2018年山西省太原市中考数学一模试卷及答案解析

2018年山西省太原市中考数学一模试卷

一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，每小题3分，共48分．请将正确选项的序号填入下面的答案栏中）

1．（3分）下列是某冬季四个城市的最低温度，其中气温最低的城市是（）

A．哈尔滨B．漠河C．太原D．拉萨

2．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，∠1=55°，下列条件能推出a∥b的是（）

A．∠3=55° B．∠2=55°C．∠4=55°D．∠5=55°

3．（3分）今年3月5日，第十二届全国人民代表大会第五次会议在北京召开，国务院总理李克强在政府工作报告中指出，我国经济运行缓中趋稳、稳中向好，国内生产总值达到74.4万亿元．将74.4万亿元用科学记数法表示为（）A．74.4×1012元B．74.4×1013元C．7.44×1012元D．7.44×1013元4．（3分）下列计算正确的是（）

A．a﹣1?a﹣3=a3B．（a﹣2）2=a4C．a2÷a﹣4=a﹣2D．（﹣2a）3=﹣8a3

5．（3分）如图所示，该几何体的主视图是（）

A． B． C．D．

6．（3分）已知，正比例函数y1=k1x（k1≠0）与反比例函数y2=（k2≠0）的图象交于两点，其中一个交点的坐标为（﹣2，﹣1），则另一个交点的坐标是（）A．（2，1） B．（﹣2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（2，﹣1）

7．（3分）如图，一艘潜艇在海面下500米A处测得俯角为30°的海底C处有一黑匣子发出信号，继续在同一深度直线航行4000米后，在B处测得俯角为60°的海底也有该黑匣子发出的信号，则黑匣子所在位置点C在海面下的深度为（）

A．2000米B．4000米C．2000米D．（2000+500）米

8．（3分）在不透明的袋中有一些除颜色外完全相同的白色和黑色棋子，从中随机取出一颗棋子是白色棋子的概率是；若从盒中取出3颗黑色棋子后，再随机取出一颗棋子是白色棋子的概率为，则盒中白色棋子有（）

A．1颗 B．2颗 C．3颗 D．4颗

9．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=80°，若弧ABC与弧ADC的长度分别为7π，11π，则弧BAD的长度为（）

A．9πB．10πC．11πD．12π

10．（3分）如图，△ABC中，AB=AC=12，AD⊥BC于点D，点E在AD上且DE=2AE，连接BE并延长交AC于点F，则线段AF长为（）

A．4 B．3 C．2.4 D．2

二、填空题（本大题共5个小题，每个小题3分，共15分）

11．（3分）如图，每个小正方格都是边长为1个单位长度的正方形，如果用（0，0）表示A点的位置，用（3，4）表示B点的位置，那么C点的位置可表示为．

12．（3分）如图，在?ABCD中，AB=3，BC=4，对角线AC，BD交于点O，点E 为边AB的中点，连结OE，则OE的长为．

13．（3分）某超市为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球面上分别标有“0元”，“10元”，“20元”，“30元”的字样．顾客在该超市一次性消费满200元，就可以在箱子里先后摸出两个小球（每一次摸出后不放回），超市根据两小球上所标金额的和返还等额购物券．若某顾客刚好消费200元，则他所获得购物券的金额不低于30元的概率为．14．（3分）如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=120°，以边BC为腰作第一个△CBC1，且CC1=BC，∠BCC1=120°；以边BC1为腰再作第二个△C1BC2，且C1C2=BC1，∠BC1C2=120°；…；按此规律所作的第n个三角形的腰长为（用含n的式子表示）

15．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB=2，点M为正方形ABCD的边CD上的动点（与点C，D不重合），连接BM，作MF⊥BM，与正方形ABCD的外角∠ADE 的平分线交于点F．设CM=x，△DFM的面积为y，则y与x之间的函数关系式．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分）解答时应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤．

16．（10分）（1）计算：﹣12×﹣（）﹣1+6sin60°

（2）化简：÷﹣．

17．（8分）在学校组织的科学素养竞赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为90分，80分，70分，60分，学校将八年级一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图：

