四川省成都石室中学2017届高三一诊模拟试题(数学理)(含答案)word版

成都石室中学高2012届一诊模拟

数 学 试 题 (理科)

一.选择题(本题共有12小题, 每题5分,共60分,每题恰有一个答案) 1. 已知1z i =+，则

2

1z

1z ++等于 （ ） A ． 435

5

i + B ． 435

5

i - C ．i D ．i -

2. 下列函数中，周期为π，且在[,]42

ππ

上为减函数的是 （ ）

A.sin()2

y x π=+ B.cos(2)2

y x π=+ C.sin(2)2

y x π=+ D.cos()2

y x π

=+

3.(8

1展开式中不含4x 项的系数的和为 （ ）

A.-1

B.0

C.1

D.2

4.若函数()log a f x x =（其中0,1)a a >≠满足(5)2f =，则15(2log 2)f -的值为 （ ）

A ．5log 2 B. 2log 5 C.4 D.2

5.将4名新来的同学分配到A 、B 、C 三个班级中,每个班级至少安排1名学生,其中甲同学不能

分配到A 班，那么不同的分配方案有 ( )

A. 18种

B. 24种

C. 54种

D. 60种

6．设{}n a 、{}n b 分别为等差数列与等比数列，且114a b ==，441a b ==,则以下结论一定成立的是

( )

A ．22a b >

B ．33a b <

C ．55a b >

D ．66a b >

7.已知函数()cos(),f x x R θθ=+∈.若0

()()

lim

1x f x f x

ππ→+-=，则函数f(x)的解析式为 （ ）

A.()sin f x x =-

B. ()cos f x x =-

C. ()sin f x x =

D. ()cos f x x =

8. 设随机变量ξ服从标准正态分布()0 1N ，，在某项测量中，已知()196P .ξ<=0.950，则ξ在

()1.-∞-，

96内取值的概率为 （ ）

A ．0.025

B ．0.050

C ．0.950

D ．0.975

9.设,,a b c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足a 与b 不共线,a c ⊥,||||a c =,

则||b c ?的值一定等于 ( )

A ．以,a b 为邻边的平行四边形的面积 B. 以,b c 为两边的三角形面积

C ．,a b 为两边的三角形面积 D. 以,b c 为邻边的平行四边形的面积

10.已知p 是r 的充分条件而非必要条件,q 是r 的充分条件,s 是r 的必要条件,q 是s 的必要条件.现有下列命题： ①s 是q 的充要条件； ②p 是q 的充分非必要条件；

③r 是q 的必要非充分条件； ④p s ??是的必要非充分条件； ⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件，

则正确命题序号是 （ ）

A.①④⑤

B.①②④

C.②③⑤

D. ②④⑤

11.某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于．．6 ．

时再增选一名代表. 那么各班可推选代表人数y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数

y ＝[x]（[x]表示不大于x 的最大整数）可以表示为 （ ）

A.y ＝[10x ]

B.y ＝[310x +]

C.y ＝[410x +]

D.y ＝[5

10

x +]

12. 如图,在长方形ABCD 中，

,BC=1，E 为线段DC 上一动点，现将?AED 沿AE 折起,使点D

在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成轨迹的长度为 ( )

A

C ．2π

D ． 3π

B

A

二.填空题(每题4分,共16分)

13.设()y f x =存在反函数1()y f x -=,且函数()y x f x =-的图象过点(1,2),则函数1(

)y f x x -=-的

图象一定过点 .

14.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足2()32(2)f x x xf '=+，则(5)f '=

15.将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 对折成120的二面角,则B,D 在四面体A-BCD 的外接球

球面上的距离为

16．已知定义域为 0+∞（，） 的函数f(x)满足： 对任意x 0∈

+∞（，），恒有 f(2x)=2f(x)成立； 当x ]∈（1，2时，f(x)=2-x 。给出如下结论： ①对任意m Z ∈，有m f(2)=0；

②函数f(x)的值域为[0+∞，）；

③存在n Z ∈，使得n f(2+1)=9；

④“函数f(x)在区间(,)a b 上单调递减”的充要条件是 “存在Z k ∈，使得1(,)(2,2)k k a b +?”.

其中所有正确结论的序号是

成都石室中学高20172届一诊模拟数学答题卷(理科)

13. 14. 15. 16.

三.解答题(本题共有6小题,共74分,写出必要的解答或证明过程)

17.(满分12分)在△ABC 中,A,B,C 的对边分别为a ,b ,c ,且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列. （Ⅰ）求B 的值； （Ⅱ）求22sin cos()A A C +-的范围.

