湖北省部分重点中学2015——2016学年度下学期期末联考 高二数学(理)

湖北省部分重点中学2015——2016学年度下学期期末联考

高二数学试卷（理科）

命题学校：武汉十一中 命题教师：廖建勋 审题教师：彭晓斌

考试时间：2016年6月29日上午7:30-9:30 试卷满分：150分

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．下列函数中x ＝0是极值点的函数是( )

A.||)(x x f = B ．f (x )＝－x 3 C ．f (x )＝sin x －x D.21)(x

x f = 2．函数f (x )＝3x －4x 3(x ∈[-1,0])的最小值是( )

A.2

1

-

B ．－1

C ．0

D ．1 3. 已知曲线1ln 22

2

+-=x x y 的一条切线的斜率为1，则切点的横坐标为 ( ) A ．-1 B ．2 C ．-1或2 D ．1

2

4．函数24)(x x x f -=有（ ）

A ．极小值41-

，极大值0 B ．极小值0，极大值41- C ．极小值41，极大值0 D ．极小值0，极大值4

1

5．曲线x y cos -= ?

???0≤x ≤3π

2与坐标轴所围图形的面积是 ( ) A ．2 B.5

2

C ．3

D ．π

6．已知直线y ＝kx 是曲线x e y =的切线，则k 的值为( )

A ．

2

1 B ．1

e C ．1 D ．e

7．函数1)(3+-=x ax x f 在x ∈(－∞，＋∞)内是减函数，则( )

A ．0≥a

B ．0≤a

C ．0

D ．1-≤a 8．已知函数f (x )＝cos x ＋e

-x

＋x 2016，令f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，

f n ＋1＝f n ′(x )，则f 2017(x )＝( )

A ．－sin x ＋e -x

B ．cos x －e -x

C ．－sin x －e -x

D ．－cos x ＋e -x

9.若dx x a

?=1

3

1，dx x b ?

=1

，dx x c ?=1

sin ，则c b a ,,的大小关系为 （ ）

A. b c a >>

B. a c b >>

C. b a c <<

D.a b c << 10.在平面内，一条抛物线把平面分成两部分，两条抛物线最多把平面分成七个部分，设n 条抛物线至多把平面分成)(n f 个部分，则=-+)()1(n f n f （ ） A. 32+n B. 12+n C. 23+n D. 14+n 11.设x x h 1)(=

，x x g ln )(=，0>>a b ，)()(a g b g M -=，))()()((2

1

b h a h a b N +-=，

则以下关系一定正确的是 （ ） A.N M

>2

B. N M <2

C. N M >

D. N M <

12.已知定义在),0(+∞上的函数)(x f y =满足x x f x f ]1)('[)(-=，且0)1(=f ．则函

数)(x f y =的最小值为（ ） A. e

1

-

B. 1-

C. e -

D. 0 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.有一质量非均匀分布的细棒，已知其线密度为2)(x x =ρ（取细棒所在的直线为x 轴，细棒的一端为原点），棒长为a ，则细棒的质量为_____________.

14．若函数x a x x f cos )(-=在R 上递增，则实数a 的取值范围为________． 15.已知函数x a a x a a x x f )12(ln )2(2

1)(2232

-+--+=，1=x 为其极值点，则实数a =_______.

16.已知:(1)3132212

32221321,,,a a a a a a a a a R a a a ++≥++∈则若

(2) )(3

2

,,,,4342324131212

42322214321a a a a a a a a a a a a a a a a R a a a a +++++≥

+++∈则若 即：三个数的平方和不小于这三个数中每两个数的乘积的和；四个数的平方和不小于这四个数中每两个数的乘积的和的三分之二．进一步推广关于n 个数的平方和的类似不等式为：

)

(,,,14232131212222121n n n n n a a a a a a a a a a a a M a a a R a a a -+++++≥+++∈ 则若

)3,(≥∈n N n ,则________=M

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本题满分10分）极坐标系中，已知曲线θρcos 2:1=C ，曲线)3

cos(2:2π

θρ-=C .

