圆周角综合练习题
圆周角
1．如图，已知：点A、B、C、D在⊙O上，AB=CD，下列结论：①∠AOC=∠BOD；
②∠BOD=2∠BAD；③AC=BD；④∠CAB=∠BDC；⑤∠CAO+∠CDO=180°．其中
正确的个数为（）
A．2B．3C．4D．5
2．如图，AB，BC是⊙O的弦，∠B=60°，点O在∠B内，点D为上的动点，点M，N，P分别是AD，DC，CB的中点．若⊙O的半径为2，则PN+MN的长度的最大值是（）
A．B．C．D．
3．如图，⊙O中，弦CD与直径AB交于点H．
（1）当∠B+∠D=90°时，求证：H是CD的中点；
（2）若H为CD的中点，且CD=2，BD=，求AB的长．
4．如图，已知AD是⊙O的直径，BC切⊙O于点E，交AD延长线于点B，过点A作AC⊥BC交⊙O于点G，交DE于点F．
（1）求证：AD=AF；
（2）若DE=2CF，试说明四边形OEFG为菱形．
5．如图，在以AB为直径的半圆中，将弧BC沿弦BC折叠交AB于点D，若AD=5，DB=7．
（1）求BC的长；
（2）求圆心到BC的距离．
6．如图，点A、B、C是圆O上的三点，AB∥OC
（1）求证：AC平分∠OAB；
（2）过点O作OE⊥AB于E，交AC于点P，若AB=2，∠AOE=30°，求圆O的半径OC及PE的长．
7．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦（不过圆心），AB⊥CD．
（1）E是优弧CAD上一点（不与C、D重合），求证：∠CED=∠COB；
（2）点E′在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CE′D与∠COB有什么数量关系？
请证明你的结论．
8．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，⊙O经过点A和点B，与斜边BC 交于点P（不与B、C重合），PE是⊙O的直径，连接AE，BE．
（1）求证：AP=AE；
（2）若PE=4，求PC2+PB2的值．
9．如图（1），BC是⊙O的直径，点A、D在⊙O上，DB∥OA，BC=10，
AC=6．
（1）求证：BA平分∠DBC；
（2）求DB的长；
（3）如图（2），E是半圆CB的中点，连接AE，求AE的长．
10．在⊙O中，AB是⊙O直径，AC是弦，∠BAC=50°．
（Ⅰ）如图（1），D是AB上一点，AD=AC，延长CD交⊙O于点E，求∠CEO的大小；
（Ⅱ）如图（2），D是AC延长线上一点，AD=AB，连接BD交⊙O于点E，求∠CEO的大小．
11．已知AB是半圆O的直径，M，N是半圆不与A，B重合的两点，且点N在弧BM上．
（1）如图1，MA=6，MB=8，∠NOB=60°，求NB的长；
（2）如图2，过点M作MC⊥AB于点C，点P是MN的中点，连接MB、NA、PC，试探究∠MCP、∠NAB、∠MBA之间的数量关系，并证明．
12．如图，D为Rt△ABC斜边AB上一点，以CD为直径的圆分别交△ABC三边于
E、F、G三点，连接FE，FG．
（1）求证：∠EFG=∠B；
（2）若AC=2BC=4，D为AE的中点，求FG的长．
13．如图1，在△ABC中，以AB为直径作⊙O分别交AC，BC于点D，E，且=．（1）求证：AB=AC．
（2）若∠C=70°，求的度数．
（3）如图2，点F在⊙O上，=，连结DF，DE．求证：∠ADF=∠CDE．
14．如图1，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点E，过点D作DF⊥AB于点F．（1）求证：BC=2DF；
（2）如图2，连接AE，过点C作AE的垂线交⊙O于点M，垂足为G，过点B 作CM的垂线，垂足为H，若∠EAB+∠ODF=45°，AB=10，求弦CM的长．
15．如图，A、B是⊙O上的两个点，已知P为平面内一点，（P、A、B三点不在同一条直线上）．
（1）若点P在⊙O上，⊙O的半径为1．
①当∠APB=45°时，AB的长度为，
②当AB=1时，∠APB=°；
（2）若点P不在⊙O上，直线PA、PB交⊙O于点C、D（点C与点A、点D与点B均不重合），连接AD，设∠CAD=α，∠ADB=β，试用α、β表示∠APB（请直接写出答案，并画出示意图）．
16．如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC=∠CPB=60°．
