河北省定州中学2018届高三上学期第二次月考数学试题Word版含答案
高三第一学期第2次考试数学试题
一、选择题
1.设函数()3x
f x xe =,若存在唯一的整数0x ,使得()00f x kx k <-,则k 的取值范围是
( ) A. 2
3,0e ??
-
???? B. 30,2e ??
???? C. 236,e e ??-- ??? D. 223,2e e ??
????
2.如图是函数()()sin f x A x ω?=+ 0,0,2A πω???
>><
??
?
图象的一部分,对不同[]
12,,x x a b ∈,若()()12f x f x =,有()12f x x +=?的值为( )
A.
π12 B. π6 C. π4 D. π3
3.已知e 为自然对数的底数,若对任意的1,1x e ??
∈????
,总存在唯一的[]1,1y ∈-,使得
2ln 1y
x x a y e
-++=成立,则实数a 的取值范围是 A. 2,e ??+∞
??? B. 21,e e e ??+ ??? C. 1,e e ?????? D. 2,e e ??
???
4.若函数y=f(x)(x ∈R)满足f(x+2)=f(x),且x ∈(-1,1]时f(x)=1-x 2
,函数
(),0
{ 1,0
lgx x g x x ≠==,则函数()()()h x f x g x =-在区间[-5,10]内零点的个数为
A. 15
B. 14
C. 13
D. 12 5.若函数()()1{
421
1
x
a x f x a x x >=-+≤是R 上的增函数,则实数a 的取值范围为( )
A. (1,+∞)
B. (1,8)
C. (4,8)
D. [4,8) 6.设集合
,集合
.若
中恰含有一个整数,
则实数的取值范围是
A.
B.
C.
D.
7.定义“函数()y f x =是D 上的a 级类周期函数” 如下: 函数(),D y f x x =∈,对
于给定的非零常数 a ,总存在非零常数T ,使得定义域D 内的任意实数x 都有
()()af x f x T =+恒成立,此时T 为()f x 的周期. 若()y f x =是[)1,+∞上的a 级类周
期函数,且1T =,当[)1,2x ∈时, ()21f x x =+,且()y f x =是[)1,+∞上的单调递增函数,则实数a 的取值范围为( )
A. 5,6??+∞????
B. [)2,+∞
C. 5,3??
+∞???? D. [)10,+∞ 8.已知关于x 的方程
1
2
a x x =+有三个不同的实数解,则实数a 的取值范围是 ( ) A. (),0-∞ B. ()0,1 C. ()1,+∞ D. ()0,+∞
9.已知实数()(),0
{
,0
x e x f x lg x x ≥=-<若关于x 的方程()()20f x f x t ++=有三个不同的实根,则t 的取值范围为( )
A. (],2-∞-
B. [)1,+∞
C. []2,1-
D. (][
),21,-∞-?+∞ 10.已知方程213
ln 022
x mx -
+=有4个不同的实数根,则实数m 的取值范围是( ) A. 20,2e ??
??? B. 20,2e ?? ???
C. (20,e ??
D. ()2
0,e 11.已知,x y 满足221
{1 0
x y x y y +≤+≥-≤,则z x y =-的取值范围是 ( )
A. ????
B. []-1,1
C. ??
D. ??
12.定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=,当[]
3,5x ∈时, ()24f x x =--,则下列不等式一定成立的是( ) A. cos
sin 66f f ππ??
??> ? ??
??
? B. ()()sin1cos1f f <
C. 22cos sin 3
3f f ππ???
?
> ?
??
??
?
D. ()()sin2cos2f f <
二、填空题
13.已知点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线N 上, AC ,则DP 与PC 所成角的大小为___________.
14.已知椭圆1C : 221122111(0)x y a b a b +=>>,双曲线2C : 22
222211
1(0,0)x y a b a b -=>>,以
1C 的短轴为正六边形最长对角线,若正六边形与x 轴正半轴交于点M , ()1,0F c 为椭圆右焦点, A 为椭圆右顶点, B 为直线2
11
a x c =与x 轴的交点,且满足OM 是OA 与OF 的等
差数列,现将坐标平面沿y 轴折起,当所成二面角为60
时,点,A B 在另一半平面内的射影恰为2C 的左顶点与左焦点,则2C 的离心率为__________.