(1)求1C 与2C 交点的直角坐标．

(2) 若曲线)0,(3

2:3≠∈=ρρπ

θR C 分别与1C ,2C 相交于A,B,求||AB .

18. （本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为???

????+=+-=t y t x 222221 (t 为参数)，曲线C 的参数方程为?

?

?==θθ

2cos cos 4y x （θ为参数）

（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程

（2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值

19. （本题满分12分）已知函数)0)(1()1ln()1ln()(>++-++=a x a x x x f . (1)当1=a 时,求函数)(x f 的单调区间.

(2)若)(x f 在]0,1(-上的最大值为1,求实数a 的值.

20. （本题满分

12

分）用数学归纳法证明：当*N n ∈时,

++?-?+?-? 22225443322122)12(2)2()12(+?-?-n n n n )34)(1(++-=n n n

21. （本题满分12分）已知函数23)(3-+=ax x x g （1）当a 为何值时，x 轴为曲线)(x g y =的切线

（2）求a 的范围，使)(x g 有极值，并求极大值与极小值的和

（3）设2])('3

1[)(x e ax x g x f x --=，若函数f (x )在x ＝0处取得极小值，求a 的取值范围．

22.（本题满分12分）在讨论函数局部性质时，可以使用简单的一次函数来替代复杂的原函数，进而推导出正确的结论。在某值附近，用简单的一次函数，可以近似替代复杂的函数，距离某值越近，近似的效果越好。比如，当|x|很小时，可以用1+=x y 近似替代x e y = (1)求证：0

2

21x ，即：0

1|1|x x e x <--; (2)若0>x 时，用x 替代x sin 的误差小于3

ax ，求正数a 的最小值.

湖北省部分重点中学2015——2016学年度下学期期末联考

高二数学试卷（理科）参考答案

一、选择题：

ABBA CDBC DDDA 二、填空题：

13. 331

a 14. [－1,1] 15. 1-=a 16. 12

-n

三、解答题：

17. 解:(1)C 1,C 2分别化直角坐标方程为03,022222=-+-=+-y y x x y x x ,联立解得交点为)2

3

,

23()0,0(和. …………………………5分 (2)由??

?

??≠∈==)0,(32cos 2ρρπ

θθ

ρR ,得)32,1(π-A ,同理得)32,1(πB ,2||=∴AB ………10分

18.解：（1）18

1cos 22cos 2

2

-=-==x y θθ，]4,4[],1,1[cos -∈∴-∈x θ ∴曲线C 的普通方程为)44(182

≤≤--=x x y

…………………………6分 （2）直线l 的普通方程为03=+-y x ，曲线C 上的点到l 的距离为

2

|

6)1(cos 2|2|32cos cos 4|2+--=

+-=θθθd ， 当1cos =θ时，23max =d

…………………………12分

19.解:(1)函数定义域为(-1,1), 1=a 时,)

1)(1(1

211111)('2x x x x x x x f -++--=

+--+= 由0)('≥x f ,得]12,1(--∈x ,由0)('≤x f ,得)1,12[-∈x

∴)(x f 的单增区间为]12,1(--,单减区间为)1,12[- ………………………6分

(2) 当]0,1(-∈x 时,0>a , ∴0)

1)(1(2)('>+-+-=

a x x x

x f ,∴函数)(x f 在

]0,1(-∈x 上单增, ∴1)0()(max ===a f x f ,1=∴a ……………………12分

20.证明：

1．当1=n 时，左=14322122-=?-?，右=721??-=-14，左=右，1

=∴n 时命题成立． …………2分

2．假设当)(*N k k n ∈=时命题成立，即+

+?-?+?-? 22225443322122)12(2)2()12(+?-?-k k k k )34)(1(++-=k k k ，则当1+=k n 时

左

＝

++?-?+?-? 2222544332212

2)12(2)2()12(+?-?-k k k k 2

2)32)(1(2)22)(12(++-+++k k k k )

