐标表示及其运算（2）一、教学内容分析向量是研究数学的工具，是学习数形结合思想方法的直观而又生动的内容.向量的坐标以及向量运算的坐标形式，则从“数、式”的角度对向量以及向量的运算作了精确的、定量的描述.本节课是向量的坐标及其运算的第二课时，一方面把“形”与“数、式”结合起来思考，以“数”入微，借“形”思考，体会并感悟数形结合的思维方式；另一方面通过例5的演绎推理教学，体会代数证明的严谨性，也为定比分点（三点共线）的教学提供基础. 二、教学目标设计 1．理解并掌握两个非零向量平行的充要条件，巩固加深充

要条件的证明方式； 2．会用平行的充要条件解决点共线问题； 3、定比分点坐标公式. 三、教学重点及难点课本例5的演绎证明；分类思想，数形结合思想在解决问题时的运用；特殊——一般——特殊的探究问题意识. 五、教学过程设计：复习向量平行的概念：提问：（1）升么是平行向量方向相同或相反的向量叫做平行向

量。（2）实数与向量相乘有何几何意义（3）由此对任意两个向量,a b ，我们可以用怎样的数量关系来刻画平行对任意两个向量,a b ，若存在一个常数λ，使得 a b λ=?成立，则两向量a 与向量b 平行（4）思考：如果向量,a b 用坐标表示为) ,(),,(2211y x y x ==能否用向量的坐标来刻画这个数量关系12 12 x x y y λλ=??=? 思考：如果向量,a b 用坐标表示为),(),,(2211y x y x ==，则 2 121y y x x =是b a //的（）条件. A 、充要 B 、必要不充分 C 、充分不必要 D 、既不充分也不必要由此，通过改进引出课本例5 若,a b 是两个非零向量，且1122(,),(,)a x y b x y ==，则//a b 的充要条件是1221x y x y =. 分析：代数证明的方法与技巧，严密、严谨. 证明：分两步证明，（Ⅰ）先证必要性：//a b 1221x y x y ?= 非零向量//a b ?存在非零实数λ，使得a b λ=，即

平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算(教案)

2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算【教学目标】 1、知识与技能理解平面向量的坐标表示的概念，会写出直角坐标系内给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量，掌握平面向量的坐标运算，掌握平面向量的和、差及实数与向量的积的坐标表示方法，理解一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去起点的坐标。 2、过程与方法在平面向量的坐标表示的推导过程中，让学生掌握平面向量基本定理中基底的特殊化。 3、情感、态度与价值观让学生感受向量的坐标运算的简洁美与和谐美。【教学重点】平面向量的坐标运算。【教学难点】理解向量坐标化的意义。【教学过程】〖创设情境导入新课〗【导语】如图，光滑斜面上一个木块受到重力G 的作用，产生两个效果，一是木块受到斜面的力1F 的作用，沿斜面下滑；一是木块产生斜面的压力2F ，也就是说，重力G 的效果等价于1F 和2F 的力的效果，即：12G F F =+,12G F F =+叫做把重力G 。类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a ，均可以分解为不共线的两个向量11e λ和 22e λ，使1122a e e λλ=+。而在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形。把一个向量分解为两个的向量，叫做把向量正交分解。我们经常把向量放在平面直角坐标系中进行研究，而在平面直角坐标系中我们可以在x 轴和y 轴上分别取两个向量i 和j ，则i j ⊥，且{} ,i j 可以作为一个基底。由平面向量基本定理可知，我们就可以把平面上的任意一个向量a 在基底},i j 下进行分解，从而对向量作进一步的研究。既然我们现在是在平面直角坐标系中选取了两个单位向量作为基向量来对向量进行分解和研究，而看到平面直角坐标系我们很自然就想到了坐标，那么要在直角坐标系中研究向量，就应该想到，在平面直角坐标系中，向量又是否有坐标呢？我们知道，在平面直角坐标系中，平面内的每一个点都可用一个有序实数对(),x y 来表示，这个有序实数对就叫做这个点的坐标，并且每一个点都可与其坐标可以建立对应关系。那么，如果我们把向量也放入直角坐标系内，向量又能否用一个有序实数对来作为它的坐标呢？今天我们就在平面向量基本定理基础之上来探讨这个问题:平面向量的坐标运算【问题】如图所示：（1）写出A B 、两点的坐标；（2）若1i j ==，以向量,i j 为基底表示向量a 。【交流】（1）()()__,__,__,__A B ；（2）__a i j =+。【猜想】a 的坐标为。〖合作交流解读探究〗 j i a B A 4321 4 3 21 O y x

