天津市2018届中考数学复习《旋转问题》专项训练(含答案)

天津市2018年中考数学题型专项训练：旋转问题

1.如图,在平面直角坐标系中,已知点A的坐标为(0,2),△A B O为等边三角形,P是x轴上的一个动点(不与O点重合),将线段A P绕A点按逆时针方向旋转60°,P点的对应点为点Q.

(Ⅰ)求点B的坐标;

(Ⅱ)当点P在x轴负半轴运动时,求证:∠A B Q=90°;

(Ⅲ)连接O Q,在点P运动的过程中,当O Q平行A B时,求点P的坐标

.

第1题图解:(Ⅰ)如解图①,过点B作B C⊥x轴于点C,∵△A O B为等边三角形,且O A=2,

∴∠A O B=60°,O B=O A=2,

∴∠B O C=30°,而∠O C B=90°,

(Ⅱ)∵△A P Q、△A O B均为等边三角形,

∴A P=A Q,A O=A B,∠P A Q=∠O A B,

∴∠P A O=∠Q A B,

在△A P O与△A Q B中,

AP AQ

PAO QAB AO AB

?

∠

?

?

∠

?

?

＝

＝

＝

,

∴△A P O≌△A Q B,

∴∠A B Q=∠A O P=90°;

(Ⅲ)当点P在x轴正半轴上时,

∵∠O A B=60°,

∴将A P绕点A逆时针旋转60°时,点Q在点B上方,

∴O Q和A B必相交,

当点P在x轴负半轴上时,点Q在点B的下方,

∵A B∥O Q,∠B Q O=90°,∠B O Q=∠A B O=60°.

在R t△B O Q中,O B=2,∠O B Q=90°－∠B O Q=30°,

由(Ⅱ)可知,△A P O≌△A Q B,

图①图②

第1题解图

2.在直角坐标系中,O A=C D,O B=O D,C D⊥x轴于D,E、F分别是O B、O D中点,连接

E F交A C于点G.

(Ⅰ)如图①,若点A的坐标为(－2,0),S△O C D=5,求点B的坐标;

(Ⅱ)如图②,当O B=2O A时,求证:点G为A C的中点;

(Ⅲ)如图③,当O B＞2O A,△A B O绕原点O顺时针旋转α(0°＜α＜45°),(Ⅱ)中的结论是否还成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.

第2题图

解:(Ⅰ)∵A(－2,0),

∴O A=2,

∵C D⊥O D,C D=O A=2,

又∵S△O C D=5,

∴O D=5,

∴O B=O D=5,

∴B(0,5);

(Ⅱ)如解图①,连接E C、A E、C F.

∵O B=2O A,C D=O A,O D=O B,

∵E B=E O,O F=D F,

∴O E∥C D,O E=C D,

∴四边形O E C D是平行四边形,

∴E C=O D,

∵A F=O D=E C,

∴E C=A F,E C∥A F,

∴四边形A E C F是平行四边形,

∴A G=C G,即点G为A C的中点;

(Ⅲ)成立.

理由:如解图②,连接A E、C F,在F E上取一点H,使得C H=C F.

∵O B=O D,O E=E B,O F=D F,

∴O E=D F,∵∠A O E=∠F D C,O A=C D,

∴△A O E≌△C D F,

∴A E=C F=C H,∠A E O=∠C F D,

∵O E=O F,

∴∠O E F=∠O F E,

∵∠A E G=∠A E O＋∠O E F,∠C H G=180°－∠C H F=180°－∠C F H=180°－(180°－∠O F E－∠C F D)=∠O F E＋∠C F D,

∴∠A E G=∠C H G,

∵∠A G E=∠C G H,

∴△A E G≌△C H G,

∴A G=C G,即点G为A C的中点.