34)(1(++-=k k k 2

)1)(12(4+++k k 2)32)(1(2++-k k ])32(2)1)(12(4)34()[1(2++++-++-=k k k k k k

]3)1(4)[11)(1()74)(2)(1()14154)(1(2+++++-=+++-=+++-=k k k k k k k k k 1+=∴k n 时命题成立． …………11分

由

1，

2可知，对任意*N n ∈原命题成立． …………12分

21.解：(1)设切点为)0,0x （，则?????=-+=+0

230

3303

020ax x a x ，解得???-=-=110a x ∴1-=a 时，x 轴为曲线)(x g y =的切线． …………3分

(2)a x x g 33)('2+=

当0≥a 时，0)('≥x g 恒成立，函数)(x g y =无极值

当0

由0)('≤x g ，)(x g y =∴在],[a a ---上单减

∴)()(a g x g --=极大，)()(a g x g -=极小，4-)()(=+极小极大x g x g ∴0

-)()(=+极小极大x g x g

…………7分

(3) f (x )＝(x 2－ax ＋a )e x －x 2，

f ′(x )＝x [(x ＋2－a )e x －2]＝x e x ???

?x ＋2－2

e x －a ，x ∈R ， 令

f ′(x )＝0，则x ＝0或x ＋2－2

e

x －a ＝0，即x ＝0或h (x )＝a ，

∵h (x )＝x ＋2－2

e x ，在(－∞，＋∞)上单调递增，其值域为R .

∴存在唯一x 0∈R ，使得h (x 0)＝a ，

①若x 0>0，当x ∈(－∞，0)时，h (x )0；当x ∈(0，x 0)时，h (x )

②若x 0＝0，当x ∈(－∞， 0)时，h (x )0；当x ∈(0，＋∞)时，h (x )>a ，f (x )>0；∴f (x )在x ＝0处不取极值，这与题设矛盾；

③若x 0<0，当x ∈(x 0,0)时，h (x )>a ，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，h (x )>a ，f ′(x )>0；∴f (x )在x ＝0处取得极小值；

综上所述，x 0<0，∴a ＝h (x 0)

∴a 的取值范围是(－∞，0)． …………12分

22.解：（1）设1)(--=x e x f x ，1)('-=x e x f 单减时，)(,0)(']0,(x f x f x ≤-∞∈，

01,0)0()(0>--=><∴x e f x f x x 即时， …………2分

设2

2

11)(x x e x h x

-

--=，上单增在时，]0,()(,01)('0-∞∴≥--=≤x h x e x h x x 02

1

1,0)0()(02<---=<<∴x x e h x h x x 即时，

221

|1|0x x e x x <--<∴时，

…………4分

（2）即求使3|sin |0ax x x x <->时，恒成立的最小正数a 设上单增在),0[)(,0cos 1)(',sin )(+∞∴≥-=-=x x x x x x ???

0sin ,0)0()(,0>-∴=>>∴x x x x ??时，恒成立只需0sin 3<--∴ax x x ……6分

设3sin )(ax x x x g --= 当ax x x g ax x x g a 6sin )('',3cos 1)('6

1

2-=--=≥

时， 06)('',sin 0≤-≤∴≤≥ax x x g x x x 时，已证，上单减在),0[)('+∞∴x g 上单减在时，),0[)(,0)0(')('0+∞∴=≤≥∴x g g x g x

3sin ,0)0()(,0ax x x g x g x <-=<>∴即时

3|sin |6

1

ax x x a <-≥∴时，恒成立 …………9分

当06cos ),2

,0(,6cos )('''61000=-∈?-=<

且,0)('''],0[0≥∈x g x x 时，],0[)(''0x x g 在∴上单增

∴,0)0('')(''],0[0=≥∈g x g x x 时，],0[)('0x x g 在∴上单增 ∴,0)0(')('],0[0=≥∈g x g x x 时，],0[)(0x x g 在∴上单增

∴,0)0()(],0(0=>∈g x g x x 时，即0sin 3>--ax x x ，这与题意不符 ……11分

综上，所求正数a 的最小值为61

…………12分