2018-2019学年普通高考(泄露天机)押题卷 文科数学(一)

绝密 ★ 启用前

2018-2019学年普通高等学校招生全国统一考试

文 科 数 学（一）最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自成，金榜定题名。

注意事项：

1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．复数132i z =+，121i z z +=+，则复数12z z ?=（ ） A ．47i -- B ．2i --

C ．1+i

D ．14+5i

【答案】A

【解析】根据题意可得，21i 32i 2i z =+--=--，所以()()1232i 2i 47i z z ?=+?--=--． 2．集合{}|A x x a =<，{}3log 1B x x =<，若{}3A B x x =<，则a 的取值范围是（ ）

A ．[]0,3

B ．(]0,3

C ．(],3-∞

D ．(),3-∞

【答案】B

【解析】根据题意可得{}

{}3log 103x B x x x <=<<=，因为{}3A B x x =<，所以

03a <≤．

3．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”（如下图），四个全等的直角三角形（朱实），可以围成一个大的正方形，中空部分为一个小正方形（黄实）．若直角三角形中一条较长的直角边为8，直角三角形的面积为24，若在上面扔一颗玻璃小球，则小球落在“黄实”区域的概率为（ ）

此

卷

只

装订不密封

班级 姓名 准考证号 考场号 座位号

A ．14

B ．13

C ．

125

D ．

2573

【答案】C

【解析】根据题意可得，另外一条直角边长为6，所以“黄实”区域的面积为()2

86=4-，大正方形的面积是228+6=100，所以小球落在“黄实”区域的概率是

4110025

=． 4．若双曲线C ：()22

2210,0x y a b a b

-=>>的焦点到渐近线的距离等于其实轴长，则双曲线C

的离心率为（ ）

A B C D ．

【答案】C

【解析】由题意可知：2b a =，2

24b

a =，2224c a a -=，e =

5．将函数215log cos π262x y ????- ?

????

?=对应的曲线沿着x 轴水平方向向左平移

2

π3

个单位，得到曲线为（ ）

A ．1πcos 26y x ??

???=- B ．1πsin 26y x ??

???=- C ．1

sin 2

y x =-

D ．1sin 2

y x =

【答案】D 【解析】因为215log cos π261

52cos π2

6x y x ??

??- ?

?????

?? ???==-，所以沿着x 轴水平方向向左平移2π3个单

位，

得到曲线为1251151

π1cos ππcos ππcos sin 236236222y x x x x ????????=+-=+-=-= ? ? ? ?????????．

6．如图的程序框图，则输出y 的最大值是（ ） A ．3

B ．0

C ．15

D ．8

【答案】C

【解析】当3x =-时，3y =；当2x =-时，0y =；当1x =-时，1y =-；当0x =时，0y =；当1x =时，3y =；当2x =时，8y =；当3x =时，15y =，所以y 的最大值为15． 7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

正视图

侧视图

A ．2π+

B ．1+π

C ．2+2π

D ．12π+

【答案】A

【解析】根据三视图可得该几何体为一个长方体和半个圆柱组合所成，

21

112π122π2

V =??+

???=+．

8．已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是（ ）

A ．2

x x y =

B ．22x y =-

C ．e

x

y x =- D ．|

2|2x y x =﹣

【答案】D

【解析】对于A ，函数()2

x x x

f =，当0x >时，0y >，0x <时，0y <，不满足题意；对于B ，当0x ≥时，()f x 递增，不满足题意；对于C ，当0x ≥时，()0f x >，不满足题意．故

选D ．

9．在平面直角坐标系中，已知直线l

的方程为：20x y -=，圆C 的方程为

()222423100x y ax y a a +--++=>，动点P 在圆C 上运动，且动点P 到直线l 的最大距离为

2，则圆C 的面积为（ ） A ．π

或(201π- B ．π C

．(201π+

D ．π

或(201π+

【答案】B

【解析】因为()()2

2

2

2

2

2

4231210x y ax y a x a y a +--++=-+--=，

所以()()22

2

21x a y a -+-=，圆C 的圆心为(2,1)a ，半径为a ．因为点P 在圆C 上的动点，

所以P 到直线l

的最大距离为2a +

=，

当22a ≥

时，解得11a =-

11-

当0a <<

1a =，符合题意，所以1a =，2S a =π=π圆．

10．已知函数()y f x =为定义域R 上的奇函数，且在R 上是单调函数，函数()()5g x f x =-；数列{}n a 为等差数列，且公差不为0，若()()190g a g a +=，则129a a a +++=L （ ） A ．45 B ．15

