江苏省常州市田家炳高级中学2019届高三开学考试数学(文)试卷

T ←1 i ←3

While T <10 T ←T +i i ←i +2 End While Print i

常州田高中2019届高三暑期自主学习情况调研

高三年级数学(文科)试卷

参考公式:样本数据x 1,x 2,…,x n 的方差2

2

11()n i i s x x n ==-∑,其中1

1n i i x x n ==∑.

一、填空题:本大题共14个小题,每小题5分,共70分,把答案填在答题纸的横线上.

1. 已知集合{}

{}2

,,1,2A a a B ==,若{1}A

B =,则a = ▲ .

2. 设复数z 满足:(2)43z -=+i i (其中i 为虚数单位),则z 的模等于 ▲ .

3. 某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为:9.7,9.9,10.1,10.2,

10.1,则这组数据的方差为▲________.

4. 根据如图所示的伪代码,最后输出的i 的值为 ▲ .

5. 袋中有形状、大小都相同的 4 只球,其中 1 只白球,1 只红球,2 只

黄球.从中一次随机摸出 2只球,则这 2 只球颜色不同的概率为 ▲

6. 在平面直角坐标系xOy 中,双曲线2221x y a

-=与抛物线2

8y x =有相同的焦点,则双

曲线的两条渐近线的方程为 ▲ .

7. 设公比不为1的等比数列 {}n a 满足12318

a a a =-,且243,,a a a 成等差数列,则1a = ▲ 8. 对于直线l ,m ,平面α,m ?α,则“l ⊥m ”是“l ⊥α”成立的▲________条件.(在“充

分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个).必要不充分 9. 已知(cos ,sin )m αα=,(2,1)n =,(,)22

ππ

α∈-,若1m n ?=,则3s i n (2

)

2

π

α+= ▲ .

10. 过直线x y l 2:=上一点P 做圆()()5

4

23M 2

2

=-+-y x :

的两条切线21,l l ,A ,B 为 切点,当直线21,l l 关于直线l 对称时,则=∠APB ▲ .

11. 已知函数()62

-=x x f ,若

a <

b <0,且()()b f a f =,则b a 2的最小值是

▲ .

12. 如图,,A B 是函数在轴右侧图像上的两点,分别过作轴的垂线与轴交于两点,与函数

的图像交于两点,且是的中点,当直线与轴平行时,设点的横坐标为2,则四边形的面

第15题 ▲ .

二、解答题 (本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(本小题满分14分)

如图,在平面直角坐标系中,以轴正半轴为始边作锐角,其终边与半径为5的圆交于点,以为始边作锐角,其终边与圆交于点,.

(1)求的值;

(2)若点的横坐标为,求点的坐标.

16.(本小题满分14分) 设函数,其中.已知. (Ⅰ)求;

(Ⅱ)将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数的图象,求在上的最小值.

17.(本小题满分14分) 已知函数是定义在上的奇函数. (1)求的值; (2)求函数的值域;

(3)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.

18.(本小题满分16分)

我国西部某省4A级风景区内住着一个少数民族村,该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施,据调查,修复好村民俗文化基础设施后,任何一个月内(每月按30天计算)每天的旅游人数与第x天近似地满足(千人),且参观民俗文化村的游客人均消费近似地满足(元).

(1)求该村的第x天的旅游收入(单位千元,1≤x≤30,)的函数关系;

(2)若以最低日收入的20%作为每一天纯收入的计量依据,并以纯收入的5%的税率收回投资成本,试问该村在两年内能否收回全部投资成本.

19.(本小题满分16分)

已知二次函数满足,且。

(1)求的解析式;

(2)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围;

(3)设,,求的最大值。

20.(本小题满分16分)

已知函数当时取得极值.

(1)求实数的值;

(2)若有两个零点,求实数的取值范围;

(3)设,若对于,总,使得,求实数的取值范围.

常州田高中2019届高三暑期自主学习情况调研

高三年级数学(文科)答案

一、填空题

1. 2. 3. 4. 9 5. 6. 7. 1 8. 必要不充分9. 10.

11.12. 13. 14.

二、解答题

15.解:(1)在△AOB中,由余弦定理得,

,所以

……………2分

即.…………………………………………………6分

(2)因为,,

所以.………………………………8分

因为点的横坐标为,由三角函数定义可得,,

因为为锐角,所以.……………10分

所以,…………12分

所以点.……………………………………14分

………4分

因为………6分

………7分

(2)函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到

………9分

再向左平移个单位,得到…11分

………14分

17.试题分析:.解:(1)∵是奇函数∴

即对任意恒成立,

∴(或者利用,求得,再验证是奇函数)………………4分

(2)∵

又∵,∴

函数的值域………………8分

(3)由题意得,当时,,

即恒成立,

∵,∴,

∴()恒成立,……………………10分

下证在当时是增函数.

任取,则

……………12分

∴当时,是增函数,

∴,

∴实数的取值范围为. …………………………14分

18.解:⑴依据题意,有p(x)=f(x)·g(x)= (1≤x≤30,x∈N*)

= ………6分

(2)1°当,时,

(当且仅当时,等号成立),

因此,p(x)min=p(11)=1152(千元). ……………………………10分2°当22

求导可得p′(x) <0,所以p(x)=在(22,30]上单调递减,

于是p(x)min=p(30)=1116(千元).

又1152>1116,所以日最低收入为1116千元. ……………………………14分该村两年可收回的投资资金为1116×20%×5%×30×12×2=8035.2(千元)=803.52(万元),因803.52万元>800万元,所以,该村两年内能收回全部投资资金. ……16分19.(1)设,代入和,

并化简得,………4分

(2)当时,不等式恒成立

即不等式恒成立,……………6分

令,则,…………………………8分

当时,…………………………10分

(3)对称轴是. …11分

①当时,即时,…12分

②当时,即时,……14分

综上所述:…………………………16分

20.解(1)函数

当时,

……2分

在处取得极值,,即…4分

(2)由(1)可知,,当时,

当时,当时,,

函数在上单调递减,在上单调递增,在处取得极小值.

. ……………5分

函数有两个零点即的图像与直线有两个不同的交点.

若,在上单调递增,当时,函数有两个零点;

……………7分若,在上单调递减,当时,函数有两个零点.

……………9分综上,当时,,当时,. ……………10分

(3)由(2)知在上单调减,在上单调增,在处取得最小值.

……………11分的定义域为,

……………12分

由题可知,

①当时,上单调减,最小值……13分

对于,总,使,等价于得

……………14分且,无解. ……………15分

②当时,上单调增,最小值,

又,

综上所述,实数的取值范围. ……………16分

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