15.已知椭圆1C : 221122111(0)x y a b a b +=>>,双曲线2C : 22
222211
1(0,0)x y a b a b -=>>,以
1C 的短轴为一条最长对角线的正六边形与x 轴正半轴交于点M , F 为椭圆右焦点, A 为椭圆右顶点, B 为直线2
11
a x c =与x 轴的交点,且满足OM 是OA 与OF 的等差中项,现
将坐标平面沿y 轴折起,当所成二面角为60
时,点,A B 在另一半平面内的射影恰为2C 的左顶点与左焦点,则2C 的离心率为__________. 16.设13
0,0,35,1x y x y x y
>>+=++则的最小值为___________
三、解答题
17.已知12,F F 是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点,点()1,P e -在椭圆上, e 为椭
圆的离心率,且点M 为椭圆短半轴的上顶点, 12MF F ?为等腰直角三角形. (1)求椭圆的标准方程;
(2)过点2F 作不与坐标轴垂直的直线l ,设l 与圆2222x y a b +=+相交于,A B 两点,与椭
圆相交于,C D 两点,当11·F A F B λ= 且2,13λ??∈????
时,求1FCD ?的面积S 的取值范围. 18.设函数()1x
x e ax ?=--,
(I )当1a =时,求函数()x φ的最小值;
(Ⅱ)若函数()x ?在()0+∞,上有零点,求实数a 的范围;
(III )证明不等式()3
11+6
x e x x x R ≥+
∈. 19.设函数()()2
32f x x a b x ab =-++,函数()()()g x x a x b =-- ,a b R ∈ (1)当1b =时,解关于x 的不等式: ()()()2
3342f x a x a x a >+-+++;
(2)若0b a >>且a b +<有两个零点s 和t ,若点()()
,A s s g s ?,
()(),B t t g t ?,其中O 是坐标原点,证明: OA 与OB
不可能垂直。
20.设函数()ln m
f x x x
=+
, m R ∈. (1)当m e = (e 为自然对数的底数)时,求曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程; (2)讨论函数()()'3
x
g x f x =-
的零点的个数; (3)若对任意0b a >>,
()()1f b f a b a
-<-恒成立,求实数m 的取值范围.
参考答案
DDDBD BCCAD 11.D 12.C 13.45 14.2 15.2 16.
32
17.(1)2
212x y +=(2
)?? (Ⅰ)由12MF F 是等腰直角三角形,得2
2
2b c
a b ==,,
从而得到2e =12?- ??
,,
代入椭圆方程得
2211
122b b
+=,解得2212b a ==,, 所求的椭圆方程为2
212
x y +=. (Ⅱ)由(Ⅰ)知()()121
010F F -,,,,由题意,设直线l 的方程为1x ty =+, ()()1122A x y B x y ,,,,
由22
1{
3x ty x y =++=,,
得()22
1220t y ty ++-=, 则1212
2222
11
t y y y y t t +=-
=-++,, ()()()()1111221212·1
?111F A FB x y x y x x y y =++=+++
,, ()()(
)
()222
1212121222422221242411
t t ty ty y y t y y t y y t t -=+++=++++=--+=++.
∵112·13F A F B ??∈???? ,,∴22
222131t t -≤≤+,解得21132t ??
∈????
,.
由2
21{12
x ty x y =++=,
,
消x 得()
222210t y ty ++-=.
设()()3344C x y D x y ,,,,
34222t y y t -+=
+, 34
21
2y y t =-+, 则
112341·2
F CD
S F F y y =-=
== 设21t m
+=,则
S =
=
4332m ??
∈????,, ∵S 关于m 在4332??????
,上为减函数,
∴S ∈??
,即1
FCD
的面积的取值范围为??. 18.(I )()min 0x φ=;(II )()1,+∞;(III )见解析.
(I )()()1,'1x x x e x x e φφ=--=-
()()()()0'0.0'0,x x x x x x φφφφ时,递减;时,递增
()()min 00x φφ==
(II )()'x x e a ?=-
若()()0,'0,x a x e a x R ??≤=->在上递增,且()00?=,所以()x ?在()0+∞,
上没有零点
若()()0,'0,ln ,'0,ln a x x a x x a ??>
()()(),ln ,ln ,,x a a ?-∞↓+∞↑在所以()()min ln 1ln x a a a a ??==--
当01a <≤时,极值点0ln 0x a =≤,又()00?=, ()x φ在()0+∞,无零点
当1a >时,极值点()0ln 0,1ln x a g a a a a =>=--设
()'ln 0g a a =-<, ()g a 在()1+∞,上递减, ()()()min 10x g a g ?∴=<=
()()()2222212'224220a a a a e a a e a e a ??=--∴=-=->, ()2a ?在()1,+∞上递增 所以()()22250a e ??>=->,所以()x ?在()0+∞,上有零点
所以, a 的取值范围是()1,+∞ .
