河北省定州中学2018届高三上学期第二次月考数学试题Word版含答案

高三第一学期第2次考试数学试题

一、选择题

1.设函数()3x

f x xe =,若存在唯一的整数0x ,使得()00f x kx k <-,则k 的取值范围是

( ) A. 2

3,0e ??

-

???? B. 30,2e ??

???? C. 236,e e ??-- ??? D. 223,2e e ??

????

2.如图是函数()()sin f x A x ω?=+ 0,0,2A πω???

>><

??

?

图象的一部分,对不同[]

12,,x x a b ∈,若()()12f x f x =,有()12f x x +=?的值为( )

A.

π12 B. π6 C. π4 D. π3

3.已知e 为自然对数的底数,若对任意的1,1x e ??

∈????

,总存在唯一的[]1,1y ∈-,使得

2ln 1y

x x a y e

-++=成立,则实数a 的取值范围是 A. 2,e ??+∞

??? B. 21,e e e ??+ ??? C. 1,e e ?????? D. 2,e e ??

???

4.若函数y=f(x)(x ∈R)满足f(x+2)=f(x),且x ∈(-1,1]时f(x)=1-x 2

,函数

(),0

{ 1,0

lgx x g x x ≠==,则函数()()()h x f x g x =-在区间[-5,10]内零点的个数为

A. 15

B. 14

C. 13

D. 12 5.若函数()()1{

421

1

x

a x f x a x x >=-+≤是R 上的增函数,则实数a 的取值范围为( )

A. (1,+∞)

B. (1,8)

C. (4,8)

D. [4,8) 6.设集合

,集合

.若

中恰含有一个整数,

则实数的取值范围是

A.

B.

C.

D.

7.定义“函数()y f x =是D 上的a 级类周期函数” 如下: 函数(),D y f x x =∈,对

于给定的非零常数 a ,总存在非零常数T ,使得定义域D 内的任意实数x 都有

()()af x f x T =+恒成立,此时T 为()f x 的周期. 若()y f x =是[)1,+∞上的a 级类周

期函数,且1T =,当[)1,2x ∈时, ()21f x x =+,且()y f x =是[)1,+∞上的单调递增函数,则实数a 的取值范围为( )

A. 5,6??+∞????

B. [)2,+∞

C. 5,3??

+∞???? D. [)10,+∞ 8.已知关于x 的方程

1

2

a x x =+有三个不同的实数解,则实数a 的取值范围是 ( ) A. (),0-∞ B. ()0,1 C. ()1,+∞ D. ()0,+∞

9.已知实数()(),0

{

,0

x e x f x lg x x ≥=-<若关于x 的方程()()20f x f x t ++=有三个不同的实根,则t 的取值范围为( )

A. (],2-∞-

B. [)1,+∞

C. []2,1-

D. (][

),21,-∞-?+∞ 10.已知方程213

ln 022

x mx -

+=有4个不同的实数根,则实数m 的取值范围是( ) A. 20,2e ??

??? B. 20,2e ?? ???

C. (20,e ??

D. ()2

0,e 11.已知,x y 满足221

{1 0

x y x y y +≤+≥-≤,则z x y =-的取值范围是 ( )

A. ????

B. []-1,1

C. ??

D. ??

12.定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=,当[]

3,5x ∈时, ()24f x x =--,则下列不等式一定成立的是( ) A. cos

sin 66f f ππ??

??> ? ??

??

? B. ()()sin1cos1f f <

C. 22cos sin 3

3f f ππ???

?

> ?

??

??

?

D. ()()sin2cos2f f <

二、填空题

13.已知点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线N 上, AC ,则DP 与PC 所成角的大小为___________.

14.已知椭圆1C : 221122111(0)x y a b a b +=>>,双曲线2C : 22

222211

1(0,0)x y a b a b -=>>,以

1C 的短轴为正六边形最长对角线,若正六边形与x 轴正半轴交于点M , ()1,0F c 为椭圆右焦点, A 为椭圆右顶点, B 为直线2

11

a x c =与x 轴的交点,且满足OM 是OA 与OF 的等

差数列,现将坐标平面沿y 轴折起,当所成二面角为60

时,点,A B 在另一半平面内的射影恰为2C 的左顶点与左焦点,则2C 的离心率为__________.