2.3.2平面向量正交分解及坐标表示(教、学案)

2. 3.2平面向量正交分解及坐标表示教学目标：（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线. 教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 教学过程：一、复习引入：，平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22 e (1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不惟一，关键是不共线； (3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量二、讲解新课： 1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得 yj xi a += (1) 1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作 ` ),(y x a = (2) 2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2○ 2式叫做向量的坐标表示.与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x .

特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=. 如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a OA =，则点A 的位置由a 唯一确定. 设yj xi OA +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. 2．平面向量的坐标运算（1）若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=， b a -),(2121y y x x --= 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++= 即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --= @ （2）若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --= 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标. AB =OB OA =( x 2， y 2) (x 1，y 1)= (x 2 x 1， y 2 y 1) （3）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=. 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ= 三、讲解范例：例1 已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，求AB 的坐标. 例2 已知a =(2，1)， b =(-3，4)，求a +b ，a -b ，3a +4b 的坐标. 例3 已知平面上三点的坐标分别为A(2， 1)， B(1， 3)， C(3， 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.

《空间向量的正交分解及其坐标表示》教学设计

《空间向量的正交分解及其坐标表示》教学设计杨华燕大附中

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计一、教学任务及对象 1、教学内容分析《空间向量的正交分解及其坐标表示》是选修2-1第三章第一节的内容，前面学生已经把平面向量及其加减和数乘运算推广到空间，本节内容从空间向量的正交分解出发，学习空间最重要的基础定理——空间向量分解定理，这个定理是立体几何数量化的基础，有了这个定理，空间结构变得简单明了，整个空间被三个不共面的向量所确定，空间一个点或一个向量和实数组（x,y,z）建立起一一对应的关系。 2、教学对象分析本节课授课的对象是高二年级的学生，他们已掌握了平面向量的基本原理，虽然具备一定的分析和解决问题的能力，逻辑思维也初步形成，但在把向量推广到空间中缺乏冷静、深刻，思维具有片面性、不严谨的特点，对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊。二、教学目标依据课程标准，结合学生的认知发展水平和心理特征，确定本节课的教学目标如下： 1、知识与技能：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量。 2、过程与方法：通过类比、推广等思想方法，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会类比、推广的思想方法，对向量加深理解。 3、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不断拓展创新的学习习惯和品质。三、重、难点分析重点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；难点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；四、教学策略为了突出重点、突破难点，在教学中采取了以下策略： 1．教法分析为了充分调动学生学习的积极性，采用“学、研、导、练”模式，培养学生的创新精神，使学生在解决问题的同时，形成了方法.另外恰当的利用多媒体课件进行辅助教学，借助信息技术创设情境激发学生的学习兴趣. 2．学法分析本节课通过类比平面向量基本定理及坐标表示，推广到空间向量，让学生体会类比、推广思想，加深对向量的理解；让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力．

正交分解法中坐标系的建立原则

正交分解法以退为进，将求解一般三角形的过程转化为求解直角三角形的过程，是处理多力平衡问题及多力产生加速度问题的常用方法；运动的分解可以将一个复杂的曲线运动变成两个简单直线运动的叠加，是处理匀变速曲线运动的基本方法。这两种方法中都涉及到直角坐标系的建立，直角坐标系建立的方法不同，实际运算过程有很大差异。那么，该如何确定直角坐标系的最佳建立方案呢？下面分别对正交分解法、运动的分解中坐标系建立的原则进行说明。一、正交分解法中坐标系的建立原则（一）正交分解法处理多力平衡问题直角坐标系建立的基本原则是： 1．让尽可能多的力落在坐标轴上； 2．尽量不分解未知力。原则一可以最大限度减少需要分解的力的个数，达到减少运算过程的目的；原则二能避免未知量后面带“小尾巴”（指或），同样降低了中间运算的难度。例：一个倾角为（90°＞＞0°）的光滑斜面固定在竖直的光滑墙壁上，一质量为m铁球在水平推力F作用下静止于墙壁与斜面之间，且推力的作用线通过球心，如图所示，求斜面与墙壁对铁球的弹力大小分别是多少？