C ．10

D ．0

【答案】A

【解析】由函数()y f x =为定义域R 上的奇函数，且在R 上是单调函数， 可知()()5g x f x =-关于()5,0对称，且在R 上是单调函数， 由()()190g a g a +=，所以1910a a +=，即55a =， 根据等差数列的性质，1295945a a a a +++==L ．

11．若x 错误！未找到引用源。()()

22e x f x x ax =-的极值点，则函数()y f x =的最小值为（ ）

A ．(2e +

B ．0

C ．(2-

D ．e -

【答案】C 【

解

析

】

()()22e x

f x x ax =-，∴

()()()()2222e 2e 212e x x x

f x x a x ax x a x a '??=-+=+--??-，

由已知得，0f '

=，∴220a +-=，解得1a =．

∴()(

)

22e x f x x x =-，∴()(

)

22e x f x x '-=，所以函数的极值点为，

当(x ∈错误！未找到引用源。时，()0f x '<，所以函数()y f x =是减函数，

当(,x ∈-∞或)

x ∈

+∞时，()0f x '＞，函数()y f x =是增函数．

又当()(),02,+x ∈-∞∞U 时，220x x ->，()0f x >，

当()0,2x ∈时，220x x -<，()0f x <，∴()min f x 在()0,2x ∈上，

又当(x ∈时，函数()y f x =递减，当)

x ∈时，函数()y f x =递增，

∴()(min 2f x f

==-

12．已知0b a >>，函数()2log 21log 2x

f x x ??=- ?

??

在[],a b 上的值域为132??

-????

，，则a b =（ ）

A ．14

B ．12

C ．2

D

【答案】D

【解析】()2log 2211log log 2x

f x x x x ??

=-=

- ?

??

()a x b ≤≤，又()2110ln2

f x x x '=--<，所以()y f x =在[],a b 上递减，∴()()312f a f b ?=??=-??，即221

3l o g 11log 2

a a

b b ?-=????+=??①，由1y t x =+与2log y x =的图象只有唯一交点可知方程21log t x x +=只有唯一解，经检验122

a b ?

=

???=?是方程组①的唯一

解，所以a

b =

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知变量x 、y 满足203500x y x y x -≤??

-+≥??≥?

，则2z x y =--的最小值为_______．

【答案】4-

【解析】根据约束条件画出可行域，直线2z x y =--过点()1,2A 时，z 取得最小值是4-．

14．在直角ABC △中，=2

BAC π

∠，H 是边AB 上的动点，=8AB ，=10BC ，则HB HC ?的最小值为___________．

【答案】16-

【解析】以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，建立平面直角坐标系，则()0,0A ，

()8,0B ，()0,6C ，设点(),0H x ，则[]0,8x ∈，

∴()()()28,0,688x x x x x B H x H C =--=--=?-， ∴当4x =时，HB HC ?的最小值为16-． 15．已知ππ,43α??∈

????，,2βπ??∈π????

，满足()sin sin 2sin cos αβααβ+-=，则s i n2s i n ()αβα-的最大值为________．

【解析】因为()sin sin 2sin cos αβααβ+-=， 所以sin cos cos sin sin 2sin cos αβαβααβ+-=， 所以cos sin sin cos sin αβαβα-=，即()sin sin βαα-=， 因为ππ,43α??∈????，,2βπ

??∈π????

，所以2βα=， 则

sin 2sin 22sin cos 2cos sin()sin sin αααα

αβααα

===-，

因为ππ,43α??∈

????

，所以2cos α?∈?，所以sin 2sin()αβα-

16．如图，在平行四边形ABCD 中，AB BD ⊥，=AB CD =BD =，沿BD 把ABD

△翻折起来，且平面ABD ⊥平面BCD ，此时A ，B ，C ，D 在同一球面上，则此球的体积为___________．

【答案】

6

π 【解析】因为AB BD ⊥，且平面ABD ⊥平面BCD ，所以AB ⊥平面BCD ，如图，三棱锥

A BCD -可放在长方体中，2R =，3

4=3V π=??