（1）判断△ABC的形状并证明你的结论；
（2）当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由．
（3）求证：PA+PB=PC．
2018年10月19日546****0401的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共2小题）
1．（2017秋?淅川县期末）如图，已知：点A、B、C、D在⊙O上，AB=CD，下列结论：①∠AOC=∠BOD；②∠BOD=2∠BAD；③AC=BD；④∠CAB=∠BDC；
⑤∠CAO+∠CDO=180°．其中正确的个数为（）
A．2B．3C．4D．5
【考点】M4：圆心角、弧、弦的关系；M5：圆周角定理．
【分析】根据圆内接四边形的性质、圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系逐个判断即可．
【解答】解：∵AB=CD，
∴=，
∴=，
∴∠AOC=∠BOD，故①正确；
∵圆周角∠BAD和圆心角∠BOD都对着，
∴∠BOD=2∠BAD，故②正确；
∵=，
∴AC=BD，故③正确；
∵圆周角∠CAB和∠BDC都对着，
∴∠CAB=∠BDC，故④正确；
延长DO交⊙O于M，连接AM，
∵D、C、A、M四点共圆，
∴∠CDO+∠CAM=180°，
∵∠CAM＞∠CAO，
∴∠CAO+∠CDO＜180°，故⑤错误；
即正确的个数是4个，
故选：C．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
2．（2018?瓯海区一模）如图，AB，BC是⊙O的弦，∠B=60°，点O在∠B内，点D为上的动点，点M，N，P分别是AD，DC，CB的中点．若⊙O的半径为2，则PN+MN的长度的最大值是（）
A．B．C．D．
【考点】KX：三角形中位线定理；M5：圆周角定理．
【分析】连接OC、OA、BD，作OH⊥AC于H．首先求出AC的长，利用三角形的中位线定理即可解决问题；
【解答】解：连接OC、OA、BD，作OH⊥AC于H．
∵∠AOC=2∠ABC=120°，
∵OA=OC，OH⊥AC，
∴∠COH=∠AOH=60°，CH=AH，
∴CH=AH=OC?sin60°=，
∴AC=2，
∵CN=DN，DM=AM，
∴MN=AC=，
∵CP=PB，AN=DN，
∴PN=BD，
当BD是直径时，PN的值最大，最大值为2，
∴PM+MN的最大值为2+．
故选：D．
【点评】本题考查圆周角定理、三角形的中位线的定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
二．解答题（共14小题）
3．（2017秋?白云区期末）如图，⊙O中，弦CD与直径AB交于点H．
（1）当∠B+∠D=90°时，求证：H是CD的中点；
（2）若H为CD的中点，且CD=2，BD=，求AB的长．
【考点】M2：垂径定理；M5：圆周角定理．
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BHD=90°，根据垂径定理得出即可；（2）根据垂径定理求出DH，根据勾股定理求出BH，根据勾股定理得出关于R 的方程，求出R即可．
【解答】（1）证明：∵∠B+∠D=90°，
∴∠BHD=180°﹣90°=90°，
即AB⊥CD，
∵AB过O，
∴CH=DH，
即H是CD的中点；
（2）解：
连接OD，
∵H为CD的中点，CD=2，AB过O，
∴DH=CH=CD=，AB⊥CD，
∴∠BHD=90°，
由勾股定理得：BH===1，
设⊙O的半径为R，则AB=2R，OB=OD=R，
在Rt△OHD中，由勾股定理得：OH2+DH2=OD2，
即（R﹣1）2+（）2=R2，
解得：R=，
∴AB=2×=3．
【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理和勾股定理，能灵活运用垂径定理进行推理是解此题的关键．
4．（2018?商南县一模）如图，已知AD是⊙O的直径，BC切⊙O于点E，交AD 延长线于点B，过点A作AC⊥BC交⊙O于点G，交DE于点F．
（1）求证：AD=AF；
（2）若DE=2CF，试说明四边形OEFG为菱形．
【考点】KQ：勾股定理；L9：菱形的判定；M5：圆周角定理．