分析：铁球受四个外力作用且处于静止状态，属多力平衡问题，可运用正交分解法处理，在轴沿水平方向时仅需分解一个外力，运算过程简单。解：铁球受力如图，建立直角坐标系由平衡条件可得：解得：

说明：选择直角坐标系的建立方法时，应对照原则综合考虑，而且原则一优先于原则二，即在原则一满足的前提下再考虑原则二。（二）正交分解法处理多力产生加速度的问题直角坐标系建立的原则是： 1．让加速度和尽可能多的力落在坐标轴上； 2．坐标轴指向与加速度方向趋于相同； 3．尽量不分解未知量。在这类问题中，建立直角坐标系时需要考虑的因素略多一些。首先，加速度是矢量，同样可以按需要进行分解，为了简化分解过程，应该把它也考虑进去；其次，坐标轴指向就是该方向上所有矢量的正方向，如果坐标轴指向与相应的加速度分量方向相反，必须在含加速度分量的一项前加一个负号，否者就会在矢量性上犯错误。最后，为了降低了中间运算的难度，要考虑避免未知量后面带“小尾巴”。例：自动扶梯与水平方向成θ角，梯上站一质量为m的人，当扶梯以加速度a匀加速上升时，人相对于扶梯静止，求人受到的支持力和摩擦力。

高中数学 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示教案新人教A版选修2-1

3. 1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示教学目标 1．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算。 2．会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。重、难点 1．空间向量的坐标表示及坐标运算法则。 2．坐标判断两个空间向量平行。教学过程 1．情景创设：平面向量可用坐标表示，空间向量能用空间直角坐标表示吗？ 2．建构数学：如图：在空间直角坐标系O xyz -中，分别取与x 轴、y 轴、z 轴方向相同的单位向量,,i j k 作为基向量，对于空间任一向量a ，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x ，y ，z ），使a xi y j zk =++；有序实数组（x ，y ，z ）叫做向量a 的空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作a ＝（x ，y ，z ）。在空间直角坐标系O －xyz 中，对于空间任意一点A （x ，y ，z ），向量OA 是确定的，容易得到 OA =xi y j zk ++。因此，向量OA 的坐标为OA =（x ，y ，z ）。这就是说，当空间向量a 的起点移至坐标原点时，其终点的坐标就是向量a 的坐标。类似于平面向量的坐标运算，我们可以得到空间向量坐标运算的法则。设a ＝（123,,a a a ），b ＝（123,,b b b ），则

a + b ＝（112233,,a b a b a b +++）， a － b ＝（112233,,a b a b a b ---）， λa ＝（123,,a a a λλλ）λ∈R 。空间向量平行的坐标表示为 a ∥ b （a ≠0）112233,,()b a b a b a λλλλ?===∈R 。例题分析：例1：已知a ＝（1，－3，8），b ＝（3，10，－4），求a +b ，a －b ，3a 。例2：已知空间四点A （－2，3，1），B （2，－5，3），C （10，0，10）和D （8，4，9），求证：四边形ABCD 是梯形。例3：求点A （2，－3，－1）关于xOy 平面，zOx 平面及原点O 的对称点。练习：见学案小结：作业：见作业纸