请你根据以上提供的信息解答下列问题：

（1）此次竞赛中二班成绩在70分及其以上的人数有人；

（2）补全下表中空缺的三个统计量：

（3）请根据上述图表对这次竞赛成绩进行分析，写出两个结论．

18．（8分）小李与小王是社区图书馆整理图书的志愿者，他们在清点图书时，小王平均每分钟比小李多清点5本，小李清点200本图书所用的时间与小王清点300本图书所用的时间相同．

（1）求小王平均每分钟清点图书的本数；

（2）周末，该图书馆要求他们两人同时清点完3600本图书，用时不超过3小时．但小王有事需提前离开，在两人清点图书的速度不变的情况下，小王至少清点多少本图书才能离开？

19．（7分）如图，直线y=kx+4（k≠0）与x轴，y轴分别交于点B，A，直线y=﹣2x+1与y轴交于点C，与直线y=kx+4交于点D，△ACD的面积．

（1）求直线AB的表达式；

（2）设点E在直线AB上，当△ACE是直角三角形时，请直接写出点E的坐标．

20．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°．

（1）尺规作图：作△ABC的外接圆⊙O，作∠ACB的平分线与⊙O交于点D，连接BD，保留作图痕迹，不写作法，请标明字母；

（2）在你按（1）中要求所作的图中，若AC=8，BC=6，求BD的长．

21．（8分）请阅读以下材料，并完成相应的任务．

如图（1），A，B两点在反比例函数y=（x＞0）的图象上，直线AB与坐标轴分别交于点C，D，求证：AD=BC．

下面是小明同学的部分证明过程：

证明：如图（2），过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N．

设直线AB的表达式为y=mx+n，A，B两点的横坐标分别为a，b，则，解得m=﹣，n=

∴直线AB的表达式y=﹣x+

当x=0时，y=，∴点D的坐标为（0，）

∴DM=﹣=…

（1）请补全小明的证明过程；

（2）如图（3），直线AB与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点A（，9）和点C，与x轴交于点D，连接OC．若点B的坐标为（0，10），则点C的坐标为，△OCD的面积为．

22．（13分）综合与实践：

在综合实践课上，老师让同学们对一张长AB=4，宽BC=3的矩形纸片ABCD进行剪拼操作，如图（1），希望小组沿对角线AC剪开得到两张三角形纸片△ABC和△A′DC′．

操作与发现：

（1）将这两张三角形纸片按如图（2）摆放，连接BD，他们发现AC⊥BD，请证明这个结论；

操作与探究：

（2）在图（2）中，将△A′C′D纸片沿射线AC的方向平移，连接BC′，BA′．在平移的过程中：

①如图（3），当BA′与C′D平行时判断四边形A′BC′D的形状，说明理由并求出此时△A′C′D平移的距离；

②当BD经过点C时，直接写出△A′C′D平移的距离．

操作与实践：

（3）请你参照以上操作过程，利用图（1）中的两张三角形纸片，拼摆出新的图形．在图（4）中画出图形，标明字母，说明构图方法，并直接写出所要探究的问题，不必解答．

23．（13分）综合与探究：如图，抛物线y=ax2+bx+与x轴交于A（﹣，0），B（，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，一动点P从点A出发，沿线

段AB向终点B以每秒1个单位长度的速度运动；同时，点Q从点B出发，以相同的速度沿线段BC向终点C运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，连接PQ．设P，Q两点运动时间为t秒．

（1）求抛物线的表达式；

（2）在点P，Q运动的过程中，△BPQ能否成为等腰三角形？若能，请求出t 的值；若不能，请说明理由；

（3）作点B关于直线PQ的对称点为D，连接PD，QD．当四边形APQC的面积最小时，判断点D是否在该抛物线上．

2018年山西省太原市中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，每小题3分，共48分．请将正确选项的序号填入下面的答案栏中）