15.已知椭圆1C : 221122111(0)x y a b a b +=>>,双曲线2C : 22

222211

1(0,0)x y a b a b -=>>,以

1C 的短轴为一条最长对角线的正六边形与x 轴正半轴交于点M , F 为椭圆右焦点, A 为椭圆右顶点, B 为直线2

11

a x c =与x 轴的交点,且满足OM 是OA 与OF 的等差中项,现

将坐标平面沿y 轴折起,当所成二面角为60

时,点,A B 在另一半平面内的射影恰为2C 的左顶点与左焦点,则2C 的离心率为__________. 16.设13

0,0,35,1x y x y x y

>>+=++则的最小值为___________

三、解答题

17.已知12,F F 是椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点,点()1,P e -在椭圆上, e 为椭

圆的离心率,且点M 为椭圆短半轴的上顶点, 12MF F ?为等腰直角三角形. (1)求椭圆的标准方程;

(2)过点2F 作不与坐标轴垂直的直线l ,设l 与圆2222x y a b +=+相交于,A B 两点,与椭

圆相交于,C D 两点,当11·F A F B λ= 且2,13λ??∈????

时,求1FCD ?的面积S 的取值范围. 18.设函数()1x

x e ax ?=--,

(I )当1a =时,求函数()x φ的最小值;

(Ⅱ)若函数()x ?在()0+∞,上有零点,求实数a 的范围;

(III )证明不等式()3

11+6

x e x x x R ≥+

∈. 19.设函数()()2

32f x x a b x ab =-++,函数()()()g x x a x b =-- ,a b R ∈ (1)当1b =时,解关于x 的不等式: ()()()2

3342f x a x a x a >+-+++;

(2)若0b a >>且a b +<有两个零点s 和t ,若点()()

,A s s g s ?,

()(),B t t g t ?,其中O 是坐标原点,证明: OA 与OB

不可能垂直。

20.设函数()ln m

f x x x

=+

, m R ∈. (1)当m e = (e 为自然对数的底数)时,求曲线()y f x =在点()()

1,1f 处的切线方程; (2)讨论函数()()'3

x

g x f x =-

的零点的个数; (3)若对任意0b a >>,

()()1f b f a b a

-<-恒成立,求实数m 的取值范围.

参考答案

DDDBD BCCAD 11.D 12.C 13.45 14.2 15.2 16.

32

17.(1)2

212x y +=(2

)?? (Ⅰ)由12MF F 是等腰直角三角形,得2

2

2b c

a b ==,,

从而得到2e =12?- ??

,,

代入椭圆方程得

2211

122b b

+=,解得2212b a ==,, 所求的椭圆方程为2

212

x y +=. (Ⅱ)由(Ⅰ)知()()121

010F F -,,,,由题意,设直线l 的方程为1x ty =+, ()()1122A x y B x y ,,,,

由22

1{

3x ty x y =++=,,

得()22

1220t y ty ++-=, 则1212

2222

11

t y y y y t t +=-

=-++,, ()()()()1111221212·1

?111F A FB x y x y x x y y =++=+++

,, ()()(

)

()222

1212121222422221242411

t t ty ty y y t y y t y y t t -=+++=++++=--+=++.

∵112·13F A F B ??∈???? ,,∴22

222131t t -≤≤+,解得21132t ??

∈????

,.

由2

21{12

x ty x y =++=,

消x 得()

222210t y ty ++-=.

设()()3344C x y D x y ,,,,

34222t y y t -+=

+, 34

21

2y y t =-+, 则

112341·2

F CD

S F F y y =-=

== 设21t m

+=,则

S =

=

4332m ??

∈????,, ∵S 关于m 在4332??????

,上为减函数,

∴S ∈??

,即1

FCD

的面积的取值范围为??. 18.(I )()min 0x φ=;(II )()1,+∞;(III )见解析.

(I )()()1,'1x x x e x x e φφ=--=-

()()()()0'0.0'0,x x x x x x φφφφ时,递减;时,递增

()()min 00x φφ==

(II )()'x x e a ?=-

若()()0,'0,x a x e a x R ??≤=->在上递增,且()00?=,所以()x ?在()0+∞,

上没有零点

若()()0,'0,ln ,'0,ln a x x a x x a ??>

()()(),ln ,ln ,,x a a ?-∞↓+∞↑在所以()()min ln 1ln x a a a a ??==--

当01a <≤时,极值点0ln 0x a =≤,又()00?=, ()x φ在()0+∞,无零点

当1a >时,极值点()0ln 0,1ln x a g a a a a =>=--设

()'ln 0g a a =-<, ()g a 在()1+∞,上递减, ()()()min 10x g a g ?∴=<=

()()()2222212'224220a a a a e a a e a e a ??=--∴=-=->, ()2a ?在()1,+∞上递增 所以()()22250a e ??>=->,所以()x ?在()0+∞,上有零点

所以, a 的取值范围是()1,+∞ .