平面向量基本定理与平面向量正交分解及坐标表示

编号：001 §2.3.1平面向量基本定理 §2.3.2平面向量正交分解及坐标表示班级: 姓名: 【学习目标】1. 掌握平面向量基本定理；了解平面向量基本定理的意义； 2. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 【重难点】平面向量基本定理；正交分解下的坐标表示. 【学习过程】一、自主学习（一）知识链接：复习1：向量b 、() 0a a ≠是共线的两个向量，则a 、b 之间的关系可以表示为 . 复习2：给定平面内任意两个向量1e 、2e （如下图），请同学们作出向量1232e e +、122e e - . （二）自主探究：（预习教材P93—P96）探究：平面向量基本定理学法指导：在物理中我们研究了力的合成与分解，力的合成与分解互为逆运算，都符合平行四边形法则：如果用表示两个共点力F1和F2的线段为邻边作平行四边形，那么合力F 的大小和方向就可以用F1、F2所夹的角的大小来表示。（注：已知分力要求合力，叫做力的合成。已知合力要求分力叫做力的分解。）即力的合成就是由平行四边形的两邻边求对角线的问题。力的分解是力的合成的逆运算，同样遵循的平行四边形定则。力的分解就是由对角线求两邻边的问题，这是我们在物理中学过的知识。在数学中，物理中的力，本质上就是我们数学中的向量，如果已知平面内的某一向量m （其中m 为非零向量），就可以按照平行四边形法则，将其分解到两个向量1e ，2e （其中1e ，2e 为非零向量）两个方向。分解到1e 方向的向量记为a ，则a 与1e 共线，即11a e λ=，分解到2e 方向的向量记为b ，则b 与2e 共线，即22b e λ=，那么1122m a b e e λλ=+=+. 问题1：复习2中，平面内的任一向量是否都可以用形如1122e e λλ+的向量表示呢？ 1.平面向量的基本定理:如果1e ,2e 是同一平面内两个的向量，a 是这一平面内的任一向量，那么有且只有一对实数1λ，2λ，使。其中，不共线的这两个向量,1e 2e 叫做表示这一平面内所有向量的基底。问题2：如果两个向量不共线，则它们的位置关系我们怎么表示呢？ 2.两向量的夹角与垂直：:我们规定：已知两个非零向量a b ，作=a ，=b ，则叫做向量a 与b 的夹角。如果,θ=∠AOB 则θ的取值范围是。当时，表示a 与b 同向；当时，表示a 与b 反向；当时，表示a 与b 垂直。记作：a b ⊥.在不共线的两个向量中，90θ=，即两向量垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为 _____________，叫做把向量正交分解。问题3：平面直角坐标系中的每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示. 对于直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？ 3、向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同于两个_______作为基为基底。对于平面内的任一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x 、y ，使得____________，这样，平面内的任一向量 a 都可由__________唯一确定，我们把有序数对________叫做向量的坐标，记作=___________此式叫做向量的坐标表示，其中x 叫做 a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标。几个特殊向量的坐标表示：i =__________，j =__________，0=__________ 二、合作探究【例1】（见课本P94例1）【例2】已知梯形ABCD 中，//AB DC ，且2A B C D =，E 、F 分别是DC 、AB 的中点，设AD a =， AB b =。试用,a b 为基底表示DC 、BC .

平面向量的正交分解和坐标表示及运算

复习回顾 1、下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底;②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可以作为基底中的向量,其中正确的说法是( ) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 2.已知向量a ＝1e -22e ，b ＝21e +2e ，其中1e 、2e 不共线，则a +b 与c ＝61e -22e 的关系（） A.不共线 B .共线 C.相等 D.无法确定 3.已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2，则x -y 的值等于( ) A.3 B .-3 C.0 D.2 4.设1e 与2e 是两个不共线向量, a =31e +42e ,b =-21e +52e ,若实数λ、μ满足λa +μb =51e -2e ,求λ、μ的值. 平面向量的正交分解和坐标表示及运算一、基本概念

1．平面向量的坐标表示（1）____________________________________________________________则称这两个向量互相垂直. （2）.在直角坐标系xOy 内，分别取与x 轴和y 轴方向相同的两个单位向量1e ，2e ，这时，就在坐标平面内建立了一个正交基底｛1e ，2e ｝，1e ，2e 分别是x 轴和y 轴上的____________，这个基底也叫做直角坐标系xOy 的_____________。 (3).在坐标平面xOy 内，任作一向量a （用有向线段AB 表示），由平面向量基本定理可知，存在惟一的有实数对（x ，y ），使得a =x 1e +y 2e ，（x ，y ）就是向量a 在基底｛1e ，2e ｝下的__________________，即a =________________________,其中x 叫做向量a 在x 轴上的____________，y 叫做a 在y 轴上的____________。 (4). . 向量的坐标运算 ①平面向量的坐标运算:若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),λ∈R,则b a +=__________________; b a -=__________________ ; a λ=___________________. (5). 向量平行的坐标表示:b a // ?______________________ . （6）. 向量模的公式:设a =(x,y),则=a _____________________ . 二．典例分析例1、(2,3),(3,5),A B BA =-u u u r (1)已知求的坐标.

