江苏省常州市田家炳高级中学2019届高三开学考试数学(文)试卷
T ←1 i ←3
While T <10 T ←T +i i ←i +2 End While Print i
常州田高中2019届高三暑期自主学习情况调研
高三年级数学(文科)试卷
参考公式:样本数据x 1,x 2,…,x n 的方差2
2
11()n i i s x x n ==-∑,其中1
1n i i x x n ==∑.
一、填空题:本大题共14个小题,每小题5分,共70分,把答案填在答题纸的横线上.
1. 已知集合{}
{}2
,,1,2A a a B ==,若{1}A
B =,则a = ▲ .
2. 设复数z 满足:(2)43z -=+i i (其中i 为虚数单位),则z 的模等于 ▲ .
3. 某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为:9.7,9.9,10.1,10.2,
10.1,则这组数据的方差为▲________.
4. 根据如图所示的伪代码,最后输出的i 的值为 ▲ .
5. 袋中有形状、大小都相同的 4 只球,其中 1 只白球,1 只红球,2 只
黄球.从中一次随机摸出 2只球,则这 2 只球颜色不同的概率为 ▲
6. 在平面直角坐标系xOy 中,双曲线2221x y a
-=与抛物线2
8y x =有相同的焦点,则双
曲线的两条渐近线的方程为 ▲ .
7. 设公比不为1的等比数列 {}n a 满足12318
a a a =-,且243,,a a a 成等差数列,则1a = ▲ 8. 对于直线l ,m ,平面α,m ?α,则“l ⊥m ”是“l ⊥α”成立的▲________条件.(在“充
分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个).必要不充分 9. 已知(cos ,sin )m αα=,(2,1)n =,(,)22
ππ
α∈-,若1m n ?=,则3s i n (2
)
2
π
α+= ▲ .
10. 过直线x y l 2:=上一点P 做圆()()5
4
23M 2
2
=-+-y x :
的两条切线21,l l ,A ,B 为 切点,当直线21,l l 关于直线l 对称时,则=∠APB ▲ .
11. 已知函数()62
-=x x f ,若
a <
b <0,且()()b f a f =,则b a 2的最小值是
▲ .
12. 如图,,A B 是函数在轴右侧图像上的两点,分别过作轴的垂线与轴交于两点,与函数
的图像交于两点,且是的中点,当直线与轴平行时,设点的横坐标为2,则四边形的面
第15题 ▲ .
二、解答题 (本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(本小题满分14分)
如图,在平面直角坐标系中,以轴正半轴为始边作锐角,其终边与半径为5的圆交于点,以为始边作锐角,其终边与圆交于点,.
(1)求的值;
(2)若点的横坐标为,求点的坐标.
16.(本小题满分14分) 设函数,其中.已知. (Ⅰ)求;
(Ⅱ)将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数的图象,求在上的最小值.
17.(本小题满分14分) 已知函数是定义在上的奇函数. (1)求的值; (2)求函数的值域;
(3)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
18.(本小题满分16分)
我国西部某省4A级风景区内住着一个少数民族村,该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施,据调查,修复好村民俗文化基础设施后,任何一个月内(每月按30天计算)每天的旅游人数与第x天近似地满足(千人),且参观民俗文化村的游客人均消费近似地满足(元).
(1)求该村的第x天的旅游收入(单位千元,1≤x≤30,)的函数关系;
(2)若以最低日收入的20%作为每一天纯收入的计量依据,并以纯收入的5%的税率收回投资成本,试问该村在两年内能否收回全部投资成本.
19.(本小题满分16分)
已知二次函数满足,且。
(1)求的解析式;
(2)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围;
(3)设,,求的最大值。
20.(本小题满分16分)
已知函数当时取得极值.
(1)求实数的值;
(2)若有两个零点,求实数的取值范围;
(3)设,若对于,总,使得,求实数的取值范围.
常州田高中2019届高三暑期自主学习情况调研
高三年级数学(文科)答案
一、填空题
1. 2. 3. 4. 9 5. 6. 7. 1 8. 必要不充分9. 10.
11.12. 13. 14.
二、解答题
15.解:(1)在△AOB中,由余弦定理得,
,所以
……………2分
,
即.…………………………………………………6分
(2)因为,,
所以.………………………………8分
因为点的横坐标为,由三角函数定义可得,,
因为为锐角,所以.……………10分
所以,…………12分
.
所以点.……………………………………14分
………4分
因为………6分
………7分
(2)函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到
………9分
再向左平移个单位,得到…11分
………14分
17.试题分析:.解:(1)∵是奇函数∴
,
即对任意恒成立,
∴(或者利用,求得,再验证是奇函数)………………4分
(2)∵
又∵,∴
∴
函数的值域………………8分
(3)由题意得,当时,,
即恒成立,
∵,∴,
∴()恒成立,……………………10分
设
下证在当时是增函数.
任取,则
……………12分
∴当时,是增函数,
∴,
∴实数的取值范围为. …………………………14分
18.解:⑴依据题意,有p(x)=f(x)·g(x)= (1≤x≤30,x∈N*)
= ………6分
(2)1°当,时,
(当且仅当时,等号成立),
因此,p(x)min=p(11)=1152(千元). ……………………………10分2°当22 求导可得p′(x) <0,所以p(x)=在(22,30]上单调递减, 于是p(x)min=p(30)=1116(千元). 又1152>1116,所以日最低收入为1116千元. ……………………………14分该村两年可收回的投资资金为1116×20%×5%×30×12×2=8035.2(千元)=803.52(万元),因803.52万元>800万元,所以,该村两年内能收回全部投资资金. ……16分19.(1)设,代入和, 并化简得,………4分 (2)当时,不等式恒成立 即不等式恒成立,……………6分 令,则,…………………………8分 当时,…………………………10分 (3)对称轴是. …11分 ①当时,即时,…12分 ②当时,即时,……14分 综上所述:…………………………16分 20.解(1)函数 当时, ……2分 在处取得极值,,即…4分 (2)由(1)可知,,当时, 当时,当时,, 函数在上单调递减,在上单调递增,在处取得极小值. . ……………5分 函数有两个零点即的图像与直线有两个不同的交点. 若,在上单调递增,当时,函数有两个零点; ……………7分若,在上单调递减,当时,函数有两个零点. ……………9分综上,当时,,当时,. ……………10分 (3)由(2)知在上单调减,在上单调增,在处取得最小值. ……………11分的定义域为, ……………12分 由题可知, ①当时,上单调减,最小值……13分 对于,总,使,等价于得 , ……………14分且,无解. ……………15分 ②当时,上单调增,最小值, 且 又, 综上所述,实数的取值范围. ……………16分