(III )证明:设函数()()2311,'162
x
x
x f x e x x f x e =---=--
(1)当()0'0x f x ≤≤时,, ()f x 在(),0-∞上递减 (2)
当
x >时,设
()()()21
'1,'
2
x x g x f x e x g x e x ==--=- ()()()'100x x h x e x h x e x =-=->>设,
()()()()0,010x h x e x h x h =-+∞∴>=>在上递增
()()()()2
10,002
x
x g x e g x g =--+∞∴>=在上递增
即当0x >时, ()21
'102
x f x e x =-->, ()f x 在()0+∞,上递增,
由(1)(2)知, ()()()min 000f x f f x ==∴≥ 即()3
11+6
x e x x x R ≥+
∈. 19.(1)见解析;(2)见解析. (1)当1b =时,由()()
()2
3342f
x a x a x a >+-+++有()2220ax a x -++<,即
()()210ax x --<,当0a =时,有220x -+<,解得: 1x > 当0a <时,
2
01a
<<,解得: 1x >或2
x a
<
,当0a >时, 221a a a --=,所以 当2a >时, 21a <,解得:
21x a <<当2a =时, 21a =,此时无解 当02a <<时, 21a >,解得: 2
1x a
<<,综上: 当2a >时,原不等式的解集为: 2,1a ??
???
,
当2a =时,原不等式的解集为: Φ,当02a <<
时,原不等式的解集为: 21,a ?? ???
,当0a =时,原不等式的解集为: ()1,+∞,当0a <时,
原不等式的解集为: ()2,
1,a ??
-∞?+∞ ???
. (2)0b a >>时, 由,s t 为()0f x =的两根可得, ()2
3s t a b +=
+, 03ab st =>
假设O A O B ⊥ ,即()()()()(
)()
,,0O A O B s s g s
t
t
g t s t s t g s g t
?=???=+??=
,故()()
1g s g t ?=-
,即
()(
)()()
1s a
s b t a t b
----=-,所以()()22
1st s t a a st s t b b ????-++?-++=-????从而有()29ab a b -= ,即 ()29a b ab
-=
故()()22
94412a b a b ab ab ab
+=-+=+≥=即a b +≥这与a b +<.故OA 与OB
不可能垂直.
20.(I) ()1210e x y e --+-=;(II)见解析;(III )1
,4??+∞????
。 (1)当m e =时, ()ln e f x x x =+
,所以()221e x e
f x x x x
='-=-, ()11k f e ='=- ,切点坐标为()1,e 所以曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程为()1210e x y e --+-=. (2)因为函数()()()21033x m x g x f x x x x -=--'=>令()0g x =,得()31
03
m x x x =-+>,设()()3
103
h x x x x =-
+>所以()()()2111h x x x x =-+=--+',当()0,1x ∈时,
()0h x '>,此时()h x 在()0,1上为增函数;当()1,x ∈+∞时, ()0h x '<,此时()h x 在
()1,+∞上为减函数,所以当1x =时, ()h x 取极大值()12
1133h =-+=,
令()0h x =,即3
103
x x -+=,解得0x =或x =()h x 的图像知: ①当2
3m >
时,函数y m =和函数()y h x =无交点; ②当2
3m =时,函数y m =和函数()y h x =有且仅有一个交点;
③当2
03
m <<时,函数y m =和函数()y h x =有两个交点;
④当0m ≤时,函数y m =和函数()y h x =有且仅有一个交点。
综上所述,当2
3
m >时,函数()g x 无零点; 当2
3m =
或0m ≤时,函数()g x 有且仅有一个零点 当2
03
m <<时,函数()g x 有两个零点
(3)对任意()()0,
1f b f a b a b a
->><-恒成立,等价于()()f b b f a a -<-恒成立,设
()()()ln 0m
x f x x x x x x
?=-=+
->则()x ?在()
0,+∞上单调递减,所以
()2110m x x x ?=-'-≤在()0,+∞上恒成立,所以2
211
24m x x x ??≥-+=--+ ??
?在()0,+∞上恒成立,因为2
10,4x x x >-+≤
,所以14
m ≥,当且仅当12x =时, 14m =, 所以实数的取值范围1,4??+∞????
.