专题3-空间向量的正交分解与坐标表示

23,,e e 为有公共起点O 的三个两两

点O 重合，得到向量OA =a ．由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{,,}x y z ，使得 =a __________．我们把x ，y ，z 称作向量a 在单位正交基底123,,e e e 下的坐标，记作=a __________．注：向量的坐标由起点、终点的坐标共同决定，并不受起点位置的影响． 5．单位正交基底之间的数量积运算（1）因为单位正交基底123,,e e e 互相垂直，所以121323?=?=?=e e e e e e __________．（2）因为123,,e e e 为单位向量，所以1122331?=?=?=e e e e e e ． 6．空间向量的坐标运算空间向量的加法、减法、数乘及数量积运算的坐标表示都可以类似平面向量的坐标运算得到．设123(,,)a a a =a ，123(,,)b b b =b ，则（1）112233(,,)a b a b a b +=+++a b ， 112233(,,)a b a b a b -=---a b ， 123(,,)a a a λλλλ=a ， 112233a b a b a b ?=++a b ；（2）112233,,a b a b a b λλλλ?=?===∥a b a b ， 11223300a b a b a b ??=?++=⊥a b a b ， =?=|a |a a __________， 112233 22222 2 123123cos ,a b a b a b a a a b b b ++= ++++<>a b ；（3）在空间直角坐标系中，已知点111()A x y z ,,，222()B x y z ,,，则A ，B 两点间的距离 ||d AB == 222121212()()()x x y y z z -+-+-．注：进行向量运算时，在能建系的情况下尽量建系，将向量运算转化为坐标运算，一般按照右手系建系．

高中数学 (2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示)教案新人教A版必修4

2.3 平面向量的基本定理及其坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示整体设计教学分析平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点.平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合,这样,如果将平面内向量的始点放在一起,那么由平面向量基本定理可知,平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示,也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示.这是引进平面向量基本定理的一个原因. 在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的特殊情形,向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解,因为在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会给问题的研究带来方便.联系平面向量基本定理和向量的正交分解,由点在直角坐标系中的表示得到启发,要在平面直角坐标系中表示一个向量,最方便的是分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,这时,对于平面直角坐标系内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x、y,使得a=x i+y j. 于是,平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,而有序数对(x,y)正好是向量a的终点的坐标,这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射,从而实现向量的“量化”表示,使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想. 三维目标 1.通过探究活动,能推导并理解平面向量基本定理. 2.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法.能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达. 3.了解向量的夹角与垂直的概念,并能应用于平面向量的正交分解中,会把向量正交分解,会用坐标表示向量. 重点难点教学重点:平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示. 教学难点:平面向量基本定理的运用. 课时安排 1课时教学过程导入新课思路1.在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,会产生什么样的结论呢？又如一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G,可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直于斜面且压紧斜面的力F2.我们知道飞机在起飞时若沿仰角α的方向起飞的速度为v,可分解为沿水平方向的速度vcosα和沿竖直方向的速度vsinα.从这两个实例可以看出,把一个向量分解到两个不同的方向,特别是作正交分解,即在两个互相垂直的方向上进行分解,是解决问题的一种十分重要的手

平面向量的坐标表示

7.2.2平面向量的坐标表示 7.2.3共线向量的坐标表示课型：新授课课时：1课时一、教材分析 1.前面学习了平面向量的坐标表示,实际是平面向量的代数表示.在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算. 2.本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律,推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算.推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律. 3.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,一个自然的想法是向量的某些关系,特别是向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢?前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数λ,使得b a λ=,那么与共线),本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示.这种转化是比较容易的,只要将向量用坐标表示出来,再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示.要注意的是,向量的共线与向量的平行是一致的. 二、教学目标 1、知识与技能目标进一步掌握平面向量正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算；会推导并熟记两向量共线时坐标表示的充要条件. 2、过程与方法在平面向量坐标表示的基础上得到平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示；最后通过讲解例题，巩固知识结论，能利用两向量共线的坐标表示解决有关综合问题，培养学生应用能力. 3、情感态度与价值观通过学习向量共线的坐标表示，让学生领悟到数形结合的思想；使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力；培养学生勇于创新的精神.