18．(满分12分)某地区试行高考考试改革:在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是1/3，每次测试通过与否互相独立．规定：若前4次都没有通过测试，则第5次不能参加测试

(1)求该学生考上大学的概率．(2)记该生参加测试的次数为ξ,求ξ的分布列及ξ的数学期望．

19. (满分12分)如图，五面体ABCDE 中，正?ABC 的边长为1，AE ⊥平面ABC ，CD ∥AE ，且CD=12

AE ．

(I)设CE 与平面ABE 所成的角为α，AE=(0),k k >若[,],64

ππ

α∈求k 的取值范围；

(Ⅱ)在(I)和条件下，当k 取得最大值时，求平面BDE 与平面ABC 所成角的

大小．

20. (满分12分) 设数列{}n a 满足12323...2(*).n

n a a a na n N ++++=∈

（I ）求数列{}n a 的通项； （II ）设2,n n b n a =求数列{}n b 的前n 项和n S .

21. (满分12分) 已知函数ln ()1x

f x x

=

-． （1）试判断函数()f x 的单调性；

（2）设0m >，求()f x 在[,2]m m 上的最大值； （3）试证明：对任意*n ∈N ，不等式11ln()e n n

n n

++<

都成立（其中e 是自然对数的底数）．

22．(满分14分)已知数列{}n a 中，11a =，21

4

a =，且1(1)n n n n a a n a +-=-（2,3,4,

n =）．

（1）求3a 、4a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式

（3）求证：对一切*N n ∈且2n ≥），有2222316

n a a a +++<

．

成都石室中学高2017届一诊模拟

数 学 试 题 (理科) 答案

一.选择题(本题共有12小题, 每题5分,共60分,每题恰有一个答案) 1. 已知1z i =+，则

2

1z

1z ++等于 （ B ） A ． 435

5

i + B ． 435

5

i - C ．i D ．i -

2. 下列函数中，周期为π，且在[,]42

ππ

上为减函数的是 （ C ）

A.sin()2

y x π=+ B.cos(2)2

y x π=+ C.sin(2)2

y x π=+ D.cos()2

y x π

=+

3.(8

1展开式中不含4x 项的系数的和为 （ A ）

A.-1

B.0

C.1

D.2

4.若函数()log a f x x =（其中0,1)a a >≠满足(5)2f =，则15(2log 2)f -的值为 （ D ）

A ．5log 2 B. 2log 5 C.4 D.2

5.将4名新来的同学分配到A 、B 、C 三个班级中,每个班级至少安排1名学生,其中甲同学不能

分配到A 班，那么不同的分配方案有 ( B )

A. 18种

B. 24种

C. 54种

D. 60种

6．设{}n a 、{}n b 分别为等差数列与等比数列，且114a b ==，441a b ==,则以下结论一定成立的是

( A )

A ．22a b >

B ．33a b <

C ．55a b >

D ．66a b >

7.已知函数()cos(),f x x R θθ=+∈.若0

()()

lim

1x f x f x

ππ→+-=，则函数f(x)的解析式为 （ A ）

A.()sin f x x =-

B. ()cos f x x =-

C. ()sin f x x =

D. ()cos f x x =

8. 设随机变量ξ服从标准正态分布()0 1N ，，在某项测量中，已知()196P .ξ<=0.950，则ξ在

()1.-∞-，

96内取值的概率为 （ A ）

A ．0.025

B ．0.050

C ．0.950

D ．0.975

9.设,,a b c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足a 与b 不共线,a c ⊥,||||a c =,

则||b c ?的值一定等于 ( A )

A ．以,a b 为邻边的平行四边形的面积 B. 以,b c 为两边的三角形面积

C ．,a b 为两边的三角形面积 D. 以,b c 为邻边的平行四边形的面积

10.已知p 是r 的充分条件而非必要条件,q 是r 的充分条件,s 是r 的必要条件,q 是s 的必要条件.现有下列命题： ①s 是q 的充要条件； ②p 是q 的充分非必要条件；

③r 是q 的必要非充分条件； ④p s ??是的必要非充分条件； ⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件

则正确命题序号是 （ B ）

A.①④⑤

B.①②④

C.②③⑤

D. ②④⑤

11.某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于．．6 ．

时再增选一名代表. 那么各班可推选代表人数y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数

y ＝[x]（[x]表示不大于x 的最大整数）可以表示为 （ B ）

A.y ＝[10x ]

B.y ＝[310x +]

C.y ＝[410x +]

D.y ＝[5

10

x +]

12. 如图,在长方形ABCD 中，

,BC=1，E 为线段DC 上一动点，现将?AED 沿AE 折起,使点D

在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成轨迹的长度为 ( D )

A

C ．2π

D ． 3

π

B

A

二.填空题(每题4分,共16分)

13.设函数()y f x =存在反函数1()y f x -=,且函数()y x f x =-的图象过点(1,2),则函数1()y f x x -=-的图象一定过点 . (-1,2)