图①图②

第2题解图

3.如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(－8,0),直线B C经过点B(－8,6),C(0,6),将四边形O A B C绕点O按顺时针方向旋转角度α得到四边形O A′B′C′,此时边O A′与边B C交于点P,边B′C′与B C的延长线交于点Q,连接A P. (Ⅰ)求证:四边形O A B C是矩形;

(Ⅱ)在旋转过程中,当∠P A O=∠P O A,求P点坐标.

(Ⅲ)在旋转过程中,当P为线段B Q中点时,连接O Q,求△O P Q的面积.

第3题图

(Ⅰ)证明:∵点A 的坐标为(－8,0),点B (－8,6),C (0,6), ∴∠C O A =∠O A B =∠B =90°, ∴四边形O A B C 是矩形.

(Ⅱ)解:如解图①,过点P 作P E ⊥A O 于点E , ∵∠P A O =∠P O A , ∴P A =P O , ∵P E ⊥A O , ∴A E =E O =4, ∴P (－4,6);

(Ⅲ)解:如解图②,在R t △O C Q 和R t △O C 'Q 中,

CO CO

OQ OQ

???＝＝, ∴R t △O C Q ≌R t △O C 'Q ,∴∠O Q C =∠O Q C ', 又∵O P ∥C 'Q , ∵∠P O Q =∠O Q C ',

∴∠P O Q =∠P Q O ,∴P O =P Q , ∵B P =Q P ,∴B P =O P =x ,

图① 图②

第3题解图

P B ,将△A B P 绕着点A 顺时针旋转60°得到△A B ′P ′,连接P P ′.

(Ⅰ)求点B ′的坐标;

(Ⅱ)当△O P A 与△A P B 满足什么条件时,P O ＋P A ＋P B 的值最小,并求出此最小值;

(Ⅲ)试直接写出(Ⅱ)中的点P 坐标.

∴A B =2,∠B A O =30°,

∵将△A B P 绕着点A 顺时针旋转60°得到△A B ′P ′, ∴A B ′=2,∠B ′A O =90°,

(Ⅱ)由旋转可得,△A P P ′是等边三角形, ∴P P ′=P A ,

又∵P ′B ′=P B ,∴P O ＋P A ＋P B =P O ＋P P ′＋P ′B ′,

∴如解图①,当O 、P 、P ′、B ′四点共线时,P O ＋P A ＋P B 的值最小, ∴当∠O P A =∠A P B =∠A P ′B ′=120°时,P O ＋P A ＋P B 的值最小,

(Ⅲ)如解图②,将(Ⅱ)中的△O P B绕着点O逆时针旋转60°得到△O B″P″,则∠B O B″=60°,O B″=O B=1

由(Ⅱ)可知A、P、P″、B″四点共线,

∴点P为O B′与A B″的交点,

图①图②

第4题解图

5.如图,将两块直角三角板摆放在平面直角坐标系中,有

∠C O D=∠A B O=90°,∠O C D=45°,∠A O B=60°,且A O=C D=8.现将R t△A O B绕点O逆时针旋转,旋转角为β(0°≤β≤180°).在旋转过程中,直线C D分别与直线A B,O A交于点F,G.

(Ⅰ)当旋转角β=45°时,求点B的坐标;

(Ⅱ)在旋转过程中,当G F=A F,求β的值;

(Ⅲ)在旋转过程中,当∠B O D=60°时,求直线A B的解析式.

第5题图

解:(Ⅰ)如解图①,过点B作B H⊥x轴于点H,

在R t△A O B中,∠A O B=60°,O A=8,

当β=45°时,即∠B O C=45°,

∴O H=B H,

∴O H2＋B H2=42

(Ⅱ)当75°＜β＜180°时,存在F A=F G(如解图④),

∴∠A=∠F G A=30°,

∴∠C O G=45°－30°=15°=∠A O M,

∴β=∠B O C=180°－15°－60°=105°,

∴当F G=A F时，β=105°;

(Ⅲ)①当点B在第一象限时(如解图②),过点B作B M⊥O C于点M,∵∠B O D=60°,

∴∠B O C=30°,

∵点A在y轴上

∴A(0,8),