力的正交分解法

力的正交分解法课前预习 1．定义：把各个力沿相互垂直的方向分解的方法．用途：求多个共点力的合力时，往往用正交分解法． 2．步骤：如图6所示，(1)建立直角坐标系．通常选择共点力的作用点为坐标原点，建立x、y轴让尽可能多的力落在坐标轴上． (2)把不在坐标轴上的各力向坐标轴进行正交分解．图6 (3)沿着坐标轴的方向求合力F x、F y. (4)求F x、F y的合力，F与F x、F y的关系式为：F＝F2x＋F2y.方向为：tan α＝F y/F x 典例剖析例3物块静止在固定的斜面上，斜面倾角为θ，分别按图示的方向对物块施加大小相等的力F，A中F垂直于斜面向上，B中F垂直于斜面向下，C中F竖直向上，D中F竖直向下，施力后物块仍然静止，则物块所受的静摩擦力增大的是 () 思维突破应用正交分解法须注意： (1)一般用于三个以上的力作用时． (2)选取坐标轴时应做到尽量让更多的力落在坐标轴上，尽量少的分解力．跟踪训练3风筝(图7甲)借助于均匀的风对其作用力和牵线对其拉力的作用，才得以在空中处于平衡状态．如图乙所示，风筝平面AB与地面夹角为30°，风筝质量为300 g，求风对风筝的作用力的大小．(风对风筝的作用力与风筝平面相垂直，g取10 m/s2) 图7 1．互成角度的两个共点力，有关它们的合力与分力关系的下列说法中，正确的是 () A．合力的大小一定大于小的分力、小于大的分力

B ．合力的大小随分力间夹角的增大而增大 C ．合力的大小一定大于任意一个分力 D ．合力的大小可能大于大的分力，也可能小于小的分力 2．下列关于合力的叙述中正确的是 ( ) A ．合力是原来几个力的等效代替，合力的作用效果与分力的共同作用效果相同 B ．两个力夹角为θ(0≤θ≤π)，它们的合力随θ增大而增大 C ．合力的大小总不会比分力的代数和大 D ．不是同时作用在同一物体上的力也能进行力的合成的运算 3．小明想推动家里的衣橱，但使出了很大的力气也没推动，于是他便想了个妙招，如图10所示，用A 、B 两块木板，搭成一个底角较小的人字形架，然后往中央一站，衣橱居然被推动了！下列说法正确的是 ( ) A ．这是不可能的，因为小明根本没有用力去推衣橱 B ．这是不可能的，因为无论如何小明的力气也没那么大 C ．这有可能，A 板对衣橱的推力有可能大于小明的重力 D ．这有可能，但A 板对衣橱的推力不可能大于小明的重力 4.一光滑圆环固定在竖直平面内，环上套着两个小球A 和B (中央有孔)，A 、B 间由细绳连接着，它们处于如图11所示位置时恰好都能保持静止状态．此情况下，B 球与环中心O 处于同一水平面上，A 、B 间的细绳呈伸直状态，与水平线成30°角，已知 B 球的质量为3 kg ，求细绳对B 球的拉力和A 球的质量m A .(g ＝10 m/s 2 ) 图 10 图11

实验报告二经验正交分解

气象统计分析与预报方法课程实验报告实验名称实验二经验正交函数分解系别大气科学姓名学号班级应气101 实验地点机房实验日期 11月13日评分指导老师肖国杰同组其他成员一、实验内容（含实验原理介绍）：实验所提供的资料为NCEP/NCAR 59年（1948年-2006年）逐年1～12月的 850hPa 高度场资料，资料范围为（90 N -90S ，0E -360E ），网格距为2.5*2.5，纬向格点数为144，经向格点数为73。资料为NC 格式，资料从南到北、自西向东排列，每月为一个记录，按年逐月排放，注意读取方式以及记录长度。对（0N -90N ，60E -120W ）850hPa 高度场进行经验正交展开（EOF.FOR ），输出分析主要参数指标；绘制环流型图和相应的时间系数序列图，并加以分析。本实验运用EOF 方法： EOF （经验正交函数分解）是针对气象要素场进行的，其基本原理是把包含p 个空间点（变量）的场随时间变化进行分解。设抽取样本容量为n 的资料.则场中任一空间点i 和任一时间点j 的距平观测值 ij x 可看成由p 个空间函数ik v 和时间函数kj y (k=1,2,…,p)的线性组合,表示成 11221 p ij ik kj i j i j ip pj k x v y v y v y v y == =+++∑ EOF 功能是从一个气象场多次观测资料中识别出主要空间型及其时间演变规律。 EOF 展开就是将气象变量场分解为空间函数（V ）和时间函数（T ）两部分的乘积之和： X=VT 。应用步骤：资料预处理(距平或标准化处理) 计算协方差矩阵、用Jacobi 方法或迭代法计算协方差矩阵的特征值与特征向量、将特征值从大到小排列、计算特征向量的时间系数、计算每个特征向量的方差贡献、结果输出