【分析】（1）连接OE，根据切线的性质和平行线的判定和性质证明即可；（2）连接OG，利用等边三角形的性质和菱形的判定解答即可．
【解答】证明：（1）如图，连接OE，
∵BC是⊙O的切线，OE是半径，
∴OE⊥BC，
∴∠BEO=90°，
∵∠ACB=90°，
∴OE∥AC，
∴∠OED=∠F，
∵OD=OE，
∴∠OED=∠ODE，
∴∠ODE=∠F，
∴AD=AF；
（2）连接OG，
∵OE∥AF，OD=OA，
∴DE=EF，
∵DE=2CF，
∴EF=2CF，
∵∠ACB=90°，
∴∠F=60°，
∵AD=AF，
∴△ADF是等边三角形，
∵∠A=60°，
∵OA=OG，
∴∠OGA=60°，
∴∠OGA=∠F，
∴OG∥EF，
∵OE∥AF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵OE=OG，
∴平行四边形OEFG是菱形．
【点评】此题考查圆周角定理，关键是根据切线的性质和平行线的判定和性质解答．
5．（2018?岐山县一模）如图，在以AB为直径的半圆中，将弧BC沿弦BC折叠交AB于点D，若AD=5，DB=7．
（1）求BC的长；
（2）求圆心到BC的距离．
【考点】M5：圆周角定理；PB：翻折变换（折叠问题）．
【分析】（1）根据折叠的性质知：=；若连接CD、AC，则∠DBC+∠BCD=∠CAD，即∠CAD=∠CDA；过C作AB的垂线，设垂足为E，则DE=AD，由此可求出BE的长，进而可在Rt△ABC中，根据射影定理求出BC的长．（2）设圆心到BC的距离为h，利用勾股定理解答即可．
【解答】解：（1）连接CA、CD；
根据折叠的性质，得：=；
∴∠CAB=∠CBD+∠BCD；
∵∠CDA=∠CBD+∠BCD（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），∴∠CAD=∠CDA，即△CAD是等腰三角形；
过C作CE⊥AB于E，则AE=DE=2.5；
∴BE=BD+DE=9.5；
在Rt△ACB中，CE⊥AB，根据射影定理，得：
BC2=BE?AB=9.5×12=114；
故BC=．
（2）设圆心到BC的距离为h，圆的半径为r=6，
由（1）知，Rt△ECB中，BE=9.5，BC=，
∴，
∵，
∴h=，
故圆心到BC的距离为．
【点评】此题考查的是折叠的性质、圆周角定理、以及相似三角形的判定和性质；
能够根据圆周角定理来判断出△ACD是等腰三角形，是解答此题的关键．
6．（2018?思南县一模）如图，点A、B、C是圆O上的三点，AB∥OC
（1）求证：AC平分∠OAB；
（2）过点O作OE⊥AB于E，交AC于点P，若AB=2，∠AOE=30°，求圆O的半径OC及PE的长．
【考点】KQ：勾股定理；M2：垂径定理；M5：圆周角定理．
【分析】（1）用平行线及角平分线的性质证明AC平分∠OAB．
（2）利用勾股定理解直角三角形即可．
【解答】（1）证明：∵AB∥OC，
∴∠C=∠BAC．
∵OA=OC，
∴∠C=∠OAC．
∴∠BAC=∠OAC．
即AC平分∠OAB．
（2）∵OE⊥AB，
∴AE=BE=AB=1．
又∵∠AOE=30°，∠PEA=90°，
∴∠OAE=60°．OA=2，
∴∠EAP=∠OAE=30°，
∴PE=AE×tan30°=1×=，
即PE的长是．
【点评】本题考查圆周角问题，关键是利用的是平行线，角平分线的性质结合直角三角形的性质利用勾股定理解答，有一定的综合性．
7．（2017秋?包河区期末）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦（不过圆心），AB⊥CD．
（1）E是优弧CAD上一点（不与C、D重合），求证：∠CED=∠COB；
（2）点E′在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CE′D与∠COB有什么数量关系？
请证明你的结论．
【考点】M2：垂径定理；M5：圆周角定理．
【分析】（1）根据垂径定理知，=，推出∠COB=∠DOB=∠COD．又∠CED=∠COD，可得∠CED=∠COB；
（2）根据圆内接四边形的对角互补知，∠CP′D=180°﹣∠CPD，而∠CPD=∠COB，故∠CP′D+∠COB=180°．
【解答】（1）证明：如图所示，连接OD、OC．
∵AB是直径，AB⊥CD，
∴=，
∴∠COB=∠DOB=∠COD．