14.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足2()32(2)f x x xf '=+，则(5)f '=_6_______

15．将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 对折成120的二面角，则B 、D

在四面体A-BCD 的

外接球球面上的距离为

16．已知定义域为0+∞（，）的函数f(x)满足：①对任意x 0∈+∞（，），恒有f(2x)=2f(x)成立；当

x ]∈（1，2时，f(x)=2-x 。给出如下结论：

①对任意m Z ∈，有m f(2)=0；②函数f(x)的值域为[0+∞，）；③存在n Z ∈，使得n f(2+1)=9；④“函

数f(x)在区间(,)a b 上单调递减”的充要条件是 “存在Z k ∈，使得1(,)(2,2)k k a b +?”

。其中所有正确结论的序号是 ①②④

成都石室中学高2017届一诊模拟数学答案(理科)

BCADB AAAAB BD 13.(-1,2) 14.6 15.

16. ①②④

三.解答题(本题共有6小题,共74分,写出必要的解答或证明过程)

17. 在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列. （Ⅰ）求B 的值；（Ⅱ）求22sin cos()A A C +-的范围. 解;（Ⅰ）2cos cos cos b B a C c A =+，

∴2sin cos sin cos sin cos sin()sin B B A C C A A C B =+=+=，∴1cos 2B =

，∴.3

B π

= （Ⅱ）

222

222sin cos()2sin cos()2sin cos(2)33

A A C A A A A A ππ+-=+-+=+-

11cos2cos222A A A =--

+113(sin 22)1)23

A A A π==-

20,2333A A ππππ<<-<-<

，∴sin 213A π?

?- ??

?≤

，∴212sin cos(),1.2A A C ?+-∈- ?

18．某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是1/3，每次测试通过与否互相独立．规定：若前4次都没有通过测试，则第5次不能参加测试．(1)求该学生考上大学的概率．(2)如果考上大学或参加完5次测试就结束,记该生参加测试的次数为ξ,求ξ的分布列及ξ的数学期望．

解：(1)记“该生考上大学”为事件A ，其对立事件为A ，则P(A )＝C 14(1

3)(23)3

(23)＋(23

)4

＝64243＋1681＝112

243.∴P(A)＝1－P(A )＝1－

112243＝131

243

. (2)该生参加测试次数ξ的可能取值为2,3,4,5. P(ξ=2)=(13

)2=19

，

P(ξ=3)=C 12·1

3·23·13=427

， P(ξ=4)=C 13·13·(23)2·13＋(23)4

=

427＋1681＝28

81

， P(ξ=5)=C 14·(13)·(2

3)3

=

32

81

. 故ξ的分布列为：

E ξ＝2×1

9＋3×4

27＋4×28

81＋5×3281＝326

81.

19. (满分12分)如图，五面体ABCDE 中，正?ABC 的边长为1，AE ⊥平面ABC ，CD ∥AE ，且CD=12

AE ．

(I)设CE 与平面ABE 所成的角为α，AE=(0),k k >若[,],64

ππ

α∈求k 的取值范围；

(Ⅱ)在(I)和条件下，当k 取得最大值时，求平面BDE 与平面ABC 所成角的

大小．

解：（Ⅰ）如图以C 为坐标原点，CA 、CD 为y 、z 轴，垂直于CA 、CD 的直线CT 为x 轴，建立空间 直角坐标系（如图），则设(0,1,0)A ，(0,0,)2k D ，(0,1,)E k ，1

,0)2

B . 取AB 的中点M ，则3,0)4M ， 易知,ABE 的一个法向量为33

(,0)4

CM =,由题意 3sin ||||

CE CM

CE CM α?=

=

=

?.由[,]64

αππ∈，则

1

2sin α≤=≤

k ≤…………………6分

(Ⅱ)由（Ⅰ）知k k =BDE 法向量为x,y,z ）n =(，则

0,30.2DE y y BE x ??==???

?

?=+=??

n n 取n =， 又平面ABC 法向量为m =(0,0,1），…………10分 所以cos(,)n m =

BDE 与平面ABC 所成角大小……12分

20. (满分12分)设数列{}n a 满足12323 (2)

(*).n

n a a a na n N ++++=∈

（I ）求数列{}n a 的通项； （II ）设2,n n b n a =求数列{}n b 的前n 项和n S .

解：（I ）12323...2,n n a a a na ++++=①∴当2n ≥时，1123123...(1)2,n n a a a n a --++++-=②

将①－②得1

1

1

222

2,(2).n n n n n n na a n n ---=-=∴=≥在①中，令1,n =得1 2.a =1

2(1)

.2(2)

n n n a n n

-=?

?∴=?≥?

?

（II ）由2

n n b n a =得12(1)

,2(2)n n n b n n -=??=?