《平面向量的正交分解及坐标表示》教学设计

《平面向量的正交分解及坐标表示》教学设计【教学设计构想】１.体现知识的发生、发展过程；本节课的核心知识是“平面向量正交分解条件下坐标表示”,学生正确建构了向量的坐标表示，才能真正理解向量的“代数化”，进而从代数的角度理解向量的运算，所以本节课的设计,力图呈现平面向量坐标表示的发生、发展过程。２．将知识的数学形态转化为教学形态;教材中对本节内容的介绍只有本页之多，却内涵丰富，承前启后，不能以自己的想法代替学生的想法，不能简单地告诉学生定义、结论，通过问题的设置来引导学生操作、思考、讨论交流，推进教学的进程。３.教学重心前移;对于本节课的知识,如果学生记住向量坐标表示的结论,学生也能解决一系列的问题,以往的教学,是将重心放在如何强化学生的解题训练上，注重解题的方法与技巧，在题的难度上和解法技巧上进行设计，本次教学的重心放在学生对向量坐标表示的意义理解上。４.还学生自主学习的空间与时间；在学生的“最近发展区内”设置有思考价值的问题，形成学生认知上的冲突，才是给学生提供学习的空间；在对学生设置好探究问题后，要舍得给学生独立思考,与同伴交流的时间。【教材内容地位】本课时的内容包括“向量的正交分解及坐标表示”,向量基本定理实际上是建立向量坐标的一个逻辑基础,因为只有确定了任意一个向量在两个不共线的基底上能进行唯一分解,建立坐标系才有了依据,同时,只有正确地构建向量的坐标才能有向量的坐标运算。 2.３节平面向量的基本定理及坐标表示主要四部分内容1.平面向量的基本定理，２.平面向量的正交分解及坐标表示， 3.平行向量的坐标运算, 4.平面向量共线的坐标表示。本节教学的内容是本单元的第２节。【目标与目标解析】知识与技能: １.掌握向量的正交分解，理解向量坐标表示的定义，具体要求:（1)能写出给定向量的坐标;（2）给出坐标能画出表示向量的有向线段; 2.掌握向量的坐标与表示该有向线段起、终点坐标的关系，具体要求：（1)知道起点在坐标原点时，向量的坐标就是终点的坐标;（2）向量的坐标等于终点减去起点坐标。 3.理解向量与坐标之间是一一对应关系。过程与方法: 学生经历向量的几何表示——线性表示——坐标表示的实现过程，从中体会由特殊到一般的研究问题的方法,体会由“形”到“数”的数形结合思想及与点与坐标关系的类比思想。情感态度与价值观：在实现平面向量坐标表示的过程中，学生独立探索、参与讨论交流,从中加深对知识的理解，体验学习数学的乐趣。重点：平面向量坐标表示的定义突破办法:渗透从特殊到一般的归纳，由“形”到“数”的数形结合的思想．难点:对平面向量坐标表示生成过程的理解突破办法:设置情景问题,注意过程分析与引导,力求自然、合理【教学过程】 (一）问题情境1：倾斜角为３０度的斜面上，质量为10０kg的物体匀速下滑，欲求物体受到的滑动摩擦力和支持力,该如何对重力进行分解? 设计说明:引出课题。回顾向量基本定理,构造建立直角坐标系条件，为研究问题做铺垫。（二）向量坐标表示的定义探究问题１：如图所示，取与x轴、ｙ轴方向相同的两个单位向量ｉ,ｊ为基底，分别用i,j表示向量ａ、b.