球．

三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知()cos sin b a C C =-；

（1）求角A ；

（2）若a ，s n in i B C ，求ABC △的面积． 【答案】（1）3π

4

A =

；（2）1． 【解析】（1）∵()cos sin b a C C =-，

∴由正弦定理可得：sin sin cos sin sin B A C A C =-，·······1分

可得：()sin sin cos cos sin sin cos sin sin A C A C A C A C A C +=+=-，·······2分

∴cos sin sin sin A C A C =-，·······3分

由sin 0C ≠，可得：sin cos 0A A +=，·······4分 ∴tan 1A =-，·······5分 由A 为三角形内角，可得3π

4

A =

．·······6分

（2）因为s n in i B C =，所以由正弦定理可得b =，·······7分

因为222

2cos a b c bc A =+-，3π

4

A =

，可得：c =9分 所以2b =，·······10分

所以1

sin 12

ABC S bc A ==△．·······12分 18．（12分）如图所示，已知CE ⊥底面ABC ，2

ABC π

∠=

，2AB BC CE ==， 112AA BB CE ∥∥＝＝

，D 为BC 的中点．

（1）求证：1DE AC ⊥；

（2）若1CE =，求三棱锥1E A DC -的体积．

【答案】（1）见解析；（2）1

3

． 【解析】（1）连接

1B C ，交DE 于F ， 因为CE ⊥面ABC ，11AA BB CE ∥∥，

所以1BB BC ⊥，CE BC ⊥，所以1B BC △和ECD △为直角三角形， 又1=BB BC ，1

=

=2

CE BC DC ， 所以1

=45BCB EDC ∠∠=?， 所以90CFD ∠=?，即1DE B C ⊥，·······3分 又已知CE ⊥底面ABC ，2

ABC π

∠=

， 所以CE AB ⊥，AB BC ⊥，所以AB ⊥面1B BCE ，

DE ?面1B BCE ，所以AB DE ⊥，又11A B AB ∥，所以11A B DE ⊥，·······5分

1111A B B C B =，所以DE ⊥面11A B C ，又1AC ?面11A B C

，所以

1DE AC ⊥．·······6分

（2）根据题意可得，22AB BC CE ===，所以11E A CD A ECD V V --=，·······7分 由1AA CE ∥，得1AA CDE ∥平面， 所以111

111

=1123323

E A CD A ECD ECD V V S AB --=??=

????=△．·······12分 19．（12分）支付宝和微信支付是目前市场占有率较高的支付方式，某第三方调研机构对使用这两种支付方式的人数作了对比．从全国随机抽取了100个地区作为研究样本，计算了各个地区样本的使用人数，其频率分布直方图如下，

（1）记A 表示事件“微信支付人数低于50千人”，估计A 的概率；

（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为支付人数与支付方式有关；

（3）根据支付人数的频率分布直方图，对两种支付方式的优劣进行比较． 附：

()

()()()()

2

2n ad bc K a b c d a c b d -=++++．

【答案】（1）0.62；（2）有；（3）支付宝更优．

【解析】（1）根据题意，由微信支付人数的频率分布直方图可得：

()()001200140024003400405062P A =++++?=......．·······3分

（2）根据题意，补全列联表可得：

·······5分

则有()2

22006266383415705663510010096104

K ??-?=≈>???..，·······7分

故有99%的把握认为支付人数与支付方式有关．·······8分 （3）由频率分布直方图可得，微信支付100个地区支付人数的平均数为：

1(27.50.01232.50.01437.50.02442.50.034x =?+?+?+?47.50.04052.50.032

+?+?57.50.02062.50.01267.50.012559.42471+?+?+??=?=）.；·······10分

支付宝支付100个地区支付人数的平均数为：

2(37.50.00442.50.02047.50.04452.50.068x =?+?+?+?

57.50.04662.50.01067.50.0085510.4752.35+?+?+??=?=）；

比较可得：21x x <，故支付宝支付更加优于微信支付．·······12分

20．（12分）已知椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点

M 在椭圆上，有124MF MF +=，椭圆的离心率为

1

2

e =； （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）已知()4,0N ，过点N 作直线l 与椭圆交于A ，B 不同两点，线段AB 的中垂线为l '，记l '的纵截距为m ，求m 的取值范围．

【答案】（1）22

143

x y +=；

（2）1122m -<<．

【解析】（1）因为124MF MF +=，所以24a =，所以2a =，·······1分

因为1

2

e =，所以1c =，·······2分

所以2

2

2

413b a c =-=-=，·······3分

所以椭圆C 的标准方程为22

143

x y +=．·······4分

（2）由题意可知直线l 的斜率存在，设l :()4y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，

联立直线与椭圆

()

22

143

4x y y k x ?==-+

????，消去

y

得

()2

222433264120k

x k x k +-+-=，·······5分

2122

3243

k x x k +=+，2122

6412

43k x x k -=+，·······6分 又(

)

()()2

22

2

3244364120k

k k ?=--+->，解得：11

22

k -<<，······7分 设A ，B 的中点为()00,P x y ，则2

1202

16243

x x k x k +==+， ()00212443

k

y k x k =-=-

+，·······8分

所以l '：()001y y x x k -=--，即222121164343k k y x k k k ??