≥??

则当1n

=时，12,S =

∴当2n ≥时,12122232...2,n n S n -=+?+?++ 则231242232...(1)22,n n n S n n -=+?+?++-+

2312(222...2)(1)22(2).n n n n S n n n -∴=-++++=-+≥ 又12,S =(1)22(*).n n S n n N ∴=-+∈

21. (满分12分) 已知函数ln ()1x

f x x

=

-． （1）试判断函数()f x 的单调性； （2）设0m >，求()f x 在[,2]m m 上的最大值；

（3）试证明：对任意*n ∈N ，不等式11ln()e n n

n n ++<

都成立（其中e 是自然对数的底数）． 解：（1）函数()f x 的定义域是(0,)+∞．由已知2

1ln ()x

f x x

-'=

．令()0f x '=，得x e =． 因为当0x e <<时，()0f x '>；当x e >时，()0f x '<．

所以函数()f x 在(0,]e 上单调递增，在[,)e +∞上单调递减． （2）由（1）可知当2m e ≤，即2e m ≤

时，()f x 在[,2]m m 上单调递增，所以max ln 2()(2)12m

f x f m m

==-． 当m e ≥时，()f x 在[,2]m m 上单调递减，所以max ln ()1m

f x m

=

-．当2m e m <<，即2e m e <<时，

m a x 1

()()1

f x f e e

==

-．综上所述，max ln 21,0221

()1,2ln 1,m

e m m e

f x m e

e m

m e m

?-<≤??

?=-<

x x e

≤，

当且仅当x e =时等号成立．因此对任意(0,)x ∈+∞恒有1ln x e ≤．因为10n n +>，1n

e n

+≠，所以111ln

n n n e n ++

n n

++<

．

22．(满分14分)已知数列{}n a 中，11a =，21

4

a =

，且1(1)n n n n a a n a +-=-（2,3,4,

n =）．

（1）求3a 、4a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式 （3）求证：对一切*N n ∈且2n ≥，有222231

6

n a a a +++<

． 解：（1）317a =

，41

10

a =． （2）当2n ≥时，

1(1)111(1)(1)(1)1n n n n n n n a n a n a n a n a n a +---===----，累乘得12

11

1(1)n n a a +-=-．

整理得当2n ≥时，1131n a n +=+，即132n a n =-．又1n =时也成立，故1

32

n a n =-，*N n ∈． （3）当2k ≥时，有2211111

()(34)(31)33431

(32)k a k k k k k =

<=------，从而

2

212

111711()32316n

n

k k k k a a n ===+<+-<-∑∑．显然2

1

76a <， 故对一切*N n ∈，有21

7

6

n

k k a =<∑．

22．（满分14分）已知函数mx x x f ++=21ln )(．

（Ⅰ）若)(x f 为定义域上的单调函数，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）当1-=m 时,求函数)(x f 的最大值；

（Ⅲ）当1=m ,且10≤<≤a b 时，证明:

2)()(34<--++=++=x mx x mx x x f ,∴m x

x f ++=211

)('

若f （x ）在),21(+∞-上是增函数,则0211)('≥++=m x

x f ,即x m 211

+-

≥在),21(+∞-恒成立, 而0211<+-x ,故m ≥0若f （x ）在),21(+∞-上是减函数,则0211)('≤++=m x x f ,即x

m 211+-

≤在),21(+∞-恒成立,而0211<+-x ,故这样的m 不存在．经检验,当m ≥0时,0211

)('>++=m x x f 对2

1->x 恒成立,∴当m ≥0时，f （x ）在定义域上是单调增函数．---------------------1分 （Ⅱ）当m =－1时,x x x f -+=21ln )(,则x

x

x x f 2121211)('+-=-+=----------1分 当)0,2

1

(-∈x 时,0)('>x f ,此时f （x ）为增函数,

当),0(+∞∈x 时,0)('

∴)(x f 在x = 0时取得最大值,最大值为.0)(max =x f ----------------------1分 （Ⅲ）当m = 1时,令x x x x f x g 3

1

)21ln(2134)()(-+=-

=,)21(3)1(231211)('x x x x g +-=-+=--1分 在[0,1]上总有0)('≥x g ,即)(x g 在[0,1]上递增------------------------------1分 ∴当10≤<≤a b 时,)()(b g a g >,即3

4

)()(34)(34)(>--?->-

b a b f a f b b f a a f ----1分 令x x x x f x h -+=-=)21ln(2

1

2)()(,由（Ⅱ）知它在[0,1]上递减,所以当10≤<≤a b 时,)()(b h a h <,即

2)

()(2)(2)(<--?

-<-b

a b f a f b b f a a f

综上所述,当m = 1,且10≤<≤a b 时,2)

()(34<--<

b a b f a f ---------------1分