又∵∠CED=∠COD，
∴∠CED=∠COB；
（2）解：∠CE'D与∠COB的数量关系是∠CE'D+∠COB=180°．
理由：∵∠CED=∠COD，∠CE'D=（360°﹣∠COD）=180°﹣∠COD，
∴∠CED+∠CE'D=180°
由（1）知，∠CED=∠COB，
∴∠CE'D+∠COB=180°．
【点评】本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解答此题的关键．
8．（2018?晋城三模）如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，⊙O经过点A 和点B，与斜边BC交于点P（不与B、C重合），PE是⊙O的直径，连接AE，BE．
（1）求证：AP=AE；
（2）若PE=4，求PC2+PB2的值．
【考点】KW：等腰直角三角形；M5：圆周角定理．
【分析】（1）欲证明AP=AE，只要证明=，只要证明∠ABE=∠ABP=45°即可；（2）作PM⊥AC于M，PN⊥AB于N．可证△PBN，△PCM都是等腰直角三角形，推出PC2+PB2=2PN2+2PM2=2（AN2+PN2）=2PA2，由此即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵PE是直径，
∴∠EBP=90°，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=45°，
∴∠ABE=∠ABC=45°，
∴=，
∴AE=AP．
（2）解：作PM⊥AC于M，PN⊥AB于N．
∵∠MAN=∠AMP=∠ANP=90°，
∴四边形AMPN是矩形，
∴AN=PM，
∵∠PBN=∠PCM=45°，
∴△PBN，△PCM都是等腰直角三角形，
∴PC2+PB2=2PN2+2PM2=2（AN2+PN2）=2PA2，
∵PE是直径，PE=4，
∴∠EAP=90°，
∴2AP2=16，
∴PC2+PB2=16．
【点评】本题考查圆周角定理、直径的性质、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．
9．（2017秋?江都区校级月考）如图（1），BC是⊙O的直径，点A、D在⊙O上，
DB∥OA，BC=10，AC=6．
（1）求证：BA平分∠DBC；
（2）求DB的长；
（3）如图（2），E是半圆CB的中点，连接AE，求AE的长．
【考点】KQ：勾股定理；M2：垂径定理；M5：圆周角定理．
【分析】（1）利用平行线的性质得∠ABD=∠OAB，加上∠OAB=∠OBA，所以∠OBA=∠ABD；
（2）作AH⊥BC于H，OE⊥BD于E，如图1，则BE=DE，利用勾股定理计算出
AB=8，再利用面积法得到AH=，接着利用勾股定理计算出OH=，然后证明△AOH≌△OBE得到BE=OH=，
从而得到BD=2BE=；
（3）作CF⊥AE于F，连接CE、BE，如图2，证明△CBE为等腰直角三角形得到
CE=BC=5，利用△ACF为等腰直角三角形得到CF=AF=AC=3，然后利用勾股定理计算出EF，从而得到AE的长．
【解答】（1）证明：∵OA∥BD，
∴∠ABD=∠OAB，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∴∠OBA=∠ABD，
∴BA平分∠DBC；
（2）解：作AH⊥BC于H，OE⊥BD于E，如图1，则BE=DE，
∵BC为直径，
∴∠CAB=90°，
∴AB==8，
∵AH?BC=AC?AB，
∴AH==，
在Rt△OAH中，OH==，
∵OA∥BD，
∴∠AOH=∠EBO，
在△AOH和△OBE中
，
∴△AOH≌△OBE，
∴BE=OH=，
∴BD=2BE=；
（3）作CF⊥AE于F，连接CE、BE，如图2，
∵E是半圆CB的中点，
∴CE=BE，∠CAE=∠BAE=45°，
∴△CBE为等腰直角三角形，
∴CE=BC=5，
在Rt△ACF中，CF=AF=AC=3，
在Rt△EFC中，EF==4，
∴AE=AF+EF=3+4=7．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．
10．（2018?北辰区二模）在⊙O中，AB是⊙O直径，AC是弦，∠BAC=50°．（Ⅰ）如图（1），D是AB上一点，AD=AC，延长CD交⊙O于点E，求∠CEO的大小；