(III )证明:设函数()()2311,'162

x

x

x f x e x x f x e =---=--

(1)当()0'0x f x ≤≤时,, ()f x 在(),0-∞上递减 (2)

x >时,设

()()()21

'1,'

2

x x g x f x e x g x e x ==--=- ()()()'100x x h x e x h x e x =-=->>设,

()()()()0,010x h x e x h x h =-+∞∴>=>在上递增

()()()()2

10,002

x

x g x e g x g =--+∞∴>=在上递增

即当0x >时, ()21

'102

x f x e x =-->, ()f x 在()0+∞,上递增,

由(1)(2)知, ()()()min 000f x f f x ==∴≥ 即()3

11+6

x e x x x R ≥+

∈. 19.(1)见解析;(2)见解析. (1)当1b =时,由()()

()2

3342f

x a x a x a >+-+++有()2220ax a x -++<,即

()()210ax x --<,当0a =时,有220x -+<,解得: 1x > 当0a <时,

2

01a

<<,解得: 1x >或2

x a

<

,当0a >时, 221a a a --=,所以 当2a >时, 21a <,解得:

21x a <<当2a =时, 21a =,此时无解 当02a <<时, 21a >,解得: 2

1x a

<<,综上: 当2a >时,原不等式的解集为: 2,1a ??

???

当2a =时,原不等式的解集为: Φ,当02a <<

时,原不等式的解集为: 21,a ?? ???

,当0a =时,原不等式的解集为: ()1,+∞,当0a <时,

原不等式的解集为: ()2,

1,a ??

-∞?+∞ ???

. (2)0b a >>时, 由,s t 为()0f x =的两根可得, ()2

3s t a b +=

+, 03ab st =>

假设O A O B ⊥ ,即()()()()(

)()

,,0O A O B s s g s

t

t

g t s t s t g s g t

?=???=+??=

,故()()

1g s g t ?=-

,即

()(

)()()

1s a

s b t a t b

----=-,所以()()22

1st s t a a st s t b b ????-++?-++=-????从而有()29ab a b -= ,即 ()29a b ab

-=

故()()22

94412a b a b ab ab ab

+=-+=+≥=即a b +≥这与a b +<.故OA 与OB

不可能垂直.

20.(I) ()1210e x y e --+-=;(II)见解析;(III )1

,4??+∞????

。 (1)当m e =时, ()ln e f x x x =+

,所以()221e x e

f x x x x

='-=-, ()11k f e ='=- ,切点坐标为()1,e 所以曲线()y f x =在点()()

1,1f 处的切线方程为()1210e x y e --+-=. (2)因为函数()()()21033x m x g x f x x x x -=--'=>令()0g x =,得()31

03

m x x x =-+>,设()()3

103

h x x x x =-

+>所以()()()2111h x x x x =-+=--+',当()0,1x ∈时,

()0h x '>,此时()h x 在()0,1上为增函数;当()1,x ∈+∞时, ()0h x '<,此时()h x 在

()1,+∞上为减函数,所以当1x =时, ()h x 取极大值()12

1133h =-+=,

令()0h x =,即3

103

x x -+=,解得0x =或x =()h x 的图像知: ①当2

3m >

时,函数y m =和函数()y h x =无交点; ②当2

3m =时,函数y m =和函数()y h x =有且仅有一个交点;

③当2

03

m <<时,函数y m =和函数()y h x =有两个交点;

④当0m ≤时,函数y m =和函数()y h x =有且仅有一个交点。

综上所述,当2

3

m >时,函数()g x 无零点; 当2

3m =

或0m ≤时,函数()g x 有且仅有一个零点 当2

03

m <<时,函数()g x 有两个零点

(3)对任意()()0,

1f b f a b a b a

->><-恒成立,等价于()()f b b f a a -<-恒成立,设

()()()ln 0m

x f x x x x x x

?=-=+

->则()x ?在()

0,+∞上单调递减,所以

()2110m x x x ?=-'-≤在()0,+∞上恒成立,所以2

211

24m x x x ??≥-+=--+ ??

?在()0,+∞上恒成立,因为2

10,4x x x >-+≤

,所以14

m ≥,当且仅当12x =时, 14m =, 所以实数的取值范围1,4??+∞????

.

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