+=-- ?++??

，

化简得：21443

k y x k k =-

++，·······9分 令0x =，得2443k m k =

+，11,22k ??

∈- ???

，·······10分

()

22

21612

43k m k -+'=

+，当11,22k ??

∈- ???

时，0m '>恒成立，

所以2

443k m k =

+在11,22k ??

∈- ???

上为增函数，

所以11

22

m -

<<．·······12分 21．（12分）已知函数()=ln e x f x a x -； （1）讨论

()f x 的极值点的个数；

（2）若2a =，求证：()0f x <． 【答案】（1）见解析；（2）见解析．

【解析】（1）根据题意可得，()()e =e 0x x

a a x f x x x x

-'-=>，·······1分

当0a ≤时，()0f x '<，函数()y f x =

是减函数，无极值点；·······2分

当0a >时，令()0f x =，得e

0x

a x -=，即e x x a =，

又e x y x =在()0,+∞上是增函数，且当x →+∞时，e x

x →+∞，

所以e

x

x a =在()0,+∞上存在一解，不妨设为0x ，

所以函数()y f x =在()00,x 上是单调递增的，在()0,x +∞上是单调递减的． 所以函数()y f x =

有一个极大值点，无极小值点；

总之：当0a ≤时，无极值点； 当0a >时，函数()y f x =

有一个极大值点，无极小值点．·······5分

（2）()=2ln e x

f x x -，()()2e =0x

x f x x x

-'>，

由（1）可知()f x 有极大值()0f x ，且0x 满足00e 2x x =①， 又e x

y x =在()0,+∞上是增函数，且02e <<，所以()00,1x ∈

，·······7分

又知：()()000max 2ln e x f x f x x ==-，②·······8分 由①可得002e x x =

，代入②得()()00max 0

2

2ln f x f x x x ==-，·······9分 令()22ln g x x x =-

，则()()22

21220x g x x x x +'=+=>恒成立，

所以()g x 在()0,1上是增函数，

所以()()0120g x g <=-<，即()00g x <，·······11分 所以()0f x <．·······12分

请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 【选修4-4：坐标系与参数方程】

22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y θ

θ=??=?

（θ为参数），以

坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为：

cos sin 10ρθρθ++=．

（1）将曲线C 的参数方程与直线l 的极坐标方程化为普通方程； （2）P 是曲线C 上一动点，求P 到直线l 的距离的最大值．

【答案】（1）2

214x y +=，10x y ++=；（2

【解析】（1）将曲线C 的参数方程2cos sin x y θ

θ=??=?

（θ为参数）化为普通方程为

2

214

x y +=，····3分 直线l 的极坐标方程为：cos sin 10ρθρθ++=，化为普通方程为

10x y ++=．·······5分

（2）设P 到直线l 的距离为d

，

d

=

2

≤

=

，·······7分 ∴P 到直线l

的距离的最大值为2

．·······10分 【选修4-5：不等式选讲】

23．（10分）设()121f x x x =+--， （1）求不等式()2f x x ≤+的解集；

（2）若不等式满足()()11f x x a a ≤-++对任意实数0x ≠恒成立，求实数a 的取值范围．

【答案】（1）R ；（2）33,,22????-∞-+∞ ???????

U ．

【解析】（1）根据题意可得，

当1x <-时，1212x x x --+-≤+，解得22-≤，所以1x <-；·······1分

当112x -≤≤

时，1212x x x ++-≤+，解得1x ≤，所以1

12x -≤≤；·······2分 当12x >时，1212x x x +-+≤+，解得0x ≥，所以1

2

x ＞；·······3分

综上，不等式()2f x x ≤+的解集为R ．·······5分 （2）不等式()()11f x x a a ≤-++等价于121

11x x a a x

+--≤-++， (6)

分 因为

121

1111

12123x x x

x x x x

+--=+

--≤++-=，·······8分 当且仅当11120x x ???

?+-≤ ???????时取等号，因为12111x x a a x +--≤-++，

所以113a a -++≥，解得32a ≤-或3

2

a ≥，

故实数a 的取值范围为33,,22????

-∞-+∞ ???????

U ．·······10分