1．（3分）下列是某冬季四个城市的最低温度，其中气温最低的城市是（）

A．哈尔滨B．漠河C．太原D．拉萨

【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．

【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得

﹣52.3℃＜﹣42.9℃＜﹣23.3℃＜﹣16.5℃，

∴气温最低的城市是最低气温﹣52.3℃，漠河．

故选：B．

【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．

2．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，∠1=55°，下列条件能推出a∥b的是（）

A．∠3=55° B．∠2=55°C．∠4=55°D．∠5=55°

【分析】根据同位角相等，两直线平行即可作出判断．

【解答】解：∵∠1=55°，∠3=55°，

∴∠1=∠3，

∴a∥b，

故选A．

【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．

3．（3分）今年3月5日，第十二届全国人民代表大会第五次会议在北京召开，国务院总理李克强在政府工作报告中指出，我国经济运行缓中趋稳、稳中向好，国内生产总值达到74.4万亿元．将74.4万亿元用科学记数法表示为（）A．74.4×1012元B．74.4×1013元C．7.44×1012元D．7.44×1013元【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．

【解答】解：将74.4万亿用科学记数法表示为：7.44×1013．

故选：D．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4．（3分）下列计算正确的是（）

A．a﹣1?a﹣3=a3B．（a﹣2）2=a4C．a2÷a﹣4=a﹣2D．（﹣2a）3=﹣8a3

【分析】分别利用同底数幂的乘除运算法则结合幂的乘方运算法则化简求出答案．【解答】解：A、a﹣1?a﹣3=a﹣4，故此选项错误；

B、（a﹣2）2=a﹣4，故此选项错误；

C、a2÷a﹣4=a6，故此选项错误；

D、（﹣2a）3=﹣8a3，故此选项正确．

故选：D．

【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算等知识，正确掌握运算法则是解题关键．

5．（3分）如图所示，该几何体的主视图是（）

A． B． C．D．

【分析】找到从正面看所得到的图形即可．

【解答】解：几何体是由一个圆柱体和一个长方体组成，所以它的主视图应该是上面下面各一个矩形，下面的矩形大很多．

故选C．

【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．

6．（3分）已知，正比例函数y1=k1x（k1≠0）与反比例函数y2=（k2≠0）的图象交于两点，其中一个交点的坐标为（﹣2，﹣1），则另一个交点的坐标是（）A．（2，1） B．（﹣2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（2，﹣1）

【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．

【解答】解：∵正比例函数y1=k1x（k1≠0）与反比例函数y2=（k2≠0）的图

象交于两点，正比例函数y1=k1x（k1≠0）与反比例函数y2=（k2≠0）的图象均关于原点对称．

则两点关于原点对称，一个交点的坐标为（﹣2，﹣1），

则另一个交点的坐标为（2，1）．

故选：A．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点以及反比例函数图象的中心对称性；熟练掌握反比例函数图象关于原点对称是解决问题的关键．

7．（3分）如图，一艘潜艇在海面下500米A处测得俯角为30°的海底C处有一

黑匣子发出信号，继续在同一深度直线航行4000米后，在B处测得俯角为60°的海底也有该黑匣子发出的信号，则黑匣子所在位置点C在海面下的深度为（）

A．2000米B．4000米C．2000米D．（2000+500）米

【分析】由C点向AB作垂线，交AB的延长线于E点，并交海面于F点，易证∠BAC=∠BCA，所以有BA=BC．然后在直角△BCE中，利用正弦函数求出CE的长．【解答】解：由C点向AB作垂线，交AB的延长线于E点，并交海面于F点．已知AB=4000（米），∠BAC=30°，∠EBC=60°，

∵∠BCA=∠EBC﹣∠BAC=30°，

∴∠BAC=∠BCA．

∴BC=BA=4000（米）．

在Rt△BEC中，

EC=BC?sin60°=4000×=2000（米）．

∴CF=CE+EF=2000+500（米）．

故选D．

【点评】本题考查了仰俯角问题，解决此类问题的关键是正确的将仰俯角转化为直角三角形的内角并选择正确的边角关系解直角三角形，要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．